Rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Datorită serviciului nostru online, puteți rezolva ecuații diferențiale de orice fel și complexitate: neomogene, omogene, neliniare, liniare, de ordinul întâi, al doilea, cu sau fără variabile separabile etc. Obțineți soluția ecuațiilor diferențiale într-o formă analitică cu o descriere detaliată. Mulți sunt interesați de: de ce este necesar să se rezolve ecuații diferențiale online? Acest tip de ecuații este foarte comun în matematică și fizică, unde va fi imposibil să rezolvi multe probleme fără a calcula o ecuație diferențială. De asemenea, ecuațiile diferențiale sunt comune în economie, medicină, biologie, chimie și alte științe. Rezolvarea online a unei astfel de ecuații vă facilitează foarte mult sarcinile, face posibilă asimilarea mai bună a materialului și testarea dvs. Beneficiile rezolvării ecuațiilor diferențiale online. Un site modern de servicii matematice vă permite să rezolvați ecuații diferențiale online de orice complexitate. După cum știți, există un număr mare de tipuri de ecuații diferențiale și fiecare dintre ele are propriile soluții. Pe serviciul nostru puteți găsi online soluția ecuațiilor diferențiale de orice ordine și tip. Pentru a obține o soluție, vă sugerăm să completați datele inițiale și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Sunt excluse erorile în funcționarea serviciului, astfel încât puteți fi 100% sigur că ați primit răspunsul corect. Rezolvați ecuații diferențiale cu serviciul nostru. Rezolvați ecuații diferențiale online. În mod implicit, într-o astfel de ecuație, funcția y este o funcție a variabilei x. Dar vă puteți seta, de asemenea, propria desemnare variabilă. De exemplu, dacă specificați y(t) într-o ecuație diferențială, atunci serviciul nostru va determina automat că y este o funcție a variabilei t. Ordinea întregii ecuații diferențiale va depinde de ordinea maximă a derivatei funcției prezente în ecuație. A rezolva o astfel de ecuație înseamnă a găsi funcția necesară. Serviciul nostru vă va ajuta să rezolvați ecuații diferențiale online. Nu este nevoie de mult efort din partea ta pentru a rezolva ecuația. Trebuie doar să introduceți părțile din stânga și din dreapta ale ecuației în câmpurile necesare și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Când introduceți derivata unei funcții, este necesar să o notați cu un apostrof. În câteva secunde, veți avea o soluție detaliată gata făcută pentru ecuația diferențială. Serviciul nostru este absolut gratuit. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Dacă într-o ecuație diferențială din stânga există o expresie care depinde de y, iar pe partea dreaptă există o expresie care depinde de x, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește cu variabile separabile. Pe partea stângă poate fi o derivată a lui y, soluția ecuațiilor diferențiale de acest fel va fi sub forma unei funcții a lui y, exprimată prin integrala părții drepte a ecuației. Dacă există o diferență a unei funcții a lui y pe partea stângă, atunci ambele părți ale ecuației sunt integrate. Când variabilele dintr-o ecuație diferențială nu sunt separate, ele vor trebui împărțite pentru a obține o ecuație diferențială separată. Ecuație diferențială liniară. O ecuație diferențială se numește liniară, în care funcția și toate derivatele ei sunt de gradul I. Forma generală a ecuației: y'+a1(x)y=f(x). f(x) și a1(x) sunt funcții continue ale lui x. Soluția ecuațiilor diferențiale de acest tip se reduce la integrarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate. Ordinea ecuației diferențiale. Ecuația diferențială poate fi de ordinul întâi, al doilea, al n-lea. Ordinea unei ecuații diferențiale determină ordinea celei mai mari derivate conținute în ea. În serviciul nostru puteți rezolva online ecuații diferențiale ale primului, al doilea, al treilea etc. Ordin. Soluția ecuației va fi orice funcție y=f(x), înlocuind-o în ecuație, veți obține o identitate. Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește integrare. Problema Cauchy. Dacă, pe lângă ecuația diferențială în sine, este specificată condiția inițială y(x0)=y0, atunci aceasta se numește problema Cauchy. Indicatorii y0 și x0 se adaugă la soluția ecuației și se determină valoarea unei constante arbitrare C și apoi o soluție particulară a ecuației pentru această valoare a lui C. Aceasta este soluția problemei Cauchy. Problema Cauchy se mai numește și o problemă cu condiții la limită, care este foarte comună în fizică și mecanică. De asemenea, aveți ocazia să stabiliți problema Cauchy, adică din toate soluțiile posibile ale ecuației, alegeți una anume care îndeplinește condițiile inițiale date.

I. Ecuații diferențiale obișnuite

1.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială este o ecuație care leagă o variabilă independentă X, funcția dorită yși derivatele sau diferențialele sale.

Simbolic, ecuația diferențială se scrie după cum urmează:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

O ecuație diferențială se numește obișnuită dacă funcția dorită depinde de o variabilă independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale se numește o astfel de funcție care transformă această ecuație într-o identitate.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate din această ecuație

Exemple.

1. Considerăm ecuația diferențială de ordinul întâi

Soluția acestei ecuații este funcția y = 5 ln x. Într-adevăr, prin înlocuire y"în ecuație, obținem - o identitate.

Și asta înseamnă că funcția y = 5 ln x– este soluția acestei ecuații diferențiale.

2. Considerăm ecuația diferențială de ordinul doi y" - 5y" + 6y = 0. Funcția este soluția acestei ecuații.

Într-adevăr, .

Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem: , - identitate.

Și asta înseamnă că funcția este soluția acestei ecuații diferențiale.

Integrarea ecuațiilor diferențiale este procesul de găsire a soluțiilor ecuațiilor diferențiale.

Soluția generală a ecuației diferențiale se numește o funcție a formei , care include tot atâtea constante arbitrare independente câte ordinea ecuației.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluție obținută din soluția generală pentru diferite valori numerice ale constantelor arbitrare. Valorile constantelor arbitrare se găsesc la anumite valori inițiale ale argumentului și funcției.

Graficul unei anumite soluții a unei ecuații diferențiale se numește curba integrala.

Exemple

1. Găsiți o anumită soluție pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi

xdx + ydy = 0, dacă y= 4 at X = 3.

Soluţie. Integrând ambele părți ale ecuației, obținem

Cometariu. O constantă arbitrară C obținută ca rezultat al integrării poate fi reprezentată în orice formă convenabilă pentru transformări ulterioare. În acest caz, ținând cont de ecuația canonică a cercului, este convenabil să se reprezinte o constantă arbitrară С sub forma .

este soluția generală a ecuației diferențiale.

O soluție particulară a unei ecuații care satisface condițiile inițiale y = 4 at X = 3 se găsește din general prin substituirea condițiilor inițiale în soluția generală: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Înlocuind C=5 în soluția generală, obținem x2+y2 = 5 2 .

Aceasta este o soluție particulară a ecuației diferențiale obținute din soluția generală în condiții inițiale date.

2. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale

Rezolvarea acestei ecuații este orice funcție de forma , unde C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, substituind în ecuații, obținem: , .

Prin urmare, această ecuație diferențială are un număr infinit de soluții, deoarece pentru diferite valori ale constantei C, egalitatea determină soluții diferite ale ecuației.

De exemplu, prin substituție directă, se poate verifica dacă funcțiile sunt soluții ale ecuației .

O problemă în care este necesar să se găsească o anumită soluție a ecuației y" = f(x, y) satisfacerea conditiei initiale y(x0) = y0, se numește problema Cauchy.

Soluția ecuației y" = f(x, y), îndeplinind condiția inițială, y(x0) = y0, se numește o soluție la problema Cauchy.

Rezolvarea problemei Cauchy are un sens geometric simplu. Într-adevăr, conform acestor definiții, pentru a rezolva problema Cauchy y" = f(x, y) cu conditia y(x0) = y0, înseamnă a găsi curba integrală a ecuației y" = f(x, y) care trece printr-un punct dat M0 (x0,y 0).

II. Ecuații diferențiale de ordinul întâi

2.1. Noțiuni de bază

O ecuație diferențială de ordinul întâi este o ecuație de formă F(x,y,y") = 0.

Ecuația diferențială de ordinul întâi include derivata întâi și nu include derivate de ordin superior.

Ecuația y" = f(x, y) se numește ecuație de ordinul întâi rezolvată în raport cu derivata.

O soluție generală a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi este o funcție de forma , care conține o constantă arbitrară.

Exemplu. Să considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția acestei ecuații este funcția .

Într-adevăr, înlocuind în această ecuație cu valoarea ei, obținem

adică 3x=3x

Prin urmare, funcția este o soluție generală a ecuației pentru orice constantă C.

Găsiți o soluție particulară a acestei ecuații care satisface condiția inițială y(1)=1Înlocuirea condițiilor inițiale x=1, y=1în soluția generală a ecuației , obținem de unde C=0.

Astfel, se obține o soluție particulară din cea generală prin substituirea în această ecuație a valorii rezultate C=0 este o decizie privată.

2.2. Ecuații diferențiale cu variabile separabile

O ecuație diferențială cu variabile separabile este o ecuație de forma: y"=f(x)g(y) sau prin diferenţiale , unde f(x)Și g(y) sunt date funcții.

Pentru cei y, pentru care , ecuația y"=f(x)g(y) este echivalentă cu ecuația în care variabila y este prezentă doar pe partea stângă, iar variabila x este prezentă doar pe partea dreaptă. Ei spun, „în ecuație y"=f(x)g(y separarea variabilelor.

Tip ecuație se numește ecuație de variabilă separată.

După integrarea ambelor părți ale ecuației pe X, primim G(y) = F(x) + C este soluția generală a ecuației, unde G(y)Și F(x) sunt niste antiderivate, respectiv, ale functiilor si f(x), C constantă arbitrară.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale de ordinul întâi cu variabile separabile

Exemplul 1

rezolva ecuația y" = xy

Soluţie. Derivata unei functii y"înlocui cu

separăm variabilele

Să integrăm ambele părți ale egalității:

Exemplul 2

2aa" = 1- 3x 2, dacă y 0 = 3 la x0 = 1

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Să o reprezentăm în diferențe. Pentru a face acest lucru, rescriem această ecuație sub forma De aici

Integrând ambele părți ale ultimei egalități, găsim

Înlocuirea valorilor inițiale x 0 = 1, y 0 = 3 găsi DIN 9=1-1+C, adică C = 9.

Prin urmare, integrala parțială dorită va fi sau

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o curbă care trece printr-un punct M(2;-3)şi având o tangentă cu pantă

Soluţie. Conform conditiei

Aceasta este o ecuație variabilă separabilă. Împărțind variabilele, obținem:

Integrând ambele părți ale ecuației, obținem:

Folosind condițiile inițiale, x=2Și y=-3 găsi C:

Prin urmare, ecuația dorită are forma

2.3. Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

O ecuație diferențială liniară de ordinul întâi este o ecuație de formă y" = f(x)y + g(x)

Unde f(x)Și g(x)- unele funcţii date.

Dacă g(x)=0 atunci ecuația diferențială liniară se numește omogenă și are forma: y" = f(x)y

Dacă atunci ecuația y" = f(x)y + g(x) numite eterogene.

Soluție generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene y" = f(x)y dat de formula: unde DIN este o constantă arbitrară.

În special, dacă C \u003d 0, atunci solutia este y=0 Dacă ecuația liniară omogenă are forma y" = ky Unde k este o constantă, atunci soluția sa generală are forma: .

Rezolvarea generală a unei ecuații diferențiale liniare neomogene y" = f(x)y + g(x) dat de formula ,

acestea. este egală cu suma soluției generale a ecuației liniare omogene corespunzătoare și a soluției particulare a acestei ecuații.

Pentru o ecuație liniară neomogenă de formă y" = kx + b,

Unde kȘi b- unele numere și o anumită soluție vor fi o funcție constantă. Prin urmare, soluția generală are forma .

Exemplu. rezolva ecuația y" + 2y +3 = 0

Soluţie. Reprezentăm ecuația sub formă y" = -2y - 3 Unde k=-2, b=-3 Soluția generală este dată de formula .

Prin urmare, unde C este o constantă arbitrară.

2.4. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare de ordinul întâi prin metoda Bernoulli

Găsirea unei soluții generale pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul întâi y" = f(x)y + g(x) reduce la rezolvarea a două ecuații diferențiale cu variabile separate folosind substituția y=uv, Unde uȘi v- funcții necunoscute de la X. Această metodă de soluție se numește metoda Bernoulli.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi

y" = f(x)y + g(x)

1. Introduceți o înlocuire y=uv.

2. Diferențiază această egalitate y"=u"v + uv"

3. Înlocuitor yȘi y"în această ecuație: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) sau u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupați termenii ecuației astfel încât u scoate-l din paranteze:

5. Din paranteză, echivalând cu zero, găsiți funcția

Aceasta este o ecuație separabilă:

Împărțiți variabilele și obțineți:

Unde . .

6. Înlocuiți valoarea primită vîn ecuație (de la punctul 4):

și găsiți funcția Aceasta este o ecuație separabilă:

7. Scrieți soluția generală sub forma: , adică .

Exemplul 1

Găsiți o anumită soluție a ecuației y" = -2y +3 = 0 dacă y=1 la x=0

Soluţie. Să rezolvăm prin înlocuire y=uv,.y"=u"v + uv"

Înlocuind yȘi y"în această ecuație, obținem

Grupând al doilea și al treilea termen din partea stângă a ecuației, scoatem factorul comun u din paranteze

Echivalăm expresia dintre paranteze cu zero și, după ce am rezolvat ecuația rezultată, găsim funcția v = v(x)

Avem o ecuație cu variabile separate. Integram ambele părți ale acestei ecuații: Găsiți funcția v:

Înlocuiți valoarea rezultată vîn ecuație obținem:

Aceasta este o ecuație de variabilă separată. Integram ambele parti ale ecuatiei: Să găsim funcția u = u(x,c) Să găsim o soluție generală: Să găsim o soluție particulară a ecuației care satisface condițiile inițiale y=1 la x=0:

III. Ecuații diferențiale de ordin superior

3.1. Concepte de bază și definiții

O ecuație diferențială de ordinul doi este o ecuație care conține derivate nu mai mari decât ordinul doi. În cazul general, ecuația diferențială de ordinul doi se scrie astfel: F(x,y,y",y") = 0

Soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o funcție de forma , care include două constante arbitrare C1Și C2.

O soluție particulară a unei ecuații diferențiale de ordinul doi este o soluție obținută din cea generală pentru unele valori ale constantelor arbitrare C1Și C2.

3.2. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu rapoarte constante.

Ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă y" + py" + qy = 0, Unde pȘi q sunt valori constante.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți

1. Scrieți ecuația diferențială sub forma: y" + py" + qy = 0.

2. Compuneți ecuația sa caracteristică, notând y" peste r2, y" peste r, yîn 1: r2 + pr +q = 0

Fie deja rezolvate în raport cu derivata, fie pot fi rezolvate în raport cu derivata .

Rezolvarea generală a ecuațiilor diferențiale de tip pe interval X, care este dat, poate fi găsit luând integrala ambelor părți ale acestei egalități.

obține .

Dacă ne uităm la proprietățile integralei nedefinite, găsim soluția generală dorită:

y = F(x) + C,

Unde F(x)- unul dintre antiderivatele funcţiei f(x) intre X, dar DIN este o constantă arbitrară.

Vă rugăm să rețineți că în majoritatea sarcinilor intervalul X nu indica. Aceasta înseamnă că trebuie găsită o soluție pentru toată lumea. X, pentru care și funcția dorită y, iar ecuația originală are sens.

Dacă trebuie să calculați o anumită soluție a unei ecuații diferențiale care satisface condiția inițială y(x0) = y0, apoi după calculul integralei generale y = F(x) + C, este încă necesar să se determine valoarea constantei C=C0 folosind condiția inițială. Adică o constantă C=C0 determinată din ecuație F(x 0) + C = y 0, iar soluția particulară dorită a ecuației diferențiale va lua forma:

y = F(x) + C0.

Luați în considerare un exemplu:

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale, verificați corectitudinea rezultatului. Să găsim o soluție particulară a acestei ecuații care să satisfacă condiția inițială .

Soluţie:

După ce am integrat ecuația diferențială dată, obținem:

.

Luăm această integrală prin metoda integrării pe părți:

Acea., este o soluție generală a ecuației diferențiale.

Să verificăm pentru a ne asigura că rezultatul este corect. Pentru a face acest lucru, înlocuim soluția pe care am găsit-o în ecuația dată:

.

Adică la ecuația originală se transformă într-o identitate:

prin urmare, soluția generală a ecuației diferențiale a fost determinată corect.

Soluția pe care am găsit-o este soluția generală a ecuației diferențiale pentru fiecare valoare reală a argumentului X.

Rămâne de calculat o anumită soluție a EDO care ar satisface condiția inițială. Cu alte cuvinte, este necesar să se calculeze valoarea constantei DIN, la care egalitatea va fi adevărată:

.

.

Apoi, înlocuind C = 2în soluția generală a EDO, obținem o soluție particulară a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială:

.

Ecuație diferențială obișnuită se poate rezolva în raport cu derivata împărțind cele 2 părți ale ecuației la f(x). Această transformare va fi echivalentă dacă f(x) nu merge la zero pentru niciunul X din intervalul de integrare a ecuaţiei diferenţiale X.

Sunt probabile situații când, pentru unele valori ale argumentului X ∈ X funcții f(x)Și g(x) se întoarce la zero în același timp. Pentru valori similare X soluția generală a ecuației diferențiale este orice funcție y, care este definit în ele, deoarece .

Dacă pentru unele valori ale argumentului X ∈ X condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că în acest caz ODE nu are soluții.

Pentru toate celelalte X din interval X soluția generală a ecuației diferențiale se determină din ecuația transformată.

Să ne uităm la exemple:

Exemplul 1

Să găsim soluția generală a EDO: .

Soluţie.

Din proprietățile funcțiilor elementare de bază, este clar că funcția de logaritm natural este definită pentru valorile nenegative ale argumentului, prin urmare, domeniul expresiei log(x+3) exista un interval X > -3 . Prin urmare, ecuația diferențială dată are sens pentru X > -3 . Cu aceste valori ale argumentului, expresiei x + 3 nu dispare, astfel încât se poate rezolva EDO în raport cu derivata împărțind cele 2 părți la x + 3.

Primim .

În continuare, integrăm ecuația diferențială rezultată, rezolvată în raport cu derivata: . Pentru a lua această integrală, folosim metoda subsumării sub semnul diferenţialului.

Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții.
Ecuații diferențiale cu variabile separabile

Ecuații diferențiale (DE). Aceste două cuvinte îl îngrozesc de obicei pe laicul obișnuit. Ecuațiile diferențiale par a fi ceva scandalos și greu de stăpânit pentru mulți studenți. Uuuuuu... ecuații diferențiale, cum aș supraviețui la toate astea?!

O astfel de opinie și o astfel de atitudine este fundamental greșită, pentru că de fapt ECUATIILE DIFERENTIALE SUNT SIMPLE SI CHIAR DISTRACTIVE. Ce trebuie să știi și să poți învăța să rezolvi ecuații diferențiale? Pentru a studia cu succes diferențele, trebuie să fii bun la integrare și diferențiere. Cu cât subiectele sunt mai bine studiate Derivată a unei funcții a unei variabileȘi Integrală nedefinită, cu atât va fi mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale. Voi spune mai multe, dacă ai abilități de integrare mai mult sau mai puțin decente, atunci subiectul este practic stăpânit! Cu cât poți rezolva mai multe integrale de diferite tipuri, cu atât mai bine. De ce? Trebuie să te integrezi mult. Și diferențiați. De asemenea recomand cu caldura invata sa gasesti.

În 95% din cazuri, există 3 tipuri de ecuații diferențiale de ordinul întâi în lucrările de testare: ecuații separabile, pe care o vom trata în această lecție; ecuații omogeneȘi ecuații liniare neomogene. Pentru începătorii să studieze difuzoarele, vă sfătuiesc să citiți lecțiile din această secvență, iar după ce ați studiat primele două articole, nu va strica să vă consolidați abilitățile într-un atelier suplimentar - ecuaţii care se reduc la omogene.

Există și mai rare tipuri de ecuații diferențiale: ecuații în diferențiale totale, ecuații lui Bernoulli și altele. Dintre ultimele două tipuri, cele mai importante sunt ecuațiile în diferențiale totale, deoarece pe lângă acest DE, iau în considerare material nou - integrare parțială.

Dacă mai ai doar o zi sau două, apoi pentru preparare ultra-rapidă mânca curs blitzîn format pdf.

Deci, reperele sunt setate - să mergem:

Să ne amintim mai întâi ecuațiile algebrice obișnuite. Acestea conțin variabile și numere. Cel mai simplu exemplu: . Ce înseamnă să rezolvi o ecuație obișnuită? Aceasta înseamnă a găsi set de numere care satisfac această ecuație. Este ușor de observat că ecuația copiilor are o singură rădăcină: . Pentru distracție, să facem o verificare, să înlocuim rădăcina găsită în ecuația noastră:

- se obtine egalitatea corecta, ceea ce inseamna ca solutia este gasita corect.

Difuzele sunt aranjate aproape în același mod!

Ecuație diferențială prima comandaîn general conţine:
1) variabilă independentă;
2) variabilă dependentă (funcție);
3) derivata întâi a funcției: .

În unele ecuații de ordinul 1, este posibil să nu existe „x” sau (și) „y”, dar acest lucru nu este esențial - important astfel încât în ​​DU a fost prima derivată și nu a avut derivate de ordin superior - , etc.

Ce înseamnă ? A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a găsi set de toate funcțiile care satisfac această ecuație. Un astfel de set de funcții are adesea forma ( este o constantă arbitrară), care este numită soluție generală a ecuației diferențiale.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația diferențială

Muniție completă. Unde sa încep soluţie?

În primul rând, trebuie să rescrieți derivatul într-o formă ușor diferită. Reamintim notația greoaie, pe care mulți dintre voi probabil a considerat-o ridicolă și inutilă. Acesta este cel care domnește în difuzoare!

În a doua etapă, să vedem dacă se poate divizarea variabilelor? Ce înseamnă separarea variabilelor? Aproximativ vorbind, pe partea stângă a trebuie să plecăm doar "jocuri", dar pe drumul cel bun organiza doar x-uri. Separarea variabilelor se realizează cu ajutorul manipulărilor „școlare”: paranteze, transfer de termeni dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, transfer de factori de la o parte la alta conform regulii proporției etc.

Diferențiale și sunt multiplicatori completi și participanți activi la ostilități. În acest exemplu, variabilele sunt ușor separate prin factori de inversare conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate. În partea stângă - doar "Joc", în partea dreaptă - doar "X".

Etapa urmatoare - integrarea ecuațiilor diferențiale. Este simplu, agățăm integrale pe ambele părți:

Desigur, trebuie luate integrale. În acest caz, acestea sunt tabelare:

După cum ne amintim, o constantă este atribuită oricărei antiderivate. Există două integrale aici, dar este suficient să scrieți constanta o dată (deoarece o constantă + o constantă este încă egală cu o altă constantă). În cele mai multe cazuri, este plasat pe partea dreaptă.

Strict vorbind, după ce sunt luate integralele, ecuația diferențială este considerată rezolvată. Singurul lucru este că „y”-ul nostru nu este exprimat prin „x”, adică soluția este prezentată în implicit formă. Soluția implicită a unei ecuații diferențiale se numește integrala generala a ecuatiei diferentiale. Adică este integrala generală.

Un răspuns în această formă este destul de acceptabil, dar există o opțiune mai bună? Să încercăm să obținem decizie comună.

Vă rog, amintiți-vă prima tehnică, este foarte comun și adesea folosit în sarcini practice: dacă un logaritm apare în partea dreaptă după integrare, atunci în multe cazuri (dar în niciun caz întotdeauna!) este de asemenea recomandabil să scrieți constanta sub logaritm.

Acesta este, ÎN LOC DEînregistrările sunt de obicei scrise .

De ce este nevoie de asta? Și pentru a facilita exprimarea „y”. Folosim proprietatea logaritmilor . În acest caz:

Acum logaritmii și modulele pot fi eliminate:

Funcția este prezentată explicit. Aceasta este soluția generală.

Răspuns: decizie comună: .

Răspunsurile la multe ecuații diferențiale sunt destul de ușor de verificat. În cazul nostru, acest lucru se face destul de simplu, luăm soluția găsită și o diferențiem:

Apoi înlocuim derivata în ecuația originală:

- se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția generală satisface ecuația , care trebuia verificată.

Dând o constantă diferite valori, puteți obține un număr infinit de decizii private ecuație diferențială. Este clar că oricare dintre funcțiile , etc. satisface ecuatia diferentiala .

Uneori se numește soluția generală familie de funcții. În acest exemplu, soluția generală este o familie de funcții liniare, sau mai bine zis, o familie de proporționalități directe.

După o discuție detaliată a primului exemplu, este potrivit să răspundem la câteva întrebări naive despre ecuațiile diferențiale:

1)În acest exemplu, am reușit să separăm variabilele. Este întotdeauna posibil să faci asta? Nu, nu întotdeauna. Și chiar mai des variabilele nu pot fi separate. De exemplu, în ecuații omogene de ordinul întâi trebuie înlocuit mai întâi. În alte tipuri de ecuații, de exemplu, într-o ecuație liniară neomogenă de ordinul întâi, trebuie să utilizați diverse trucuri și metode pentru a găsi o soluție generală. Ecuațiile variabile separabile pe care le considerăm în prima lecție sunt cel mai simplu tip de ecuații diferențiale.

2) Este întotdeauna posibil să se integreze o ecuație diferențială? Nu, nu întotdeauna. Este foarte ușor să vii cu o ecuație „fantezică” care nu poate fi integrată, în plus, există integrale care nu pot fi luate. Dar astfel de DE pot fi rezolvate aproximativ folosind metode speciale. D'Alembert și Cauchy garantează... ...ugh, lurkmore. Tocmai am citit multe, aproape că am adăugat "din cealaltă lume".

3) În acest exemplu, am obținut o soluție sub forma unei integrale generale . Este întotdeauna posibil să găsim o soluție generală din integrala generală, adică să exprimăm „y” într-o formă explicită? Nu, nu întotdeauna. De exemplu: . Ei bine, cum pot exprima „y” aici?! În astfel de cazuri, răspunsul trebuie scris ca o integrală generală. În plus, uneori se poate găsi o soluție generală, dar este scrisă atât de greoaie și stângace încât este mai bine să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale.

4) ...poate suficient pentru moment. În primul exemplu, ne-am întâlnit un alt punct important, dar pentru a nu acoperi „manențele” cu o avalanșă de informații noi, o voi lăsa până la următoarea lecție.

Să nu ne grăbim. O altă telecomandă simplă și o altă soluție tipică:

Exemplul 2

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială

Soluţie: după condiţia pe care se cere să se găsească decizie privată DE care satisface o condiție inițială dată. Acest tip de interogare se mai numește Problema Cauchy.

În primul rând, găsim o soluție generală. Nu există o variabilă „x” în ecuație, dar acest lucru nu ar trebui să fie jenant, principalul lucru este că are prima derivată.

Rescriem derivata în forma necesară:

Evident, variabilele pot fi împărțite, băieții la stânga, fetele la dreapta:

Integram ecuatia:

Se obține integrala generală. Aici am desenat o constantă cu o stea de accent, fapt este că foarte curând se va transforma într-o altă constantă.

Acum încercăm să convertim integrala generală într-o soluție generală (exprimați „y” în mod explicit). Ne amintim de școala veche, bună: . În acest caz:

Constanta din indicator pare cumva nu cușer, deci este de obicei coborâtă din cer pe pământ. În detaliu, se întâmplă așa. Folosind proprietatea gradelor, rescriem funcția după cum urmează:

Dacă este o constantă, atunci este și o constantă, redesemnați-o cu litera:

Amintiți-vă că „demolarea” unei constante este a doua tehnică, care este adesea folosit în cursul rezolvării ecuațiilor diferențiale.

Deci solutia generala este: O familie atât de frumoasă de funcții exponențiale.

În etapa finală, trebuie să găsiți o anumită soluție care să satisfacă condiția inițială dată. Este si simplu.

Care este sarcina? Trebuie să ridic astfel de valoarea constantei pentru a satisface condiţia .

Îl poți aranja în diferite moduri, dar cel mai de înțeles, poate, va fi așa. În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero, iar în loc de „y”, doi:



Acesta este,

Versiune standard de design:

Acum înlocuim valoarea găsită a constantei în soluția generală:
– aceasta este soluția specială de care avem nevoie.

Răspuns: solutie privata:

Hai să facem o verificare. Verificarea unei anumite soluții include două etape:

În primul rând, este necesar să se verifice dacă soluția particulară găsită într-adevăr satisface condiția inițială? În loc de „x” înlocuim zero și vedem ce se întâmplă:
- da, într-adevăr, s-a obținut un deuce, ceea ce înseamnă că condiția inițială este îndeplinită.

A doua etapă este deja familiară. Luăm soluția particulară rezultată și găsim derivata:

Înlocuiți în ecuația inițială:

- se obţine egalitatea corectă.

Concluzie: soluția particulară este găsită corect.

Să trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 3

Rezolvați ecuația diferențială

Soluţie: Rescriem derivata sub forma de care avem nevoie:

Evaluarea dacă variabilele pot fi separate? Poate sa. Transferăm al doilea termen în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

Și inversăm factorii conform regulii proporției:

Variabilele sunt separate, să integrăm ambele părți:

Trebuie să te avertizez că vine ziua judecății. Daca nu ai invatat bine integrale nedefinite, a rezolvat câteva exemple, apoi nu există unde să mergi - trebuie să le stăpânești acum.

Integrala laturii stângi este ușor de găsit, cu integrala cotangentei ne ocupăm de tehnica standard pe care am considerat-o în lecție Integrarea funcţiilor trigonometriceÎn ultimul an:

În partea dreaptă, avem un logaritm și, conform primei mele recomandări tehnice, constanta ar trebui scrisă și sub logaritm.

Acum încercăm să simplificăm integrala generală. Deoarece avem doar logaritmi, este foarte posibil (și necesar) să scăpăm de ei. Prin intermediul proprietăți cunoscute„împachetează” maxim logaritmii. Voi scrie cu mare detaliu:

Ambalajul este complet pentru a fi zdrențuit barbar:

Este posibil să exprimați „y”? Poate sa. Ambele părți trebuie să fie pătrate.

Dar nu trebuie.

Al treilea sfat tehnic: dacă pentru a obține o soluție generală trebuie să ridici la o putere sau să prinzi rădăcini, atunci În cele mai multe cazuri ar trebui să vă abțineți de la aceste acțiuni și să lăsați răspunsul sub forma unei integrale generale. Faptul este că soluția generală va arăta îngrozitor - cu rădăcini mari, semne și alte gunoi.

Prin urmare, scriem răspunsul ca o integrală generală. Este considerată o formă bună să o prezinți sub formă, adică pe partea dreaptă, dacă este posibil, lăsați doar o constantă. Nu este necesar să faci asta, dar întotdeauna este benefic să-i faci pe plac profesorului ;-)

Răspuns: integrala generala:

! Notă: integrala generală a oricărei ecuații poate fi scrisă în mai multe moduri. Astfel, dacă rezultatul tău nu a coincis cu un răspuns cunoscut anterior, atunci asta nu înseamnă că ai rezolvat incorect ecuația.

Integrala generală este de asemenea verificată destul de ușor, principalul lucru este să poți găsi derivata unei functii definita implicit. Să diferențiem răspunsul:

Înmulțim ambii termeni cu:

Și împărțim la:

Ecuația diferențială inițială a fost obținută exact, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 4

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale care satisface condiția inițială. Efectuați o verificare.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Vă reamintesc că algoritmul constă din două etape:
1) găsirea unei soluții generale;
2) găsirea soluției particulare necesare.

Verificarea se efectuează și în doi pași (vezi eșantionul din Exemplul nr. 2), aveți nevoie de:
1) asigurați-vă că soluția particulară găsită satisface condiția inițială;
2) verificați dacă o anumită soluție satisface în general ecuația diferențială.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Găsiți o anumită soluție a unei ecuații diferențiale , satisfacand conditia initiala . Efectuați o verificare.

Soluţie: Mai întâi, să găsim o soluție generală.Această ecuație conține deja diferențiale gata făcute și , ceea ce înseamnă că soluția este simplificată. Separarea variabilelor:

Integram ecuatia:

Integrala din stânga este tabelară, integrala din dreapta este luată metoda de însumare a funcţiei sub semnul diferenţialului:

Integrala generală a fost obținută, este posibilă exprimarea cu succes a soluției generale? Poate sa. Atârnăm logaritmi pe ambele părți. Deoarece sunt pozitive, semnele modulo sunt redundante:

(Sper că toată lumea înțelege transformarea, astfel de lucruri ar trebui deja cunoscute)

Deci solutia generala este:

Să găsim o soluție specială corespunzătoare condiției inițiale date.
În soluția generală, în loc de „x”, înlocuim zero și în loc de „y”, logaritmul a doi:

Design mai familiar:

Inlocuim valoarea gasita a constantei in solutia generala.

Răspuns: solutie privata:

Verificați: În primul rând, verificați dacă condiția inițială este îndeplinită:
- totul este bine.

Acum să verificăm dacă soluția particulară găsită satisface ecuația diferențială. Găsim derivata:

Să ne uităm la ecuația inițială: – se prezintă în diferențiale. Există două moduri de a verifica. Este posibil să exprimăm diferența față de derivata găsită:

Înlocuim soluția particulară găsită și diferența rezultată în ecuația originală :

Folosim identitatea logaritmică de bază:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că soluția particulară este găsită corect.

A doua modalitate de verificare este oglindită și mai familiară: din ecuație exprimă derivata, pentru aceasta împărțim toate piesele la:

Iar în DE transformat înlocuim soluția particulară obținută și derivata găsită. Ca urmare a simplificărilor, ar trebui să se obțină și egalitatea corectă.

Exemplul 6

Rezolvați ecuația diferențială. Exprimați răspunsul ca o integrală generală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare, soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce dificultăți așteaptă în rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile?

1) Nu este întotdeauna evident (în special pentru un ceainic) că variabilele pot fi separate. Luați în considerare un exemplu condiționat: . Aici trebuie să scoateți factorii din paranteze: și să separați rădăcinile:. Cum să procedați în continuare este clar.

2) Dificultăți în integrarea în sine. Integrale apar adesea nu sunt cele mai simple și dacă există defecte în abilitățile de a găsi integrală nedefinită, atunci va fi dificil cu multe difuzoare. În plus, logica „din moment ce ecuația diferențială este simplă, atunci integralele să fie mai complicate” este populară printre compilatorii de colecții și manuale.

3) Transformări cu o constantă. După cum toată lumea a observat, o constantă în ecuațiile diferențiale poate fi gestionată destul de liber, iar unele transformări nu sunt întotdeauna clare pentru un începător. Să ne uităm la un alt exemplu ipotetic: . În ea, este recomandabil să înmulțiți toți termenii cu 2: . Constanta rezultată este, de asemenea, un fel de constantă, care poate fi notată prin: . Da, și deoarece există un logaritm în partea dreaptă, este recomandabil să rescrieți constanta ca o altă constantă: .

Problema este că adesea nu se deranjează cu indici și folosesc aceeași literă. Ca urmare, procesul-verbal de decizie ia următoarea formă:

Ce erezie? Iată erorile! Strict vorbind, da. Totuși, din punct de vedere de fond, nu există erori, deoarece în urma transformării unei constante variabile se obține în continuare o constantă variabilă.

Sau alt exemplu, să presupunem că în cursul rezolvării ecuației se obține o integrală generală. Acest răspuns arată urât, așa că este recomandabil să schimbați semnul fiecărui termen: . Formal, există din nou o eroare - în dreapta, ar trebui să fie scrisă . Dar se implică informal că „minus ce” este încă o constantă ( care la fel de bine capătă orice valoare!), deci punerea unui „minus” nu are sens și poți folosi aceeași literă.

Voi încerca să evit o abordare neglijentă și voi pune în continuare indici diferiți pentru constante atunci când le convertesc.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația diferențială. Efectuați o verificare.

Soluţie: Această ecuație admite separarea variabilelor. Separarea variabilelor:

Integram:

Constanta de aici nu trebuie definită sub logaritm, deoarece nu va rezulta nimic bun din ea.

Răspuns: integrala generala:

Verificați: diferențiați răspunsul (funcție implicită):

Scăpăm de fracții, pentru aceasta înmulțim ambii termeni cu:

S-a obținut ecuația diferențială inițială, ceea ce înseamnă că integrala generală a fost găsită corect.

Exemplul 8

Găsiți o anumită soluție a DE.
,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Singurul indiciu este că aici obțineți o integrală generală și, mai corect, trebuie să încercați să găsiți nu o soluție anume, ci integrală privată. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ecuație diferențială obișnuită numită ecuație care conectează o variabilă independentă, o funcție necunoscută a acestei variabile și derivatele (sau diferențiale) ei de diferite ordine.

Ordinea ecuației diferențiale este ordinul celei mai mari derivate conținute în ea.

Pe lângă cele obișnuite, sunt studiate și ecuațiile cu diferențe parțiale. Acestea sunt ecuații care relaționează variabile independente, o funcție necunoscută a acestor variabile și derivatele sale parțiale în raport cu aceleași variabile. Dar vom lua în considerare doar ecuații diferențiale obișnuite și de aceea vom omite cuvântul „obișnuit” pentru concizie.

Exemple de ecuații diferențiale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ecuația (1) este de ordinul al patrulea, ecuația (2) este de ordinul al treilea, ecuațiile (3) și (4) sunt de ordinul al doilea, ecuația (5) este de ordinul întâi.

Ecuație diferențială n ordinea nu trebuie să conțină în mod explicit o funcție, toate derivatele ei de la primul la n de ordinul al-lea și o variabilă independentă. Este posibil să nu conțină în mod explicit derivate ale unor ordine, o funcție, o variabilă independentă.

De exemplu, în ecuația (1) în mod clar nu există derivate de ordinul trei și al doilea, precum și funcții; în ecuația (2) - derivată și funcție de ordinul doi; în ecuația (4) - variabilă independentă; în ecuația (5) - funcții. Doar ecuația (3) conține în mod explicit toate derivatele, funcția și variabila independentă.

Prin rezolvarea ecuației diferențiale orice funcție este numită y = f(x), înlocuindu-l pe care în ecuație, se transformă într-o identitate.

Procesul de găsire a unei soluții la o ecuație diferențială se numește ea integrare.

Exemplul 1 Găsiți o soluție pentru ecuația diferențială.

Soluţie. Scriem această ecuație sub forma . Soluția este să găsim funcția prin derivata ei. Funcția originală, așa cum se știe din calculul integral, este antiderivată pentru, i.e.

Asta e rezolvarea ecuației diferențiale date . schimbându-se în ea C, vom obține soluții diferite. Am aflat că există un număr infinit de soluții pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi.

Soluția generală a ecuației diferențiale n Ordinea este soluția sa exprimată explicit cu privire la funcția necunoscută și care conține n constante arbitrare independente, de ex.

Soluția ecuației diferențiale din exemplul 1 este generală.

Rezolvarea parțială a ecuației diferențiale se numește soluția sa, în care valori numerice specifice sunt atribuite constantelor arbitrare.

Exemplul 2 Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale și o soluție particulară pentru .

Soluţie. Integram ambele părți ale ecuației de atâtea ori încât ordinea ecuației diferențiale este egală.

,

.

Ca rezultat, am obținut soluția generală -

dată o ecuație diferențială de ordinul trei.

Acum să găsim o soluție specială în condițiile specificate. Pentru a face acest lucru, înlocuim valorile lor în loc de coeficienți arbitrari și obținem

.

Dacă, pe lângă ecuația diferențială, condiția inițială este dată sub forma , atunci o astfel de problemă se numește Problema Cauchy . Valorile și sunt înlocuite în soluția generală a ecuației și se găsește valoarea unei constante arbitrare C, și apoi o soluție particulară a ecuației pentru valoarea găsită C. Aceasta este soluția la problema Cauchy.

Exemplul 3 Rezolvați problema Cauchy pentru ecuația diferențială din Exemplul 1 cu condiția .

Soluţie. Inlocuim in solutia generala valorile din conditia initiala y = 3, X= 1. Primim

Scriem soluția problemei Cauchy pentru ecuația diferențială dată de ordinul întâi:

Rezolvarea ecuațiilor diferențiale, chiar și a celor mai simple, necesită abilități bune în integrarea și preluarea derivatelor, inclusiv a funcțiilor complexe. Acest lucru poate fi văzut în exemplul următor.

Exemplul 4 Aflați soluția generală a ecuației diferențiale.

Soluţie. Ecuația este scrisă în așa fel încât ambele părți să poată fi integrate imediat.

.

Aplicam metoda integrarii prin schimbarea variabilei (substitutie). Să , atunci .

Necesar să ia dx iar acum – atenție – o facem după regulile de diferențiere a unei funcții complexe, întrucât Xși există o funcție complexă ("măr" - extragerea rădăcinii pătrate sau, ceea ce este același - ridicarea la putere "o secundă", și "carne tocată" - expresia însăși sub rădăcină):

Găsim integrala:

Revenind la variabilă X, primim:

.

Aceasta este soluția generală a acestei ecuații diferențiale de gradul I.

În rezolvarea ecuațiilor diferențiale vor fi necesare nu numai abilități din secțiunile anterioare de matematică superioară, ci și abilități de la matematica elementară, adică școlară. După cum sa menționat deja, într-o ecuație diferențială de orice ordin poate să nu existe o variabilă independentă, adică o variabilă X. Cunoștințele despre proporții care nu au fost uitate (totuși, oricine le place) de la banca școlii va ajuta la rezolvarea acestei probleme. Acesta este următorul exemplu.