Suprafața laterală a diferitelor piramide. Suprafața laterală a piramidei

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu un paralelogram la bază. Sunt formule gata preparate pentru a calcula suprafața laterală și totală a unei figuri, pentru care sunt necesare doar lungimile de trei dimensiuni ale paralelipipedului.

Cum să găsiți suprafața laterală a unui paralelipiped dreptunghiular

Este necesar să se facă distincția între un paralelipiped dreptunghiular și unul drept. Baza unei figuri drepte poate fi orice paralelogram. Aria unei astfel de cifre trebuie calculată folosind alte formule.

Suma S a fețelor laterale ale unui paralelipiped dreptunghiular se calculează folosind formula simplă P*h, unde P este perimetrul și h este înălțimea. Figura arată că laturile opuse ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale, iar înălțimea h coincide cu lungimea marginilor perpendiculare pe bază.

Suprafața unui cuboid

Suprafața totală a figurii este formată din lateral și suprafața a 2 baze. Cum să găsiți aria unui paralelipiped dreptunghiular:

Unde a, b și c sunt dimensiunile corpului geometric.
Formulele descrise sunt ușor de înțeles și utile în rezolvarea multor probleme de geometrie. Un exemplu de sarcină tipică este prezentat în imaginea următoare.

Când se rezolvă probleme de acest fel, trebuie amintit că baza unei prisme patrulatere este aleasă în mod arbitrar. Dacă luăm ca bază fața cu dimensiunile x și 3, atunci valorile lui Sside vor fi diferite, iar Stotal va rămâne 94 cm2.

Suprafața unui cub

Un cub este un paralelipiped dreptunghiular în care toate cele 3 dimensiuni sunt egale. În acest sens, formulele pentru suprafața totală și laterală a unui cub diferă de cele standard.

Perimetrul cubului este 4a, prin urmare, Sside = 4*a*a = 4*a2. Aceste expresii nu sunt necesare pentru memorare, dar accelerează semnificativ rezolvarea sarcinilor.

Un cilindru este o figură formată dintr-o suprafață cilindrică și două cercuri situate în paralel. Calcularea ariei unui cilindru este o problemă în ramura geometrică a matematicii, care poate fi rezolvată destul de simplu. Există mai multe metode de rezolvare, care până la urmă se reduc întotdeauna la o singură formulă.

Cum să găsiți aria unui cilindru - reguli de calcul

Pentru a afla aria cilindrului, trebuie să adăugați cele două zone ale bazei cu aria suprafeței laterale: S = Sside + 2Sbase. Într-o versiune mai detaliată, această formulă arată astfel: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Suprafața laterală a unui corp geometric dat poate fi calculată dacă se cunosc înălțimea și raza cercului aflat la baza acestuia. ÎN în acest caz, se poate exprima raza de la circumferința unui cerc, dacă este dată. Înălțimea poate fi găsită dacă valoarea generatorului este specificată în condiție. În acest caz, generatoarea va fi egală cu înălțimea. Formula pentru suprafața laterală a acestui corp arată astfel: S= 2 π rh.
Aria bazei se calculează folosind formula pentru găsirea aria unui cerc: S osn= π r 2 . În unele probleme, raza poate să nu fie dată, dar circumferința poate fi dată. Cu această formulă, raza este exprimată destul de ușor. С=2π r, r= С/2π. De asemenea, trebuie să vă amintiți că raza este jumătate din diametru.
Când efectuați toate aceste calcule, numărul π de obicei nu se traduce în 3,14159... Trebuie doar să fie adăugat lângă valoare numerică, care a fost obținut în urma calculelor.
Apoi, trebuie doar să înmulțiți suprafața găsită a bazei cu 2 și să adăugați la numărul rezultat aria calculată a suprafeței laterale a figurii.
Dacă problema indică faptul că cilindrul are o secțiune axială și că este un dreptunghi, atunci soluția va fi ușor diferită. În acest caz, lățimea dreptunghiului va fi diametrul cercului aflat la baza corpului. Lungimea figurii va fi egală cu generatoarea sau înălțimea cilindrului. Trebuie să calculezi valorile ceruteși înlocuiți-l în formula deja cunoscută. În acest caz, lățimea dreptunghiului trebuie împărțită la două pentru a găsi aria bazei. Pentru a găsi suprafața laterală, lungimea se înmulțește cu două raze și numărul π.
Puteți calcula aria unui corp geometric dat prin volumul său. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivați valoarea lipsă din formula V=π r 2 h.
Nu este nimic complicat în calcularea ariei unui cilindru. Trebuie doar să cunoști formulele și să poți deduce din ele cantitățile necesare pentru a efectua calcule.

Piramidă- una dintre varietățile de poliedru format din poligoane și triunghiuri care se află la bază și sunt fețele acestuia.

Mai mult, în vârful piramidei (adică la un moment dat) toate fețele sunt unite.

Pentru a calcula aria unei piramide, merită să determinați că suprafața sa laterală este formată din mai multe triunghiuri. Și putem găsi cu ușurință zonele lor folosind

diverse formule. În funcție de ce date știm despre triunghiuri, căutăm aria lor.

Enumerăm câteva formule care pot fi folosite pentru a găsi aria triunghiurilor:

S = (a*h)/2 . În acest caz, știm înălțimea triunghiului h , care este coborât în lateral o .
S = a*b*sinβ . Iată laturile triunghiului o , b , iar unghiul dintre ele este β .
S = (r*(a + b + c))/2 . Iată laturile triunghiului a, b, c . Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi este r .
S = (a*b*c)/4*R . Raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi este R .
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Această formulă trebuie aplicată numai atunci când triunghiul este dreptunghic.
S = (a²*√3)/4 . Aplicam aceasta formula unui triunghi echilateral.

Numai după ce calculăm ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei noastre, putem calcula aria suprafeței sale laterale. Pentru a face acest lucru, vom folosi formulele de mai sus.

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide, nu apar dificultăți: trebuie să aflați suma ariilor tuturor triunghiurilor. Să exprimăm asta cu formula:

Sp = ΣSi

Aici Si este aria primului triunghi și S n - zona suprafeței laterale a piramidei.

Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o piramidă regulată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,

« Geometria este cel mai puternic instrument de ascuțire a abilităților noastre mentale».

Galileo Galilei.

iar pătratul este baza piramidei. În plus, marginea piramidei are o lungime de 17 cm Să găsim aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Raționăm astfel: știm că fețele piramidei sunt triunghiuri, sunt echilaterale. Știm, de asemenea, care este lungimea muchiei acestei piramide. Rezultă că toate triunghiurile au laturile egale și lungimea lor este de 17 cm.

Pentru a calcula aria fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza următoarea formulă:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Deci, din moment ce știm că pătratul se află la baza piramidei, se dovedește că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei poate fi calculată cu ușurință folosind următoarea formulă: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspunsul nostru este următorul: 500,548 cm² - aceasta este aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Înainte de a studia întrebările despre această figură geometrică și proprietățile ei, ar trebui să înțelegeți câțiva termeni. Când o persoană aude despre o piramidă, își imaginează clădiri uriașe în Egipt. Așa arată cele mai simple. Dar se întâmplă diferite tipuriși forme, ceea ce înseamnă că formula de calcul pentru formele geometrice va fi diferită.

piramida - figură geometrică , denotând și reprezentând mai multe fețe. În esență, acesta este același poliedru, la baza căruia se află un poligon, iar pe laturi există triunghiuri care se conectează într-un punct - vârful. Cifra vine în două tipuri principale:

corecta;
trunchiată.

În primul caz, baza este un poligon regulat. Totul este aici suprafete laterale egalîntre ei și figura în sine vor mulțumi ochiul unui perfecționist.

În al doilea caz, există două baze - una mare în partea de jos și una mică între partea de sus, repetând forma celei principale. Cu alte cuvinte, o piramidă trunchiată este un poliedru cu o secțiune transversală formată paralel cu baza.

Termeni și simboluri

Termeni cheie:

Triunghi regulat (echilateral).- o figură cu trei unghiuri egale și laturi egale. În acest caz, toate unghiurile sunt de 60 de grade. Figura este cea mai simplă dintre poliedre regulate. Dacă această cifră se află la bază, atunci un astfel de poliedru va fi numit triunghiular regulat. Dacă baza este un pătrat, piramida va fi numită o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Vertex– cel mai mult punctul de vârf, unde marginile se întâlnesc. Înălțimea vârfului este formată dintr-o linie dreaptă care se extinde de la vârf până la baza piramidei.
Margine– unul dintre planurile poligonului. Poate fi sub formă de triunghi în cazul unei piramide triunghiulare sau sub formă de trapez pentru trunchi de piramidă.
Secțiune – figură plată, format ca urmare a disectiei. Nu trebuie confundat cu o secțiune, deoarece o secțiune arată și ce se află în spatele secțiunii.
Apotema- un segment trasat de la vârful piramidei până la baza acesteia. Este, de asemenea, înălțimea feței unde se află al doilea punct de înălțime. Această definiție valabil numai pentru un poliedru regulat. De exemplu, dacă aceasta nu este o piramidă trunchiată, atunci fața va fi un triunghi. În acest caz, înălțimea acestui triunghi va deveni apotema.

Formule de arie

Găsiți aria suprafeței laterale a piramidei orice tip se poate face în mai multe moduri. Dacă figura nu este simetrică și este un poligon cu laturi diferite, atunci în acest caz este mai ușor de calculat suprafata totala suprafețe prin totalitatea tuturor suprafețelor. Cu alte cuvinte, trebuie să calculați aria fiecărei fețe și să le adăugați.

În funcție de parametrii cunoscuți, pot fi necesare formule pentru calcularea unui pătrat, trapez, patrulater arbitrar etc. Formulele în sine cazuri diferite va avea și diferențe.

În cazul în care figura potrivită Găsirea zonei este mult mai ușoară. Este suficient să cunoașteți doar câțiva parametri cheie. În cele mai multe cazuri, calculele sunt necesare în mod specific pentru astfel de cifre. Prin urmare, formulele corespunzătoare vor fi date mai jos. În caz contrar, ar trebui să scrieți totul pe mai multe pagini, ceea ce nu ar face decât să vă încurce și să vă încurce.

Formula de bază pentru calcul Suprafața laterală a unei piramide obișnuite va avea următoarea formă:

S=½ Pa (P este perimetrul bazei și este apotema)

Să ne uităm la un exemplu. Poliedrul are o bază cu segmente A1, A2, A3, A4, A5 și toate sunt egale cu 10 cm Lăsați apotema să fie egală cu 5 cm. Deoarece toate cele cinci fețe ale bazei sunt aceleași, o puteți găsi astfel: P = 5 * 10 = 50 cm În continuare, aplicăm formula de bază: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate cel mai usor de calculat. Formula arată astfel:

S =½* ab *3, unde a este apotema, b este fața bazei. Factorul de trei aici înseamnă numărul de fețe ale bazei, iar prima parte este aria suprafeței laterale. Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o figură cu apotema de 5 cm și marginea bazei de 8 cm Calculăm: S = 1/2*5*8*3=60 cm pătrat.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate Este puțin mai greu de calculat. Formula arată astfel: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, unde p_01 și p_02 sunt perimetrele bazelor și este apotema. Să ne uităm la un exemplu. Să presupunem că pentru o figură patruunghiulară dimensiunile laturilor bazelor sunt de 3 și 6 cm, apotema este de 4 cm.

Aici, mai întâi trebuie să găsiți perimetrele bazelor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Rămâne să înlocuim valorile în formula principală și obținem: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm pătrat.

Astfel, puteți găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite de orice complexitate. Ar trebui să fii atent și să nu încurci aceste calcule cu suprafata intreagaîntregul poliedru. Și dacă tot trebuie să faceți acest lucru, doar calculați aria celei mai mari baze a poliedrului și adăugați-o la aria suprafeței laterale a poliedrului.

Video

Consolidați informații despre cum să găsiți suprafața laterală diferite piramide, acest videoclip vă va ajuta.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Suprafața piramidei. În acest articol ne vom uita la problemele cu piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc că o piramidă obișnuită este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, vârful piramidei este proiectat în centrul acestui poligon.

Fața laterală a unei astfel de piramide este un triunghi isoscel.Înălțimea acestui triunghi, trasă de la vârful unei piramide regulate, se numește apotema, SF - apotema:

În tipul de problemă prezentat mai jos, trebuie să găsiți suprafața întregii piramide sau zona suprafeței sale laterale. Blogul a discutat deja mai multe probleme cu piramidele obișnuite, unde a fost pusă problema găsirii elementelor (înălțimea, marginea bazei, marginea laterală).

ÎN Teme de examen de stat unificat De regulă, sunt luate în considerare piramidele triunghiulare, patruunghiulare și hexagonale regulate. Nu am văzut probleme cu piramidele pentagonale și heptagonale obișnuite.

Formula pentru suprafața întregii suprafețe este simplă - trebuie să găsiți suma ariei bazei piramidei și a suprafeței sale laterale:

Să luăm în considerare sarcinile:

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 72, marginile laterale sunt 164. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

Aria suprafeței piramidei este egală cu suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei:

*Suprafața laterală este formată din patru triunghiuri de suprafață egală. Baza piramidei este un pătrat.

Putem calcula aria laturii piramidei folosind:

Astfel, aria suprafeței piramidei este:

Răspuns: 28224

Laturile bazei sunt corecte piramidă hexagonală sunt 22, marginile laterale sunt 61. Găsiți aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Baza unei piramide hexagonale regulate este un hexagon regulat.

Suprafața laterală a acestei piramide este formată din șase zone de triunghiuri egale cu laturile 61,61 și 22:

Să găsim aria triunghiului folosind formula lui Heron:

Astfel, aria suprafeței laterale este:

Răspuns: 3240

*În problemele prezentate mai sus, zona feței laterale poate fi găsită folosind o altă formulă de triunghi, dar pentru aceasta trebuie să calculați apotema.

27155. Aflați aria suprafeței unei piramide patruunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt 6 și a cărei înălțime este 4.

Pentru a găsi aria suprafeței piramidei, trebuie să cunoaștem aria bazei și aria suprafeței laterale:

Aria bazei este 36 deoarece este un pătrat cu latura 6.

Suprafața laterală este formată din patru fețe, care sunt triunghiuri egale. Pentru a găsi aria unui astfel de triunghi, trebuie să-i cunoașteți baza și înălțimea (apotema):

*Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.

Baza este cunoscută, este egală cu șase. Să găsim înălțimea. Să luăm în considerare triunghi dreptunghic(este evidențiat cu galben):

Un picior este egal cu 4, deoarece aceasta este înălțimea piramidei, celălalt este egal cu 3, deoarece este egal cu jumătate din marginea bazei. Putem găsi ipotenuza folosind teorema lui Pitagora:

Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Astfel, suprafața întregii piramide este:

Raspuns: 96

27069. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

27070. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Există, de asemenea, formule pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite. ÎN piramida corecta baza este o proiecție ortogonală a suprafeței laterale, prin urmare:

P- perimetrul de bază, l- apotema piramidei

*Această formulă se bazează pe formula pentru aria unui triunghi.

Dacă doriți să aflați mai multe despre cum sunt derivate aceste formule, nu o ratați, urmați publicarea articolelor.Asta e tot. Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.