Zona unui trapez dacă este cunoscută linia mediană. Zona trapezului

Trapezul cu mai multe fețe ... Poate fi arbitrar, isoscel sau dreptunghiular. Și în fiecare caz, trebuie să știți cum să găsiți zona trapezului. Desigur, formulele de bază sunt cele mai ușor de reținut. Dar uneori este mai ușor să o folosiți pe cea care este derivată luând în considerare toate caracteristicile unei anumite figuri geometrice.

Câteva cuvinte despre trapez și elementele sale

Orice patrulater cu două laturi paralele poate fi numit trapez. În general, acestea nu sunt egale și se numesc baze. Cea mai mare este cea de jos și cealaltă este cea de sus.

Celelalte două părți sunt laterale. Pentru un trapez arbitrar, acestea au lungimi diferite. Dacă sunt egale, atunci figura devine isoscel.

Dacă brusc unghiul dintre orice parte și bază se dovedește a fi egal cu 90 de grade, atunci trapezul este dreptunghiular.

Toate aceste caracteristici pot ajuta la rezolvarea problemei cum se găsește aria unui trapez.

Printre elementele figurii care se pot dovedi indispensabile în rezolvarea problemelor, se pot evidenția următoarele:

înălțime, adică un segment perpendicular pe ambele baze;
linia de mijloc, care are la capete punctele medii ale laturilor laterale.

Care este formula pentru a calcula aria dacă se cunosc bazele și înălțimea?

Această expresie este dată ca principală, deoarece cel mai adesea puteți afla aceste valori, chiar și atunci când nu sunt date în mod explicit. Deci, pentru a înțelege cum să găsiți aria unui trapez, trebuie să adăugați ambele baze și să le împărțiți în două. Apoi înmulțiți valoarea rezultată cu valoarea înălțimii.

Dacă desemnăm bazele cu literele a 1 și a 2, înălțimea - n, atunci formula zonei va arăta astfel:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula prin care se calculează aria, având în vedere înălțimea și linia mediană

Dacă vă uitați atent la formula anterioară, veți observa cu ușurință că există în mod clar o valoare de linie mediană. Și anume, suma bazelor împărțită la două. Lăsați linia de mijloc să fie notată cu litera l, atunci formula pentru zonă va fi astfel:

S = l * n.

Abilitatea de a găsi zona prin diagonale

Această metodă vă va ajuta dacă cunoașteți unghiul format de ele. Să presupunem că diagonalele sunt notate cu literele d 1 și d 2, iar unghiurile dintre ele sunt α și β. Apoi formula pentru găsirea ariei unui trapez se va scrie după cum urmează:

S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.

În această expresie, puteți înlocui cu ușurință α cu β. Rezultatul nu se va schimba.

Cum să aflăm zona dacă sunt cunoscute toate laturile figurii?

Există, de asemenea, situații în care laturile sunt cunoscute în această figură. Această formulă este greoaie și dificil de reținut. Dar probabil. Fie că laturile au denumirea: în 1 și în 2, baza unui 1 este mai mare decât un 2. Apoi, formula de zonă va arăta astfel:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (în 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + în 1 2 - în 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Metode de calcul al ariei unui trapez isoscel

Primul este legat de faptul că un cerc poate fi înscris în el. Și, cunoscând raza sa (este notată cu litera r), precum și unghiul de la bază - γ, puteți utiliza următoarea formulă:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Ultima formulă generală, care se bazează pe cunoașterea tuturor laturilor figurii, va fi mult simplificată datorită faptului că părțile au același sens:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metode de calcul al ariei unui trapez dreptunghiular

Este clar că oricare dintre cele de mai sus va fi potrivit pentru o figură arbitrară. Dar uneori este util să știm despre o caracteristică a unui astfel de trapez. Constă în faptul că diferența dintre pătratele lungimilor diagonalelor este egală cu diferența alcătuită din pătratele bazelor.

De multe ori formulele pentru trapez sunt uitate, în timp ce expresiile pentru ariile dreptunghiului și triunghiului sunt amintite. Atunci se poate aplica un mod simplu. Împărțiți trapezul în două forme dacă este dreptunghiular sau trei. Unul va fi cu siguranță un dreptunghi, iar al doilea, sau celelalte două, vor fi triunghiuri. După calcularea suprafețelor acestor cifre, rămâne doar să le adăugați.

