قاعدة المخروط هي الصيغة. مساحة السطح الجانبي والكامل للمخروط

سنخبرك اليوم بكيفية العثور على المصفوفة المولدة للمخروط ، والتي غالبًا ما تكون مطلوبة في مشاكل الهندسة المدرسية.

مفهوم المصفوفة المولدة للمخروط

المخروط المستقيم هو شكل يتم الحصول عليه من خلال تدوير مثلث قائم الزاوية حول إحدى رجليه. تشكل قاعدة المخروط دائرة. المقطع الرأسي للمخروط مثلث ، والقسم الأفقي عبارة عن دائرة. ارتفاع المخروط هو الجزء المستقيم الذي يربط أعلى المخروط بمركز القاعدة. المصفوفة المولدة للمخروط عبارة عن قطعة خطية تربط الجزء العلوي من المخروط بأي نقطة على خط محيط القاعدة.

نظرًا لأن المخروط يتكون من دوران مثلث قائم الزاوية ، فقد اتضح أن الضلع الأول من مثل هذا المثلث هو الارتفاع ، والثاني هو نصف قطر الدائرة الواقعة عند القاعدة ، وستكون المصفوفة المولدة للمخروط يكون الوتر. من السهل تخمين أن نظرية فيثاغورس مفيدة في حساب طول المولد. والآن المزيد حول كيفية إيجاد طول المصفوفة العامة للمخروط.

ابحث عن المولد

أسهل طريقة لفهم كيفية العثور على مولد هو باستخدام مثال محدد. لنفترض أن الشروط التالية للمسألة معطاة: الارتفاع 9 سم ، وقطر دائرة القاعدة 18 سم ، ومن الضروري إيجاد أساس المولد.

إذن ، فإن ارتفاع المخروط (9 سم) هو أحد أرجل المثلث القائم الزاوية الذي تشكل به هذا المخروط. الضلع الثاني سيكون نصف قطر دائرة القاعدة. نصف القطر نصف القطر. وهكذا ، نقسم القطر المعطى إلى النصف ونحصل على طول نصف القطر: 18: 2 = 9. نصف القطر يساوي 9.

الآن من السهل جدًا العثور على المصفوفة العامة للمخروط. نظرًا لأنه عبارة عن وتر ، فسيكون مربع طوله مساويًا لمجموع مربعات الأرجل ، أي مجموع مربعات نصف القطر والارتفاع. إذن ، مربع طول المصفوفة = 64 (مربع طول نصف القطر) + 64 (مربع طول الارتفاع) = 64x2 = 128. الآن نستخرج الجذر التربيعي لـ 128. نتيجة لذلك ، نحصل على ثمانية جذور لاثنين. ستكون هذه هي المصفوفة العامة للمخروط.

كما ترى ، لا يوجد شيء معقد في ذلك. على سبيل المثال ، أخذنا ظروف مشكلة بسيطة ، ولكن في الدورة المدرسية يمكن أن تكون أكثر تعقيدًا. تذكر أنه لحساب طول المصفوفة ، عليك معرفة نصف قطر الدائرة وارتفاع المخروط. من خلال معرفة هذه البيانات ، من السهل العثور على طول المصفوفة المولدة.

إلى الأمام

انتباه! تُستخدم معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل جميع إمكانيات العرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

نوع الدرس:درس في دراسة مادة جديدة باستخدام عناصر أسلوب تطوير المشكلة في التدريس.

أهداف الدرس:

الإدراكي:
- التعرف على مفهوم رياضي جديد ؛
- تشكيل ZUN الجديد ؛
- تكوين المهارات العملية في حل المشكلات.
تطوير:
- تنمية التفكير المستقل للطلاب ؛
- تنمية مهارات الكلام الصحيح لأطفال المدارس.
التعليمية:
- تعليم مهارات العمل الجماعي.

معدات الدرس:السبورة المغناطيسية ، الكمبيوتر ، الشاشة ، جهاز عرض الوسائط المتعددة ، نموذج مخروطي ، عرض الدرس ، النشرات.

أهداف الدرس (للطلاب):

تعرف على مفهوم هندسي جديد - مخروط ؛
اشتقاق صيغة لحساب مساحة سطح المخروط ؛
تعلم كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة في حل المشكلات العملية.

خلال الفصول

المرحلة الأولى. التنظيمية.

تسليم دفاتر الملاحظات مع عمل الاختبار المنزلي حول الموضوع المغطى.

الطلاب مدعوون لمعرفة موضوع الدرس القادم من خلال حل rebus (شريحة 1):

الصورة 1.

إعلان موضوع الدرس وأهدافه للطلاب (الشريحة 2).

المرحلة الثانية. شرح المادة الجديدة.

1) محاضرة للمعلم.

توجد طاولة بها مخروط على السبورة. يتم شرح المادة الجديدة مصحوبة بمادة البرنامج "قياس الفراغ". تظهر على الشاشة صورة ثلاثية الأبعاد لمخروط. يحدد المعلم المخروط ويتحدث عن عناصره. (الشريحة 3)... يُقال أن المخروط عبارة عن جسم يتكون من دوران مثلث قائم الزاوية بالنسبة إلى الساق. (الشريحتان 4 و 5).تظهر صورة اكتساح السطح الجانبي للمخروط. (الشريحة 6)

2) العمل العملي.

تحديث أساسي للمعرفة: كرر الصيغ لحساب مساحة الدائرة ، مساحة القطاع ، المحيط ، طول قوس الدائرة. (الشرائح 7-10)

ينقسم الفصل إلى مجموعات. تتلقى كل مجموعة مسحًا للسطح الجانبي للمخروط المقطوع من الورق (قطاع الدائرة مع الرقم المخصص). يأخذ الطلاب القياسات اللازمة ويحسبون مساحة القطاع الناتج. تعليمات العمل ، الأسئلة - بيانات المشكلة - تظهر على الشاشة (الشرائح 11-14)... يكتب ممثل كل مجموعة نتائج الحسابات في جدول معد على السبورة. يقوم أعضاء كل مجموعة بلصق النموذج المخروطي من عملية المسح الحالية الخاصة بهم. (الشريحة 15)

3) بيان وحل المشكلة.

كيف تحسب مساحة السطح الجانبي للمخروط إذا كان نصف قطر القاعدة وطول شبكة المخروط معروفين فقط؟ (الشريحة 16)

تقوم كل مجموعة بالقياسات اللازمة وتحاول استنباط صيغة لحساب المنطقة المرغوبة باستخدام البيانات المتاحة. عند أداء هذا العمل ، يجب أن يلاحظ الطلاب أن محيط قاعدة المخروط يساوي طول قوس القطاع - اكتساح السطح الجانبي لهذا المخروط. (الشرائح 17-21)باستخدام الصيغ اللازمة ، يتم اشتقاق الصيغة المطلوبة. يجب أن يبدو تفكير الطلاب كما يلي:

نصف قطر القطاع - المسح يساوي لقياس درجة القوس هو φ. يتم حساب مساحة القطاع من خلال الصيغة: طول القوس الذي يحد هذا القطاع يساوي نصف قطر قاعدة المخروط R. وطول الدائرة الواقعة عند قاعدة المخروط يساوي C = 2πR. لاحظ أنه بما أن مساحة السطح الجانبي للمخروط تساوي مساحة مسح سطحه الجانبي ، إذن

لذلك ، يتم حساب مساحة السطح الجانبي للمخروط بالصيغة S BOD = πRl.

بعد حساب مساحة السطح الجانبي للنموذج المخروطي وفقًا للصيغة المشتقة بشكل مستقل ، يكتب ممثل كل مجموعة نتيجة الحسابات في جدول على السبورة وفقًا لأرقام النموذج. يجب أن تكون نتائج الحساب في كل صف متساوية. على هذا الأساس ، يحدد المعلم صحة استنتاجات كل مجموعة. يجب أن يبدو جدول النتائج كما يلي:

نموذج رقم.	أنا أعمل	المهمة الثانية

	(125/3) π ~ 41.67 π

	(425/9) π ~ 47.22 π
	(539/9) π ~ 59.89 π

معلمات النموذج:

ل = 12 سم ، φ = 120°
ل = 10 سم ، φ = 150°
ل = 15 سم ، φ = 120°
ل = 10 سم ، φ = 170°
ل = 14 سم ، φ = 110°

تقريب الحسابات يرتبط بأخطاء القياس.

بعد التحقق من النتائج ، يظهر إخراج الصيغ للأسطح الجانبية والكاملة للمخروط على الشاشة (الشرائح 22-26)، يحتفظ التلاميذ بالسجلات في دفاتر الملاحظات.

المرحلة الثالثة. توحيد المادة المدروسة.

1) يتم تقديم الطلاب مهام الحل الشفوي على الرسومات الجاهزة.

ابحث عن مساحات الأسطح الكاملة للأقماع الموضحة في الأشكال (الشرائح 27-32).

2) السؤال:هل تتساوى مساحات أسطح المخاريط بفعل دوران مثلث قائم الزاوية بالنسبة لأرجل مختلفة؟ يقوم الطلاب بصياغة فرضية واختبارها. يتم إجراء اختبار الفرضيات عن طريق حل المشكلات ويتم كتابته بواسطة الطالب على السبورة.

منح:Δ ABC ، ∠C = 90 درجة ، AB = ج ، AC = ب ، BC = أ ؛

BAA "، ABB" - جثث الثورة.

تجد: S PPK 1 ، S PPK 2.

الشكل 5. (الشريحة 33)

حل:

1) ص = ق = أ؛ S PPK 1 = S BOD 1 + S الرئيسي 1 = π أ ج + π أ 2 = أ (أ + ج).

2) R = AC = ب؛ S PPK 2 = S BOD 2 + S الرئيسي 2 = π ب ج + π ب 2 = π ب (ب + ج).

إذا كان S PPK 1 = S PPK 2 ، إذن أ 2 + أس = ب 2 + ق.م ، أ 2 - ب 2 + أك - ق = 0 ، (أ-ب) (أ + ب + ج) = 0.لأن أ ، ب ، ج -الأرقام الموجبة (أطوال جانبي المثلث) ، فإن المساواة تكون صحيحة فقط إذا أ =ب.

انتاج:تتساوى مساحات أسطح المخروطين فقط إذا كانت أرجل المثلث متساوية. (الشريحة 34)

3) حل المشكلة من الكتاب المدرسي: رقم 565.

المرحلة الرابعة. تلخيص الدرس.

واجب منزلي:ص. 55 ، 56 ؛ رقم 548 ، رقم 561. (الشريحة 35)

الإعلان عن العلامات المعطاة.

الاستنتاجات في سياق الدرس ، تكرار المعلومات الأساسية التي تم الحصول عليها في الدرس.

المؤلفات (الشريحة 36)

الهندسة من 10 إلى 11 درجة - أتاناسيان ، في.ف.بوتوزوف ، س.ب.كادومتسيف وآخرون ، إم ، "التعليم" ، 2008.
"الألغاز والحزورات الرياضية" - N.V. اودالتسوفا ، مكتبة "1 سبتمبر" ، سلسلة الرياضيات ، العدد 35 ، M. ، Chistye Prudy ، 2010.

الهندسة هي فرع الرياضيات الذي يدرس الهياكل في الفضاء والعلاقة بينهما. في المقابل ، يتكون أيضًا من أقسام ، أحدها قياس الفراغ. يوفر دراسة خصائص الأشكال الحجمية في الفضاء: مكعب ، هرم ، كرة ، مخروط ، أسطوانة ، إلخ.

المخروط هو جسم في الفضاء الإقليدي ، والذي يحد من السطح المخروطي والمستوى الذي تقع عليه نهايات مولداته. يحدث تكوينه في عملية دوران مثلث قائم الزاوية حول أي من ساقيه ، وبالتالي فهو يشير إلى أجسام ثورة.

مكونات المخروط

هناك الأنواع التالية من المخاريط: مائلة (أو مائلة) ومستقيمة. المائل هو الذي لا يتقاطع محوره مع مركز قاعدته بزاوية قائمة. لهذا السبب ، لا يتطابق الارتفاع في مثل هذا المخروط مع المحور ، لأنه جزء يتم إنزاله من أعلى الجسم إلى مستوى قاعدته بزاوية 90 درجة.

يسمى المخروط الذي يكون محوره عموديًا على قاعدته مستقيمًا. يتطابق المحور والارتفاع في مثل هذا الجسم الهندسي نظرًا لحقيقة أن الرأس الموجود فيه يقع فوق مركز قطر القاعدة.

يتكون المخروط من العناصر التالية:

الدائرة التي هي قاعدتها.
السطح الجانبي.
نقطة لا تقع في المستوى الأساسي ، تسمى قمة المخروط.
القطع التي تربط بين نقاط دائرة قاعدة الجسم الهندسي ورأسه.

كل هذه الأجزاء مولدات المخروط. إنهم يميلون إلى قاعدة الجسم الهندسي ، وفي حالة المخروط المستقيم ، تكون إسقاطاتهم متساوية ، لأن الرأس على بعد متساوٍ من نقاط دائرة القاعدة. وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أنه في المخروط العادي (المستقيم) ، تكون المولدات متساوية ، أي أن لها نفس الطول وتشكل نفس الزوايا مع المحور (أو الارتفاع) والقاعدة.

نظرًا لأنه في جسم مائل (أو مائل) للثورة ، يتم إزاحة الرأس بالنسبة إلى مركز المستوى الأساسي ، فإن المولدات في مثل هذا الجسم لها أطوال وإسقاطات مختلفة ، لأن كل منها على مسافة مختلفة من أي نقطتين من الدائرة الأساسية. بالإضافة إلى ذلك ، ستختلف الزوايا بينها وبين ارتفاع المخروط أيضًا.

طول المولدات في مخروط مستقيم

كما هو مكتوب سابقًا ، فإن الارتفاع في الجسم الهندسي المستقيم للثورة يكون عموديًا على مستوى القاعدة. وهكذا ، فإن المصفوفة والارتفاع ونصف قطر القاعدة تخلق مثلثًا قائم الزاوية في المخروط.

أي بمعرفة نصف قطر القاعدة والارتفاع ، باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس ، يمكنك حساب طول المولد ، الذي سيساوي مجموع مربعات نصف قطر القاعدة والارتفاع:

l 2 = r 2 + h 2 أو l = √r 2 + h 2

أين هو المولد ؛

ص هو نصف القطر

ح - الارتفاع.

مولد في مخروط مائل

استنادًا إلى حقيقة أنه في المخروط المائل أو المائل ، لا يكون للأولاد نفس الطول ، فلن يعمل حسابها بدون إنشاءات وحسابات إضافية.

بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى معرفة ارتفاع وطول المحور ونصف قطر القاعدة.

ص 1 = ك 2 - ح 2

حيث r 1 هو جزء نصف القطر بين المحور والارتفاع ؛

ك هو طول المحور ؛

ح - الارتفاع.

نتيجة لإضافة نصف القطر (r) وجزءه الواقع بين المحور والارتفاع (r 1) ، من الممكن معرفة المصفوفة الكاملة المكونة للمخروط وارتفاعه وجزء من القطر:

حيث R هي ساق المثلث المكونة من الارتفاع والمولد وجزء من قطر القاعدة ؛

ص هو نصف قطر القاعدة ؛

ص 1 - جزء من نصف القطر بين المحور والارتفاع.

باستخدام نفس الصيغة من نظرية فيثاغورس ، يمكنك إيجاد طول مولد المخروط:

ل = √h 2 + R 2

أو دون إجراء حساب منفصل لـ R ، ادمج الصيغتين في صيغة واحدة:

ل = √h 2 + (r + r 1) 2.

بغض النظر عما إذا كان المخروط مستقيمًا أو مائلًا وما هي بيانات الإدخال ، فإن جميع طرق العثور على طول المصفوفة تتجه دائمًا إلى نتيجة واحدة - استخدام نظرية فيثاغورس.

قسم مخروط

المحوري هو مستوى يمر على طول محوره أو ارتفاعه. في المخروط المستقيم ، يكون هذا القسم مثلثًا متساوي الساقين ، حيث يكون ارتفاع المثلث هو ارتفاع الجسم ، وجوانبه مولدات ، والقاعدة هي قطر القاعدة. في جسم هندسي متساوي الأضلاع ، القسم المحوري هو مثلث متساوي الأضلاع ، لأن قطر القاعدة والمولدات متساوية في هذا المخروط.

مستوى المقطع المحوري في مخروط مستقيم هو مستوى تناظره. والسبب في ذلك هو أن قمته تقع فوق مركز قاعدته ، أي أن مستوى المقطع المحوري يقسم المخروط إلى جزأين متساويين.

نظرًا لأن الارتفاع والمحور لا يتطابقان في مادة صلبة مائلة ، فقد لا يتضمن مستوى القسم المحوري الارتفاع. إذا كان من الممكن إنشاء مجموعة من الأقسام المحورية في مثل هذا المخروط ، حيث يجب مراعاة شرط واحد فقط لهذا - يجب أن يمر فقط عبر المحور ، ثم يمكن أن يكون القسم المحوري من المستوى الذي ينتمي إليه ارتفاع هذا المخروط رسم واحد فقط ، لأن عدد الشروط يزداد ، وكما تعلم ، يمكن أن ينتمي خطان مستقيمان (معًا) إلى مستوى واحد فقط.

مساحة المقطع العرضي

المقطع المحوري المذكور سابقاً للمخروط هو مثلث. بناءً على ذلك ، يمكن حساب مساحته باستخدام صيغة مساحة المثلث:

S = 1/2 * d * h أو S = 1/2 * 2r * h

حيث S هي منطقة المقطع العرضي ؛

د - قطر القاعدة ؛

ص هو نصف القطر

ح - الارتفاع.

في مخروط مائل أو مائل ، يكون المقطع الموجود على طول المحور أيضًا مثلثًا ، وبالتالي ، يتم حساب مساحة المقطع فيه بنفس الطريقة.

الصوت

نظرًا لأن المخروط هو رقم حجمي في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، فيمكن حساب حجمه. حجم المخروط هو الرقم الذي يميز هذا الجسم في وحدة حجم ، أي بالمتر 3. لا يعتمد الحساب على ما إذا كان مستقيماً أو مائلاً (مائل) ، لأن الصيغ لهذين النوعين من الأجسام لا تختلف.

كما هو موضح سابقًا ، يحدث تكوين مخروط مستقيم بسبب دوران مثلث قائم الزاوية على طول إحدى ساقيه. يتشكل المخروط المائل أو المائل بشكل مختلف ، حيث يتم إزاحة ارتفاعه بعيدًا عن مركز مستوى قاعدة الجسم. ومع ذلك ، فإن هذه الاختلافات في الهيكل لا تؤثر على منهجية حساب حجمها.

حساب الحجم

أي مخروط يبدو كالتالي:

V = 1/3 * π * ح * ص 2

حيث V هو حجم المخروط ؛

ح - الارتفاع

ص هو نصف القطر

π ثابت يساوي 3.14.

لحساب ارتفاع الجسم ، من الضروري معرفة نصف قطر القاعدة وطول مصفوفتها. نظرًا لأنه يتم دمج نصف القطر والارتفاع والمولد في مثلث قائم الزاوية ، يمكن حساب الارتفاع باستخدام الصيغة من نظرية فيثاغورس (a 2 + b 2 = c 2 أو في حالتنا h 2 + r 2 = l 2 ، أين l هو المولد). يُحسب الارتفاع عن طريق استخراج الجذر التربيعي من الفرق بين مربعي الوتر والساق الأخرى:

أ = √ ج 2 - ب 2

أي أن ارتفاع المخروط سيكون مساويًا للقيمة التي تم الحصول عليها بعد استخراج الجذر التربيعي من الفرق بين مربع طول المصفوفة ومربع نصف قطر القاعدة:

ع = √l 2 - ص 2

بعد حساب الارتفاع بهذه الطريقة ومعرفة نصف قطر قاعدته ، يمكنك حساب حجم المخروط. في هذه الحالة ، يلعب المولد دورًا مهمًا ، لأنه يعمل كعنصر مساعد في العمليات الحسابية.

وبالمثل ، إذا كنت تعرف ارتفاع الجسم وطول مصفوفة تكوينه ، فيمكنك إيجاد نصف قطر قاعدته عن طريق استخراج الجذر التربيعي للفرق بين مربع المولد ومربع الارتفاع:

ص = √l 2 - ح 2

ثم ، باستخدام نفس الصيغة الموضحة أعلاه ، احسب حجم المخروط.

حجم مخروط مائل

نظرًا لأن صيغة حجم المخروط هي نفسها لجميع أنواع جسم الثورة ، فإن الاختلاف في حسابها هو البحث عن الارتفاع.

من أجل معرفة ارتفاع المخروط المائل ، يجب أن تتضمن بيانات الإدخال طول المصفوفة ، ونصف قطر القاعدة والمسافة بين مركز القاعدة ونقطة تقاطع ارتفاع الجسم مع مستوى قاعدته. بمعرفة ذلك ، يمكنك بسهولة حساب ذلك الجزء من قطر القاعدة الذي سيكون قاعدة مثلث قائم الزاوية (يتكون من الارتفاع والمركب ومستوى القاعدة). ثم ، باستخدام نظرية فيثاغورس مرة أخرى ، احسب ارتفاع المخروط ، وبالتالي حجمه.

فيما يلي مشاكل المخاريط ، الشرط مرتبط بمساحة سطحه. على وجه الخصوص ، في بعض المشاكل ، هناك مسألة تغيير المنطقة بزيادة (نقص) ارتفاع المخروط أو نصف قطر قاعدته. نظرية حل المشكلة في. ضع في اعتبارك المهام التالية:

27135. محيط قاعدة المخروط هو 3 ، والمخطط العام هو 2. أوجد مساحة السطح الجانبي للمخروط.

مساحة السطح الجانبي للمخروط هي:

نستبدل البيانات:

75697. كم مرة ستزداد مساحة السطح الجانبي للمخروط إذا زادت مصفوفته 36 مرة ، وظل نصف قطر القاعدة كما هو؟

مساحة السطح الجانبي للمخروط:

يزيد المولد 36 مرة. يظل نصف القطر كما هو ، مما يعني أن محيط القاعدة لم يتغير.

هذا يعني أن مساحة السطح الجانبية للمخروط المعدل ستبدو كما يلي:

وبالتالي ، فإنه سيزيد 36 مرة.

* الاعتماد مباشر ، لذا يمكن حل هذه المشكلة بسهولة شفهيًا.

27137. كم مرة ستنخفض مساحة السطح الجانبي للمخروط إذا تم تقليل نصف قطر قاعدته بمقدار 1.5 مرة؟

مساحة السطح الجانبي للمخروط هي:

يتم تقليل نصف القطر بمقدار 1.5 مرة ، أي:

وجدنا أن مساحة السطح الجانبية انخفضت بمقدار 1.5 مرة.

27159. ارتفاع المخروط 6 ، والمركبة المولدة هي 10. أوجد مساحة سطحه الكلي مقسومة على Pi.

سطح مخروط كامل:

أوجد نصف القطر:

الارتفاع والمولد معروفان ، وفقًا لنظرية فيثاغورس ، نحسب نصف القطر:

هكذا:

اقسم النتيجة التي حصلت عليها Pi واكتب الإجابة.

76299. تبلغ مساحة السطح الإجمالية للمخروط 108. ويرسم مقطع موازٍ لقاعدة المخروط ، ويقسم الارتفاع إلى نصفين. أوجد مساحة السطح الكلية للمخروط المقتطع.

يمر القسم عبر منتصف الارتفاع الموازي للقاعدة. هذا يعني أن نصف قطر القاعدة والشبكة التوليدية لمخروط القطع سيكونان أقل مرتين من نصف قطر المخروط الأصلي وشكله. دعونا نكتب ما هي مساحة السطح للمخروط المقطوع:

لقد توصلنا إلى أنها ستكون أقل بأربع مرات من مساحة السطح الأصلية ، أي 108: 4 = 27.

* نظرًا لأن المخروط الأصلي والمخروط المقطوع جسمان متشابهان ، فقد كان من الممكن أيضًا استخدام خاصية التشابه: