Exemple de ecuații exponențiale complexe de soluții. Ecuații online
Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.
Produsul unui număr o apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Putere sau ecuații exponențiale – acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
ÎN în acest exemplu numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos, iar variabila x grad sau indicator.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam decizia noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat identic dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să ne uităm la câteva exemple:
Să începem cu ceva simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.
x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Să ne imaginăm 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x – 12*3 x +27= 0
Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:
Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:
t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Revenind la variabilă x.
Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Prin urmare,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.
Pe site poti pune intrebari de interes in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă grupului
Prelegere: „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale.”
1 . Ecuații exponențiale.
Ecuațiile care conțin necunoscute în exponenți se numesc ecuații exponențiale. Cea mai simplă dintre ele este ecuația ax = b, unde a > 0, a ≠ 1.
1) La b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Pentru b > 0, folosind monotonitatea funcției și teorema rădăcinii, ecuația are o rădăcină unică. Pentru a-l găsi, b trebuie reprezentat sub forma b = aс, аx = bс ó x = c sau x = logab.
Ecuațiile exponențiale prin transformări algebrice duc la ecuații standard, care se rezolvă folosind următoarele metode:
1) metoda de reducere la o bază;
2) metoda de evaluare;
3) metoda grafica;
4) metoda de introducere a noilor variabile;
5) metoda factorizării;
6) indicativ - ecuații de putere;
7) demonstrativ cu un parametru.
2 . Metoda de reducere la o bază.
Metoda se bazează pe următoarea proprietate a gradelor: dacă două grade sunt egale și bazele lor sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali, adică trebuie să încercați să reduceți ecuația la forma
Exemple. Rezolvați ecuația:
1 . 3x = 81;
Să reprezentăm partea dreaptă a ecuației sub forma 81 = 34 și să scriem ecuația echivalentă cu originalul 3 x = 34; x = 4. Răspuns: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">și să trecem la ecuația pentru exponenții 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Răspuns: 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Rețineți că numerele 0,2, 0,04, √5 și 25 reprezintă puteri ale lui 5. Să profităm de acest lucru și să transformăm ecuația inițială după cum urmează:
, de unde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, din care găsim soluția x = -1. Raspuns: -1.
5. 3x = 5. Prin definiția logaritmului x = log35. Răspuns: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Să rescriem ecuația sub forma 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, adică..png" width="181" height="49 src="> Prin urmare x – 4 =0, x = 4. Răspuns: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Folosind proprietățile puterilor, scriem ecuația sub forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 apoi 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, adică x+1 = 2, x =1. Raspuns: 1.
Banca cu probleme nr. 1.
Rezolvați ecuația:
Testul nr. 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) fără rădăcini |
1) 7;1 2) fără rădăcini 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Testul nr. 2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) fără rădăcini 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metoda de evaluare.
Teorema rădăcinii: dacă funcția f(x) crește (descrește) pe intervalul I, numărul a este orice valoare luată de f pe acest interval, atunci ecuația f(x) = a are o singură rădăcină pe intervalul I.
La rezolvarea ecuațiilor folosind metoda de estimare se utilizează această teoremă și proprietățile de monotonitate ale funcției.
Exemple. Rezolvarea ecuațiilor: 1. 4x = 5 – x.
Soluţie. Să rescriem ecuația ca 4x +x = 5.
1. dacă x = 1, atunci 41+1 = 5, 5 = 5 este adevărat, ceea ce înseamnă că 1 este rădăcina ecuației.
Funcția f(x) = 4x – crește pe R, iar g(x) = x – crește pe R => h(x)= f(x)+g(x) crește pe R, ca suma funcțiilor crescătoare, atunci x = 1 este singura rădăcină a ecuației 4x = 5 – x. Raspuns: 1.
2.
Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma .
1. dacă x = -1, atunci , 3 = 3 este adevărat, ceea ce înseamnă că x = -1 este rădăcina ecuației.
2. dovedesc că el este singurul.
3. Funcția f(x) = - scade pe R, iar g(x) = - x – scade pe R=> h(x) = f(x)+g(x) – scade pe R, ca suma dintre functii in scadere. Aceasta înseamnă, conform teoremei rădăcinii, x = -1 este singura rădăcină a ecuației. Raspuns: -1.
Banca cu probleme nr. 2. Rezolvați ecuația
a) 4x + 1 =6 – x;
b)
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Metoda introducerii de noi variabile.
Metoda este descrisă în paragraful 2.1. Introducerea unei noi variabile (substituție) se realizează de obicei după transformări (simplificare) termenilor ecuației. Să ne uităm la exemple.
Exemple. R Rezolvați ecuația: 1. .
Să rescriem altfel ecuația: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45”>
Soluţie. Să rescriem altfel ecuația:
Să desemnăm https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nu este potrivit.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ecuație irațională. Observăm că
Soluția ecuației este x = 2,5 ≤ 4, ceea ce înseamnă că 2,5 este rădăcina ecuației. Răspuns: 2.5.
Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma și să împărțim ambele părți la 56x+6 ≠ 0. Obținem ecuația
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Rădăcinile ecuației pătratice sunt t1 = 1 și t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Soluţie . Să rescriem ecuația sub forma
și rețineți că este o ecuație omogenă de gradul doi.
Împărțim ecuația la 42x, obținem
Să înlocuim https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Răspuns: 0; 0,5.
Banca cu probleme nr. 3. Rezolvați ecuația
b)
G)
Testul nr. 3 cu o alegere de răspunsuri. Nivel minim.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) fără rădăcini 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) fără rădăcini 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Testul nr. 4 cu o alegere de răspunsuri. Nivel general.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) fără rădăcini |
5. Metoda factorizării.
1. Rezolvați ecuația: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Soluție..png" width="169" height="69"> , de unde
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Soluţie. Să punem 6x din paranteze în partea stângă a ecuației și 2x în partea dreaptă. Obținem ecuația 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Deoarece 2x >0 pentru tot x, putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2x fără teama de a pierde soluții. Obținem 3x = 1ó x = 0.
3.
Soluţie. Să rezolvăm ecuația folosind metoda factorizării.
Să selectăm pătratul binomului
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 este rădăcina ecuației.
Ecuația x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Testul nr. 6 Nivel general.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Exponențial – ecuații de putere.
Adiacente ecuațiilor exponențiale sunt așa-numitele ecuații de putere exponențială, adică ecuații de forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Dacă se știe că f(x)>0 și f(x) ≠ 1, atunci ecuația, ca și cea exponențială, se rezolvă prin echivalarea exponenților g(x) = f(x).
Dacă condiția nu exclude posibilitatea f(x)=0 și f(x)=1, atunci trebuie să luăm în considerare aceste cazuri atunci când rezolvăm o ecuație exponențială.
1..png" width="182" height="116 src=">
2.
Soluţie. x2 +2x-8 – are sens pentru orice x, deoarece este un polinom, ceea ce înseamnă că ecuația este echivalentă cu totalitatea
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
b)
7. Ecuații exponențiale cu parametri.
1. Pentru ce valori ale parametrului p are ecuația 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) singura solutie?
Soluţie. Să introducem înlocuirea 2x = t, t > 0, atunci ecuația (1) va lua forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Discriminantul ecuației (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Ecuația (1) are o soluție unică dacă ecuația (2) are o rădăcină pozitivă. Acest lucru este posibil în următoarele cazuri.
1. Dacă D = 0, adică p = 1, atunci ecuația (2) va lua forma t2 – 2t + 1 = 0, deci t = 1, prin urmare, ecuația (1) are o soluție unică x = 0.
2. Dacă p1, atunci 9(p – 1)2 > 0, atunci ecuația (2) are două rădăcini diferite t1 = p, t2 = 4p – 3. Condițiile problemei sunt îndeplinite de o mulțime de sisteme
Înlocuind t1 și t2 în sisteme, avem
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Soluţie. Lasă atunci ecuația (3) va lua forma t2 – 6t – a = 0. (4)
Să găsim valorile parametrului a pentru care cel puțin o rădăcină a ecuației (4) satisface condiția t > 0.
Să introducem funcția f(t) = t2 – 6t – a. Următoarele cazuri sunt posibile.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinom pătratic f(t);
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Cazul 2. Ecuația (4) are o soluție pozitivă unică dacă
D = 0, dacă a = – 9, atunci ecuația (4) va lua forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Cazul 3. Ecuația (4) are două rădăcini, dar una dintre ele nu satisface inegalitatea t > 0. Acest lucru este posibil dacă
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Astfel, pentru a 0, ecuația (4) are o singură rădăcină pozitivă . Atunci ecuația (3) are o soluție unică
Când a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
dacă a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
dacă a = – 9, atunci x = – 1;
dacă a 0, atunci
Să comparăm metodele de rezolvare a ecuațiilor (1) și (3). Rețineți că la rezolvarea ecuației (1) a fost redusă la ecuație pătratică, al cărui discriminant este un pătrat perfect; Astfel, rădăcinile ecuației (2) au fost imediat calculate folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, iar apoi s-au tras concluzii cu privire la aceste rădăcini. Ecuația (3) a fost redusă la o ecuație pătratică (4), al cărei discriminant nu este un pătrat perfect, prin urmare, la rezolvarea ecuației (3), este recomandabil să folosiți teoreme privind locația rădăcinilor unui trinom pătratic. și un model grafic. Rețineți că ecuația (4) poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta.
Să rezolvăm ecuații mai complexe.
Problema 3: Rezolvați ecuația
Soluţie. ODZ: x1, x2.
Să introducem un înlocuitor. Fie 2x = t, t > 0, apoi, ca urmare a transformărilor, ecuația va lua forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Să găsim valorile lui a pentru care cel puțin o rădăcină a lui ecuația (*) îndeplinește condiția t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Răspuns: dacă a > – 13, a 11, a 5, atunci dacă a – 13,
a = 11, a = 5, atunci nu există rădăcini.
Lista literaturii folosite.
1. Fundamentele Guzeev ale tehnologiei educaționale.
2. Tehnologia Guzeev: de la recepție la filozofie.
M. „Directorul școlii” nr.4, 1996
3. Guzeev și forme organizaționale de formare.
4. Guzeev și practica tehnologiei educaționale integrale.
M. „Educația publică”, 2001
5. Guzeev din formele unei lecții - seminar.
Matematica la scoala nr 2, 1987 p. 9 – 11.
6. Tehnologii educaționale Seleuko.
M. „Învăţământul public”, 1998
7. școlari Episheva să studieze matematica.
M. „Iluminismul”, 1990
8. Ivanova pregătește lecții - ateliere.
Matematica la scoala nr.6, 1990 p. 37 – 40.
9. Modelul lui Smirnov de predare a matematicii.
Matematica la scoala nr.1, 1997 p. 32 – 36.
10. Tarasenko moduri de organizare a lucrărilor practice.
Matematica la scoala nr.1, 1993 p. 27 – 28.
11. Despre unul dintre tipurile de muncă individuală.
Matematica la scoala nr 2, 1994, p. 63 – 64.
12. Khazankin creativitateşcolari.
Matematica la scoala nr.2, 1989 p. 10.
13. Scanavi. Editura, 1997
14. şi altele Algebra şi începuturile analizei. Materiale didactice pt
15. Sarcini Krivonogov în matematică.
M. „Primul septembrie”, 2002
16. Cerkasov. Manual pentru elevii de liceu și
intrarea la universitati. „A S T - școala de presă”, 2002
17. Zhevnyak pentru cei care intră în universități.
„Revista Minsk și Federația Rusă”, 1996
18. Scris D. Pregătirea pentru examenul de matematică. M. Rolf, 1999
19. etc.Învăţarea rezolvării ecuaţiilor şi inegalităţilor.
M. „Intelectul – Centru”, 2003
20. etc.Materiale educaţionale şi de instruire pentru pregătirea pentru EGE.
M. „Intelligence – Centru”, 2003 și 2004.
21 și altele. Centrul de testare al Ministerului Apărării al Federației Ruse, 2002, 2003.
22. Ecuații Goldberg. „Quantum” nr. 3, 1971
23. Volovich M. Cum se preda cu succes matematica.
Matematică, 1997 Nr. 3.
24 Okunev pentru lecție, copii! M. Educaţie, 1988
25. Yakimanskaya - învățarea orientată la școală.
26. Liimets lucreaza in clasa. M. Cunoașterea, 1975
Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuațiile de putere sau exponențiale sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri și baza este un număr. De exemplu:
Soluția ecuației exponențiale se reduce destul de mult la 2 actiuni simple:
1. Trebuie să verificați dacă bazele ecuației din dreapta și din stânga sunt aceleași. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivalăm gradele și rezolvăm noua ecuație rezultată.
Să presupunem că ni se dă o ecuație exponențială de următoarea formă:
Merită să începeți soluția acestei ecuații cu o analiză a bazei. Bazele sunt diferite - 2 și 4, dar pentru a le rezolva trebuie să fie aceleași, așa că transformăm 4 folosind următoarea formulă -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Adăugăm la ecuația inițială:
Să-l scoatem din paranteze \
Să exprimăm \
Deoarece gradele sunt aceleași, le renunțăm:
Raspuns: \
Unde pot rezolva o ecuație exponențială folosind un rezolvator online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.
Acesta este numele pentru ecuațiile de forma în care necunoscutul este atât în exponent, cât și în baza puterii.
Puteți specifica un algoritm complet clar pentru rezolvarea unei ecuații de formă. Pentru a face acest lucru, trebuie să acordați atenție faptului că atunci când Oh) Nu egal cu zero, unu și minus unu, egalitatea de grade cu aceleași baze (fie ea pozitivă sau negativă) este posibilă numai dacă exponenții sunt egali Adică, toate rădăcinile ecuației vor fi rădăcinile ecuației f(x) = g(x) Afirmația inversă nu este adevărată, când Oh)< 0 și valori fracționale f(x)Şi g(x) expresii Oh) f(x) Şi
Oh) g(x) își pierd sensul. Adică la trecerea de la la f(x) = g(x)(pot apărea rădăcini pentru și străine, care trebuie excluse prin verificarea cu ecuația originală. Și cazuri a = 0, a = 1, a = -1 trebuie luate în considerare separat.
Deci, pentru a rezolva complet ecuația, luăm în considerare cazurile:
a(x) = O f(x)Şi g(x) voinţă numere pozitive, atunci aceasta este soluția. Altfel, nu
a(x) = 1. Rădăcinile acestei ecuații sunt și rădăcinile ecuației originale.
a(x) = -1. Dacă, pentru o valoare a lui x care satisface această ecuație, f(x)Şi g(x) sunt numere întregi de aceeași paritate (fie ambele pare, fie ambele impare), atunci aceasta este soluția. Altfel, nu
Când și rezolvăm ecuația f(x)= g(x) iar prin substituirea rezultatelor obținute în ecuația originală tăiem rădăcinile străine.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor de putere exponențială.
Exemplul nr. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. deoarece 3 > 0 și 3 2 > 0, atunci x 1 = 3 este soluția.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Ambii indicatori sunt pari. Această soluție este x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 și x? ± 1. x = x 2, x = 0 sau x = 1. Pentru x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - această soluție este corectă: x 4 = 0. Pentru x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - această soluție este corectă x 5 = 1.
Răspuns: 0, 1, 2, 3, 4.
Exemplul nr. 2.
Prin definiția aritmeticii rădăcină pătrată: x - 1 ? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 sau x = 1, = 0, 0 0 nu este o soluție.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 nu se încadrează în ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nu există rădăcini.