المهمة 12.

حل الأعداد الصحيحة 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.

المحلول.

إذا حاولت حل هذه المعادلة عن طريق التحليل ، فهذا عمل يستغرق وقتًا طويلاً إلى حد ما ، لذلك يمكن حل هذه المعادلة بطريقة أكثر أناقة. اعتبر المعادلة كـ نسبي مربعا × 5 × 2 + (8 ص -2 ) x + 5y² + 2y+2=0 , x1.2 \ u003d (1-4y ± √ (1-4y) ² - 5 (5y² + 2y + 2)) / 5 \ u003d (1-4y ± √ -9 (ص + 1) ²) / 5.

هذه المعادلة لها حل عندما يكون المميز صفرًا ، أي –9 (ص + 1) = 0، بالتالي ص = -1. إذا ص = -1، ومن بعد س = 1.

إجابه.

المهمة 13.

حل الأعداد الصحيحة 3 (س² + س ص + ص²) = س + 8 ص

المحلول.

اعتبر المعادلة من الدرجة الثانية بالنسبة ل x 3x ² + (3y - 1) x + 3y² - 8y \ u003d 0.لنجد مميز المعادلة D \ u003d \ u003d (3y - 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) \ u003d 9y2 - 6y + 1 - 36y2 + 96y \ u003d -27y2 + 90y + 1.

معطى معادلةالفكرة لها جذور ، إذاD³0، بمعنى آخر. –27 ص² + 90 ص + 1³ 0

(-45 + √2052) / (-27) جنيه استرليني y £ (-45 - √2052) / (-27)(4)

لأن н Z، ثم الشرط (4) راضٍ فقط 0, 1, 2, 3 . بالاطلاع على هذه القيم ، نحصل على أن المعادلة في الأعداد الصحيحة لها حلول (0; 0) و (1; 1) .

إجابه.

(0; 0) , (1; 1) .

المهمة 14.

حل المعادلة 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0.

المحلول.

اعتبر هذه المعادلة كمعادلة تربيعية بالنسبة لـ Xمع معاملات تعتمد على y ، 5x² - 2 (y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0.

أوجد ربع المميز D / 4 = (y + 1) ²-5 (2y²-2y + 1) = - (3y-2) ².

ويترتب على ذلك أن المعادلة لها حل فقط عندما - (3 سنوات - 2) ² = 0، هذا يعني ص = ⅔ ،ثم نجد س = ⅓.

إجابه.

(⅓; ⅔).

طريقة المتبقية.

المهمة 15.

حل الأعداد الصحيحة 3ª = 1 + ص²

المحلول.

انه واضح (0; 0) هو حل هذه المعادلة. دعونا نثبت أنه لا توجد حلول أخرى.

ضع في اعتبارك الحالات:

1) س О نيوتن ، ص О نيوتن(5)

إذا س О ن، ومن بعد 3ªمقسومة على 3 بدون أثر ، و y² + 1عند القسمة على 3 يعطي الباقي اما 1 ، أو 2 . لذلك فإن المساواة (5) للقيم الطبيعية Xو فيغير ممكن.

2) إذا Xهو عدد صحيح سالب ذ О ي ،ومن بعد 0<3ª<1, أ 1 + ص²³0والمساواة (5) هي أيضا مستحيلة. لذلك ، (0 ؛ 0) هو الحل الوحيد.

إجابه.

المهمة 16 .

يثبت أن نظام المعادلات

ì س² - ص² = 7

î z² - 2y² = 1

ليس له حلول في الأعداد الصحيحة.

المحلول.

لنفترض أن النظام ممكّن. من المعادلة الثانية z² = 2y + 1 ،بمعنى آخر. z²–عدد فردي و ض- غريب ، فهذا يعني ض = 2 م + 1. ثم ص² + 2 م² + 2 م ،يعني، ص² -رقم زوجي في- حتى، ص = 2 ن ، ن Î Z.

س² = 8n³ + 7 ،بمعنى آخر. ײ -عدد فردي و X -عدد فردي، х = 2 ك + 1 ، ك О Z.

استبدل القيم Xو فيفي المعادلة الأولى ، نحصل على 2 (ك² + ك - 2 ن³) = 3 ،وهو مستحيل لأن الجانب الأيسر يقبل القسمة عليه 2 ، ولكن الحق ليس كذلك.

ومن ثم ، فإن افتراضنا غير صحيح ، أي النظام ليس لديه حلول في الأعداد الصحيحة.

طريقة النسب اللانهائي.

يستمر حل المعادلات بطريقة النسب اللانهائي وفقًا للمخطط التالي: بافتراض أن للمعادلة حلولًا ، فإننا نبني عملية لا نهائية ، بينما ، وفقًا لمعنى المشكلة ، يجب أن تنتهي هذه العملية في مكان ما.

غالبًا ما يتم تطبيق طريقة النسب اللانهائي في شكل أبسط. بافتراض أننا وصلنا بالفعل إلى النهاية الطبيعية ، فإننا نرى أنه لا يمكننا "التوقف".

المهمة 17.

حل في الأعداد الصحيحة 29 س + 13 ص + 56 ع = 17 (6)

نعبر عن المجهول ، وهو المعامل الذي يكون عنده الأصغر ، من خلال المجهول المتبقية.

y = (17-29x-56z) / 13 = (1-2x-4z) + (4-3x-4z) / 13(7)

دل (4-3x-4z) / 13 = t1(8)

من (7) يتبع ذلك t1يمكن أن تأخذ فقط قيم صحيحة. من (8) لدينا 13 طن 1 + 3 س + 4 ع = 14(9)

نحصل على معادلة ديوفانتين جديدة ، ولكن مع معاملات أصغر مما كانت عليه في (6). نطبق نفس الاعتبارات على (9): س = (4-13t1-4z) / 3 = = (1-4t1-z) + (1-t1-z) / 3

(1-t1-z) / 3 = t2، t2- كامل، 3 ت 2 + ت 1 + ع = 1(10)

في (10) المعامل عند ض- المجهول في المعادلة الأصلية يساوي 1 - هذه هي النقطة الأخيرة من "النسب". الآن نعبر على التوالي ض, x, ذبجانب t1و T2.

ì ض = -t1 - 3 ت 2 + 1

í س = 1 - 4 ت 1 + ت 1 + 3 ت 2 = 1 + ر 2 = -ت 1 + 4 ت 2

î y = 1 + 6t1 - 8t2 + 4t1 + 12t2 - 4 + t1 = 11t1 + 4t2 - 3

لذا، ì س = -3 ت 1 + 4 ت 2

í ص = 11 ت 1 + 4 ت 2 - 3

î ض = -t1 - 3 ت 2 + 1

تي 1 ، تي 2- أي أعداد صحيحة - جميع حلول المعادلة الصحيحة (6)

المهمة 18.

حل في الأعداد الصحيحة x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

المحلول.

يمكن ملاحظة أن الجانب الأيسر من المعادلة (11) لا يفسح المجال لأية تحولات. لذلك ، فحص طابع الأعداد الصحيحة س³ = 3 (y³-z³).عدد x³مضاعف 3 ، لذلك الرقم Xمضاعف 3 ، بمعنى آخر. س = 3 × 1(12) استبدل (12) في (11) 27x1³-3y³-9z³ = 0 ، 9x1³-y³-3z³ = 0(13)

y³ = 3 (3x1³-z³).ثم يومضاعف 3 ، وهو ما يعني و فيمضاعف 3 ، بمعنى آخر. ص = 3y1(14). استبدل (14) في (13) 9х1³ -27y1³ - 3z³ = 0. من هذه المعادلة يتبع ذلك ذلمضاعف 3, وبالتالي ضمضاعف 3 ، بمعنى آخر. ض = 3z1.

لذلك ، اتضح أن الأرقام المحققة للمعادلة (11) هي مضاعفات ثلاثة ، وكم مرة لن نقسمها على 3 ، نحصل على أعداد من مضاعفات العدد ثلاثة. العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق ثلاثة. العدد الصحيح الوحيد الذي يحقق هذا الشرط سيكون صفرًا ، أي حل هذه المعادلة (0; 0; 0)

هاينريش جي. FMSh رقم 146 ، بيرم

54 ≡ 6 × 5 2 (طراز 7) ،

55 ≡ 2 × 5 ≡ 3 (طراز 7) ، 56 3 × 5 ≡ 1 (طراز 7).

عند رفع القوة k ، نحصل على 56k ≡ 1 (mod 7) لأي قيمة k طبيعية. لذلك 5555 = 56 × 92 × 53 6 (طراز 7).

(هندسيًا ، تعني هذه المساواة أننا نلتف حول الدائرة ، بدءًا من 5 ، واثنين وتسعين دورة وثلاثة أرقام أخرى). وهكذا ، فإن الرقم 222555 يعطي باقي 6 عند قسمة 7.

حل المعادلات في أعداد صحيحة.

مما لا شك فيه أن أحد الموضوعات المثيرة للاهتمام في الرياضيات هو حل معادلات ديوفانتين. تمت دراسة هذا الموضوع في الصف الثامن ثم في الصفين العاشر والحادي عشر.

