Cum se deduce formula pentru volumul unei piramide trunchiate. Formule pentru volumul unei piramide pline și trunchiate. Volumul piramidei lui Keops. Pentru piramida corectă, formulele sunt corecte

12.01.2017

HA13118 este un amplificator de clasa AB, conține un număr minim de elemente externe și are o putere mare la o tensiune de alimentare relativ scăzută, iar amplificatorul are și un câștig mare de 55 dB, ceea ce elimină necesitatea amplificării preliminare a semnalului. Caracteristici tehnice principale: Putere de ieșire 18 W (maximum) într-o sarcină de 4 Ohm 10 W...

30.10.2014

Toate microcircuitele enumerate sunt realizate în pachetul SIP1 cu 11 pini și sunt amplificatoare LF stereo cu două canale și au aceeași conexiune a elementelor externe. * TDA2005 este proiectat special pentru utilizarea circuitelor de punte. Parametri: TDA2004A (TDA2004S) Tensiune de alimentare 8 ... 18V Curent de repaus 65mA Gama de frecventa 40 ... 20000Hz Rn -2 Ohm Putere de iesire 10 W K ...

05.10.2014

Circuitul de alimentare reglat controlat digital constă dintr-un regulator de tensiune pozitiv pe KM317, KPOM al unui contor de decenii CD4017, temporizator NE555 și un regulator de tensiune negativ pe LM7912. Tensiunea de rețea este redusă de un transformator la o tensiune de +/- 12V la un curent de 1A în înfășurarea secundară, apoi este redresată. C1-C5 filtru capacitiv de tensiune constantă. LED1 LED semnale...

19.08.2018

Figura prezintă o diagramă a unui releu de timp cu 8 canale, releul de timp utilizează un Arduino Nano, un ceas în timp real DS3231 (modul), un indicator cu șapte segmente și patru cifre bazat pe driverul TM1637 (modul TM1637) și patru butoane de control. În fiecare canal, puteți seta orele de pornire și oprire ale releului, toate valorile timpilor de pornire și oprire ale releului sunt stocate în ...

20.09.2014

Un motor asincron trifazat de design normal poate crea un cuplu fără a lua măsuri speciale atunci când este alimentat de la o rețea de curent monofazat. Să presupunem că circuitul unuia dintre firele unui motor în funcțiune conectat la o rețea trifazată este deschis (de exemplu, din cauza unei siguranțe ars). Mașina s-a găsit în modul monofazat cu conexiune serială sau serial-paralelă a înfășurărilor statorului ...

Piramidă se numește poliedru, una dintre fețele căruia este un poligon ( baza ), iar toate celelalte fețe sunt triunghiuri cu un vârf comun ( fetele laterale ) (fig. 15). Piramida se numește corect , dacă baza sa este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul bazei (Fig. 16). Se numește o piramidă triunghiulară în care toate muchiile sunt egale tetraedru .

Coastă laterală piramida este partea feței laterale care nu aparține bazei Înălţime piramida se numeste distanta de la varful ei la planul bazei. Toate marginile laterale ale unei piramide obișnuite sunt egale între ele, toate marginile laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trase din vârf apotema . Secțiune diagonală secţiunea piramidei se numeşte plan care trece prin două margini laterale care nu aparţin unei singure feţe.

Suprafata laterala piramida se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata intreaga numită suma ariilor tuturor fețelor laterale și a bazei.

Teoreme

1. Dacă într-o piramidă toate marginile laterale sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

2. Dacă în piramidă toate marginile laterale au lungimi egale, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului circumscris bazei.

3. Dacă în piramidă toate fețele sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful piramidei este proiectat în centrul cercului înscris în bază.

Pentru a calcula volumul unei piramide arbitrare, următoarea formulă este corectă:

Unde V- volum;

S principal- suprafata de baza;

H- inaltimea piramidei.

Pentru piramida corectă, formulele sunt corecte:

Unde p- perimetrul bazei;

h a- apotema;

H- inaltime;

S plin

partea S

S principal- suprafata de baza;

V- volumul piramidei corecte.

Piramida trunchiată numită partea de piramidă, închisă între bază și planul secant paralel cu baza piramidei (Fig. 17). Piramida trunchiată obișnuită se numește partea unei piramide regulate, închisă între bază și planul secant paralel cu baza piramidei.

Fundamente trunchi de piramide - poligoane similare. Fețe laterale - trapez. Înălţime o piramidă trunchiată este distanța dintre bazele sale. Diagonală o piramidă trunchiată se numește un segment care leagă vârfurile sale care nu se află pe aceeași față. Secțiune diagonală o secțiune a unei trunchi de piramidă se numește plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin unei singure fețe.

Pentru o piramidă trunchiată sunt valabile următoarele formule:

(4)

Unde S 1 , S 2 - zone ale bazelor superioare și inferioare;

S plin- suprafata totala;

partea S- suprafata laterala;

H- inaltime;

V- volumul trunchiului piramidei.

Pentru o piramidă trunchiată corectă, formula este corectă:

Unde p 1 , p 2 - perimetrele bazelor;

h a- apotema trunchiului piramidal regulat.

Exemplul 1.Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul diedrul de la bază este de 60º. Aflați tangenta unghiului de înclinare a marginii laterale la planul bazei.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 18).

Piramida este regulată, deci la bază există un triunghi echilateral și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Unghiul diedrul de la bază este unghiul de înclinare a feței laterale a piramidei față de planul bazei. Unghiul liniar este unghiul Aîntre două perpendiculare: și i.e. Vârful piramidei este proiectat în centrul triunghiului (centrul cercului circumscris și cercul înscris în triunghi ABC). Unghiul de înclinare al nervurii laterale (de exemplu SB) Este unghiul dintre marginea însăși și proiecția acesteia pe planul bazei. Pentru coastă SB acest unghi va fi unghiul SBD... Pentru a găsi tangenta, trebuie să cunoașteți picioarele ASA DEși OB... Fie lungimea segmentului BD este egal cu 3 A... Punct O secțiune BD este împărțit în părți: și Din găsim ASA DE: Din găsim:

Răspuns:

Exemplul 2. Găsiți volumul unei piramide patrulatere trunchiate obișnuite dacă diagonalele bazelor sale sunt cm și cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Pentru a afla volumul piramidei trunchiate, folosim formula (4). Pentru a găsi aria bazelor, trebuie să găsiți laturile pătratelor de bază, cunoscând diagonalele acestora. Laturile bazelor sunt de 2 cm și, respectiv, 8 cm. Deci ariile bazelor și După înlocuirea tuturor datelor din formulă, calculăm volumul piramidei trunchiate:

Răspuns: 112 cm 3.

Exemplul 3. Găsiți aria feței laterale a unei piramide trunchiate triunghiulare obișnuite, ale cărei laturi ale bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea piramidei este de 2 cm.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 19).

Fața laterală a acestei piramide este un trapez isoscel. Pentru a calcula aria unui trapez, trebuie să cunoașteți baza și înălțimea. Bazele sunt date după condiție, doar înălțimea rămâne necunoscută. O vom găsi de unde A 1 E perpendicular de la punct A 1 pe planul bazei inferioare, A 1 D- perpendicular de la A 1 pe LA FEL DE. A 1 E= 2 cm, deoarece aceasta este înălțimea piramidei. A găsi DE să facem un desen suplimentar, care va reprezenta o vedere de sus (fig. 20). Punct O- proiecția centrelor bazelor superioare și inferioare. întrucât (vezi fig. 20) şi Pe de altă parte O.K Este raza cercului înscris și OM- raza cercului înscris:

MK = DE.

Prin teorema lui Pitagora din

Zona feței laterale:

Răspuns:

Exemplul 4. La baza piramidei se află un trapez isoscel, ale cărui baze Ași b (A> b). Fiecare față laterală formează un unghi cu planul de bază al piramidei egal cu j... Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie. Să facem un desen (fig. 21). Suprafața totală a piramidei SABCD egală cu suma ariilor și ariei trapezului ABCD.

Să folosim afirmația că, dacă toate fețele piramidei sunt înclinate egal față de planul bazei, atunci vârful este proiectat în centrul cercului înscris în bază. Punct O- proiecția vârfurilor S la baza piramidei. Triunghi GAZON este proiecția ortogonală a triunghiului CSD pe planul bazei. Prin teorema privind aria unei proiecții ortogonale a unei figuri plane, obținem:

În mod similar, înseamnă Astfel, sarcina a fost redusă la găsirea zonei trapezului ABCD... Desenați un trapez ABCD separat (fig. 22). Punct O- centrul cercului înscris în trapez.

Deoarece un cerc poate fi înscris într-un trapez, fie Din, prin teorema lui Pitagora, avem

Abilitatea de a calcula volumul figurilor spațiale este importantă atunci când se rezolvă o serie de probleme practice de geometrie. Una dintre cele mai comune forme este piramida. În acest articol, vom lua în considerare atât piramidele complete, cât și cele trunchiate.

Piramida ca figură tridimensională

Toată lumea știe despre piramidele egiptene, așa că au o idee bună despre ce figură va fi discutată. Cu toate acestea, structurile egiptene din piatră sunt doar un caz special al unei clase uriașe de piramide.

Obiectul geometric considerat în cazul general este o bază poligonală, fiecare vârf al căruia este legat de un punct din spațiu care nu aparține planului bazei. Această definiție conduce la o figură formată dintr-un n-gon și n triunghiuri.

Orice piramidă este formată din n + 1 fețe, 2 * n muchii și n + 1 vârfuri. Deoarece figura luată în considerare este un poliedru perfect, numărul elementelor marcate respectă egalitatea lui Euler:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Poligonul de la bază dă numele piramidei, de exemplu, triunghiular, pentagonal și așa mai departe. Un set de piramide cu baze diferite este prezentat în fotografia de mai jos.

Punctul în care cele n triunghiuri ale figurii sunt conectate se numește vârful piramidei. Dacă o perpendiculară este coborâtă de la ea la bază și o intersectează în centrul geometric, atunci o astfel de figură va fi numită linie dreaptă. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci are loc o piramidă înclinată.

O figură dreaptă, a cărei bază este formată dintr-un n-gon echilateral (conform), se numește regulată.

Formula pentru volumul unei piramide

Pentru a calcula volumul piramidei, vom folosi calculul integral. Pentru a face acest lucru, împărțim figura cu planuri de tăiere paralele cu baza într-un număr infinit de straturi subțiri. Figura de mai jos prezintă o piramidă patruunghiulară cu înălțimea h și lungimea laturii L, în care un strat de secțiune subțire este marcat cu un patrulater.

Aria fiecărui astfel de strat poate fi calculată folosind formula:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Aici A 0 este aria bazei, z este valoarea coordonatei verticale. Se poate observa că dacă z = 0, atunci formula dă valoarea A 0.

Pentru a obține formula pentru volumul piramidei, ar trebui să calculați integrala pe întreaga înălțime a figurii, adică:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Înlocuind dependența A (z) și calculând antiderivată, ajungem la expresia:

V = -A0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Am obținut formula pentru volumul piramidei. Pentru a găsi valoarea lui V, este suficient să înmulțiți înălțimea figurii cu aria bazei și apoi să împărțiți rezultatul cu trei.

Rețineți că expresia rezultată este valabilă pentru calcularea volumului unei piramide de tip arbitrar. Adică poate fi înclinat, iar baza sa poate fi un n-gon arbitrar.

și volumul acestuia

Formula generală pentru volum obținută în paragraful de mai sus poate fi clarificată în cazul unei piramide cu o bază regulată. Aria unei astfel de baze se calculează folosind următoarea formulă:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Aici L este lungimea laturii unui poligon regulat cu n vârfuri. Simbolul pi este pi.

Înlocuind expresia pentru A 0 în formula generală, obținem volumul piramidei regulate:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

De exemplu, pentru o piramidă triunghiulară, această formulă duce la următoarea expresie:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, formula volumului ia forma:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.

Determinarea volumelor piramidelor obișnuite necesită cunoașterea laturii bazei lor și a înălțimii figurii.

Piramida trunchiată

Să presupunem că am luat o piramidă arbitrară și am tăiat din ea o parte a suprafeței laterale care conține vârful. Forma rămasă se numește piramidă trunchiată. Este deja format din două baze n-gonale și n trapeze care le conectează. Dacă planul de tăiere a fost paralel cu baza figurii, atunci se formează o piramidă trunchiată cu baze similare paralele. Adică, lungimile laturilor uneia dintre ele pot fi obținute prin înmulțirea lungimii celeilalte cu un coeficient k.

Figura de mai sus demonstrează un trunchiat regulat. Se poate observa că baza sa superioară, ca și cea inferioară, este formată dintr-un hexagon regulat.

Formula care poate fi derivată folosind un calcul integral similar este:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Unde A 0 și A 1 sunt zonele bazei inferioare (mari) și, respectiv, superioare (mici). Variabila h desemnează înălțimea piramidei trunchiate.

Volumul piramidei lui Keops

Este curios să rezolvi problema determinării volumului pe care cea mai mare piramidă egipteană îl conține în interiorul ei.

În 1984, egiptologii britanici Mark Lehner și Jon Goodman au stabilit dimensiunile exacte ale piramidei lui Cheops. Înălțimea sa inițială a fost de 146,50 metri (în prezent aproximativ 137 de metri). Lungimea medie a fiecăreia dintre cele patru laturi ale structurii a fost de 230,363 metri. Baza piramidei este pătrată cu mare precizie.

Vom folosi cifrele de mai sus pentru a determina volumul acestui gigant de piatră. Deoarece piramida este patruunghiulară regulată, atunci formula este valabilă pentru ea:

Înlocuim numerele și obținem:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumul piramidei lui Keops este de aproape 2,6 milioane m 3. Pentru comparație, observăm că bazinul olimpic are un volum de 2,5 mii m 3. Adică, pentru a umple întreaga piramidă a lui Cheops, va fi nevoie de peste 1000 de astfel de bazine!

și un plan de tăiere care este paralel cu baza sa.

Sau cu alte cuvinte: trunchi de piramidă- acesta este un astfel de poliedru, care este format dintr-o piramidă și secțiunea sa paralelă cu baza.

O secțiune paralelă cu baza piramidei împarte piramida în 2 părți. Partea piramidei dintre baza și secțiunea sa este trunchi de piramidă.

Această secțiune pentru piramida trunchiată se dovedește a fi una dintre bazele acestei piramide.

Distanța dintre bazele piramidei trunchiate este înălțimea piramidei trunchiate.

Piramida trunchiată va corect când piramida din care s-a obţinut era şi ea corectă.

Înălțimea trapezului feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este apotema piramida trunchiată corectă.

Proprietățile piramidei trunchiate.

1. Fiecare față laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este trapezoide isoscele de aceeași dimensiune.

2. Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare.

3. Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt de dimensiuni egale și una este înclinată în raport cu baza piramidei.

4. Fetele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapezi.

5. Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt de mărime egală.

6. Raportul ariilor bazelor: S2/S1 = k2.

Formule piramidale trunchiate.

Pentru o piramidă arbitrară:

Volumul trunchiului piramidei este egal cu 1/3 din produsul înălțimii h (OS) pentru suma suprafețelor bazei superioare S 1 (abcde), baza inferioară a piramidei trunchiate S 2 (ABCDE) și media proporțională dintre ele.

Volumul piramidei:

Unde S 1, S 2- zona bazelor,

h- inaltimea trunchiului piramidei.

Suprafata laterala egală cu suma ariilor fețelor laterale ale piramidei trunchiate.

Pentru o piramidă trunchiată corectă:

Piramida trunchiată corectă- un poliedru, care este format dintr-o piramidă regulată și secțiunea acesteia, care este paralelă cu baza.

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este jumătate din produsul dintre suma perimetrelor bazelor sale și apotema.

Unde S 1, S 2- zona bazelor,

φ - unghi diedru la baza piramidei.

CH este înălțimea piramidei trunchiate, P 1și P 2- perimetrele bazelor, S 1și S 2- zonele bazelor, partea S- suprafata laterala, S plin- suprafata totala:

Secțiune a piramidei cu un plan paralel cu baza.

Secțiunea piramidei printr-un plan paralel cu baza acesteia (perpendicular pe înălțime) împarte înălțimea și marginile laterale ale piramidei în segmente proporționale.

Secțiunea piramidei printr-un plan care este paralel cu baza sa (perpendiculară pe înălțime) este un poligon care este similar cu baza piramidei, în timp ce coeficientul de similitudine al acestor poligoane corespunde raportului dintre distanța lor față de vârful piramidei.

Zonele secțiunilor care sunt paralele cu baza piramidei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârful piramidei.

Piramida trunchiată se numește poliedru ale cărui vârfuri sunt vârfurile bazei și vârfurile secțiunii sale de un plan paralel cu baza.

Proprietățile piramidei trunchiate:

Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane similare.
Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.
Marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt egale și egal înclinate spre baza piramidei.
Fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale și sunt înclinate în mod egal către baza piramidei.
Unghiurile diedrice de la marginile laterale ale unei piramide trunchiate regulate sunt egale.

Suprafața și volumul trunchiului piramidei

Fie - înălțimea piramidei trunchiate și - perimetrele bazelor piramidei trunchiate și - aria bazelor piramidei trunchiate, - aria suprafeței laterale a piramidei trunchiate, - suprafața totală a piramidei trunchiate, - volumul piramidei trunchiate. Atunci sunt valabile următoarele relații: