Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea unui discriminant
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat ca exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\) răspunsul este afișat în următoarea formă:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ și nu așa: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Acest program poate fi util elevilor de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate. În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau antrenament al dvs. frati mai mici

sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul problemelor în curs de rezolvare crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătratic, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale.

Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă. De exemplu, puteți intra zecimale

astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.

Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ. /
Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: &
Întreaga parte este separată de fracție prin semnul și:
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) La introducerea unei expresii poti folosi paranteze
. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.

=0

Decide

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browser.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
arata ca
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiţie.
Ecuație cuadratică se numește ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient, iar numărul c este termenul liber.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a \neq 0 \), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul lui x 2 este egal cu 1 ecuație pătratică dată. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă într-o ecuație pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Astfel, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), mutați termenul său liber în partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0\), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 cu \(b \neq 0 \) factorizează partea stângă și obținem ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right.

Aceasta înseamnă că o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne gândim acum cum să rezolvăm ecuațiile pătratice în care ambii coeficienți ai necunoscutelor și termenul liber sunt nenuli.

Să rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și ca rezultat obținem formula rădăcinilor. Această formulă poate fi apoi utilizată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Rezolvați ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți la a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Să transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Expresia radicală se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - discriminator). Este desemnat prin litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantă, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident că:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, o ecuație pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind aceasta formula, este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci folosiți formula rădăcinii dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini;

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat din semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Aceste. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Înainte de a trece la teorema lui Vieta, introducem o definiție. Ecuația pătratică a formei x² + px + q= 0 se numește redus. În această ecuație, coeficientul de conducere este egal cu unu. De exemplu, ecuația x² - 3 x- 4 = 0 este redus. Orice ecuație pătratică de formă topor² + b x + c= 0 poate fi redus prin împărțirea ambelor părți ale ecuației la O≠ 0. De exemplu, ecuația 4 x² + 4 x— 3 = 0 prin împărțirea la 4 se reduce la forma: x² + x— 3/4 = 0. Să derivăm formula pentru rădăcinile ecuației pătratice reduse pentru aceasta folosim formula pentru rădăcinile ecuației pătratice; vedere generală: topor² + bx + c = 0

Ecuație redusă x² + px + q= 0 coincide cu o ecuație generală în care O = 1, b = p, c = q. Prin urmare, pentru ecuația pătratică dată formula ia forma:

ultima expresie se numește formula pentru rădăcinile ecuației pătratice reduse este deosebit de convenabil să se folosească această formulă; r — număr par. De exemplu, să rezolvăm ecuația x² — 14 x — 15 = 0

Ca răspuns, scriem că ecuația are două rădăcini.

Pentru ecuația pătratică redusă cu pozitiv, este valabilă următoarea teoremă.

teorema lui Vieta

Dacă x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației x² + px + q= 0, atunci formulele sunt valabile:

x 1 + x 2 = — r

x 1 * x 2 = q, adică suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Pe baza formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice de mai sus, avem:

Adăugând aceste egalități, obținem: x 1 + x 2 = —r.

Înmulțind aceste egalități, folosind formula diferenței de pătrate obținem:

Rețineți că teorema lui Vieta este valabilă și atunci când discriminantul este egal cu zero, dacă presupunem că în acest caz ecuația pătratică are două rădăcini identice: x 1 = x 2 = — r/2.

Fără a rezolva ecuații x² — 13 x+ 30 = 0 găsiți suma și produsul rădăcinilor sale x 1 și x 2. această ecuație D= 169 – 120 = 49 > 0, deci se poate aplica teorema lui Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Să ne uităm la câteva exemple. Una dintre rădăcinile ecuației x² — px- 12 = 0 este egal x 1 = 4. Găsiți coeficientul r iar a doua rădăcină x 2 din această ecuație. Prin teorema lui Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — r. Deoarece x 1 = 4, apoi 4 x 2 = - 12, de unde x 2 = — 3, r = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. Ca răspuns notăm a doua rădăcină x 2 = - 3, coeficient p = — 1.

Fără a rezolva ecuații x² + 2 x- 4 = 0 să aflăm suma pătratelor rădăcinilor sale. Lasă x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației. Prin teorema lui Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Deoarece x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 atunci x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Să aflăm suma și produsul rădăcinilor ecuației 3 x² + 4 x- 5 = 0. Această ecuație are două rădăcini diferite, deoarece discriminantul D= 16 + 4*3*5 > 0. Pentru a rezolva ecuația, folosim teorema lui Vieta. Această teoremă a fost demonstrată pentru ecuația pătratică dată. Deci, să împărțim această ecuație la 3.

Prin urmare, suma rădăcinilor este egală cu -4/3, iar produsul lor este egal cu -5/3.

ÎN caz general rădăcinile ecuației topor² + b x + c= 0 sunt legate prin următoarele egalități: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Pentru a obține aceste formule, este suficient să împărțiți ambele părți ale acestei ecuații pătratice cu O ≠ 0 și aplicați teorema lui Vieta la ecuația pătratică redusă rezultată. Să luăm în considerare un exemplu: trebuie să creați o ecuație pătratică redusă ale cărei rădăcini x 1 = 3, x 2 = 4. Deoarece x 1 = 3, x 2 = 4 - rădăcinile ecuației pătratice x² + px + q= 0, apoi prin teorema lui Vieta r = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Scriem răspunsul ca x² — 7 x+ 12 = 0. La rezolvarea unor probleme se folosește următoarea teoremă.

Teorema conversie la teorema lui Vieta

Dacă numerele r, q, x 1 , x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Asta x 1Şi x 2- rădăcinile ecuației x² + px + q= 0. Înlocuiți în partea stângă x² + px + qîn loc de r expresie - ( x 1 + x 2), iar în schimb q- munca x 1 * x 2 . Primim: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Astfel, dacă numerele r, q, x 1 și x 2 sunt legate prin aceste relații, apoi pentru toți X egalitatea este valabilă x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), din care rezultă că x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației x² + px + q= 0. Folosind teorema inversă teoremei lui Vieta, uneori puteți găsi rădăcinile unei ecuații pătratice prin selecție. Să ne uităm la un exemplu, x² — 5 x+ 6 = 0. Aici r = — 5, q= 6. Să alegem două numere x 1 și x 2 astfel încât x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Observând că 6 = 2 * 3, și 2 + 3 = 5, prin teorema inversă teoremei lui Vieta, obținem că x 1 = 2, x 2 = 3 - rădăcinile ecuației x² — 5 x + 6 = 0.

Una dintre metodele de rezolvare a unei ecuații pătratice este utilizarea formule VIET, care a fost numit după FRANCOIS VIETTE.

A fost un avocat celebru și a slujit în secolul al XVI-lea rege francez. ÎN timp liber a studiat astronomia și matematica. El a stabilit o legătură între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice.

Avantajele formulei:

1 . Prin aplicarea formulei, puteți găsi rapid o soluție. Pentru că nu este nevoie să introduceți al doilea coeficient în pătrat, apoi să scădeți 4ac din el, să găsiți discriminantul și să înlocuiți valoarea acestuia în formulă pentru a găsi rădăcinile.

2 . Fără o soluție, puteți determina semnele rădăcinilor și puteți selecta valorile rădăcinilor.

3 . După ce am rezolvat un sistem de două înregistrări, nu este dificil să găsiți rădăcinile în sine. În ecuația pătratică de mai sus, suma rădăcinilor este egală cu valoarea celui de-al doilea coeficient cu semnul minus. Produsul rădăcinilor din ecuația pătratică de mai sus este egal cu valoarea celui de-al treilea coeficient.

4 . Folosind aceste rădăcini, scrieți o ecuație pătratică, adică rezolvați problema inversă. De exemplu, această metodă este utilizată la rezolvarea problemelor de mecanică teoretică.

5 . Este convenabil să folosiți formula atunci când coeficientul de conducere este egal cu unu.

Defecte:

1 . Formula nu este universală.

Teorema lui Vieta clasa a VIII-a

Formula
Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0, atunci:

Exemple
x 1 = -1; x 2 = 3 - rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema inversă

Formula
Dacă numerele x 1, x 2, p, q sunt legate prin condițiile:

Atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 + px + q = 0.

Exemplu
Să creăm o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale:

X 1 = 2 - ? 3 și x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Ecuația necesară are forma: x 2 - 4x + 1 = 0.

Teorema lui Vieta (mai precis, teorema inversul teoremei Vieta) vă permite să reduceți timpul de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Trebuie doar să știi cum să-l folosești. Cum să înveți să rezolvi ecuații pătratice folosind teorema lui Vieta? Nu este greu dacă te gândești puțin la asta.

Acum vom vorbi doar despre rezolvarea ecuației pătratice reduse folosind teorema lui Vieta. O ecuație pătratică redusă este o ecuație în care a, adică coeficientul lui x², este egal cu unu. De asemenea, este posibil să se rezolve ecuații pătratice care nu sunt date folosind teorema lui Vieta, dar cel puțin una dintre rădăcini nu este un număr întreg. Sunt mai greu de ghicit.

Teorema inversă teoremei lui Vieta spune: dacă numerele x1 și x2 sunt astfel încât

atunci x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice

Când rezolvați o ecuație pătratică folosind teorema lui Vieta, sunt posibile doar 4 opțiuni. Dacă vă amintiți linia raționamentului, puteți învăța să găsiți rădăcini întregi foarte repede.

I. Dacă q este un număr pozitiv,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn (deoarece numai înmulțirea numerelor cu aceleași semne produce un număr pozitiv).

I.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (respectiv, p<0), то оба корня x1 и x2 — numere pozitive(deoarece am adăugat numere de același semn și am obținut un număr pozitiv).

I.b. Dacă -p — număr negativ, (respectiv, p>0), atunci ambele rădăcini sunt numere negative (am adăugat numere de același semn și am obținut un număr negativ).

II. Dacă q este un număr negativ,

aceasta înseamnă că rădăcinile x1 și x2 au semne diferite (la înmulțirea numerelor se obține un număr negativ doar atunci când semnele factorilor sunt diferite). În acest caz, x1+x2 nu mai este o sumă, ci o diferență (la urma urmei, când se adună numere cu semne diferite scadem pe cel mai mic din cel mai mare). Prin urmare, x1+x2 arată cât de mult diferă rădăcinile x1 și x2, adică cât de mult o rădăcină este mai mare decât cealaltă (în valoare absolută).

II.a. Dacă -p este un număr pozitiv, (adică p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Dacă -p este un număr negativ, (p>0), atunci rădăcina mai mare (modulo) este un număr negativ.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta folosind exemple.

Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta:

Aici q=12>0, deci rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=7>0, deci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Selectăm numere întregi al căror produs este egal cu 12. Acestea sunt 1 și 12, 2 și 6, 3 și 4. Suma este 7 pentru perechea 3 și 4. Aceasta înseamnă că 3 și 4 sunt rădăcinile ecuației.

ÎN în acest exemplu q=16>0, ceea ce înseamnă că rădăcinile x1 și x2 sunt numere de același semn. Suma lor este -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aici q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atunci numărul mai mare este pozitiv. Deci rădăcinile sunt 5 și -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Mai întâi, să formulăm teorema în sine: Să avem o ecuație pătratică redusă de forma x^2+b*x + c = 0. Să presupunem că această ecuație conține rădăcinile x1 și x2. Atunci, conform teoremei, sunt valabile următoarele afirmații:

1) Suma rădăcinilor x1 și x2 va fi egală cu valoarea negativă a coeficientului b.

2) Produsul acestor rădăcini ne va da coeficientul c.

Dar care este ecuația dată?

O ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică al cărei coeficient de cel mai înalt grad este egal cu unu, adică. aceasta este o ecuație de forma x^2 + b*x + c = 0. (și ecuația a*x^2 + b*x + c = 0 este neredusă). Cu alte cuvinte, pentru a aduce ecuația la forma dată, trebuie să împărțim această ecuație la coeficientul celei mai mari puteri (a). Sarcina este de a aduce această ecuație la următoarea formă:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Împărțind fiecare ecuație la coeficientul de cel mai înalt grad, obținem:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

După cum puteți vedea din exemple, chiar și ecuațiile care conțin fracții pot fi reduse la forma dată.

Folosind teorema lui Vieta

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

obținem rădăcinile: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

ca rezultat obținem rădăcinile: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

obținem rădăcinile: x1 = −1; x2 = −4.

Sensul teoremei lui Vieta

Teorema lui Vieta ne permite să rezolvăm orice ecuație pătratică redusă în aproape secunde. La prima vedere, aceasta pare a fi o sarcină destul de dificilă, dar după 5-10 ecuații, puteți învăța să vedeți imediat rădăcinile.

Din exemplele date și folosind teorema, este clar cum puteți simplifica în mod semnificativ soluția ecuațiilor pătratice, deoarece folosind această teoremă, puteți rezolva o ecuație pătratică practic fără calcule complexe și calculând discriminantul și, după cum știți, mai puține calcule, cu atât este mai dificil să faci o greșeală, ceea ce este important.

În toate exemplele, am folosit această regulă pe baza a două ipoteze importante:

Ecuația dată, adică coeficientul de cel mai înalt grad este egal cu unu (această condiție este ușor de evitat. Puteți folosi forma neredusă a ecuației, atunci următoarele afirmații vor fi valabile x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, dar de obicei este mai greu de rezolvat :))

Când o ecuație are două rădăcini diferite. Presupunem că inegalitatea este adevărată și discriminantul este strict mai mare decât zero.

Prin urmare, putem crea un algoritm de soluție generală folosind teorema lui Vieta.

Algoritm de soluție generală folosind teorema lui Vieta

Reducem o ecuație pătratică la formă redusă dacă ecuația ne este dată în formă neredusă. Atunci când coeficienții din ecuația pătratică, pe care am prezentat-o ​​anterior ca date, se dovedesc a fi fracționali (nu zecimal), atunci în acest caz ar trebui să ne rezolvăm ecuația prin discriminant.

Există, de asemenea, cazuri când revenirea la ecuația inițială ne permite să lucrăm cu numere „conveniente”.