Rezolvarea inegalităților raționale și iraționale. Inegalități iraționale

Pentru a rezolva bine sarcinile acestui subiect, trebuie să stăpânești perfect teoria din unele subiecte anterioare, în special din subiectele „Ecuații și sisteme iraționale” și „Inegalități raționale”. Acum să scriem una dintre principalele teoreme utilizate în rezolvarea inegalităților iraționale (adică inegalități cu rădăcini). Deci dacă ambele funcții f(x) Și g(x) sunt nenegative, atunci inegalitatea:

Echivalent cu următoarea inegalitate:

Cu alte cuvinte, dacă există expresii non-negative în stânga și dreapta unei inegalități, atunci această inegalitate poate fi ridicată în siguranță la orice putere. Ei bine, dacă trebuie să ridicați întreaga inegalitate la o putere impară, atunci în acest caz nici măcar nu este necesar să cereți ca părțile stânga și dreaptă ale inegalității să fie nenegative. Astfel, orice inegalitate fără restricții poate fi ridicată la o putere ciudată. Să subliniem încă o dată că, pentru a ridica o inegalitate la o putere uniformă, este necesar să ne asigurăm că ambele părți ale acestei inegalități sunt nenegative.

Această teoremă devine foarte relevantă tocmai în inegalitățile iraționale, i.e. în inegalitățile cu rădăcini, unde pentru a rezolva majoritatea exemplelor este necesar să se ridice într-o oarecare măsură inegalitățile. Desigur, în inegalitățile iraționale, trebuie să luați în considerare foarte atent ODZ, care este format în principal din două condiții standard:

Rădăcinile de grade pare trebuie să conțină expresii nenegative;
Numitorii fracțiilor nu trebuie să conțină zerouri.

Să ne amintim și asta Valoarea unei rădăcini pare este întotdeauna nenegativă.

În conformitate cu cele spuse, dacă o inegalitate irațională are mai mult de două rădăcini pătrate, apoi înainte de a pune la pătrat inegalitatea (sau o altă putere egală), trebuie să vă asigurați că există expresii nenegative de fiecare parte a inegalității, i.e. suma rădăcinilor pătrate. Dacă există o diferență de rădăcini pe o parte a inegalității, atunci nu se poate ști nimic în avans despre semnul unei astfel de diferențe, ceea ce înseamnă că este imposibil să ridici inegalitatea la o putere uniformă. În acest caz, trebuie să transferați rădăcinile precedate de semne minus la laturi opuse inegalități (de la stânga la dreapta sau invers), astfel semnele minus din fața rădăcinilor se vor schimba în plusuri și se vor obține doar sumele rădăcinilor de ambele părți ale inegalității. Abia după aceasta se poate pune la pătrat întreaga inegalitate.

Ca și în alte subiecte din matematică, atunci când rezolvați inegalitățile iraționale puteți folosi metoda de înlocuire a variabilei. Principalul lucru este să nu uitați că, după introducerea înlocuirii, noua expresie ar trebui să devină mai simplă și să nu conțină variabila veche. În plus, nu trebuie să uitați să efectuați o înlocuire inversă.

Să ne oprim asupra mai multor tipuri de inegalități iraționale relativ simple, dar comune. Primul tip de astfel de inegalități este când se compară două rădăcini de grad par, adică există o inegalitate de formă:

Această inegalitate conține expresii nenegative pe ambele părți, astfel încât poate fi ridicată în siguranță la puterea lui 2 n, după care, ținând cont de ODZ, obținem:

Vă rugăm să rețineți că ODZ este scris doar pentru expresia radicală care este mai mică. Cealaltă expresie va fi automat mai mare decât zero, deoarece este mai mare decât prima expresie, care la rândul ei este mai mare decât zero.

În cazul când se presupune că o rădăcină uniformă este mai mare decât unele expresie rațională

Rezolvarea unei astfel de inegalități se realizează prin trecerea la un set de două sisteme:

Și în sfârșit, în cazul în care rădăcina unui grad par se presupune a fi mai mică decât o expresie rațională, adică în cazul în care există o inegalitate irațională de formă:

Rezolvarea unei astfel de inegalități se realizează prin trecerea la sistem:

În cazurile în care două rădăcini de un grad impar sunt comparate sau se presupune că o rădăcină de un grad impar este mai mare sau mai mică decât o expresie rațională, puteți pur și simplu să ridicați întreaga inegalitate la gradul impar dorit și, astfel, să scăpați de toate rădăcinile. În acest caz, nu apare nicio ODZ suplimentară, deoarece inegalitățile pot fi ridicate la o putere impară fără restricții, iar sub rădăcinile puterilor impare pot exista expresii de orice semn.

Metoda intervalului generalizat

În cazul în care există o ecuație irațională complexă care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise mai sus și care nu poate fi rezolvată prin ridicarea la o anumită putere, trebuie să utilizați metoda intervalului generalizat, care este după cum urmează:

Definiți DL;
Transformați inegalitatea astfel încât să existe un zero în partea dreaptă (în partea stângă, dacă este posibil, reduceți la un numitor comun, factorizați etc.);
Găsiți toate rădăcinile numărătorului și numitorului și trasați-le pe axa numerelor, iar dacă inegalitatea nu este strictă, pictați peste rădăcinile numărătorului, dar în orice caz lăsați rădăcinile numitorului ca punctate;
Găsiți semnul întregii expresii pe fiecare dintre intervale prin înlocuirea unui număr dintr-un interval dat în inegalitatea transformată. În acest caz, nu mai este posibilă alternarea semnelor în niciun fel la trecerea prin puncte de pe axă. Este necesar să se determine semnul unei expresii pe fiecare interval prin înlocuirea valorii din interval în această expresie și așa mai departe pentru fiecare interval. Acest lucru nu mai este posibil (aceasta este, în mare, diferența dintre metoda intervalului generalizat și cea obișnuită);
Găsiți intersecția ODZ și intervalele care satisfac inegalitatea, dar nu pierdeți punctele individuale care satisfac inegalitatea (rădăcinile numărătorului în inegalități nestricte) și nu uitați să excludeți din răspuns toate rădăcinile numitor în toate inegalitățile.

Spate
Redirecţiona

Cum să te pregătești cu succes pentru CT în fizică și matematică?

Pentru a vă pregăti cu succes pentru CT în fizică și matematică, printre altele, este necesar să îndepliniți trei condiții cele mai importante:

Studiați toate subiectele și finalizați toate testele și sarcinile oferite în materialele educaționale de pe acest site. Pentru a face acest lucru, nu aveți nevoie de nimic, și anume: dedicați trei până la patru ore în fiecare zi pregătirii pentru CT la fizică și matematică, studierii teoriei și rezolvării problemelor. Cert este că CT este un examen în care nu este suficient doar să cunoști fizică sau matematică, trebuie și să poți să-l rezolvi rapid și fără eșecuri. număr mare sarcini pentru subiecte diferiteŞi de complexitate variată. Acesta din urmă poate fi învățat doar prin rezolvarea a mii de probleme.
Învață toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele din matematică. De fapt, acest lucru este și foarte simplu de făcut, există doar aproximativ 200 de formule necesare în fizică și chiar puțin mai puțin în matematică. Fiecare dintre aceste subiecte are aproximativ o duzină de metode standard de rezolvare a problemelor nivel de bază dificultăți care pot fi și învățate, și astfel rezolvate complet automat și fără dificultate momentul potrivit majoritatea CT. După aceasta, va trebui să te gândești doar la cele mai dificile sarcini.
Participați la toate cele trei etape ale testării de repetiții la fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a decide asupra ambelor opțiuni. Din nou, pe CT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient probleme și cunoașterea formulelor și metodelor, trebuie să fiți capabil să planificați corect timpul, să distribuiți forțele și, cel mai important, să completați corect formularul de răspuns, fără confuzând numărul de răspunsuri și probleme sau propriul nume de familie. De asemenea, în timpul RT, este important să te obișnuiești cu stilul de a pune întrebări în probleme, care poate părea foarte neobișnuit pentru o persoană nepregătită de la DT.

