§2. Probleme de divizare proporțională

(modulul Adaptive Adsense bloc la începutul articolului)

PROBLEME DE DIVIZIUNE PROPORȚIONALĂ

CLASA 4

Problemele de divizare proporțională își iau numele de la felul în care sunt rezolvate. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, este necesar să se întocmească o anumită proporție și să se calculeze modul în care cantitățile necesare se raportează între ele.

Să luăm în considerare rezolvarea problemei împărțirii proporționale folosind un exemplu:

Sarcină: Doi muncitori au câștigat 9.000 de ruble. Unul a lucrat 2 săptămâni, iar celălalt 8 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare persoană?

Soluţie: Pe baza condițiilor problemei, puteți afla cum este plătită o săptămână de astfel de muncă:

9000 ÷ (8 + 2) = 900 de ruble pe săptămână.

900 · 2 = 1800 ruble - un muncitor;

900 · 8 = 7200 de ruble - un alt muncitor.

Răspuns: 1800 și 7200.

Exemple de probleme de împărțire proporțională:

1) Doi muncitori au primit 8.000 de ruble. Cum își vor împărți câștigurile dacă unul a lucrat timp de 6 săptămâni, iar celălalt timp de 4 săptămâni?

2) 25 m de sârmă cântăresc 700 g Am luat două bobine de sârmă. O șaviță conține 30 m de sârmă, iar cealaltă mai are 15 m. Cât cântărește fiecare frișcă?

3) Pentru a pregăti vase cu humus de turbă, luați 2 părți de turbă la 7 părți de sol. Cât pământ trebuie să luați pentru 200 kg de turbă?

4) Două școli au comandat răsaduri de căpșuni în valoare de 960 de ruble. O școală a luat 3 cutii, iar cealaltă 5 cutii. Cât ar trebui să plătească fiecare școală pentru răsaduri de căpșuni?

5) Două camioane au transportat 77 de tone de marfă, făcând același număr de călătorii. Câte tone de marfă a transportat fiecare camion dacă un camion a transportat 3 tone pe călătorie, iar celălalt - 4 tone?

6) Doi muncitori au comandat 26 de meri de la pepiniera. Cum ar trebui să împartă pomii de meri dacă unul a dat 500 de ruble pentru cumpărare, iar celălalt 800 de ruble?

7) Câte grame de lipici de cauciuc se vor obține din 50 g de cauciuc dacă pentru a pregăti lipiciul luați 9 părți de benzină purificată la o parte de cauciuc?

8) Doi muncitori au câștigat 8.400 de ruble. Primul a lucrat 5 săptămâni, iar al doilea timp de 7 săptămâni. Câți bani a câștigat fiecare muncitor?

9) Două echipe au lucrat pentru aceeași perioadă de timp și împreună au câștigat 810 ruble. Cum ar trebui să împartă aceste câștiguri dacă sunt 4 oameni într-o echipă și 5 în cealaltă?

10) Clubul a cumpărat același număr de schiuri și patine. O pereche de patine costă 6 USD, iar o pereche de schiuri costă 9 USD. Cât costă separat patinele și schiurile dacă ai plătit 900 USD pentru întreaga achiziție?

11) Pentru a pregăti lipici lichid pentru lemn, luați 15 părți de adeziv pentru faianță și 17 părți de apă. Cât adeziv trebuie să folosiți pentru a face 640 g de adeziv lichid pentru lemn?

12) Pentru 118 ruble am cumpărat același număr de paltoane pentru băieți și fete. Câte dintre ambele au fost cumpărate dacă fiecare palton pentru băieți costa 31 de mărci, iar pentru fete 28 de mărci?

13) Ferma colectivă aducea tot atâtea lăzi cu mere și pere. Fiecare cutie de pere cântărea 50 kg, iar fiecare cutie de mere 40 kg. Toate fructele împreună cântăreau 810 kg. Câte kilograme din acestea și alte fructe au fost aduse separat?

14) În două bucăți 24 m pânză. O bucată costă 240 USD, iar cealaltă 480 USD. Câți metri de pânză sunt în fiecare bucată?

15) „Moskvich” consumă 9 litri de benzină la 100 km, „Volga” - 13 litri. Ambele mașini sunt furnizate cu 66 de litri de benzină la 300 km. Câți litri de benzină sunt furnizați fiecărei mașini?

(modulul Adaptive Adsense bloc la sfârșitul articolului)

1. Pentru a împărți un anumit număr proporțional cu numerele date (împărțiți într-un raport dat), trebuie să împărțiți acest număr la suma acestor numere și să înmulțiți rezultatul cu fiecare dintre ele.

2. Pentru a împărți un număr în părți invers proporționale cu numerele date, este suficient să împărțiți acest număr în părți direct proporționale cu numerele invers proporționale cu numerele date.

EXERCIȚII CU SOLUȚII

1. Împărțiți un segment de 15 cm lungime în raport cu Soluția. cm.

2. Împărțiți numărul 27 invers proporțional cu numerele 4 și 5.

Soluţie. reciprocele numerelor date sunt după cum urmează:

MATERIAL DIDACTIC

A. 1. Un segment de lungime a fost împărțit în patru părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5. Aflați lungimile acestor părți.

2. Laturile unui triunghi al cărui perimetru este proporțional cu numerele 5, 7 și 8. Aflați laturile triunghiului.

3. Împărțiți numărul 196 în părți proporționale cu numerele:

4. Împărțiți numărul 434 în părți invers proporționale cu numerele: a) 15 și 16; b) 2, 3 și 5.

B. 1. Suprafețele câmpurilor semănate cu secară, grâu și orz sunt proporționale cu cifrele 9, 5 și 3. Câte hectare se seamănă cu secară și câte cu orz, dacă se știe că se seamănă cu grâu.

Trăsăturile caracteristice ale acestui tip de sarcină:

1) B școală primară problemele care implică împărțirea proporțională se rezolvă numai cu directă dependență proporțională cantități

2) La clasele elementare, problemele care implică împărțirea proporțională se rezolvă numai prin aflarea valorii unei mărimi constante.

Preparare:

1) Lucrați la cantități.

2) Relația dintre cantități.

3) Observarea relaţiei dintre cantităţi.

4) Bună stăpânire a metodelor de rezolvare a problemelor de găsire a proporționalei a patra.

Introducere: Primele probleme de împărțire proporțională sunt ilustrate sau dramatizate. Trecerea la familiarizare se poate face din sarcinile de găsire a proporționalei a patra.

Tip de sarcină	Prin împărțire proporțională
Stare	La magazin au fost aduse 6 cutii cu cartofi si 4 cutii similare cu sfecla. În total, în magazin au fost aduse 120 kg de legume. Câte kilograme de cartofi și câte kilograme de sfeclă ai adus la magazin?
Scurtă descriere a stării	120 kg
Analiza problemei	Metoda analitică de analiză(de la întrebare la date): 1) Ce se știe în problemă?
2) Ce trebuie să știți în problemă?	3) Putem răspunde imediat câte kilograme de cartofi au fost aduse la magazin? (Nu.) 4) Ce trebuie să știi pentru asta? (Masa unei cutii și numărul de cutii.) 5) Numărul de cutii este cunoscut, dar cum puteți găsi masa unei cutii? (Împărțiți masa totală la numărul total de cutii.) 6) Cum găsim numărul total de cutii? (Adăugați 4 la 6.) 7) După ce am aflat masa unei cutii, cum găsim masa tuturor cartofilor? (Înmulțiți masa unei cutii cu numărul de cutii cu cartofi.) 8) Cum să aflați masa tuturor sfeclelor? (Înmulțiți masa unei cutii cu numărul de cutii cu sfeclă.) 9) Cum puteți afla masa tuturor sfeclelor într-un alt mod? (Scădeți masa de cartofi din masa totală.)Înregistrarea deciziei
Înregistrarea deciziei privind acțiunile cu explicație: 1) 6 + 4 = 10 (cutie) - au adus totul. 2) 120: 10 = 12 (kg) – masa unei cutii. 3) 12 ∙ 6 = 72 (kg) – au adus cartofi. 4) 12 ∙ 4 = 48 (kg) – au adus sfeclă. Raspuns: 72 kg si 48 kg. Consolidare: sarcini pentru alcătuirea sarcinilor de acest tip cu accent pe situatie de viata . Când realizați o ilustrare a subiectului, trebuie să le arătați copiilor că fratele a cumpărat același număr de caiete ca și sora lui și încă 3 caiete și a plătit aceeași sumă de bani ca și sora lui și încă 6 ruble. Din aceasta putem concluziona că 3 caiete costă 6 ruble, ceea ce înseamnă că poți afla cât costă 1 caiete. Astfel de exerciții ar trebui incluse cu diferite grupuri de cantități proporționale. Metodologia pentru
Tip de sarcină	familiarizarea
cu probleme de găsire a necunoscutelor folosind două diferențe, metoda de introducere a problemelor de împărțire proporțională este similară.	Găsirea necunoscutelor folosind două diferențe
Scurtă descriere a stării	Stare
Analiza problemei	Au fost aduse la magazin 6 cutii de cartofi si 4 din aceleasi cutii de sfecla si au adus cu 24 kg mai multi cartofi decat sfecla. Câte kilograme de cartofi și câte kilograme de sfeclă ai adus la magazin? 24 kg mai mult.
2) Ce trebuie să știți în problemă?	Din această înregistrare vizuală se vede clar că 24 kg de cartofi sunt în 2 cutii. Metoda de analiză sintetică

(de la date la întrebare): 1) Ce se știe în problemă? 2) Ce trebuie să știți în problemă?

3) De ce erau cu 24 kg de cartofi în plus în magazin? (Pentru că erau mai multe cutii cu cartofi.) 4) Câte cutii mai multe? (La 2.) 5) Ce concluzie se poate trage din aceasta? (Cele 24 kg de cartofi sunt în 2 cutii.) 6) Știind acest lucru, cum să găsiți masa unei cutii de cartofi? (Trebuie să împărțiți 24 kg la 2.) 7) Cum să găsiți acum masa de cartofi și masa de sfeclă? (Masa unei cutii înmulțită cu numărul de cutii.)Înregistrarea unei soluții cu întrebări preliminare:

1) Câte cutii cu cartofi au mai fost aduse decât sfecla? 6 – 4 = 2 (cutii) 2) Care este masa unei cutii de legume? 24: 2 = 12 (kg) 3) Câte kilograme de cartofi au fost aduse la magazin?

12 ∙ 6 = 72 (kg) 4) Câte kilograme de cartofi au fost aduse la magazin?

12 ∙ 4 = 48 (kg) Răspuns: 72 kg de cartofi și 48 kg de sfeclă.

Verificarea solutiei se realizează prin stabilirea unei corespondențe între numerele obținute în răspuns și datele din condițiile de sarcină: aflăm dacă într-adevăr au adus cu 24 kg mai mulți cartofi decât sfecla: 72 – 48 = 24; Aceasta înseamnă că putem presupune că problema a fost rezolvată corect.

Pentru a consolida abilitățile de rezolvare a problemelor munca de rezolvare a problemelor legate de mișcare presupune generalizarea ideilor copiilor despre mișcare, familiarizarea cu o nouă mărime - viteza, dezvăluirea legăturilor dintre cantități: viteză, timp, distanță.

Pentru a generaliza ideile copiilor despre mișcare, este util să efectuați o excursie specială pentru a observa mișcarea transportului și apoi să efectuați o observație într-o clasă în care copiii înșiși vor demonstra mișcarea. În excursii și în timpul lucrului la clasă, observați mișcarea unui corp și a două corpuri unul față de celălalt. Deci, un singur corp (tramvai, mașină, persoană etc.) se poate deplasa mai repede sau mai încet, se poate opri, se poate deplasa în linie dreaptă sau în curbă. Două corpuri se pot mișca în aceeași direcție sau se pot deplasa în direcții opuse: fie apropiindu-se unul de celălalt (deplasându-se unul spre celălalt), fie îndepărtându-se unul de celălalt. Când observați aceste situații într-un cadru de clasă, trebuie să le arătați copiilor cum sunt realizate desenele: distanța este de obicei notă printr-un segment; locul (punctul) de plecare, întâlnire, sosire etc. notat fie printr-un punct pe un segment și litera corespunzătoare, fie cu o liniuță, fie cu un steag; Direcția de mișcare este indicată de o săgeată. De exemplu, contra-mișcarea a două corpuri este reprezentată după cum urmează:

O├────────┼────────┤ ÎN

Aici segmentul denotă distanța pe care trebuie să o parcurgă corpurile înainte de a se întâlni, steagul - locul de întâlnire, punctele OŞi ÎN– puncte de ieșire pentru corpuri, săgeți – direcția de mișcare. De asemenea, este util să efectuați exerciții inverse: conform unui desen dat, efectuați mișcarea corespunzătoare.

La familiarizarea Cu viteză, este indicat să organizați munca astfel încât elevii să-și găsească viteza de deplasare pe jos. Pentru a face acest lucru, puteți desena o „cale închisă” în curte, sală de sport sau hol. Distanțele de 10 m ar trebui marcate pe potecă pentru a fi mai ușor de găsit pe ce drum a parcurs fiecare elev. Profesorul le cere copiilor să meargă pe potecă, de exemplu, timp de 4 minute. Elevii înșiși pot găsi cu ușurință distanța parcursă folosind marcajele de zece metri. În timpul lecției, fiecare copil poate calcula cât de departe parcurge în 1 minut. Profesorul raportează că distanța pe care elevul a parcurs-o într-un minut se numește viteza lui. Elevii își numesc vitezele. Apoi profesorul numește vitezele unor tipuri de transport. Elevii pot înregistra aceste date în cărțile lor de referință și le pot folosi mai târziu atunci când compun probleme.

Dezvăluirea legăturilor dintre cantități: viteză – timp – distanță se realizează folosind aceeași metodologie ca și dezvăluirea conexiunilor dintre alte mărimi proporționale. Ca urmare a deciziei persoanei relevante sarcini simple elevii trebuie să învețe următoarele legături: dacă se cunosc distanța și timpul de mișcare, atunci viteza poate fi găsită prin împărțire; dacă se cunosc viteza și timpul de mișcare, atunci distanța poate fi găsită prin înmulțire; Dacă distanța și viteza sunt cunoscute, atunci timpul de mișcare poate fi găsit prin împărțire.

Mai mult, pe baza acestor cunoștințe, copiii vor rezolva probleme compuse, inclusiv probleme de găsire a celei de-a patra diviziuni proporționale, proporționale și găsirea de necunoscute în două diferențe cu mărimi: viteza, timpul, distanța. Când lucrați la aceste sarcini, ar trebui să utilizați mai des ilustrații sub formă de desen, deoarece desenul vă ajută să vă imaginați corect situația de viață reflectată în problemă.

La fel ca atunci când rezolvați alte tipuri de probleme, ar trebui să includeți exerciții creative pentru transformarea și compunerea problemelor.

Concomitent cu rezolvarea problemelor de tipul de mai sus, în clasa a IV-a se introduc probleme privind mișcarea în sens invers și mișcarea în direcții opuse. Fiecare dintre aceste sarcini are trei tipuri, în funcție de date și de ceea ce se caută:

Tipul I – se da viteza fiecarui corp si timpul de miscare, se da distanta ceruta;

Tipul II – sunt date viteza fiecărui corp și distanța, timpul necesar este timpul de mișcare;

Tipul III - sunt date distanța, timpul de mișcare și viteza unuia dintre corpuri, necesară este viteza celuilalt corp.

În acest scop pregătire Înainte de a introduce sarcini pentru traficul din sens opus, este foarte important să vă formați ideile corecte despre miscare simultana două corpuri: copiii ar trebui să înțeleagă clar că, dacă două corpuri pleacă simultan unul spre celălalt, atunci înainte de a se întâlni vor fi pe drum în aceeași perioadă de timp și ambele vor parcurge întreaga distanță dintre punctele din care au plecat. Pentru ca copiii să realizeze acest lucru, ar trebui să includeți sarcini cu întrebări similare cu următoarele:

1) Din două orașe, două nave au navigat una spre cealaltă în același timp și s-au întâlnit după 3 ore Cât timp a fost fiecare navă pe drum înainte de a se întâlni?

2) Un pieton a părăsit satul spre oraș și în acel moment a ieșit din oraș spre el un biciclist, care l-a întâlnit pe pieton 40 de minute mai târziu. Cât timp a călătorit pietonul înainte de întâlnire?

Acum poți introduce copii cu rezolvarea problemelor la traficul din sens opus și este indicat să introduceți toate cele trei tipuri într-o singură lecție, obținând noi probleme prin transformarea acesteia în unele inverse. Această tehnică permite copiilor să găsească singuri o soluție, deoarece se va obține un nou tip de problemă dintr-o problemă deja rezolvată de copii. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu concret.

Profesorul citește problema: „Doi bicicliști au părăsit două sate în același timp unul spre celălalt și s-au întâlnit 2 ore mai târziu Unul mergea cu o viteză de 15 km pe oră, iar al doilea cu o viteză de 18 km pe oră. Găsiți distanța dintre sate.”

Ce se știe despre mișcarea bicicliștilor? Ce trebuie să știi? Să fie acesta satul din care a plecat primul biciclist. (Profesorul introduce un cartonaș cu cifra romană „I” în pânza de tipărire). Și acesta este satul din care a plecat al doilea biciclist. (Introduce un card.) Doi dintre voi veți fi bicicliști. (Doi elevi ies.) Cât de repede mergea primul? (15 km pe oră.) Aceasta este viteza ta. (Oferă un card cu numărul 15 scris pe el.) Aceasta este viteza ta. (Îi dă celui de-al doilea student un card.) Cât timp îi va dura să se mute înainte să se întâlnească? (2 ore) Începeți să vă mișcați. A trecut o oră. (Copiii își introduc cartonașele în foaia de tipărire în același timp.) A trecut a doua oră. (Copiii introduc carduri.) S-au întâlnit bicicliștii? (Da.) De ce? (Am mers 2 ore până la întâlnire.) Voi marca locul de întâlnire cu un steag. (Inserează un steag.) Ce trebuie să știi? (Toată distanța.) Voi indica semnul întrebării. Rezultatul este o ilustrare:

eu

?

II

După această analiză, elevii înșiși găsesc două soluții. Soluțiile trebuie scrise cu explicații mai întâi în pași individuali, iar mai târziu se poate scrie o expresie sau o ecuație.

Prima cale:

1) 35 ∙ 2 = 30 (km) – primul biciclist a condus;

2) 18 ∙ 2 = 36 (km) – a condus al doilea biciclist;

3) 30 + 36 = 66 (km) – distanța dintre sate.

A doua cale:

1) 15 + 18 = 33 (km) – bicicliștii s-au apropiat unul de altul pe oră;

2) 33 ∙ 2 = 66 (km) – distanța dintre sate.

Dacă copiilor le este greu să rezolve în al doilea mod, trebuie să ilustrați din nou mișcarea: a trecut o oră - s-au apropiat de 33 km, încă o oră - s-au apropiat de 33 km, adică. bicicliștii au mers de 2 ori timp de 33 km.

Profesorul este pe tablă, iar copiii fac un desen pentru problema rezolvată în caiete:

15 km/h 2h 18km/h

eu ├────────┼────────┤ II

Se pare care dintre bicicliști a trecut înaintea întâlnirii distanta mai mare si de ce.

Profesorul schimbă starea problemei folosind același desen:

15 km/h? h 18 km/h

eu ├────────┼────────┤ II

Copiii compun o problemă conform acestui desen, apoi problema este analizată colectiv, după care se notează soluția cu explicații:

1) 15+18=33 (km) – bicicliștii s-au apropiat unul de altul la oră;

2) 66:33=2 (h) – timpul de mișcare până la întâlnire.

Condiția problemei se schimbă din nou:

km/h 2 h 18 km/h

eu ├────────┼────────┤ II

Elevii creează o problemă, după care explorează împreună două soluții:

Prima cale:

1) 18 ∙ 2 = 36 (km) – al doilea biciclist a condus la întâlnire;

2) 66 – 36 = 30 (km) – primul biciclist a condus la întâlnire;

3) 30: 2 = 15 (km/h) – viteza primului biciclist.

Răspuns: 15 km pe oră.

A doua cale:

1) 66: 2 = 33 (km) – bicicliștii s-au apropiat unul de altul pe oră;

2) 33 – 18 = 15 (km/h) – viteza primului biciclist.

Răspuns: 15 km pe oră.

În lecțiile ulterioare, se lucrează la consolidare capacitatea de a rezolva probleme de tipurile luate în considerare. În acest scop, sunt incluse sarcini gata făcute pentru traficul din sens opus, în timp ce elevii înșiși finalizează desenul, aflând dinainte în ce punct se va desfășura întâlnirea mai aproape. Ca și în cazul altor sarcini, ar trebui să efectuați diverse exerciții creative.

Lucrările la sarcini care implică mișcare în direcții opuse se desfășoară într-un mod similar.

Subiectul lecției: Împărțirea proporțională

Există foarte puține probleme de „diviziune proporțională” oferite în cursul de matematică din școală. Totuși, ele pot fi găsite în carnetele de examen pentru clasa a 9-a. L.I Zvavich și alții Aceste sarcini sunt oferite la examenele de admitere la universități pentru specialități legate de economie, chimie, industria ușoară și economia națională.
Sarcinile propuse pot fi folosite la opțiunile în scoli medii, să le includă în programa gimnaziilor și liceelor ​​aferente studiului aprofundat al matematicii, începând cu clasa a VI-a, pt. munca individuala cu elevi puternici.

Un elev de clasa a VI-a poate rezolva aceste probleme.

Necesitatea de a împărți o anumită cantitate sau un număr într-un anumit raport apare adesea în viața practică a unei persoane - atunci când gătești diverse amestecuri, solutii, preparate conform retete culinare, la distribuirea profiturilor sau a locurilor în parlament și așa mai departe.

De exemplu, dacă doi antreprenori au investit 3 milioane de ruble și, respectiv, 4 milioane de ruble într-un proiect și au primit 14 milioane de ruble în profit, atunci justiția cere ca profitul primit să fie împărțit proporţional numerele 3 și 4. Însuși cuvântul „proporțional” provine din latinescul „armonios”, „în proporție”.
De unde știi câți bani ar trebui să primească fiecare antreprenor? Să notăm părțile pe care ar trebui să le primească ca a și, respectiv, b. Atunci a: b = 3: 4.
Să schimbăm termenii de mijloc în proporție și să notăm coeficientul de proporționalitate k. Obținem egalitatea:

Din care rezultă că a = 3k, b = 4k. Deoarece suma celor două părți este de 14 milioane de ruble, valoarea lui k trebuie să satisfacă egalitatea
3k + 4k =14<=>7k = 14<=>k = 2.
Aceasta înseamnă că, cu o împărțire corectă, primul antreprenor ar trebui să primească 2 3 = 6 milioane de ruble, iar al doilea - 2 4 = 8 milioane de ruble.

Să luăm în considerare încă o problemă.

Pentru gătit mortar Pentru 2 părți de ciment luați 2 părți nisip și 0,8 părți apă. Cât ciment, nisip și apă vor fi necesare pentru a pregăti 180 kg de mortar?

Soluţie:

1) Să fie necesar un kg de ciment pentru a pregăti un mortar,bkg de nisip și kg de apă. Să notăm coeficientul de proporționalitatek, Atunci

Prin urmare, a = 2k, b = 2 k, c = 0,8 k.
În funcție de condițiile problemei, suma tuturor părților este egală cu 180 kg, ceea ce înseamnă:
2 k + 2 k + 0,8 k = 180 <=>4,8 k = 180 <=> k = 37,5.
2) 37,5 2 = 75 (kg) - va fi necesar nisip și ciment.
3) 37,5 0,8 = 30 (kg) - va fi necesară apă.
Răspuns: Veți avea nevoie de 75 kg de ciment, 75 kg de nisip și 30 kg de apă.

Pentru denumire scurtă condiţiile problemelor privind împărţirea direct proporţională în limbaj matematic„relații pe termen lung” sunt uneori folosite. De exemplu, a: b: c = 2: 2: 0,8.
În același timp, ei spun: „Numerele a, b și c sunt legate de la 2 la 3 la 0,8.”
Rapoartele lungi sunt înregistrări condiționate care arată câte părți egale ale unei valori cad pe fiecare parte. Ele nu pot fi înțelese ca înregistrând împărțirea mai multor numere. Într-adevăr, înlocuind numerele corespunzătoare în ultima egalitate în loc de litere, obținem afirmația corectă 75: 75: 30 = 2: 2: 0,8; În timp ce atunci când numărați direct părțile stânga și dreapta, se obține numere diferite
: pe partea stângă, iar pe partea dreaptă – 1,25. Dar relațiile lungi pot fi transformate, de exemplu fracții obișnuite
: înmulțiți toți termenii săi cu același număr, reduceți. Aceste transformări fac posibilă simplificarea înregistrării și, prin urmare, rezolvarea problemelor. Deci, dacă în problema noastră am înmulți mai întâi toți termenii raportului cu 10 și apoi i-am împărți cu 4, am scăpa de fracții: 2: 2: 0,8 = 20: 20: 8 = 5: 5: 2 și am obține ecuație mai simplă. Prin rezolvarea problemelor de împărțire proporțională, observăm din nou modul în care conceptele matematice abstracte - înîn acest caz, drept şi proporţionalitate inversă

– ajută la răspunsul la întrebări practice serioase.

Mai propun câteva sarcini pe această temă.

Trei muncitori au primit 4.080 de ruble. Sumele primite de primul și de al doilea lucrător sunt tratate ca . Suma primită de al treilea lucrător este aceea. Ce a primit primul muncitor? Câți bani a primit fiecare muncitor?

Soluţie:

Răspuns: primul muncitor a primit 2448 de ruble; Al doilea muncitor a primit 571,2 ruble, iar al treilea muncitor a primit 1060,8 ruble.

Sarcina 2.

Trei ateliere au cusut 16.800 de perechi de pantofi. Numărul de perechi de pantofi cusute la primul și al doilea atelier este același, iar al treilea atelier a cusut 75% din ceea ce a cusut primul atelier. Până la ce procent primul atelier a îndeplinit planul, dacă planul pentru fiecare atelier era de 4000 de perechi de pantofi?

Soluţie:

Răspuns: primul atelier a îndeplinit planul în proporție de 180%.

Sarcina 3.

Au adus sfeclă, morcovi și varză la cort. Cantitatea de sfeclă și morcovi este egală cu raportul, iar greutatea verzei este de 250% din greutatea morcovului. Era cu 80 kg mai multă varză decât sfecla. Câte kilograme din fiecare legumă ai adus la cort?

Soluţie:

Răspuns: la cort au fost aduse 120 kg de sfeclă; 80 kg de morcovi și 200 kg de varză.

Sarcina 4.

Magazinul a vândut o anumită cantitate de țesătură în 4 zile. Cantitatea de țesătură vândută în primele trei zile a fost de 0,9: 1,4: 1,3. În a patra zi, s-au vândut 420 m de țesătură, ceea ce a reprezentat 28% din toate țesăturile vândute de magazin în patru zile. Câtă țesătură s-a vândut în fiecare zi?

Soluţie:

1. n1: n2: n3= 0,9: 1,4: 1,3 = 9: 14: 13
2. 28% este 420 m: 420: 0,28 = 1500 (m) - materialul a fost vândut în patru zile.
3. 1500 – 420 = 1080 (m) – țesăturile au fost vândute în primele trei zile.
4. 9 + 14 + 13 = 36 (h.) – reprezintă 1080 m de țesătură.
5. 1080: 36 = 30 (m) – material pe parte.
6. 30 9 = 270 (m) - materialul a fost vândut în prima zi.
7. 30 14 = 520 (m) - materialul a fost vândut în a doua zi.
8. 30 13 = 390 (m) - țesătura a fost vândută în a treia zi.

Raspuns: magazinul a vandut in prima zi 270 m de stofa; 520 m de țesătură în a doua zi; 390 m de țesătură în a treia zi și 420 m în a patra zi.

Sarcina 5.

Trei clase au colectat fier vechi. Cantitatea de fier vechi colectat de prima și a doua clasă este de 4,5:3 Cantitatea de fier vechi colectat de clasa a treia este de 40% din ceea ce a colectat prima clasă. Cât fier vechi a colectat fiecare clasă dacă clasa a doua a colectat cu 0,8 tone mai mult fier vechi decât clasa a treia?

Soluţie:

1. n1: n2 = 4,5: 3 = 45: 30 = 3: 2.
2. 40% din 3: 3 0,4 = 1,2 (ore) – se încadrează în clasa a treia
3. n1: n2: n3= 3: 2: 1,2 = 30: 20: 12 =15: 10: 6.
4. 10 – 6 = 4 (ore) – reprezintă 0,8 tone de fier vechi.
5. 0,8: 4 15 = 3 (t) – a colectat prima clasă.
6. 0,8: 4 10 = 2 (t) – colectat de clasa a doua.
7. 0,8: 4 6 = 1,2 (t) – colectat de clasa a treia.

Răspuns: clasa I a colectat 3 tone de fier vechi, clasa a doua a colectat
2 tone de fier vechi, clasa a treia a colectat 1,2 tone de fier vechi.

Sarcina 6.

Trei brigăzi au început simultan să arate pământul. Rata de arătură a primei brigăzi cu cea de-a doua este legată de 0,5 la 0,4, iar rata de arătură a celei de-a doua brigăzi la a treia este legată de 2 la 1,8; dar prima și a treia brigadă au crescut ratele de arat cu 10%, iar a doua brigadă - cu 20%. Astfel, în același timp, prima brigadă a arat cu 15,4 hectare mai mult decât a treia brigadă. Câte hectare de pământ arăse fiecare echipă până atunci?

Soluţie:

1. n1: n2 = 0,5: 0,4 = 5: 4.
2. n2: n3 = 2: 1,8 = 20 = 18 = 10: 9
3. hai sa ne exprimamn1 : n2 : n3 în cote egalen1 : n2 : n3 =25: 20: 18
4. 10% din 25: 25 0,1 = 2,5; 25 + 2,5 = 27,5 (h) este norma primei echipe după creștere.
5. 20% din 20: 20 0,2 = 4 ; 20 + 4 = 24 (h) – aceasta este norma pentru echipa a doua după creștere.
6. 10% din 18: 18 0,1 = 1,8; 18 + 1,8 = 19,8 (h) este norma celei de-a treia echipe după creștere.
7. n1 : n2 : n3 =27,5: 24: 19,8 = 275: 240: 198
8. 275 – 198 – 77 (h) – se încadrează pe 14,4 hectare de teren
9. 15,4: 77 = 0,2 (ha) – pe parte.
10. 0,2 275 = 55 (ha) - prima echipă ară.
11. 0,2 240 = 48 (ha) - a doua echipă ară.
12. 0,2 198 = 39,6 (ha) - a treia echipă ară.

Răspuns: 55 de hectare de teren au fost arate de prima brigadă, 48 de hectare de teren au fost arate de brigada a doua, 39,6 hectare de teren au fost arate de brigada a treia.

Vă ofer mai multe sarcini pe care să le rezolvați pe cont propriu.

Mai propun câteva sarcini pe această temă.

Ferma colectivă a turnat cartofi în trei depozite într-un raport de 1,3 la 2,5 la 1,2, iar în al doilea depozit au fost turnați cu 43,2 tone mai mulți cartofi decât în ​​primul depozit. În decurs de o lună, 40% din cartofii disponibili acolo au fost scoși din primul depozit, 30% din al doilea și 25% din cartofii disponibili din al treilea. Câți cartofi s-au luat din cele trei depozite?
Răspuns: au fost exportate doar 56,62 tone de cartofi.

Sarcina 2.

Magazinul a vândut făină timp de patru zile. Cantitatea de făină vândută în primele trei zile este de la 1,8 la 2,8 la 2,6. În a patra zi, s-au vândut 840 de kilograme de făină, adică 56% din toată făina vândută în patru zile. Câtă făină s-a vândut în fiecare zi?

Sarcina 3.

Ferma colectivă a turnat cereale în trei depozite. Primul depozit conținea 40% din toate cerealele depozitate în trei depozite. Cantitatea de cereale turnată în al doilea și al treilea depozit este de 16 până la 21. Câte cereale a fost în primul depozit dacă al treilea depozit avea cu 450 de chintale mai mult decât al doilea.
Răspuns: 2220 de chintale de cereale au fost turnate în primul depozit.

Sarcina 4.

Trei ateliere au produs 6.500 de piese. Numărul de piese fabricate de primul și al doilea atelier este de la 0,1875 la 0,25. Numărul de piese fabricate de al treilea atelier este cu 50% mai mare decât numărul de piese fabricate de al doilea atelier.

Sarcina 5.

Echipa a făcut o drumeție de la punctul A la punctul B. Scolarii au mers cu bicicletele în prima parte a călătoriei, au mers pe jos în a doua parte a călătoriei și au navigat restul de 30 de kilometri cu barca. Știind că lungimile acestor părți ale căii sunt legate de 1,625 la 1,3 la 3,25, determinați lungimea întregului traseu.
Răspuns: lungimea întregului traseu este de 57 de kilometri.

Sarcina 6.

Dintre cele patru numere, primele trei sunt legate între ele ca, iar al patrulea este 40% din primul număr. Aflați suma tuturor celor patru numere dacă este primul mai mult decât suma restul cu 40.

Să continuăm să rezolvăm problemele.

Sarcina 7.

Aflați suma a trei numere, știind că primul număr este 100 și primul număr este legat de al doilea ca; iar de la al doilea la al treilea, ca de la 12 la 7.

Soluţie:

Răspuns: suma a trei numere este 385.

Sarcina 8.
Aflați suma a trei numere, știind că primul număr este legat de al treilea, ca; al doilea număr este la al treilea ca de la 5 la 2, iar suma primelor două numere este 500.

Soluţie:

Răspuns: suma a trei numere este 650.

Sarcina 9.

Găsiți fiecare dintre cele trei numere dacă primul număr este legat de al doilea ca 0,6: 0,75, iar al doilea cu al treilea ca 1: 0,9. Suma primului și al treilea număr este cu 105 mai mult decât al doilea număr.

Soluţie:

1. n1 : n3 = 0,6: 0,75 = 60: 75 = 4: 5
2. n2 : n3 = 1: 0,9 = 10: 9.
3. hai sa ne exprimamn1 : n2 : n3 în cote egalen1 : n2 : n3 = 8: 10: 9.
4. (8 + 9) – 10 = 7 (h) – cade pe 105.
5. 105: 7 8 = 120 este primul număr.
6. 105: 7 10 – 150 – al doilea număr.
7. 105: 7 9 = 135 este al treilea număr.

Raspuns: 120; 150; 135.

Problema 10.

Dintre cele patru numere date, primele trei sunt legate ca, iar al patrulea este 15% din al doilea număr. Găsiți aceste numere dacă se știe că al doilea număr este mai mare decât suma celorlalte cu 8.

Soluţie:

Raspuns: 48; 80; 12; 12.

Problema 11.

Problema 12.

Trei ferme colective au construit o brutărie. Sumele contribuite de fermele colective la construcții sunt tratate ca . Câți bani a contribuit fiecare fermă colectivă, dacă materialele de construcție au costat 1620 de milioane de ruble, costurile cu forța de muncă sunt din costul materialului cheltuit pe echipamentcostul materialului și al forței de muncă combinate?

Soluţie:

Răspuns: pentru materiale – 2700 de milioane de ruble; pentru muncă – 3600 milioane de ruble; pentru echipamente - 4.500 de milioane de ruble.