أي معادلة تحتاج إلى حل في أعداد صحيحة تسمى معادلة ديوفانتين. أبسط هذه المعادلة هي معادلة بالصيغة ax + by \ u003d c ، حيث a و b و cÎ Z. عند حل هذه المعادلة ، يتم استخدام النظرية التالية.

نظرية. معادلة ديوفانتين الخطية ax + by = c ، حيث a و b و cÎ Z لها حل إذا وفقط إذا كانت c قابلة للقسمة على gcd للأرقام a و b. إذا كانت d = gcd (a، b)، a = a1 d، b = b1 d، c = c1 d and (x0، y0) هي بعض حلول المعادلة ax + by = c ، فإن جميع الحلول تعطى بواسطة x = x0 + b1 t ، y = y0 –a1 t ، حيث t عدد صحيح عشوائي.

1. حل المعادلات بالأعداد الصحيحة:

	3xy –6x2 = y –2x + 4 ؛
	(س –2) (س ص + 4) = 1 ؛		ص – س – س ص = 2 ؛
	2 × 2 + س ص = س + 7 ؛		3 س ص + 2 س + 3 ص = 0 ؛
	х2 –xy – х + ص = 1 ؛
	x2 –3xy = x – 3y + 2 ؛	10. x2 - xy - y = 4.

2. تم النظر مع الخريجين في المهام التالية استعدادًا لامتحان الرياضيات في هذا الموضوع.

واحد). حل المعادلة بالأعداد الصحيحة: xy + 3y + 2x + 6 = 13. المحلول:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة. نحن نحصل:

ص (س + 3) +2 (س + 3) = 13 ؛

(س + 3) (ص + 2) = 13.

بما أن x ، yО Z ، نحصل على مجموعة من أنظمة المعادلات:

هاينريش جي.

	м x +
	м x +
	м x +
ê ì x +

FMSh رقم 146 ، بيرم

		м x =
		м x =
		м x =
	ê ì س =

الجواب: (-2 ؛ 11) ، (10 ؛ -1) ، (-4 ؛ -15) ، (-15 ، -3)

2). حل المعادلة بالأرقام الطبيعية: 3x + 4y = 5z.

9). أوجد كل أزواج الأعداد الطبيعية m و n التي تساوي 3m + 7 = 2n صحيحة.

10). أوجد كل ثلاثية الأعداد الطبيعية k و m و n التي تكون المساواة فيها صحيحة: 2 ∙ k! = m! –2 ∙ ن! (1! = 1، 2! = 1 2، 3! = 1 2 ∙ 3،… n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙… ∙ ن)

أحد عشر). جميع أعضاء المتسلسلة المحددة هي أعداد طبيعية. كل عضو في هذا التسلسل ، بدءًا من الثاني ، يكون إما أكبر 14 مرة أو أصغر 14 مرة من السابق. مجموع كل حدود المتسلسلة هو 4321.

ج) ما هو أكبر عدد من المصطلحات يمكن أن يحتويه التسلسل؟ المحلول:

أ) دع a1 = x ، ثم a2 = 14x أو a1 = 14x ، ثم a2 = x. ثم ، بشرط ، a1 + a2 = 4321. نحصل على: x + 14x = 4321 ، 15x = 4321 ، لكن 4321 ليس من مضاعفات 15 ، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك عضوان في التسلسل.

ب) لنفترض أن a1 = x ، ثم a2 = 14x ، أو a3 = x ، أو 14x + x + 14x = 4321 ، أو x + 14x + x = 4321. 29x = 4321 ، ثم x = 149 ، 14x = 2086. لذلك يمكن أن تحتوي السلسلة على ثلاثة حدود. في الحالة الثانية ، 16x = 4321 ، لكن x ليس عددًا طبيعيًا.

لا اجابة؛ ب) نعم. ج) 577.

هاينريش جي.

FMSh رقم 146 ، بيرم

12). جميع أعضاء المتسلسلة المحددة هي أعداد طبيعية. كل عضو في هذا التسلسل ، ابتداء من الثاني ، أو في 10 ؛ مرات أكثر ، أو 10 مرات أقل من السابق. مجموع كل أعضاء المتسلسلة هو 1860.

أ) هل يمكن أن يحتوي التسلسل على مصطلحين؟ ب) هل يمكن أن يكون للتسلسل ثلاثة شروط؟

ج) ما هو أكبر عدد من المصطلحات يمكن أن يحتويه التسلسل؟

من الواضح أنه يمكن الحديث عن قابلية الأعداد الصحيحة للقسمة والنظر في المشاكل المتعلقة بهذا الموضوع إلى ما لا نهاية. حاولت النظر في هذا الموضوع بطريقة تثير اهتمام الطلاب إلى حد كبير ، لتظهر لهم جمال الرياضيات أيضًا من وجهة النظر هذه.

هاينريش جي.

FMSh رقم 146 ، بيرم

فهرس:

1. A. Ya. Kannel-Belov، A.K Kovaldzhi. كيف يتم حل المهام غير القياسية موسكو MCNMO 2001

2. AV سبيفاك. ملحق لمجلة Kvant رقم 4/2000 Mathematical holiday موسكو 2000

3. AV سبيفاك. الدائرة الرياضية "البذر" 2003

4. سان بطرسبورجقصر المدينة للإبداع الشبابي. الدائرة الرياضية. كتاب إشكالية السنة الدراسية الأولى والثانية. سان بطرسبورج. 1993

5. الجبر للصف الثامن. كتاب مدرسي لطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات. حرره نيا فيلينكين. موسكو ، 1995

6. ML Galitsky ، AM Goldman ، L.I.Zvavich. مجموعة من المسائل في الجبر ل 8-9 درجات. كتاب مدرسي لطلاب المدارس والصفوف مع دراسة متعمقة للرياضيات. موسكو ، التنوير. 1994

7. يو إن ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، كي نيشكوف. الجبر الصف الثامن. كتاب مدرسي للمدارس والفصول مع دراسة متعمقة للرياضيات. موسكو ، 2001

8. M.I Shabunin، A.A.Prokofiev UMK الرياضيات الجبر. بدايات التحليل الرياضي. مستوى الملف الشخصي. كتاب مدرسي للصف 11. موسكو بينوم. معمل المعرفة 2009

9. إم آي شابونين ، إيه إيه بروكوفييف ، تي إيه أولينيك ، تي في سوكولوفا. الرياضيات UMK الجبر. بدايات التحليل الرياضي. كتاب مهام مستوى الملف الشخصي للصف 11. موسكو بينوم. معمل المعرفة 2009

10. A.G. Klovo ، DA Maltsev ، L.I. Abzelilova الرياضيات. مجموعة الاختبارات وفقًا لخطة EGE 2010

11. USE-2010. "Legion-M". روستوف اون دون 2009

12. EGE EMC "الرياضيات. التحضير للامتحان. حرره F.F. Lysenko، S.Yu. Kulabukhov. التحضير ل USE-2011. "Legion-M". روستوف اون دون 2010

13. UMK "الرياضيات. USE-2010 ". حرره F.F. Lysenko، S.Yu. Kulabukhov. التحضير للرياضيات لاستخدام 2010. اختبارات التدريب. "Legion-M". روستوف اون دون 2009

14. استخدام FIPI. مواد عالمية لإعداد الطلاب الرياضيات 2010مركز الفكر 2010

15. A.Zhafarov. الرياضيات. USE-2010 استشارة سريعة. دار نشر جامعة سيبيريا ، 2010

يتم وضع نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات الوظائف" بتنسيق PDF

مقدمة.

موضوع الدراسة.

يتعلق البحث بواحد من أكثر فروع نظرية الأعداد إثارة للاهتمام - حل المعادلات في الأعداد الصحيحة.

موضوع الدراسة.

يعد الحل بالأعداد الصحيحة للمعادلات الجبرية ذات المعاملات الأعداد الصحيحة في أكثر من واحد غير معروف واحدًا من أصعب المشكلات الرياضية وأقدمها ولا يتم تمثيله بعمق كافٍ في مقرر الرياضيات بالمدرسة. في عملي ، سأقدم تحليلًا كاملاً إلى حد ما للمعادلات في الأعداد الصحيحة ، وتصنيفًا لهذه المعادلات وفقًا لطرق حلها ، ووصفًا للخوارزميات لحلها ، بالإضافة إلى أمثلة عملية لتطبيق كل طريقة من أجل حل المعادلات في الأعداد الصحيحة.

استهداف.

تعلم كيفية حل المعادلات في الأعداد الصحيحة.

مهام:

دراسة الأدب التربوي والمرجعي.

جمع المواد النظرية حول كيفية حل المعادلات ؛

تحليل الخوارزميات لحل المعادلات من هذا النوع ؛

وصف الحلول ؛

ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات باستخدام هذه الطرق.

فرضية:

في مواجهة المعادلات في الأعداد الصحيحة في مهام الأولمبياد ، افترضت أن الصعوبات في حلها ترجع إلى حقيقة أنه ليس كل طرق حلها معروفة لي.

ملاءمة:

عند حل المتغيرات التقريبية لمهام الاستخدام ، لاحظت أنه غالبًا ما توجد مهام لحل معادلات الدرجة الأولى والثانية في الأعداد الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي مهام الأولمبياد ذات المستويات المختلفة أيضًا على معادلات بأعداد صحيحة أو مسائل يتم حلها باستخدام المهارات لحل المعادلات في أعداد صحيحة. تحدد أهمية معرفة كيفية حل المعادلات في أعداد صحيحة مدى ملاءمة بحثي.

طرق البحث

التحليل النظري وتعميم المعلومات من الأدبيات العلمية حول المعادلات في الأعداد الصحيحة.

تصنيف المعادلات في الأعداد الصحيحة حسب طرق حلها.

تحليل وتعميم طرق حل المعادلات في الأعداد الصحيحة.

نتائج البحث

تصف الورقة طرق حل المعادلات ، وتدرس المادة النظرية لنظرية فيرما ، وتقدم نظرية فيثاغورس ، وخوارزمية إقليدس ، أمثلة لحل المشكلات والمعادلات ذات المستويات المختلفة من التعقيد.

2- تاريخ المعادلات بالأعداد الصحيحة

ديوفانتوس - عالم - جبر اليونان القديمة ، وفقًا لبعض المصادر ، فقد عاش حتى عام 364 م. ه. تخصص في حل المسائل في الأعداد الصحيحة. ومن هنا جاء اسم معادلات ديوفانتاين. الأكثر شهرة ، التي تم حلها بواسطة Diophantus ، هي مشكلة "التحلل إلى مربعين". مكافئها هي نظرية فيثاغورس المعروفة. استمرت حياة وعمل ديوفانتوس في الإسكندرية ، فقد جمع وحل المشكلات المعروفة واخترع مشاكل جديدة. في وقت لاحق قام بدمجهم في عمل كبير يسمى الحساب. من بين ثلاثة عشر كتابًا يتكون منها الحساب ، نجا ستة فقط حتى العصور الوسطى وأصبحت مصدر إلهام لعلماء الرياضيات في عصر النهضة.حساب ديوفانتوس عبارة عن مجموعة من المسائل ، كل منها يتضمن الحل والشرح اللازم. تتضمن المجموعة مجموعة متنوعة من المشكلات ، وغالبًا ما يكون حلها بارعًا للغاية. ديوفانتوس مهتم فقط بالعدد الصحيح الموجب والحلول المنطقية. يسمي الحلول غير العقلانية بأنها "مستحيلة" ويختار المعاملات بعناية بحيث يتم الحصول على الحلول العقلانية الإيجابية المرجوة.

تُستخدم نظرية فيرما لحل المعادلات في أعداد صحيحة. تاريخ الإثبات مثير للاهتمام. عمل العديد من علماء الرياضيات البارزين على إثبات كامل للنظرية العظمى ، وأدت هذه الجهود إلى العديد من النتائج في نظرية الأعداد الحديثة. يُعتقد أن النظرية في المقام الأول من حيث عدد البراهين غير الصحيحة.

صرح عالم الرياضيات الفرنسي الرائع بيير فيرمات أن معادلة العدد الصحيح n ≥ 3 ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة الموجبة x ، y ، z (xyz = 0 مستبعدة من إيجابية x ، y ، z. بالنسبة للحالة n = 3 ، تمت تجربة هذه النظرية في القرن العاشر وأثبتها عالم الرياضيات من آسيا الوسطى الخوجندي ، لكن لم يتم الحفاظ على برهانه ، وبعد ذلك بقليل نشر فيرمات نفسه دليلًا على حالة معينة لـ n = 4.

أثبت أويلر في عام 1770 نظرية الحالة n = 3 و Dirichlet و Legendre في عام 1825 لـ n = 5 و Lame لـ n = 7. أظهر كومر أن النظرية صحيحة لجميع عدد أولي n أقل من 100 ، مع استثناء محتمل لـ 37 ، 59 ، 67.

في الثمانينيات ، ظهر نهج جديد لحل المشكلة. من تخمين مورديل ، الذي برهن عليه فالتينجز في عام 1983 ، يترتب على ذلك المعادلة

بالنسبة لـ n> 3 يمكن أن يكون لها عدد محدود فقط من حلول coprime.

الخطوة الأخيرة والأكثر أهمية في إثبات النظرية اتخذها وايلز في سبتمبر 1994. تم نشر إثباته المكون من 130 صفحة في حوليات الرياضيات. يعتمد الدليل على افتراض عالم الرياضيات الألماني جيرهارد فراي أن نظرية فيرما الأخيرة هي نتيجة لفرضية تانياما-شيمورا (تم إثبات هذا الافتراض من قبل كين ريبيت بمشاركة جي بي سيرا). نشر وايلز الأول نسخة من إثباته في عام 1993 (بعد 7 سنوات من العمل الشاق) ، ولكن سرعان ما تم اكتشاف فجوة خطيرة فيه ؛ بمساعدة ريتشارد لورانس تايلور ، تم إغلاق الفجوة بسرعة. تم نشر النسخة النهائية في عام 1995. 15 مارس 2016 تلقى أندرو وايلز جائزة أبيل. حاليًا ، القسط هو 6 ملايين كرونة نرويجية ، أي ما يقرب من 50 مليون روبل. وفقًا لويلز ، جاءت الجائزة بمثابة "مفاجأة كاملة" له.

3 - المعادلات الخطية في الأعداد الصحيحة

المعادلات الخطية هي أبسط معادلات ديوفانتين.

معادلة على شكل ax = b ، حيث a و b عبارة عن بعض الأرقام و x متغير غير معروف ، تسمى معادلة خطية مع واحد غير معروف. مطلوب هنا إيجاد حلول صحيحة فقط للمعادلة. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت a ≠ 0 ، فسيكون للمعادلة حل عدد صحيح فقط إذا كانت b قابلة للقسمة تمامًا على a وهذا الحل هو x = b / f. إذا كان a = 0 ، فسيكون للمعادلة حل صحيح عندما تكون b = 0 وفي هذه الحالة x هي أي رقم.

لأن 12 قابلة للقسمة بالتساوي على 4 ، إذن

لأن أ = س و ب = 0 ، إذن س هو أي رقم

لأن 7 لا يقبل القسمة حتى على 10 ، فلا توجد حلول.

4. طريقة تعداد الخيارات.

في طريقة تعداد الخيارات ، من الضروري مراعاة علامات قابلية الأرقام للقسمة ، والنظر في جميع الخيارات الممكنة للمساواة في التعداد النهائي. يمكن استخدام هذه الطريقة لحل هذه المشكلات:

№1 أوجد مجموعة كل أزواج الأعداد الطبيعية التي تمثل حل المعادلة 49x + 69y = 602

نعبر من المعادلة س = ،

لأن x و y عددان طبيعيان ، ثم x = ≥ 1 ، اضرب المعادلة بأكملها في 49 للتخلص من المقام:

انقل 602 إلى الجانب الأيسر:

51y ≤ 553 ، عبر عن ص ، ص = 10

يوضح التعداد الكامل للخيارات أن الحلول الطبيعية للمعادلة هي x = 5 ، y = 7.

الجواب: (5،7) .-

№2 حل المشكلة

من الأرقام 2 ، 4 ، 7 ، يجب عمل رقم مكون من ثلاثة أرقام ، حيث لا يمكن تكرار رقم واحد أكثر من مرتين.

لنجد عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام والتي تبدأ بالرقم 2: (224 ، 242 ، 227 ، 272 ، 247 ، 274 ، 244 ، 277) - هناك 8 منهم.

وبالمثل ، نجد جميع الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام تبدأ بالأرقام 4 و 7: (442 ، 424 ، 422 ، 447 ، 474 ، 427 ، 472 ، 477).

(772 ، 774 ، 727 ، 747 ، 722 ، 744 ، 724 ، 742) - هم أيضًا 8 أرقام لكل منهم. يوجد 24 رقمًا فقط.

الجواب: 24.

5. الكسر المستمر وخوارزمية إقليدس

الكسر المتواصل هو تعبير عن كسر عادي في الصورة

حيث q 1 عدد صحيح ، و q 2 ، ... ، qn أعداد طبيعية. يسمى هذا التعبير الكسر المستمر (المتواصل المنتهي). هناك كسور مستمرة محدودة ولانهائية.

بالنسبة للأعداد المنطقية ، فإن الكسر المتواصل له شكل محدد. بالإضافة إلى ذلك ، فإن التسلسل a i هو بالضبط تسلسل حواجز القسمة التي يتم الحصول عليها من خلال تطبيق الخوارزمية الإقليدية على بسط ومقام الكسر.

لحل المعادلات مع الكسور المستمرة ، قمت بتجميع خوارزمية عامة للإجراءات لهذه الطريقة لحل المعادلات في الأعداد الصحيحة.

الخوارزمية

1) اجمع نسبة معاملات المجهول في صورة كسر

2) تحويل التعبير إلى كسر غير فعلي

3) حدد الجزء الصحيح لكسر غير فعلي

4) استبدل الكسر الصحيح بكسر متساوٍ

5) قم بعمل 3.4 مع الكسر الخطأ الذي تم الحصول عليه في المقام

6) كرر 5 حتى النتيجة النهائية

7) في التعبير الناتج ، تجاهل الرابط الأخير للكسر المستمر ، وحوّل الكسر الجديد المستمر الناتج إلى كسر بسيط واطرحه من الكسر الأصلي.

مثال# 1 حل المعادلة 127x- 52y + 1 = 0 بأعداد صحيحة

دعونا نحول نسبة المعاملات في المجهول.

بادئ ذي بدء ، نختار الجزء الصحيح من الكسر غير الصحيح ؛ = 2 +

استبدل الكسر المناسب بكسر متساوٍ.

حيث = 2+

لنفعل نفس التحويلات مع الكسر غير الفعلي الذي تم الحصول عليه في المقام.

الآن سيأخذ الكسر الأصلي الشكل: بتكرار نفس المنطق للكسر ، نحصل على

حصلنا على تعبير يسمى الكسر الأخير المستمر أو المستمر. بعد تجاهل الرابط الأخير لهذا الكسر المستمر - خمس ، نحول الكسر المتواصل الجديد الناتج إلى كسر بسيط ونطرحه من الكسر الأصلي:

دعونا نحضر التعبير الناتج إلى قاسم مشترك ونتجاهله.

من أين 127 ∙ 9-52 22 + 1 = 0. بمقارنة المساواة التي تم الحصول عليها مع المعادلة 127x- 52y + 1 = 0 ، يتبع ذلك أن x = 9 ، y = 22 هو حل للمعادلة الأصلية ، ووفقًا للنظرية ، سيتم تضمين جميع حلولها في التعاقب x = 9+ 52t ، y = 22+ 127t ، حيث t = (0 ؛ ± 1 ؛ ± 2 ....). ، تجاهل الرابط الأخير وقم بإجراء حسابات مشابهة لتلك المذكورة أعلاه.

لإثبات هذا الافتراض ، سنحتاج إلى بعض خصائص الكسور المستمرة.

ضع في اعتبارك جزءًا غير قابل للاختزال. أشير بواسطة q 1 إلى خارج القسمة و r 2 إلى باقي قسمة a على b. ثم نحصل على:

ثم ب = q 2 r 2 + r 3 ،

مماثل

ص 2 \ u003d س 3 ص 3 + ص 4 ، ؛

ص 3 \ u003d س 4 ص 4 + ص 5 ، ؛

………………………………..

الكميات q 1 ، q 2 ،… تسمى حواجز القسمة غير المكتملة. تسمى العملية المذكورة أعلاه لتشكيل حواجز غير مكتملة خوارزمية إقليدس. باقي القسمة r 2، r 3،… تحقق المتباينات

أولئك. تشكل سلسلة من الأرقام غير السالبة المتناقصة.

المثال 2 حل المعادلة 170 س + 190 ص = 3000 بأعداد صحيحة

بعد التقليل بمقدار 10 ، تبدو المعادلة كما يلي ،

لإيجاد حل معين ، نستخدم فك كسر في كسر تابع

بعد أن انهار الجزء قبل الأخير المناسب له إلى الكسر العادي

حل معين لهذه المعادلة له الشكل

X 0 \ u003d (-1) 4300 ∙ 9 \ u003d 2700 ، ص 0 \ u003d (-1) 5300 ∙ 8 \ u003d -2400 ،

ويتم إعطاء العام من خلال الصيغة

س = 2700-19 كيلو ، ص = -2400 + 17 كيلو.

من أين نحصل على الشرط على المعلمة k

أولئك. ك = 142 ، س = 2 ، ص = 14. .

6. طريقة العوملة

تعتبر طريقة تعداد الخيارات طريقة غير ملائمة ، حيث توجد حالات يتعذر فيها إيجاد حلول كاملة عن طريق التعداد ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له من هذه الحلول. طريقة التحليل إلى العوامل هي تقنية مثيرة للاهتمام للغاية وهي موجودة في كل من الرياضيات الابتدائية والرياضيات العليا.

يتكون الجوهر من تحول متطابق. معنى أي تحول متطابق هو كتابة تعبير في شكل مختلف مع الحفاظ على جوهره. ضع في اعتبارك أمثلة لتطبيق هذه الطريقة.

№1 حل المعادلة بالأعداد الصحيحة y 3 -x 3 = 91.

باستخدام صيغ الضرب المختصرة ، نقوم بتحليل الجانب الأيمن من المعادلة إلى عوامل:

(ص - س) (ص 2 + س ص + س 2) = 91

نكتب جميع قواسم الرقم 91: ± 1 ؛ ± 7 ؛ ± 13 ؛ ± 91

لاحظ أنه لأي عدد صحيح x و y العدد

ص 2 + ص س + س 2 ≥ ص 2-2 | ص || س | + س 2 = (| ص | - | س |) 2 ≥ 0 ،

لذلك ، يجب أن يكون كلا العاملين في الجانب الأيسر من المعادلة موجبين. ثم المعادلة الأصلية تعادل مجموعة أنظمة المعادلات:

بعد حل الأنظمة ، نختار الجذور التي هي أعداد صحيحة.

نحصل على حلول للمعادلة الأصلية: (5 ؛ 6) ، (-6 ؛ -5) ؛ (-3 ؛ 4) ، (- 4 ؛ 3).

الجواب: (5 ؛ 6) ؛ (-6 ؛ -5) ؛ (-3 ؛ 4) ؛ (-4 ؛ 3).

№2 أوجد كل أزواج الأعداد الطبيعية التي تحقق المعادلة س 2 -ص 2 = 69

نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة وكتابة المعادلة على النحو التالي

لأن قواسم الرقم 69 هي الأرقام 1 و 3 و 23 و 69 ، ثم يمكن الحصول على 69 بطريقتين: 69 = 1 69 و 69 = 3 23. بالنظر إلى أن x-y> 0 ، نحصل على نظامين من المعادلات ، من خلال حلهما يمكننا إيجاد الأرقام المطلوبة:

بعد التعبير عن متغير واحد والتعويض به في المعادلة الثانية ، نجد جذور المعادلات ، النظام الأول له الحل x = 35 ؛ y = 34 والنظام الثاني به الحل x = 13 ، y = 10.

الجواب: (35 ؛ 34) ، (13 ؛ 10).

№3 حل المعادلة س + ص \ u003d س ص بأعداد صحيحة:

نكتب المعادلة في الصورة

دعنا نحلل الطرف الأيسر من المعادلة. احصل على

يمكن أن يساوي حاصل ضرب عددين صحيحين 1 فقط في حالتين: إذا كان كلاهما يساوي 1 أو -1. نحصل على نظامين:

النظام الأول له الحل x = 2 ، y = 2 ، والنظام الثاني به الحل x = 0 ، y = 0 الجواب: (2 ؛ 2) ، (0 ؛ 0).

№4 إثبات أن المعادلة (س - ص) 3 + (ص - ض) 3 + (ض - س) 3 = 30 ليس له حلول في الأعداد الصحيحة.

نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة ونقسم كلا طرفي المعادلة على 3 ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة:

(س - ص) (ص - ض) (ض - س) = 10

القواسم على 10 هي الأرقام ± 1 ، ± 2 ، ± 5 ، ± 10. لاحظ أيضًا أن مجموع العوامل على الجانب الأيسر من المعادلة يساوي 0. من السهل التحقق من أن مجموع أي ثلاثة أرقام من مجموعة قواسم العدد 10 ، مع إعطاء 10 في المنتج ، لن يساوي 0. لذلك ، لا توجد حلول للمعادلة الأصلية بالأعداد الصحيحة.

7. طريقة المخلفات

تتمثل المهمة الرئيسية للطريقة في العثور على باقي قسمة كلا الجزأين من المعادلة بعدد صحيح ، بناءً على النتائج التي تم الحصول عليها. غالبًا ما تقلل المعلومات التي تم الحصول عليها من إمكانيات مجموعات حلول المعادلة. خذ بعين الاعتبار الأمثلة:

№1 يثبت أن المعادلة س 2 = 3y + 2 ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة.

دليل.

ضع في اعتبارك الحالة حيث x ، y ∈ N. ضع في اعتبارك أن باقي الطرفين مقسومًا على 3. الجانب الأيمن من المعادلة يعطي باقي 2 عند قسمة 3 على أي قيمة لـ y. الجانب الأيسر ، وهو مربع العدد الطبيعي ، عند القسمة على 3 ، يعطي دائمًا باقي 0 أو 1. وبناءً على ذلك ، نستنتج أنه لا يوجد حل لهذه المعادلة في الأعداد الطبيعية.

ضع في اعتبارك الحالة عندما يكون أحد الأرقام مساويًا للصفر. ثم ، من الواضح أنه لا توجد حلول في الأعداد الصحيحة.

الحالة التي تكون فيها y عددًا صحيحًا سالبًا ليس لها حلول ، لأن سيكون الجانب الأيمن سلبيًا والجانب الأيسر موجبًا.

الحالة التي يكون فيها x عددًا صحيحًا سالبًا ليس لها حلول أيضًا ، لأن تقع ضمن إحدى الحالات التي تم النظر فيها مسبقًا نظرًا لحقيقة أن (-x) 2 = (x) 2.

اتضح أن المعادلة المشار إليها ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة ، والتي كانت مطلوبة لإثباتها.

№2 حل في الأعداد الصحيحة 3 X = 1 + ص 2 .

ليس من الصعب أن نرى أن (0 ؛ 0) هو حل هذه المعادلة. يبقى إثبات أن المعادلة ليس لها جذور صحيحة أخرى.

ضع في اعتبارك الحالات:

1) إذا كانت x∈N ، y∈N ، فإن Z قابلة للقسمة على ثلاثة بدون باقي ، و 1 + y 2 عند القسمة على 3 يعطي

الباقي هو إما 1 أو 2. لذلك ، المساواة للأعداد الصحيحة الموجبة

قيم x ، y مستحيل.

2) إذا كان x عددًا صحيحًا سالبًا ، y∈Z ، إذن 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

المساواة هي أيضا مستحيلة. لذلك ، (0 ؛ 0) هو الوحيد

الجواب: (0 ؛ 0).

№3 حل المعادلة 2 س 2 -2xy + 9x + y = 2 في أعداد صحيحة:

دعونا نعبر من المعادلة عن المجهول الذي يدخلها فقط إلى الدرجة الأولى ، أي المتغير y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y من أين

نختار الجزء الصحيح من الكسر باستخدام قاعدة قسمة كثير الحدود على "زاوية" كثيرة الحدود. نحن نحصل:

من الواضح أن الاختلاف 2x-1 يمكن أن يأخذ القيم فقط -3 و -1 و 1 و 3.

يبقى تعداد هذه الحالات الأربع ، ونتيجة لذلك نحصل على حلول: (1 ؛ 9) ، (2 ؛ 8) ، (0 ؛ 2) ، (-1 ؛ 3)

الجواب: (1 ؛ 9) ، (2 ؛ 8) ، (0 ؛ 2) ، (-1 ؛ 3)

8. مثال على حل المعادلات ذات المتغيرين في الأعداد الصحيحة على شكل مربعات بالنسبة إلى أحد المتغيرات

№1 حل المعادلة 5x بالأعداد الصحيحة 2 + 5 سنوات 2 + 8xy + 2y-2x + 2 = 0

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة التحليل ، ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة ، كما هي مطبقة على هذه المعادلة ، شاقة للغاية. دعونا نفكر في طريقة أكثر عقلانية.

نكتب المعادلة بصيغة تربيعية بالنسبة للمتغير x:

5 س 2 + (8 ص -2) س + 5 ص 2 + 2 ص + 2 = 0

نجد جذوره.

هذه المعادلة لها حل إذا وفقط إذا كان المميز

من هذه المعادلة تساوي الصفر ، أي - 9 (ص + 1) 2 = 0 ، ومن ثم ص = - 1.

إذا كانت y = -1 ، فإن x = 1.

الجواب: (1 ؛ - 1).

9. مثال على حل المسائل باستخدام المعادلات في الأعداد الصحيحة.

№ 1. حل المعادلة بالأعداد الطبيعية : أين ن> م

دعنا نعبر عن المتغير n بدلالة المتغير m:

لنجد قواسم العدد 625: هذا 1 ؛ 5 ؛ 25 ؛ 125 ؛ 625

1) إذا كانت م -25 = 1 ، فإن م = 26 ، ن = 25 + 625 = 650

2) م -25 = 5 ، ثم م = 30 ، ن = 150

3) م -25 = 25 ، ثم م = 50 ، ن = 50

4) م -25 = 125 ، ثم م = 150 ، ن = 30

5) م -25 = 625 ، ثم م = 650 ، ن = 26

الجواب: م = 150 ، ن = 30

№ 2. حل المعادلة بالأعداد الطبيعية: mn +25 = 4m

الحل: مليون + 25 = 4 م

1) عبر عن المتغير 4 م بدلالة n:

2) أوجد القواسم الطبيعية للرقم 25: هذا هو 1 ؛ 5 ؛ 25

إذا كان 4-n = 1 ، ثم n = 3 ، m = 25

4-n = 5 ، ثم n = -1 ، m = 5 ؛ 4-n = 25 ، ثم n = -21 ، m = 1 (جذور أجنبية)

الجواب: (25 ؛ 3)

بالإضافة إلى مهام حل المعادلة في الأعداد الصحيحة ، هناك مهام لإثبات حقيقة أن المعادلة ليس لها جذور صحيحة.

عند حل مثل هذه المشكلات ، من الضروري تذكر خصائص القابلية للقسمة التالية:

1) إذا كان n Z ؛ n يقبل القسمة على 2 ، ثم n = 2k ، k ∈ Z.

2) إذا ن ∈ Z ؛ n غير قابلة للقسمة على 2 ، ثم n = 2k + 1 ، k ∈ Z.

3) إذا ن ∈ Z ؛ n يقبل القسمة على 3 ، ثم n = 3k ، k ∈ Z.

4) إذا ن ∈ Z ؛ n غير قابلة للقسمة على 3 ، ثم n = 3k ± 1 ، k ∈ Z.

5) إذا ن ∈ Z ؛ ن غير قابل للقسمة على 4 ، ثم ن = 4k + 1 ؛ ن = 4 كيلو + 2 ؛ ن = 4 كيلو + 3. ك ∈ Z.

6) إذا ن ∈ Z ؛ ن (ن + 1) يقبل القسمة على 2 ، ثم ن (ن + 1) (ن + 2) يقبل القسمة على 2 ؛ 3 ؛ 6.

7) ن ؛ n + 1 هي جريمة مشتركة.

№3 يثبت أن المعادلة س 2 - 3y = 17 ليس له حلول عدد صحيح.

دليل:

اسمحوا x؛ ذ - حلول المعادلة

× 2 \ u003d 3 (ص + 6) -1 y ∈ Z ثم y + 6 ∈ Z ، لذا فإن 3 (y + 6) قابلة للقسمة على 3 ، وبالتالي فإن 3 (y + 6) -1 ليست قابلة للقسمة على 3 ، وبالتالي فإن x 2 غير قابلة للقسمة على 3 ، وبالتالي فإن x ليست قابلة للقسمة قابلة للقسمة على 3 ، لذا فإن x = 3k ± 1 ، k ∈ Z.

عوّض بهذا في المعادلة الأصلية.

لدينا تناقض. هذا يعني أن المعادلة ليس لها حلول كاملة ، وهو ما كان مطلوبًا لإثباته.

10- ذروة الصيغة

اكتشف عالم الرياضيات النمساوي جورج بيك صيغة بيك في عام 1899. ترتبط الصيغة بالمعادلات في الأعداد الصحيحة حيث يتم أخذ العقد الصحيحة فقط من المضلعات ، وكذلك الأعداد الصحيحة في المعادلات.

باستخدام هذه الصيغة ، يمكنك العثور على مساحة الشكل المبني على ورقة في خلية (مثلث ، مربع ، شبه منحرف ، مستطيل ، مضلع).

في هذه الصيغة ، سنجد نقاطًا صحيحة داخل المضلع وعلى حدوده.

في المهام التي سيتم إجراؤها في الاختبار ، هناك مجموعة كاملة من المهام التي يتم فيها تقديم مضلع مبني على ورقة في خلية وهناك سؤال حول العثور على المنطقة. مقياس الخلية هو سنتيمتر مربع واحد.

مثال 1

M - عدد العقد على حدود المثلث (على الجانبين والرؤوس)

N هو عدد العقد داخل المثلث.

* تحت كلمة "عقدة" نعني تقاطع الخطوط. أوجد مساحة المثلث:

لاحظ العقد:

م = 15 (موضح باللون الأحمر)

N = 34 (باللون الأزرق)

المثال رقم 2

أوجد مساحة المضلع: لاحظ العقد:

م = 14 (موضح باللون الأحمر)

N = 43 (باللون الأزرق)

12. طريقة الهلال

تعتمد إحدى طرق حل المعادلات في الأعداد الصحيحة - طريقة النسب - على نظرية فيرمات.

طريقة النسب هي طريقة تتكون من بناء حل واحد لتسلسل لانهائي من الحلول مع تقليل z الموجب بلا حدود.

سننظر في خوارزمية هذه الطريقة باستخدام مثال حل معادلة معينة.

مثال 1. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة 5x + 8y = 39.

1) دعنا نختار المجهول الذي له أصغر معامل (في حالتنا ، هو x) ، ونعبر عنه بمصطلح غير معروف آخر:

2) حدد الجزء الصحيح: من الواضح أن x سيكون عددًا صحيحًا إذا كان التعبير عددًا صحيحًا ، والذي سيحدث بدوره عندما يكون الرقم 4 - 3y قابلاً للقسمة على 5 بدون باقي.

3) دعنا نقدم متغير عدد صحيح إضافي z كما يلي: 4 -3y = 5z. نتيجة لذلك ، نحصل على معادلة من نفس نوع المعادلة الأصلية ، ولكن مع معاملات أصغر.

4) لقد قمنا بحلها بالفعل فيما يتعلق بالمتغير y ، بحجة نفس الشيء تمامًا كما في الفقرتين 1 ، 2: تحديد الجزء الصحيح ، نحصل على:

5) بالمثل مع السابق ، نقدم متغيرًا جديدًا u: 3u = 1 - 2z.

6) عبر عن المجهول بأصغر معامل ، في هذه الحالة المتغير z:. يتطلب أن يكون عددًا صحيحًا ، نحصل على: 1 - u = 2v ، حيث u = 1 - 2v. لا يوجد المزيد من الكسور ، انتهى الانحدار (نواصل العملية حتى لا يتبقى أي كسور في التعبير الخاص بالمتغير التالي).

7) الآن أنت بحاجة إلى "الصعود". عبر عن طريق المتغير v أولاً z ، ثم y ثم x:

8) الصيغتان x = 3 + 8v و y = 3 - 5v ، حيث v عدد صحيح عشوائي ، تمثل الحل العام للمعادلة الأصلية بالأعداد الصحيحة.

وبالتالي ، فإن طريقة النسب تتضمن أول تعبير تسلسلي لمتغير واحد من خلال آخر ، حتى لا يتبقى أي كسور في تمثيل المتغير ، ثم "صعود" متسلسل على طول سلسلة المساواة للحصول على حل عام للمعادلة.

12- الخلاصة

نتيجة الدراسة ، تم تأكيد الفرضية بأن الصعوبات في حل المعادلات في الأعداد الصحيحة ترجع إلى حقيقة أنه لم تكن كل طرق حلها معروفة بالنسبة لي. في سياق البحث ، تمكنت من إيجاد ووصف طرق غير معروفة لحل المعادلات في الأعداد الصحيحة ، وتوضيحها بالأمثلة. يمكن أن تكون نتائج بحثي مفيدة لجميع الطلاب المهتمين بالرياضيات.

13. ببليوغرافيا

موارد الكتاب:

1. N. Ya. Vilenkin et al. ، الجبر والتحليل الرياضي / الصف 10 ، الصف 11 / / M. ، "Prosveshchenie" ، 1998 ؛

2. إيه إف إيفانوف وآخرون ، الرياضيات. المواد التعليمية والتدريبية للتحضير للامتحان // Voronezh، GOUVPO VSTU، 2007

3. A. O. Gel’fond ، الرياضيات ، نظرية الأعداد // حل المعادلات في الأعداد الصحيحة // LIBROCOM Book House

موارد الإنترنت:

4. إصدارات توضيحية لمواد قياس التحكم لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات http://fipi.ru/

5. أمثلة على حلول المعادلات في الأعداد الصحيحة http://reshuege.ru

6. أمثلة على حلول المعادلات في الأعداد الصحيحة http://mat-ege.ru

7- تاريخ معادلات ديوفنتين http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. تاريخ ديوفانتوس http://nenuda.ru/٪D1٪83٪D1٪80٪D0٪B0٪D0٪B2٪D0٪BD٪D0٪B5٪D0٪BD٪D0٪B8٪D1٪8F- ٪ D1٪ 81-٪ D0٪ B4٪ D0٪ B2٪ D1٪ 83٪ D0٪ BC٪ D1٪ 8F-٪ D0٪ BD٪ D0٪ B5٪ D0٪ B8٪ D0٪ B7٪ D0٪ B2٪ D0٪ B5 ٪ D1٪ 81٪ D1٪ 82٪ D0٪ BD٪ D1٪ 8B٪ D0٪ BC٪ D0٪ B8-٪ D0٪ B2-٪ D1٪ 86٪ D0٪ B5٪ D0٪ BB٪ D1٪ 8B٪ D1٪ 85 -٪ D1٪ 87٪ D0٪ B8٪ D1٪ 81٪ D0٪ BB٪ D0٪ B0٪ D1٪ 85.htm

9- تاريخ معادلات الديوفانتين http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. تاريخ ديوفانتوس http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 طرق حل المعادلات

عند حل المعادلات في الأعداد الصحيحة والطبيعية ، يمكن تمييز الطرق التالية بشكل تقليدي:

1. طريقة تعداد الخيارات.

2. خوارزمية إقليدس.

3. الكسور المستمرة.

4. طريقة التحليل إلى عوامل.

5. حل المعادلات في شكل مربعات بالنسبة لبعض المتغيرات.

6. طريقة المخلفات.

7. طريقة النسب اللانهائي.

الفصل 2

1. أمثلة على حل المعادلات.

2.1 خوارزمية إقليدس.

مهمة 1 . حل المعادلة بالأعداد الصحيحة 407 X – 2816ذ = 33.

دعنا نستخدم الخوارزمية المترجمة.

1. باستخدام خوارزمية إقليدس ، نجد القاسم المشترك الأكبر للأرقام 407 و 2816:

2816 = 407 6 + 374 ؛

407 = 374 1 + 33 ؛

374 = 33 11 + 11 ؛

إذن (407.2816) = 11 ، بحيث يقبل 33 القسمة على 11

2. قسّم طرفي المعادلة الأصلية على 11 لتحصل على المعادلة 37 X – 256ذ= 3 و (37 ، 256) = 1

3. باستخدام الخوارزمية الإقليدية ، نجد تمثيلًا خطيًا للرقم 1 من خلال الرقمين 37 و 256.

256 = 37 6 + 34 ؛

دعونا نعبر عن 1 من المساواة الأخيرة ، ثم بالتتابع تصاعدي المساواة التي نعبر عنها 3 ؛ 34 واستبدل التعبيرات الناتجة في التعبير عن 1.

1 = 34-3 11 = 34 - (37-34 1) 11 = 34 12-37 11 = (256-37 6) 12-37 11 =

- 83 37-256 (–12)

وبالتالي ، 37 (- 83) - 256 (-12) = 1 ، ومن هنا يأتي زوج الأرقام × 0= - 83 و عند 0= - 12 هو حل المعادلة 37 X – 256ذ = 3.

4. اكتب الصيغة العامة لحلول المعادلة الأصلية

أين ر- أي عدد صحيح.

2.2 طريقة تعداد الخيارات.

المهمة 2. تجلس الأرانب والدراج في قفص ، ولديها 18 قدمًا في المجموع. اكتشف كم من هؤلاء وغيرهم في الخلية؟

المحلول:يتم وضع معادلة بمتغيرين غير معروفين ، حيث x هو عدد الأرانب ، و y هو عدد التدرج:

4 س + 2 ص = 18 ، أو 2 س + ص = 9.

يعبر في بجانب X : ص \ u003d 9 - 2x.

X	1	2	3	4
في	7	5	3	1

وبالتالي ، فإن المشكلة لها أربعة حلول.

إجابه: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 طريقة العوملة.

تبين أن تعداد الخيارات عند إيجاد حلول طبيعية لمعادلة ذات متغيرين أمر شاق للغاية. أيضا ، إذا كانت المعادلة كاملالحلول ، من المستحيل تعدادها ، حيث يوجد عدد لا حصر له من هذه الحلول. لذلك ، سنعرض خدعة أخرى - طريقة التحليل.

المهمة 3. حل المعادلة في الأعداد الصحيحةذ 3 - x 3 = 91.

المحلول. 1) باستخدام صيغ الضرب المختصرة ، نقوم بتحليل الجانب الأيمن من المعادلة إلى عوامل:

(ذ - x)(ذ 2 + س ص + x 2) = 91……………………….(1)

2) اكتب جميع قواسم الرقم 91: ± 1 ؛ ± 7 ؛ ± 13 ؛ ± 91

3) نجري البحث. لاحظ أن لأي عدد صحيح xو ذعدد

ذ 2 + yx + x 2 ≥ ذ 2 - 2|ذ||x| + x 2 = (|ذ| - |x|) 2 ≥ 0,

لذلك ، يجب أن يكون كلا العاملين في الجانب الأيسر من المعادلة موجبين. ثم المعادلة (1) تعادل مجموعة من أنظمة المعادلات:

; ; ;

4) بعد حل الأنظمة ، حصلنا على: النظام الأول لديه حلول (5 ؛ 6) ، (-6 ؛ -5) ؛ الثالث (-3 ؛ 4) ، (- 4 ؛ 3) ؛ الحل الثاني والرابع في الأعداد الصحيحة لا يملكون.

إجابه:المعادلة (1) لها أربعة حلول (5 ؛ 6) ؛ (-6 ؛ -5) ؛ (-3 ؛ 4) ؛ (-4 ؛ 3).

المهمة 4. أوجد كل أزواج الأعداد الطبيعية التي تحقق المعادلة

المحلول.نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة وكتابة المعادلة على النحو التالي

.

لأن قواسم الرقم 69 هي الأرقام 1 و 3 و 23 و 69 ، ثم يمكن الحصول على 69 بطريقتين: 69 = 1 69 و 69 = 3 23. بشرط

، نحصل على نظامين من المعادلات ، من خلال حلهما يمكننا إيجاد الأرقام المطلوبة: أو.

النظام الأول له حل

، والنظام الثاني له حل.

إجابه:

.

المهمة 5. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة:

.

المحلول.نكتب المعادلة في الصورة

.

دعنا نحلل الطرف الأيسر من المعادلة. احصل على

.

يمكن أن يساوي حاصل ضرب عددين صحيحين 1 فقط في حالتين: إذا كان كلاهما يساوي 1 أو -1. نحصل على نظامين:

أو .

النظام الأول لديه الحل x = 2 ، y = 2 ، والنظام الثاني به الحل x = 0 ، y = 0.

إجابه:

.

المهمة 6. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة

المحلول. نكتب هذه المعادلة في الصورة

.

نحلل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل بطريقة التجميع ، نحصل عليها

.

يمكن أن يساوي حاصل ضرب عددين صحيحين 7 في الحالات التالية:

7 = 1 7 = 7 1 = -1 (-7) = - 7 (-1) وهكذا نحصل على أربعة أنظمة:

أو ، أو ، أو.

حل النظام الأول هو زوج من الأعداد x = - 5 ، y = - 6. لحل النظام الثاني ، نحصل على x = 13 ، y = 6. للنظام الثالث ، الحل هو الأعداد x = 5 ، y = 6. النظام الرابع لديه الحل x = - 13 ، y = - 6.

.

المهمة 7. إثبات أن المعادلة ( x - ذ) 3 + (ذ - ض) 3 + (ض - x) 3 = 30 لا

مقدمة

هناك العديد من المسائل الحسابية التي تحتوي على واحد أو أكثر من الأعداد الصحيحة كإجابات. كمثال ، يمكننا الاستشهاد بأربع مسائل كلاسيكية تم حلها في أعداد صحيحة - مشكلة الوزن ، ومشكلة تقسيم العدد ، ومشكلة التبادل ، ومشكلة المربعات الأربعة. وتجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من الصياغة البسيطة لهذه المشكلات ، إلا أنه من الصعب جدًا حلها باستخدام جهاز التحليل الرياضي والتوافقية. تعود أفكار حل المشكلتين الأوليين إلى عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر (1707-1783). ومع ذلك ، يمكنك في أغلب الأحيان العثور على المشكلات التي يُقترح فيها حل المعادلة في أعداد صحيحة (أو بالأرقام الطبيعية). يتم حل بعض هذه المعادلات بسهولة من خلال طريقة الاختيار ، ولكن هذا يثير مشكلة خطيرة - من الضروري إثبات أن جميع حلول هذه المعادلة قد استنفدت بواسطة الحلول المختارة (أي ، لا توجد حلول مختلفة عن الحلول المختارة. المختارة). قد يتطلب ذلك مجموعة متنوعة من التقنيات ، القياسية والاصطناعية. يُظهر تحليل الأدبيات الرياضية الإضافية أن مثل هذه المهام شائعة جدًا في الأولمبياد الرياضي لسنوات مختلفة ومستويات مختلفة ، وكذلك في المهمة 19 من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات (مستوى الملف الشخصي). في الوقت نفسه ، لا يُنظر إلى هذا الموضوع عمليًا في دورة الرياضيات المدرسية ، لذا فإن أطفال المدارس ، المشاركين في أولمبياد الرياضيات أو إجراء امتحان الملف الشخصي في الرياضيات ، يواجهون عادةً صعوبات كبيرة في إكمال مثل هذه المهام. في هذا الصدد ، من المستحسن تحديد نظام من الأساليب الأساسية لحل المعادلات في الأعداد الصحيحة ، خاصة وأن هذه المسألة لم تتم مناقشتها صراحة في الأدبيات الرياضية المدروسة. حددت المشكلة الموصوفة الغرض من هذا العمل: إبراز الطرق الرئيسية لحل المعادلات في الأعداد الصحيحة. ولتحقيق هذا الهدف كان لابد من حل المهام التالية:

1) تحليل مواد الأولمبياد ، وكذلك مواد امتحان الملف الشخصي في الرياضيات ؛

2) تحديد طرق حل المعادلات في أعداد صحيحة وإبراز المعادلات السائدة ؛

3) توضيح النتائج التي تم الحصول عليها بأمثلة ؛

4) تأليف عدة مهام تدريبية حول هذا الموضوع.

5) تطبيق المهام المطورة وتحديد درجة استعداد طلاب الصف التاسع الثانوي MBOU الثانوية رقم 59 لحل هذه المشكلات واستخلاص النتائج العملية.

الجزء الرئيسي

يُظهر تحليل الأدبيات الرياضية المختلفة أنه من بين طرق حل المعادلات في الأعداد الصحيحة ، يمكن تمييز ما يلي باعتباره الأساليب الرئيسية:

1. تمثيل المعادلة كمنتج لعدة عوامل تساوي بعض الأعداد الصحيحة ؛
2. تمثيل المعادلة كمجموع مربعات من عدة مصطلحات ، يساوي بعض الأعداد الصحيحة ؛
3. استخدام خصائص القسمة والمضروب والمربعات الدقيقة ؛
4. استخدام نظريات فيرما الصغيرة والعظيمة ؛
5. طريقة النسب اللانهائي
6. التعبير عن المجهول من خلال الآخر ؛
7. حل المعادلة كمعادلة تربيعية بالنسبة إلى أحد المجهولين ؛
8. اعتبار الباقي من قسمة طرفي المعادلة على عدد معين.

من الضروري على الفور تحديد ما نعنيه بالطرق الرئيسية لحل المعادلات. سوف نطلق على الطرق الأكثر استخدامًا الطرق الرئيسية ، والتي ، بالطبع ، لا تستبعد إمكانية استخدام طرق جديدة "غير متوقعة" بشكل دوري. بالإضافة إلى ذلك ، في الغالبية العظمى من الحالات ، يتم استخدام مجموعاتها المختلفة ، أي يتم الجمع بين عدة طرق.
كمثال على مجموعة من الأساليب ، ضع في اعتبارك المعادلة المقترحة في USE في الرياضيات في 2013 (المهمة C6).

مهمة.حل المعادلة بالأعداد الطبيعية ن! + 5ن + 13 = ك 2 .

المحلول.لاحظ أنه ينتهي بصفر عند ن> 4. علاوة على ذلك ، بالنسبة لأي n ∈ N ، تنتهي إما بالرقم 0 أو بالرقم 5. لذلك ، من أجل ن> 4 ينتهي الجانب الأيسر من المعادلة إما بالرقم 3 أو الرقم 8. ولكنه أيضًا يساوي المربع الدقيق الذي لا يمكن أن ينتهي بهذه الأرقام. لذلك هناك أربعة خيارات فقط للاختيار من بينها: ن = 1, ن = 2, ن = 3, ن = 4.

لذلك فإن المعادلة لها حل طبيعي فريد ن = 2, ك = 5.

استخدمت هذه المسألة خصائص المربعات الدقيقة وخصائص العوامل وبقية قسمة طرفي المعادلة على 10.

مهمة 1. ن 2 - 4ذ! = 3.

المحلول. أولاً ، نعيد كتابة المعادلة الأصلية بالصيغة ن 2 = 4ذ! + 3. إذا نظرت إلى هذه العلاقة من وجهة نظر نظرية القسمة مع الباقي ، يمكنك أن ترى أن المربع الدقيق على الجانب الأيسر من المعادلة يعطي الباقي 3 عند القسمة على 4 ، وهو أمر مستحيل . في الواقع ، يمكن تمثيل أي عدد صحيح بأحد الأشكال الأربعة التالية:

وهكذا ، فإن المربع الدقيق عند القسمة على 4 يعطي الباقي إما 0 أو 1. وبالتالي ، فإن المعادلة الأصلية ليس لها حلول.

الفكرة الرئيسية- تطبيق خصائص المربعات الدقيقة.

المهمة 2. 8ض 2 = (ر!) 2 + 2.

المحلول. يظهر التحقق المباشر ذلك ر= 0 و ر= 1 ليست حل المعادلة. إذا ر> 1 ، إذن ر! هو رقم زوجي ، أي يمكن تمثيله كـ ر! = 2س. في هذه الحالة ، يمكن تحويل المعادلة إلى الصيغة 4 ض 2 = 2س 2 + 1. ومع ذلك ، من الواضح أن المعادلة الناتجة ليس لها حلول ، لأنه يوجد رقم زوجي على الجانب الأيسر ورقم فردي على اليمين.

الفكرة الرئيسية- تطبيق خصائص العوامل.

المهمة 3. حل المعادلة x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 في أعداد صحيحة.

المحلول. يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي: ( x – 1) 2 + (ذ + 3) 2 = 5.

ويترتب على الشرط أن ( x – 1), (ذ+ 3) هي أعداد صحيحة. لذلك ، هذه المعادلة تعادل المجموعة التالية:

يمكننا الآن كتابة جميع الحلول الممكنة للأعداد الصحيحة للمعادلة.

المهمة 4. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة zt + ر – 2ض = 7.

المحلول. يمكن تحويل المعادلة الأصلية إلى الشكل ( ض + 1) (ر- 2) = 5. أعداد ( ض + 1), (ر- 2) هي أعداد صحيحة ، لذا تحدث الخيارات التالية:

إذن ، للمعادلة أربعة حلول صحيحة بالضبط.

الفكرة الرئيسية- تمثيل المعادلة في شكل منتج يساوي عددًا صحيحًا.

المهمة 5. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة ن(ن + 1) = (2ك+ 1)‼

المحلول. رقم 2 ك+ 1)‼ عدد فردي لكل القيم غير السالبة كحسب التعريف (سلبي كلم يتم تعريفه على الإطلاق). من ناحية أخرى ، فهي تساوي ن(ن+ 1) ، وهو حتى لجميع قيم الأعداد الصحيحة ك. تناقض.

الفكرة الرئيسية- استخدام الأجزاء الزوجية / الفردية من المعادلة.

المهمة 6. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة س ص + x + 2ذ = 1.

المحلول. عن طريق التحويل ، يمكن اختزال المعادلة إلى ما يلي:

هذا التحول لم يغير ODZ للمجهول المتضمن في المعادلة ، منذ الاستبدال ذ= -1 في المعادلة الأصلية يؤدي إلى المساواة السخيفة -2 = 1. وفقًا للشرط ، xهو عدد صحيح. بمعنى آخر ، عدد صحيح أيضًا. ولكن بعد ذلك يجب أن يكون الرقم عددًا صحيحًا. الكسر هو عدد صحيح فقط إذا كان البسط يقبل القسمة على المقام. مقسومات العدد 3: 1.3 -1 ، -3. لذلك توجد أربع حالات محتملة للمجهول: ذ = 0, ذ = 2, ذ= –2 ، ص = –4. الآن يمكننا حساب القيم المقابلة للمجهول x. لذلك ، تحتوي المعادلة على أربعة حلول صحيحة بالضبط: (–5 ؛ 0) ، (–5 ؛ 2) ، (1 ؛ –2) ، (1 ؛ –4).

الفكرة الرئيسيةهو تعبير عن شخص غير معروف من حيث الآخر.

المهمة 7. م= ن 2 + 2.

المحلول. إذا م= 0 ، ثم تأخذ المعادلة الشكل ن 2 = -1. ليس لديها حلول كاملة. إذا م < 0, то левая часть уравнения, а значит, и ن، لن يكون عددًا صحيحًا. وسائل، م> 0. ثم الجانب الأيمن من المعادلة (وكذلك الجانب الأيسر) سيكون من مضاعفات الرقم 5. لكن في هذه الحالة ن 2 عند القسمة على 5 يجب أن يعطي الباقي 3 ، وهو مستحيل (تم إثبات ذلك من خلال طريقة تعداد الباقي ، والتي تم وصفها في حل المشكلة 1). لذلك ، هذه المعادلة ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة.

الفكرة الرئيسية- إيجاد الباقي من قسمة جزئي المعادلة على عدد طبيعي.

المهمة 8. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة ( x!) 4 + (ذ – 1) 4 = (ض + 1) 4 .

المحلول. لاحظ أنه نظرًا لأن الأسس زوجي ، فإن المعادلة تعادل ما يلي: ( x!) 4 + |ذ – 1| 4 = |ض+ 1 | 4. ثم x!, |ذ – 1|, |ض+ 1 | - أعداد صحيحة. ومع ذلك ، وفقًا لنظرية فيرما الأخيرة ، لا يمكن لهذه الأعداد الطبيعية أن تفي بالمعادلة الأصلية. وبالتالي ، فإن المعادلة غير قابلة للحل في الأعداد الصحيحة.

الفكرة الرئيسية- استخدام نظرية فيرما الأخيرة.

المهمة 9. حل المعادلة في الأعداد الصحيحة x 2 + 4ذ 2 = 16س ص.

المحلول. ويترتب على حالة المشكلة أن x- رقم زوجي. ثم x 2 = 4x 12. يتم تحويل المعادلة إلى النموذج x 1 2 + ذ 2 = 8x 1 ذ. ويترتب على ذلك أن الأرقام x 1 , ذلها نفس التكافؤ. دعونا ننظر في حالتين.

1 حالة. يترك x 1 , ذ- الأعداد الفردية. ثم x 1 = 2ر + 1, ذ = 2س+ 1. استبدال هذه التعبيرات في المعادلة ، نحصل على:

دعنا نجري التحولات المقابلة:

بتقليل طرفي المعادلة الناتجة بمقدار 2 ، نحصل على؟

يوجد في الجانب الأيسر عدد فردي ، وفي الجانب الأيمن عدد زوجي. تناقض. لذا فإن حالة واحدة مستحيلة.

2 حالة. يترك x 1 , ذ- حتى أرقام. ثم x 1 = 2x 2 + 1, ذ = 2ذواحد . باستبدال هذه القيم في المعادلة ، نحصل على:

وبالتالي ، يتم الحصول على معادلة ، تمامًا كما في الخطوة السابقة. يتم فحصها بطريقة مماثلة ، لذلك في الخطوة التالية نحصل على المعادلة إلخ. في الواقع ، عند إجراء هذه التحولات بناءً على تكافؤ المجهول ، نحصل على التوسعات التالية:. لكن الكميات نو كغير محدودة ، لأنه في أي خطوة (مع عدد كبير بشكل تعسفي) سنحصل على معادلة مكافئة للمعادلة السابقة. وهذا يعني أن هذه العملية لا يمكن أن تتوقف. بمعنى آخر ، الأرقام x, ذقابلة للقسمة مرات عديدة بلا حدود على 2. لكن هذا يحدث فقط بشرط أن x = ذ= 0. وهكذا ، فإن المعادلة لها حل صحيح واحد بالضبط (0 ؛ 0).

الفكرة الرئيسية- استخدام طريقة النسب اللانهائي.

المهمة 10. حل المعادلة 5 في أعداد صحيحة x 2 – 3س ص + ذ 2 = 4.

المحلول. دعونا نعيد كتابة هذه المعادلة بالصورة 5 x 2 – (3x)ذ + (ذ 2 - 4) = 0. يمكن اعتباره مربعًا بالنسبة إلى المجهول x. دعنا نحسب مميز هذه المعادلة:

من أجل الحصول على حلول للمعادلة ، من الضروري والكافي ، أي من هنا لدينا الاحتمالات التالية لـ ذ: ذ = 0, ذ = 1, ذ = –1, ذ= 2, ذ= –2.

لذلك ، تحتوي المعادلة على حلين صحيحين بالضبط: (0 ؛ 2) ، (0 ؛ –2).

الفكرة الرئيسية- اعتبار المعادلة من الدرجة الثانية بالنسبة إلى أحد المجهولين.

تم استخدام المهام التي جمعها المؤلف في التجربة والتي تكونت مما يلي. عُرض على جميع طلاب الصف التاسع مهام مطورة من أجل التعرف على مستوى إعداد الأطفال لهذا الموضوع. كان على كل طالب أن يقدم طريقة لإيجاد حلول عدد صحيح للمعادلات. شارك 64 طالبًا في التجربة. يتم عرض النتائج التي تم الحصول عليها في الجدول 1.

الجدول 1

رقم الوظيفة	عدد الطلاب الذين أكملوا المهمة (نسبة مئوية)

وتشير هذه المؤشرات إلى أن مستوى إعداد طلاب الصف التاسع لهذا الموضوع متدنٍ للغاية. لذلك ، يبدو من المناسب تنظيم دورة خاصة "المعادلات في عدد صحيح" ، والتي ستهدف إلى تحسين معرفة الطلاب في هذا المجال. بادئ ذي بدء ، هؤلاء هم الطلاب الذين يشاركون بشكل منهجي في المسابقات الرياضية والأوليمبياد ، ويخططون أيضًا لإجراء اختبار الملف الشخصي في الرياضيات.

الاستنتاجات

خلال هذا العمل:

1) تم تحليل مواد الأولمبياد ، وكذلك مواد امتحان الدولة الموحد في الرياضيات.

2) يشار إلى طرق حل المعادلات في الأعداد الصحيحة ويتم إبراز المعادلات السائدة ؛

3) النتائج التي تم الحصول عليها موضحة بأمثلة.

4) تجميع المهام التدريبية لطلاب الصف التاسع.

5) تم عمل تجربة للتعرف على مستوى التحضير لهذا الموضوع لدى طلاب الصف التاسع.

6) تم تحليل نتائج التجربة واستخلاص استنتاجات حول ملاءمة دراسة المعادلات في الأعداد الصحيحة في مقرر رياضي خاص.

يمكن استخدام النتائج التي تم الحصول عليها في سياق هذه الدراسة في التحضير لأولمبياد الرياضيات ، وامتحان الدولة الموحد في الرياضيات ، وكذلك في إجراء الفصول الدراسية في دائرة رياضية.

فهرس

1. جلفوند أ. حل المعادلات في أعداد صحيحة. - م: نوكا 1983-64 ص.

2. ألفوتوفا ن. أوستينوف أ. الجبر ونظرية الأعداد. مجموعة من المسائل للمدارس الرياضية - M: MTsNMO ، 2009 - 336 ص.

3. Galperin GA، Tolpygo A.K. أولمبياد موسكو الرياضي: كتاب. للطلاب / إد. أ. كولموغوروف. - م: التنوير ، 1986. - 303 ص ، ص.

4. Dalinger V.A. مشاكل في الأعداد الصحيحة - أومسك: أمفورا ، 2010-132 ص.

5. Yu. A. Gastev and M. L. Smolyanskii، "A Few Words on Fermat’s Last Theorem،" Kvant، August 1972.

قائمة المصطلحات

طريقة النسب اللانهائي- طريقة طورها عالم الرياضيات الفرنسي ب. فيرمات (1601-1665) ، والتي تتمثل في الحصول على تناقض من خلال بناء تسلسل متناقص بشكل لا نهائي للأعداد الطبيعية. نوع من الإثبات بالتناقض.

مربع دقيق (كامل)هو مربع عدد صحيح.

مضروب العدد الطبيعي ن هو حاصل ضرب كل الأعداد الطبيعية من 1 إلى نشامل.