Acesta este un mod destul de simplu de a găsi aria unui trapez dreptunghiular.

Ce se întâmplă dacă se cunosc coordonatele vârfurilor trapezului?

În acest caz, trebuie să utilizați o expresie care vă permite să determinați distanța dintre puncte. Poate fi aplicat de trei ori: pentru a afla ambele baze și o înălțime. Și apoi aplică prima formulă, care este descrisă puțin mai sus.

Un exemplu poate fi dat pentru a ilustra această metodă. Sunt date vârfuri cu coordonatele A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Trebuie să aflați zona figurii.

Înainte de a găsi aria trapezului, trebuie să calculați lungimile bazelor din coordonate. Veți avea nevoie de următoarea formulă:

lungimea segmentului = √ ((diferența primelor coordonate de puncte) 2 + (diferența a doua coordonate de puncte) 2).

Baza superioară este denumită AB, ceea ce înseamnă că lungimea sa va fi egală cu √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Inferioară - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) = √81 = 9.

Acum trebuie să trasăm înălțimea de sus în jos. Fie ca începutul său să fie în punctul A. Capătul segmentului va fi pe baza inferioară în punctul cu coordonatele (5; 1), să fie punctul H. Lungimea segmentului AH va fi egală cu √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2) = √36 = 6.

Rămâne doar să înlocuiți valorile rezultate în formula zonei trapezului:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problema a fost rezolvată fără unități de măsură, deoarece scala grilei de coordonate nu a fost specificată. Poate fi fie un milimetru, fie un metru.

Exemple de sarcini

Nr. 1. Stare. Unghiul dintre diagonalele unui trapezoid arbitrar este cunoscut, este egal cu 30 de grade. Diagonala mai mică are o valoare de 3 dm, iar a doua este de 2 ori mai mare decât ea. Este necesar să se calculeze aria trapezului.

Soluţie. Mai întâi trebuie să aflați lungimea celei de-a doua diagonale, deoarece fără aceasta nu va fi posibil să numărați răspunsul. Nu este dificil să-l calculăm, 3 * 2 = 6 (dm).

Acum trebuie să folosim o formulă adecvată pentru zonă:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema a fost rezolvată.

Răspuns: aria trapezului este de 4,5 dm 2.

Nr. 2. Stare.În trapezul AVSD, bazele sunt segmentele tensiunii arteriale și BC. Punctul E este mijlocul laturii SD. Din aceasta, se trasează o perpendiculară pe linia AB, capătul acestui segment este desemnat de litera H. Se știe că lungimile AB și EH sunt de 5 și respectiv 4 cm. Este necesar să se calculeze aria trapezul.

Soluţie. Mai întâi trebuie să faceți un desen. Deoarece valoarea perpendicularei este mai mică decât latura spre care este trasă, trapezul va fi ușor alungit în sus. Deci EH va fi în interiorul figurii.

Pentru a vedea clar progresul rezolvării problemei, va trebui să efectuați o construcție suplimentară. Și anume, trageți o linie dreaptă care va fi paralelă cu partea AB. Punctele de intersecție ale acestei drepte cu HELL sunt P, și cu continuarea BC - X. Figura rezultată ВХРА este un paralelogram. Mai mult, aria sa este egală cu cea necesară. Acest lucru se datorează faptului că triunghiurile obținute cu construcția suplimentară sunt egale. Aceasta rezultă din egalitatea laterală și a celor două unghiuri adiacente acesteia, unul este vertical, celălalt este încrucișat.

Puteți găsi zona unui paralelogram folosind o formulă care conține produsul lateral și înălțimea scăzută pe el.

Astfel, aria trapezului este 5 * 4 = 20 cm 2.

Răspuns: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Stare. Elementele unui trapez isoscel au următoarele semnificații: baza inferioară - 14 cm, partea superioară - 4 cm, unghiul acut - 45º. Trebuie să-i calculezi aria.

Soluţie. Să se desemneze baza mai mică BC. Înălțimea trasă din punctul B se va numi BH. Deoarece unghiul este de 45 °, triunghiul ABN se va dovedi dreptunghiular și isoscel. Prin urmare, AH = BH. Și NA este foarte ușor de găsit. Este egal cu jumătate din diferența de baze. Adică (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).

Bazele sunt cunoscute, se calculează înălțimea. Puteți utiliza prima formulă, care a fost considerată aici pentru un trapezoid arbitrar.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Răspuns: Suprafața necesară este de 45 cm 2.

Nr. 4. Stare. Există un trapez arbitrar al AVSD. Pe laturile sale laterale se iau punctele O și E, astfel încât OE să fie paralel cu baza tensiunii arteriale. Aria trapezului AOED este de cinci ori mai mare decât cea a CFE. Calculați valoarea OE dacă sunt cunoscute lungimile de bază.

Soluţie. Va trebui să trasați două linii drepte paralele AB: prima prin punctul C, intersecția sa cu OE - punctul T; a doua prin E și punctul de intersecție cu tensiunea arterială va fi M.

Fie necunoscutul OE = x. Înălțimea trapezului mai mic OVSE - n 1, cu atât AOED mai mare - n 2.

Deoarece zonele acestor două trapezoide sunt corelate de la 1 la 5, putem scrie următoarea egalitate:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Înălțimile și laturile triunghiurilor sunt proporționale în construcție. Prin urmare, se poate scrie încă o egalitate:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).

În ultimele două intrări din partea stângă există valori egale, ceea ce înseamnă că putem scrie că (x + a 1) / (5 (x + a 2)) este egal cu (x - a 2) / (a 1 - x).

Aici sunt necesare o serie de transformări. Mai întâi înmulțiți transversal. Vor apărea paranteze care indică diferența de pătrate, după aplicarea acestei formule, veți obține o ecuație scurtă.

În el, trebuie să deschideți parantezele și să mutați toți termenii din „x” necunoscut la stânga, apoi să extrageți rădăcina pătrată.

Răspuns: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

ȘI . Acum puteți începe să vă gândiți cum să găsiți aria unui trapez. Această sarcină în viața de zi cu zi apare foarte rar, dar uneori se dovedește a fi necesară, de exemplu, pentru a găsi zona unei camere sub forma unui trapez, care sunt din ce în ce mai utilizate în construcția de apartamente moderne sau în proiecte de proiectare pentru renovare.

Un trapez este o figură geometrică formată din patru segmente de linie care se intersectează, dintre care două sunt paralele între ele și se numesc bazele trapezului. Celelalte două segmente se numesc laturile trapezului. În plus, încă o definiție va fi utilă în cele ce urmează. Aceasta este linia de mijloc a trapezului, care este un segment de linie care leagă punctele medii ale laturilor și înălțimea trapezului, care este egală cu distanța dintre baze.
La fel ca triunghiurile, un trapez are vederi particulare sub forma unui trapez isoscel (isoscel), în care lungimile laturilor sunt aceleași și un trapez dreptunghiular, în care una dintre laturi formează un unghi drept cu bazele.

Trapezele au câteva proprietăți interesante:

Linia de mijloc a trapezului este egală cu jumătatea sumelor bazelor și este paralelă cu acestea.
În trapezii isosceli, laturile și unghiurile pe care le formează cu bazele sunt egale.
Punctele de mijloc ale diagonalelor trapezului și punctul de intersecție al diagonalelor sale sunt pe aceeași linie dreaptă.
Dacă suma laturilor trapezului este egală cu suma bazelor, atunci se poate înscrie un cerc în el
Dacă suma unghiurilor formate de laturile unui trapez la oricare dintre bazele sale este de 90, atunci lungimea segmentului care leagă punctele medii ale bazelor este egală cu jumătatea diferenței lor.
Un trapez isoscel poate fi descris printr-un cerc. Si invers. Dacă trapezul se încadrează într-un cerc, atunci este isoscel.
Segmentul care trece prin punctele medii ale bazelor unui trapez isoscel va fi perpendicular pe bazele sale și reprezintă axa de simetrie.

Cum se găsește aria unui trapez.

Aria trapezului va fi egală cu suma pe jumătate a bazelor sale înmulțită cu înălțimea. Sub forma unei formule, aceasta este scrisă sub forma unei expresii:

unde S este aria trapezului, a, b este lungimea fiecărei baze a trapezului, h este înălțimea trapezului.

Puteți înțelege și aminti această formulă după cum urmează. După cum urmează din figura de mai jos, un trapez care utilizează linia mediană poate fi transformat într-un dreptunghi, a cărui lungime va fi egală cu jumătatea sumelor bazelor.

De asemenea, puteți descompune orice trapez în forme mai simple: un dreptunghi și unul sau două triunghiuri și, dacă vă este mai ușor, găsiți aria trapezului ca sumă a ariilor figurilor sale constitutive.

Există o altă formulă simplă pentru calcularea ariei sale. Conform acestuia, aria trapezului este egală cu produsul liniei medii a acestuia înălțimea trapezului și este scrisă astfel: S = m * h, unde S este aria, m este lungimea liniei medii, h este înălțimea trapezului. Această formulă este mai potrivită pentru problemele matematice decât pentru problemele de zi cu zi, deoarece în condiții reale nu veți cunoaște lungimea liniei medii fără calcule preliminare. Și veți cunoaște numai lungimile bazelor și laturilor.

În acest caz, aria trapezului poate fi găsită prin formula:

S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

unde S este aria, a, b sunt bazele, c, d sunt laturile trapezului.

Există mai multe modalități de a găsi aria unui trapez. Dar, ele sunt la fel de incomode ca ultima formulă, ceea ce înseamnă că nu are sens să ne oprim asupra lor. Prin urmare, vă recomandăm să utilizați prima formulă din articol și dorim să obținem întotdeauna rezultate exacte.

Există multe modalități de a găsi aria unui trapez. De obicei, un profesor de matematică deține mai multe tehnici de calcul, să ne oprim asupra lor mai detaliat:
1) unde AD și BC sunt baze, iar BH este înălțimea trapezului. Dovadă: desenați o diagonală BD și exprimați zonele triunghiurilor ABD și CDB în ceea ce privește semiprodusul bazelor lor după înălțime:

, unde DP este înălțimea exterioară în

Să adăugăm aceste egalități termen cu termen și având în vedere că înălțimile BH și DP sunt egale, obținem:

Să scoatem din paranteză

Q.E.D.

Corolar din formula pentru aria unui trapez:
Deoarece jumătatea sumelor bazelor este egală cu MN - linia mediană a trapezului, atunci

2) Aplicarea formulei generale pentru aria unui patrulater.
Aria unui patrulater este egală cu jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele
Pentru dovadă, este suficient să împărțiți trapezul în 4 triunghiuri, să exprimați zona fiecăruia în termeni de "jumătate din produsul diagonalelor prin sinusul unghiului dintre ele" (ca unghiul, adăugați expresiile rezultate , scoateți-le din paranteză și compensați această paranteză în factori folosind metoda de grupare, obțineți egalitatea cu expresia.

3) Metoda schimbării diagonale
Acesta este numele meu. În manualele școlare, un profesor de matematică nu va găsi un astfel de titlu. O descriere a tehnicii poate fi găsită doar în tutoriale suplimentare, ca exemplu de rezolvare a unei probleme. Aș dori să menționez că profesorii de matematică dezvăluie studenților cele mai multe fapte interesante și utile despre planimetrie în procesul de a face lucrări practice. Acest lucru este extrem de suboptim, deoarece elevul trebuie să le separe în teoreme separate și să le numească „nume mari”. Una dintre acestea este „deplasarea diagonală”. Despre ce e vorba? Să trasăm o linie dreaptă prin vârful B paralel cu AC până când se intersectează cu baza inferioară din punctul E. În acest caz, patrulaterul EBCA va fi un paralelogram (prin definiție) și, prin urmare, BC = EA și EB = AC. Prima egalitate este importantă pentru noi acum. Avem:

Rețineți că triunghiul BED, a cărui suprafață este egală cu aria trapezului, are mai multe proprietăți remarcabile:
1) Aria sa este egală cu aria trapezului
2) Isoscelul său apare simultan cu isoscelul trapezului însuși
3) Unghiul său superior la vârful B este egal cu unghiul dintre diagonalele trapezului (care este foarte des utilizat în probleme)
4) BK-ul său median este egal cu distanța QS dintre punctele medii ale bazelor trapezului. Recent am întâlnit utilizarea acestei proprietăți atunci când pregăteam un student pentru Facultatea de Mecanică și Matematică a Universității de Stat din Moscova folosind manualul lui Tkachuk, versiunea din 1973 (problema este dată în partea de jos a paginii).

Tutor matematic Tehnici speciale.

Uneori propun sarcini pe un mod foarte dificil de a găsi pătratul trapezoidal. O refer la tehnici speciale, deoarece în practică tutorele le folosește extrem de rar. Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de matematică doar în partea B, nu trebuie să citiți despre ele. În rest, vă voi spune mai departe. Se pare că aria trapezului este de două ori aria triunghiului cu vârfuri la capetele unei părți și la mijlocul celeilalte, adică triunghiul ABS din figură:
Dovadă: desenați înălțimile SM și SN în triunghiurile BCS și ADS și exprimați suma ariilor acestor triunghiuri:

Deoarece punctul S este punctul de mijloc al CD, atunci (demonstrați-l singur). Să găsim suma ariilor triunghiurilor:

Deoarece această cantitate sa dovedit a fi egală cu jumătate din aria trapezului, atunci - a doua jumătate a acesteia. Ch.t.d.

În colecția tehnicilor speciale ale tutorelui, aș include forma de calcul a ariei unui trapezoid isoscel de-a lungul laturilor sale: unde p este semiperimetrul trapezului. Nu voi da o dovadă. În caz contrar, tutorele dvs. de matematică va rămâne fără muncă :). Vino la ore!

Sarcini pentru zona trapezului:

Nota Tutorului de matematică: Lista de mai jos nu este un acompaniament metodologic pentru subiect, este doar o mică selecție de probleme interesante pentru tehnicile de mai sus.

1) Baza inferioară a unui trapez isoscel este 13, iar cea superioară este 5. Aflați aria trapezului dacă diagonala acestuia este perpendiculară pe partea laterală.
2) Aflați aria trapezului dacă bazele sale sunt de 2cm și 5cm, iar laturile sunt de 2cm și 3cm.
3) Într-un trapez isoscel, baza mai mare este 11, latura este 5, iar diagonala este Găsiți zona trapezului.
4) Diagonala unui trapez isoscel este 5 și linia de mijloc este 4. Găsiți aria.
5) Într-un trapez isoscel, bazele sunt 12 și 20, iar diagonalele sunt reciproc perpendiculare. Calculați aria unui trapez
6) Diagonala unui trapez isoscel face un unghi cu baza sa inferioară. Găsiți aria unui trapez dacă înălțimea sa este de 6 cm.
7) Aria trapezului este 20, iar una dintre laturile sale are 4 cm. Găsiți distanța față de acesta de la mijlocul laturii opuse.
8) Diagonala unui trapez isoscel îl împarte în triunghiuri cu arii de 6 și 14. Găsiți înălțimea dacă latura este 4.
9) Într-un trapez, diagonalele sunt 3 și 5, iar segmentul care leagă punctele medii ale bazelor este 2. Găsiți zona trapezului (Mehmat MGU, 1970).

Nu am ales cele mai dificile probleme (nu vă temeți de mechmat!) Cu așteptarea posibilității de a le rezolva independent. Decideți asupra sănătății! Dacă aveți nevoie de pregătire pentru examenul de matematică, atunci fără participarea la acest proces a formulei pentru zona unui trapez, pot apărea probleme grave chiar și cu problema B6 și cu atât mai mult cu C4. Nu lansați tema și în caz de dificultăți, cereți ajutor. Un profesor de matematică este întotdeauna fericit să vă ajute.

Kolpakov A.N.
Tutor la matematică la Moscova, pregătire pentru examenul din Strogino.

Practica USE și GIA de anul trecut arată că problemele de geometrie cauzează dificultăți multor școlari. Le puteți face față cu ușurință dacă memorați toate formulele necesare și practicați rezolvarea problemelor.

În acest articol, veți vedea formule pentru găsirea ariei unui trapez, precum și exemple de probleme cu soluții. Puteți găsi același lucru în KIM la examenele de certificare sau la olimpiade. De aceea, tratați-le cu atenție.

Ce trebuie să știți despre un trapez?

În primul rând, să ne amintim asta trapez numit patrulater, care are două laturi opuse, se mai numesc baze, sunt paralele, iar celelalte două nu.

Înălțimea poate fi coborâtă și în trapez (perpendicular pe bază). Se trasează linia de mijloc - aceasta este o linie dreaptă care este paralelă cu bazele și este egală cu jumătate din suma lor. Și, de asemenea, diagonale, care se pot intersecta, formând colțuri acute și obtuze. Sau, în unele cazuri, în unghi drept. În plus, dacă trapezul este isoscel, se poate înscrie un cerc în el. Și descrie un cerc în jurul său.

Formule de suprafață pentru un trapez

Pentru început, luați în considerare formulele standard pentru găsirea ariei unui trapez. Vom lua în considerare modalitățile de a calcula aria unui isoscel și a unui trapezoid curbat de mai jos.

Deci, imaginați-vă că aveți un trapez cu bazele a și b, în care înălțimea h este coborâtă la baza mai mare. Calculul suprafeței figurii în acest caz este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să împărțiți suma lungimilor bazelor la două și să înmulțiți ceea ce obțineți cu înălțimea: S = 1/2 (a + b) * h.

Să luăm un alt caz: să presupunem că, în trapez, pe lângă înălțime, este trasată linia de mijloc m. Știm formula pentru găsirea lungimii liniei mediane: m = 1/2 (a + b). Prin urmare, putem simplifica pe bună dreptate formula pentru aria unui trapez la următoarea formă: S = m * h... Cu alte cuvinte, pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să multiplicați linia mediană cu înălțimea.

Luați în considerare o altă opțiune: în trapez, sunt trasate diagonalele d 1 și d 2, care nu se intersectează în unghi drept α. Pentru a calcula aria unui astfel de trapez, trebuie să împărțiți la două produsul diagonalelor și să înmulțiți ceea ce obțineți cu păcatul unghiului dintre ele: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Acum ia în considerare formula pentru găsirea ariei unui trapez dacă nu se știe nimic despre ea, cu excepția lungimilor tuturor laturilor sale: a, b, c și d. Aceasta este o formulă greoaie și complexă, dar vă va fi util să vă amintiți-o, în caz că: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Apropo, exemplele de mai sus sunt valabile și pentru cazul în care aveți nevoie de formula pentru zona unui trapez dreptunghiular. Acesta este un trapez, a cărui latură alăturează bazele în unghi drept.

Trapezoid isoscel

Un trapez, ale cărui laturi sunt egale, se numește isoscel. Vom lua în considerare mai multe variante ale formulei pentru aria unui trapez isoscel.

Prima opțiune: pentru cazul în care un cerc cu rază r este înscris în trapezul isoscel, iar latura laterală și baza mai mare formează un unghi acut α. Un cerc poate fi înscris într-un trapez, cu condiția ca suma lungimilor bazelor sale să fie egală cu suma lungimilor laturilor.

Aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează: înmulțiți pătratul razei cercului inscripționat cu patru și împărțiți-l pe toate prin sinα: S = 4r 2 / sinα... O altă formulă de zonă este un caz special pentru cazul în care unghiul dintre baza mare și lateral este 30 0: S = 8r 2.

A doua opțiune: de data aceasta luăm un trapez isoscel, în care, în plus, sunt trasate diagonalele d 1 și d 2, precum și înălțimea h. Dacă diagonalele trapezului sunt reciproc perpendiculare, înălțimea este jumătate din suma bazelor: h = 1/2 (a + b). Știind acest lucru, este ușor să transformați formula deja familiară pentru aria unui trapez în următoarea formă: S = h 2.

Formula pentru aria unui trapez curbat

Să începem prin a vedea ce este un trapezoid curbat. Imaginați-vă o axă de coordonate și un grafic al unei funcții continue și non-negative f care nu schimbă semnul într-un anumit segment de pe axa x. Trapezul curbiliniar este format din graficul funcției y = f (x) - în partea de sus, axa x - în partea de jos (segment), iar pe laturi - liniile trasate între punctele a și b și graficul a funcției.

Este imposibil să se calculeze aria unei astfel de forme nestandardizate folosind metodele de mai sus. Aici trebuie să aplicați analiza matematică și să utilizați integralul. Și anume: formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... În această formulă, F este antiderivativ al funcției noastre pe segmentul selectat. Și aria trapezului curbat corespunde creșterii antiderivativei pe un anumit segment.

Exemple de sarcini

Pentru ca toate aceste formule să se așeze mai bine în capul tău, iată câteva exemple de sarcini pentru găsirea ariei unui trapez. Cel mai bine va fi dacă încercați mai întâi să rezolvați singur problemele și abia apoi verificați răspunsul primit cu soluția gata pregătită.

Sarcina numărul 1: Dat fiind un trapez. Baza sa mai mare este de 11 cm, cea mai mică are 4 cm. Diagonalele sunt trasate în trapez, una lungă de 12 cm, cealaltă lungime de 9 cm.

Soluție: Construiți trapezoid AMPC. Trageți linia PX prin vârful P astfel încât să se dovedească a fi paralelă cu diagonala MC și să intersecteze linia AC în punctul X. Veți obține un triunghi ARX.

Vom lua în considerare două figuri obținute ca urmare a acestor manipulări: triunghiul ARX și paralelogramul CMRX.

Datorită paralelogramului, aflăm că PX = MC = 12 cm și CX = MR = 4cm. Unde putem calcula latura AX a triunghiului ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

De asemenea, putem demonstra că triunghiul ARX este dreptunghiular (pentru aceasta, aplicați teorema lui Pitagora - AX 2 = AR 2 + PX 2). Și calculați aria sa: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Apoi, trebuie să demonstrați că triunghiurile AMP și PCX sunt de dimensiuni egale. Baza va fi egalitatea părților MP și CX (deja dovedită mai sus). Și, de asemenea, înălțimile pe care le coborâți pe aceste laturi - sunt egale cu înălțimea trapezului AMRS.

Toate acestea vă vor permite să afirmați că S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Sarcina numărul 2: Se dă trapezul KRMS. Punctele O și E sunt situate pe laturile sale laterale, în timp ce OE și KC sunt paralele. Se știe, de asemenea, că zonele trapezelor ORME și OKSE sunt într-un raport de 1: 5. PM = a și KC = b. Este necesar să găsiți OE.

Soluție: Trageți o linie dreaptă prin punctul M, paralel cu RC și desemnați punctul de intersecție cu OE cu T. A - punctul de intersecție a unei linii drepte trasate prin punctul E paralel cu RC, cu baza de KS.

Să introducem încă o notație - OE = x. Și, de asemenea, înălțimea h 1 pentru triunghiul TME și înălțimea h 2 pentru triunghiul AEC (puteți dovedi independent similitudinea acestor triunghiuri).

Vom presupune că b> a. Zonele trapezelor ORME și OKSE sunt legate ca 1: 5, ceea ce ne dă dreptul să întocmim următoarea ecuație: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Să transformăm și să obținem: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Deoarece triunghiurile TME și AEC sunt similare, avem h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combinați ambele înregistrări și obțineți: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Astfel, OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Concluzie

Geometria nu este cea mai ușoară știință, dar cu siguranță puteți face față sarcinilor examenului. Este suficient să arăți puțină perseverență în pregătire. Și, desigur, amintiți-vă toate formulele necesare.

Am încercat să colectăm într-un singur loc toate formulele pentru calcularea ariei unui trapez, astfel încât să le puteți folosi atunci când vă pregătiți pentru examene și să repetați materialul.

Asigurați-vă că distribuiți acest articol colegilor de clasă și prietenilor dvs. pe rețelele de socializare. Să existe mai multe note bune pentru USE și GIA!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

În matematică, se cunosc mai multe tipuri de patrulatere: pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram. Printre acestea se numără un trapez - un fel de patrulater convex, în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu. Laturile opuse paralele se numesc baze, iar celelalte două sunt denumite laturile trapezului. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană. Există mai multe tipuri de trapezoide: izoscel, dreptunghiular, curbat. Pentru fiecare tip de trapez, există formule pentru găsirea zonei.

Zona trapezului

Pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să cunoașteți lungimea și înălțimea bazelor sale. Înălțimea unui trapez este un segment de linie perpendicular pe baze. Fie baza superioară a, baza inferioară b și înălțimea h. Apoi puteți calcula aria S folosind formula:

S = ½ * (a + b) * h

acestea. ia jumătatea sumelor bazelor înmulțite cu înălțimea.

De asemenea, va fi posibil să calculați aria unui trapez dacă cunoașteți valoarea înălțimii și a liniei centrale. Să notăm linia de mijloc - m. Atunci

Să rezolvăm o problemă mai dificilă: se cunosc lungimile celor patru laturi ale trapezului - a, b, c, d. Apoi zona va fi găsită prin formula:

Dacă lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele sunt cunoscute, atunci zona este căutată după cum urmează:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

unde d cu indicii 1 și 2 sunt diagonale. În această formulă, sinusul unghiului este dat în calcul.

Cu lungimi de bază cunoscute a și b și două unghiuri la baza inferioară, aria se calculează după cum urmează:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel este un caz special al unui trapez. Diferența sa este că un astfel de trapez este un patrulater convex cu o axă de simetrie care trece prin punctele medii ale celor două laturi opuse. Laturile sale sunt egale.

Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapezoid isoscel.

Prin lungimile celor trei laturi. În acest caz, lungimile laturilor vor coincide, prin urmare, ele sunt desemnate cu aceeași valoare - c, iar a și b sunt lungimile bazelor:

Dacă cunoașteți lungimea bazei superioare, latura și unghiul de la baza inferioară, atunci aria se calculează după cum urmează:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

unde a este baza superioară, c este partea.

Dacă, în locul bazei superioare, se cunoaște lungimea celei inferioare, aria se calculează prin formula:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

Dacă, când sunt cunoscute două baze și unghiul de la baza inferioară, aria se calculează prin tangenta unghiului:

S = ½ * (b2 - a2) * tan α

De asemenea, aria se calculează prin diagonale și unghiul dintre ele. În acest caz, diagonalele sunt egale în lungime, deci fiecare este notată cu litera d fără indici:

S = ½ * d2 * sin α

Calculăm aria trapezului, cunoscând lungimea laturii, linia mediană și unghiul de la baza inferioară.

Să fie latura laterală c, linia de mijloc m, unghiul a, apoi:

S = m * c * sin α

Uneori, un cerc poate fi înscris într-un trapezoid echilateral, a cărui rază va fi - r.

Se știe că un cerc poate fi înscris în orice trapez dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor sale laterale. Apoi zona se găsește prin raza cercului înscris și unghiul de la baza inferioară:

S = 4r2 / sin α

Același calcul se efectuează prin diametrul D al cercului înscris (apropo, coincide cu înălțimea trapezului):

Cunoscând baza și unghiul, aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează:

S = a * b / sin α

(aceasta și următoarele formule sunt valabile numai pentru trapezoide cu cerc inscripționat).

Prin bazele și raza cercului, aria se găsește după cum urmează:

Dacă sunt cunoscute numai bazele, atunci aria se calculează folosind formula:

Prin baze și linia laterală, aria trapezului cu un cerc inscripționat și prin baze și linia mediană - m se calculează după cum urmează:

Aria unui trapez dreptunghiular

Se numește un trapez dreptunghiular, în care una dintre laturile laterale este perpendiculară pe baze. În acest caz, lungimea laterală coincide cu înălțimea trapezului.

Un trapez dreptunghiular este un pătrat și un triunghi. După ce ați găsit aria fiecărei forme, adăugați rezultatele pentru a obține aria totală a formei.

De asemenea, pentru a calcula aria unui trapez dreptunghiular, sunt potrivite formulele generale pentru calcularea ariei unui trapez.

Dacă lungimile bazelor și înălțimea (sau latura perpendiculară) sunt cunoscute, atunci aria se calculează prin formula:

S = (a + b) * h / 2

H (înălțimea) poate fi partea c. Apoi formula arată astfel:

S = (a + b) * c / 2

O altă modalitate de a calcula suprafața este de a înmulți lungimea liniei centrale cu înălțimea:

sau de lungimea laturii perpendiculare laterale:

Următorul mod de calcul este prin jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci formula este simplificată pentru:

S = ½ * d1 * d2

Un alt mod de a calcula este printr-un semi-perimetru (suma lungimilor a două laturi opuse) și raza cercului înscris.

Această formulă este valabilă din motive. Dacă luăm lungimile laturilor, atunci una dintre ele va fi egală cu dubla rază. Formula va arăta astfel:

S = (2r + c) * r

Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci aria se calculează în același mod:

unde m este lungimea liniei medii.

Zona trapezoidală curbată

Un trapez curbiliniar este o figură plană mărginită de graficul unei funcții continue nenegative y = f (x), definită pe un segment, de axa abscisei și de liniile drepte x = a, x = b. De fapt, cele două laturi ale sale sunt paralele între ele (baze), a treia parte este perpendiculară pe baze, iar a patra este o curbă corespunzătoare graficului funcției.

Aria unui trapez curviliniu este căutată prin integral prin formula Newton-Leibniz:

Astfel se calculează suprafețele diferitelor tipuri de trapezoide. Dar, pe lângă proprietățile laturilor, trapezele au aceleași proprietăți ale unghiurilor. Ca și în toate patrulaterele existente, suma unghiurilor interioare ale unui trapez este de 360 de grade. Iar suma unghiurilor adiacente laturii laterale este de 180 de grade.