Implementarea cu succes, diligentă și responsabilă a acestor trei puncte vă va permite să vă prezentați pe CT rezultat excelent, maximul de care ești capabil.

Ați găsit o greșeală?

Dacă credeți că ați găsit o eroare în materiale educaționale, atunci vă rugăm să scrieți despre asta prin e-mail. De asemenea, puteți raporta o eroare către retea sociala(). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul subiectului sau testului, numărul problemei sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este eroarea suspectată. Scrisoarea dvs. nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie vi se va explica de ce nu este o eroare.

ÎN această lecție vom lua în considerare soluția inegalităților iraționale, vom da diverse exemple.

Tema: Ecuații și inegalități. Sisteme de ecuații și inegalități

Lecţie:Inegalități iraționale

Când se rezolvă inegalitățile iraționale, este destul de adesea necesar să se ridice ambele părți ale inegalității într-o anumită măsură, aceasta este o operație destul de responsabilă. Să ne amintim caracteristicile.

Ambele părți ale inegalității pot fi pătrate dacă ambele sunt nenegative, numai atunci obținem o inegalitate adevărată dintr-o inegalitate adevărată.

Ambele părți ale inegalității pot fi cudate în orice caz dacă inegalitatea inițială a fost adevărată, atunci când sunt cuburi, vom obține inegalitatea adevărată.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Expresia radicală trebuie să fie nenegativă. Funcția poate lua orice valoare, trebuie luate în considerare două cazuri.

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici este o expresie pozitivă ( rădăcină pătrată) este mai mare decât o expresie negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este întotdeauna satisfăcută.

Deci avem următoarea diagramă solutii:

În primul sistem, nu protejăm separat expresia radicală, deoarece atunci când a doua inegalitate a sistemului este satisfăcută, expresia radicală trebuie să fie automat pozitivă.

Exemplul 1 - rezolvarea inegalității:

Conform diagramei, trecem la un set echivalent de două sisteme de inegalități:

Să ilustrăm:

Orez. 1 - ilustrarea soluției la exemplul 1

După cum vedem, atunci când scăpăm de iraționalitate, de exemplu, la pătrat, obținem un set de sisteme. Uneori asta design complex poate fi simplificat. În mulțimea rezultată, avem dreptul de a simplifica primul sistem și de a obține o mulțime echivalentă:

Ca exercițiu independent este necesar să se dovedească echivalenţa acestor mulţimi.

Luați în considerare o inegalitate de forma:

Similar cu inegalitatea anterioară, luăm în considerare două cazuri:

În primul caz, ambele părți ale inegalității sunt nenegative, avem dreptul să o pătram. În al doilea caz, partea dreaptă este negativă și nu avem dreptul să o pătram. În acest caz, este necesar să ne uităm la sensul inegalității: aici expresia pozitivă (rădăcina pătrată) este mai mică decât expresia negativă, ceea ce înseamnă că inegalitatea este contradictorie. Nu este nevoie să luăm în considerare cel de-al doilea sistem.

Avem un sistem echivalent:

Uneori, inegalitățile iraționale pot fi rezolvate grafic. Această metodă aplicabil atunci când graficele corespunzătoare pot fi construite destul de ușor și pot fi găsite punctele lor de intersecție.

Exemplul 2 - rezolvați grafic inegalitățile:

Am rezolvat deja prima inegalitate și știm răspunsul.

Pentru a rezolva grafic inegalitățile, trebuie să construiți un grafic al funcției în partea stângă și un grafic al funcției în partea dreaptă.

Orez. 2. Grafice de funcţii şi

Pentru a reprezenta grafic o funcție, este necesar să transformați parabola într-o parabolă (oglindiți-o în raport cu axa y) și să mutați curba rezultată cu 7 unități la dreapta. Graficul confirmă că această funcție scade monoton în domeniul său de definire.

Graficul unei funcții este o linie dreaptă și este ușor de construit. Punctul de intersecție cu axa y este (0;-1).

Prima funcție scade monoton, a doua crește monoton. Dacă ecuația are o rădăcină, atunci este singura, este ușor de ghicit din grafic: .

Când valoarea argumentului este mai mică decât rădăcina, parabola este deasupra liniei drepte. Când valoarea argumentului este între trei și șapte, linia dreaptă trece deasupra parabolei.

Avem raspunsul:

Metodă eficientă Metoda intervalelor este utilizată pentru rezolvarea inegalităților iraționale.

Exemplul 3 - rezolvați inegalitățile folosind metoda intervalului:

Conform metodei intervalului, este necesar să se îndepărteze temporar de inegalitate. Pentru a face acest lucru, mutați totul în inegalitatea dată în partea stângă (obțineți zero în dreapta) și introduceți o funcție egală cu partea stângă:

Acum trebuie să studiem funcția rezultată.

ODZ:

Am rezolvat deja această ecuație grafic, așa că nu ne oprim pe determinarea rădăcinii.

Acum este necesar să selectați intervale de semn constant și să determinați semnul funcției pe fiecare interval:

Orez. 3. Intervale de constanță a semnului de exemplu 3

Să ne amintim că pentru a determina semnele pe un interval, este necesar să luăm un punct de probă și să îl înlocuim în funcție, semnul rezultat va fi reținut de funcție pe tot parcursul intervalului;

Să verificăm valoarea la punctul de limită:

Raspunsul este evident:

Luați în considerare următorul tip de inegalități:

Mai întâi, să scriem ODZ:

Rădăcinile există, sunt nenegative, putem pătra ambele laturi. Primim:

Avem un sistem echivalent:

Sistemul rezultat poate fi simplificat. Când a doua și a treia inegalități sunt satisfăcute, prima este adevărată automat. Avem::

Exemplul 4 - rezolvarea inegalității:

Acționăm conform schemei - obținem un sistem echivalent.

Orice inegalitate care include o funcție sub rădăcină este numită iraţional. Există două tipuri de astfel de inegalități:

În primul caz, rădăcina mai putina functie g (x), în al doilea - mai mult. Dacă g(x) - constant, inegalitatea este mult simplificată. Vă rugăm să rețineți: în exterior aceste inegalități sunt foarte asemănătoare, dar schemele lor de soluție sunt fundamental diferite.

Astăzi vom învăța cum să rezolvăm inegalitățile iraționale de primul tip - acestea sunt cele mai simple și mai ușor de înțeles. Semnul de inegalitate poate fi strict sau nestrict. Următoarea afirmație este adevărată pentru ei:

Teorema. Orice inegalitate irațională a formei

Echivalent cu sistemul de inegalități:

Nu slab? Să vedem de unde provine acest sistem:

f (x) ≤ g 2 (x) - totul este clar aici. Aceasta este inegalitatea originală la pătrat;
f (x) ≥ 0 este ODZ a rădăcinii. Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina pătrată aritmetică există numai din nenegativ numere;
g(x) ≥ 0 este intervalul rădăcinii. Punând la pătrat inegalitatea, ardem negativele. Ca rezultat, pot apărea rădăcini suplimentare. Inegalitatea g(x) ≥ 0 le întrerupe.

Mulți elevi „se blochează” de prima inegalitate a sistemului: f (x) ≤ g 2 (x) - și uită complet de celelalte două. Rezultatul este previzibil: decizie greșită, puncte pierdute.

Deoarece inegalitățile iraționale sunt un subiect destul de complex, să ne uităm la 4 exemple deodată. De la bază la cu adevărat complexă. Toate problemele sunt luate de la examenele de admitere la Universitatea de Stat din Moscova. M. V. Lomonosov.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

În fața noastră este un clasic inegalitatea irațională: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - constantă. Avem:

Dintre cele trei inegalități, doar două au rămas la finalul soluției. Deoarece inegalitatea 2 ≥ 0 este întotdeauna valabilă. Să traversăm inegalitățile rămase: