Care este suma unui trapez? Amintiți-vă și aplicați proprietățile unui trapez

Cursul de geometrie pentru clasa a VIII-a presupune studiul proprietăților și caracteristicilor patrulaterelor convexe. Acestea includ paralelograme, dintre care cazuri speciale sunt pătratele, dreptunghiurile și romburi și trapezele. Și dacă rezolvarea problemelor pe diferite variații ale unui paralelogram de cele mai multe ori nu provoacă multe dificultăți, atunci a afla ce patrulater se numește trapez este oarecum mai dificilă.

Definiție și tipuri

Spre deosebire de alte patrulatere studiate în programa școlară, un trapez este de obicei numit o astfel de figură, doi laturi opuse care sunt paralele între ele, dar celelalte două nu sunt. Există o altă definiție: este un patrulater cu o pereche de laturi care sunt inegale și paralele.

Diferitele tipuri sunt prezentate în imaginea de mai jos.

Imaginea numărul 1 arată un trapez arbitrar. Numărul 2 este desemnat caz special- un trapez dreptunghiular, una dintre laturile căruia este perpendiculară pe baze. Și ultima cifră caz special: Acesta este un trapez isoscel (echilateral), adică un patrulater cu laturile egale.

Cele mai importante proprietăți și formule

Pentru a descrie proprietățile unui patrulater, se obișnuiește să se evidențieze anumite elemente. Ca exemplu, luați în considerare un trapez ABCD arbitrar.

Acesta include:

• bazele BC și AD - două laturi paralele între ele;
• laturile AB și CD sunt două elemente neparalele;
• diagonalele AC și BD sunt segmente care leagă vârfuri opuse ale figurii;
• înălțimea trapezului CH este un segment perpendicular pe baze;
• linia mediană EF - linie care leagă punctele medii ale laturilor.

Proprietățile de bază ale elementelor

Pentru a rezolva probleme de geometrie sau pentru a demonstra orice afirmații, ei folosesc cel mai adesea proprietățile care se referă diverse elemente patrulater. Ele sunt formulate după cum urmează:

În plus, este adesea util să cunoașteți și să aplicați următoarele afirmații:

1. O bisectoare desenată dintr-un unghi arbitrar separă un segment la bază, a cărui lungime este egală cu latura figurii.
2. La desenarea diagonalelor se formează 4 triunghiuri; Dintre acestea, 2 triunghiuri formate din bazele și segmentele diagonalelor sunt similare, iar perechea rămasă are aceeași zonă.
3. Prin punctul de intersecție al diagonalelor O, punctele medii ale bazelor, precum și prin punctul în care se intersectează prelungirile laturilor, se poate trasa o linie dreaptă.

Calculul perimetrului și ariei

Perimetrul este calculat ca suma lungimilor tuturor patru laturi(asemănător cu orice altă figură geometrică):

P = AD + BC + AB + CD.

Cerc înscris și circumscris

Un cerc poate fi descris în jurul unui trapez numai dacă laturile patrulaterului sunt egale.

Pentru a calcula raza unui cerc circumscris, trebuie să cunoașteți lungimile diagonalei, ale laturii și ale bazei mai mari. Magnitudinea p, utilizat în formulă se calculează ca jumătate din suma tuturor elementelor de mai sus: p = (a + c + d)/2.

Pentru un cerc înscris, condiția va fi următoarea: suma bazelor trebuie să coincidă cu suma laturilor figurii. Raza sa poate fi găsită prin înălțime și va fi egală cu r = h/2.

Cazuri speciale

Să luăm în considerare un caz frecvent întâlnit - un trapez isoscel (echilateral). Semnele sale sunt egalitatea laturilor laterale sau egalitatea unghiurilor opuse. Toate afirmațiile se aplică ei, care sunt caracteristice unui trapez arbitrar. Alte proprietăți ale unui trapez isoscel:

Trapezul dreptunghiular nu se găsește foarte des în probleme. Semnele sale sunt prezența a două unghiuri adiacente egale cu 90 de grade și prezența unei laturi perpendiculare pe baze. Înălțimea într-un astfel de patrulater este, de asemenea, una dintre laturile sale.

Toate proprietățile și formulele luate în considerare sunt de obicei folosite pentru a rezolva probleme planimetrice. Cu toate acestea, ele trebuie utilizate și în unele sarcini de la cursul de stereometrie, de exemplu, la determinarea suprafeței trunchi de piramidă, care seamănă la exterior cu un trapez volumetric.

Subiectul lecției

Trapez

Obiectivele lecției

Continuați să introduceți noi definiții în geometrie;
Consolidarea cunoștințelor despre forme geometrice deja studiate;
Introduceți formularea și evidența proprietăților trapezului;
Învățați utilizarea proprietăților diferitelor figuri atunci când rezolvați probleme și finalizați sarcinile;
Continuați să dezvoltați atenția la școlari, gândire logicăși vorbire matematică;
Cultivați interesul față de subiect.

Obiectivele lecției

Trezește interesul pentru cunoașterea geometriei;
Formarea în continuare a elevilor în rezolvarea problemelor;
Apel interes cognitiv pentru lecțiile de matematică.

Planul de lecție

1. Revedeți materialul studiat mai devreme.
2. Introducere în trapez, proprietățile și caracteristicile acestuia.
3. Rezolvarea problemelor și finalizarea sarcinilor.

Repetarea materialului studiat anterior

În lecția anterioară, ți-a fost prezentat o astfel de figură ca un patrulater. Să consolidăm materialul acoperit și să răspundem la întrebările puse:

1. Câte unghiuri și laturi are un tetragon?
2. Formulați definiția unui 4-gon?
3. Cum se numesc laturile opuse ale tetragonului?
4. Ce tipuri de patrulatere cunoașteți? Enumerați-le și definiți fiecare dintre ele.
5. Desenați un exemplu de patrulater convex și neconvex.

Trapez. Proprietăți generale și definiție

Un trapez este o figură patruunghiulară în care doar o pereche de laturi opuse este paralelă.

În definiția geometrică, un trapez este un tetragon care are două laturi paralele, iar celelalte două nu.

Numele unei figuri atât de neobișnuite ca „trapez” provine din cuvântul „trapez”, care este tradus din limba greacă, denotă cuvântul „masă”, din care provin și cuvântul „masă” și alte cuvinte înrudite.

În unele cazuri, într-un trapez, o pereche de laturi opuse sunt paralele, dar cealaltă pereche nu este paralelă. În acest caz, trapezul se numește curbiliniu.

Elemente trapezoidale

Trapezul este format din elemente precum baza, liniile laterale, linia mediană și înălțimea acestuia.

Baza unui trapez este laturile sale paralele;
Laturile laterale sunt celelalte două laturi ale trapezului care nu sunt paralele;
Linia mediană a unui trapez este segmentul care leagă punctele medii ale laturilor sale;
Înălțimea unui trapez este distanța dintre bazele sale.

Tipuri de trapeze

Exercita:

1. Formulați definiția unui trapez isoscel.
2. Care trapez se numește dreptunghiular?
3. Ce înseamnă un trapez cu unghi ascuțit?
4. Care trapez este unul obtuz?

Proprietățile generale ale unui trapez

În primul rând, linia mediană a trapezului este paralelă cu baza figurii și este egală cu jumătatea sa;

În al doilea rând, segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unei figuri cu 4 gonale este egal cu jumătatea diferenței bazelor sale;

În al treilea rând, într-un trapez, liniile paralele care intersectează laturile unghiului unei figuri date decupează segmente proporționale din laturile unghiului.

În al patrulea rând, în orice tip de trapez, suma unghiurilor care sunt adiacente laturii sale este egală cu 180°.

Unde mai este prezent trapezul?

Cuvântul „trapez” este prezent nu numai în geometrie, ci are o aplicație mai largă în viata de zi cu zi.

Putem întâlni acest cuvânt neobișnuit în timp ce urmărim competiții sportive ale gimnastelor care efectuează exerciții acrobatice la trapez. În gimnastică, un trapez este un aparat sportiv care constă dintr-o bară transversală suspendată pe două frânghii.

Puteți auzi acest cuvânt și atunci când vă antrenați în sală sau printre oameni care sunt implicați în culturism, deoarece trapezele nu sunt numai figură geometrică sau echipament sportiv de acrobație, dar și mușchi puternici ai spatelui, care se află în ceafă.

Imaginea prezintă un trapez aerian, care a fost inventat pentru acrobații de circ de artistul Julius Leotard încă din secolul al XIX-lea în Franța. La început, creatorul acestui act și-a instalat proiectilul la o înălțime mică, dar în cele din urmă a fost mutat chiar sub cupola circului.

Aerienii de la circ efectuează trucuri de zbor de la trapez la trapez, efectuează zboruri încrucișate și efectuează capriole în aer.

În sporturile ecvestre, trapezul este un exercițiu de întindere sau întindere a corpului calului, care este foarte util și plăcut pentru animal. Când calul stă în poziție trapezoidală, funcționează întinderea picioarelor animalului sau a mușchilor spatelui. Acest exercițiu frumos putem observa în timpul arcului sau așa-numitul „crunch frontal”, când calul se îndoaie adânc.

Temă: Dați propriile exemple despre unde altundeva în viața de zi cu zi puteți auzi cuvintele „trapez”?

Știați că pentru prima dată în 1947, celebrul designer de modă francez Christian Dior a susținut o prezentare de modă în care a fost prezentă silueta unei fuste a-line. Și deși au trecut mai bine de șaizeci de ani, această siluetă este încă la modă și nu își pierde relevanța până în prezent.

În garderoba reginei engleze, fusta a-line a devenit un articol indispensabil și cartea ei de vizită.

Amintește formă geometrică Fusta în formă de A cu același nume se potrivește perfect cu orice bluze, bluze, topuri și jachete. Clasicismul și natura democratică a acestui stil popular îi permite să fie purtat cu jachete formale și topuri ușor frivole. Ar fi indicat să porți o astfel de fustă atât la birou, cât și la discotecă.

Probleme cu trapezul

Pentru a ușura rezolvarea problemelor cu trapezele, este important să rețineți câteva reguli de bază:

Mai întâi, desenați două înălțimi: BF și CK.

Într-unul dintre cazuri, ca rezultat, veți obține un dreptunghi - ВСФК, din care este clar că FК = ВС.

AD=AF+FK+KD, prin urmare AD=AF+BC+KD.

În plus, este imediat evident că ABF și DCK sunt triunghiuri dreptunghiulare.

O altă opțiune este posibilă atunci când trapezul nu este destul de standard, unde

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Dar cea mai simplă opțiune este dacă trapezul nostru este isoscel. Apoi rezolvarea problemei devine și mai ușoară, deoarece ABF și DCK sunt triunghiuri dreptunghiulare și sunt egale. AB=CD, deoarece trapezul este isoscel, iar BF=CK, ca înălțime a trapezului. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor corespunzătoare.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Daca esti interesat această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivul lecției:

• educativ– introduceți conceptul de trapez, faceți cunoștință cu tipurile de trapez, studiați proprietățile unui trapez, învățați elevii să aplice cunoștințele dobândite în procesul de rezolvare a problemelor;
• în curs de dezvoltare– dezvoltarea calităților comunicative ale elevilor, dezvoltarea capacității de a efectua experimente, generalizare, trage concluzii, dezvoltarea interesului pentru subiect.
• educativ– cultivați atenția, creați o situație de succes, bucurie de la independent depășirea dificultăților, să dezvolte la elevi nevoia de autoexprimare prin diverse tipuri fabrică

Forme de lucru: frontal, baie de aburi, grup.

Forma de organizare a activităților pentru copii: capacitatea de a asculta, de a construi o discuție, de a exprima un gând, o întrebare, un plus.

Echipament: computer, proiector multimedia, ecran. Pe birourile elevilor: tăiați material pentru realizarea unui trapez pe biroul fiecărui elev; cartonașe cu sarcini (tipărituri ale desenelor și sarcini din notele de lecție).

PROGRESUL LECȚIEI

I. Moment organizatoric

Salutare, verificarea pregătirii locului de muncă pentru lecție.

II. Actualizarea cunoștințelor

• dezvoltarea abilităților de clasificare a obiectelor;
• identificarea caracteristicilor principale și secundare în timpul clasificării.

Luați în considerare desenul nr. 1.

Urmează o discuție despre desen.
– Din ce este făcută această figură geometrică? Băieții găsesc răspunsul în imagini: [din dreptunghi și triunghiuri].
– Cum ar trebui să fie triunghiurile care alcătuiesc un trapez?
Toate opiniile sunt ascultate și discutate, este selectată o opțiune: [triunghiurile trebuie să fie dreptunghiulare].
– Cum se formează triunghiurile și un dreptunghi? [Astfel încât laturile opuse ale dreptunghiului să coincidă cu catetul fiecărui triunghi].
– Ce știi despre laturile opuse ale unui dreptunghi? [Sunt paralele].
- Deci acest patrulater va avea laturi paralele? [Da].
- Câți sunt? [Două].
După discuție, profesorul demonstrează „regina lecției” - trapezul.

III. Explicarea noului material

1. Definiția trapezului, elemente ale trapezului

• învață elevii să definească un trapez;
• denumește-i elementele;
• dezvoltarea memoriei asociative.

– Acum încercați să dați o definiție completă a unui trapez. Fiecare elev gândește un răspuns la întrebare. Ei fac schimb de păreri în perechi și pregătesc un singur răspuns la întrebare. Se dă un răspuns oral unui elev din 2-3 perechi.
[Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două laturi nu sunt paralele].

– Cum se numesc laturile unui trapez? [Laturile paralele se numesc bazele trapezului, iar celelalte două se numesc laturile laterale].

Profesorul sugerează să pliați formele tăiate în trapeze. Elevii lucrează în perechi și adaugă cifre. Este bine dacă perechile de studenți sunt de niveluri diferite, atunci unul dintre studenți este consultant și ajută un prieten în caz de dificultate.

– Construiește un trapez în caiete, notează numele laturilor trapezului. Pune-i vecinului tău întrebări despre desen, ascultă-i răspunsurile și spune-i opțiunile tale de răspuns.

Context istoric

"trapez"- un cuvânt grecesc care în antichitate însemna „masă” (în greacă „trapedzion” înseamnă masă, masă. Figura geometrică a fost numită astfel datorită asemănării sale exterioare cu o masă mică.
În Elemente (greacă Στοιχεῖα, latină Elementa) - lucrarea principală a lui Euclid, scrisă în jurul anului 300 î.Hr. e. și dedicat construcției sistematice a geometriei) termenul „trapez” este folosit nu în sensul modern, ci într-un sens diferit: orice patrulater (nu un paralelogram). „Trapezul” în sensul nostru se găsește pentru prima dată la matematicianul grec antic Posidonius (secolul I). În Evul Mediu, după Euclid, orice patrulater (nu paralelogram) era numit trapez; abia în secolul al XVIII-lea. acest cuvânt capătă un sens modern.

Construirea unui trapez din elementele sale date. Băieții termină sarcinile de pe cardul nr. 1.

Elevii trebuie să construiască trapeze într-o varietate de aranjamente și forme. La pasul 1 trebuie să construiți un trapez dreptunghiular. La punctul 2 devine posibilă construirea unui trapez isoscel. La punctul 3, trapezul va fi „întins pe o parte”. În paragraful 4, desenul implică construirea unui trapez în care una dintre baze se dovedește a fi neobișnuit de mică.
Elevii „surprind” profesorul cu diferite figuri care au un singur nume comun - trapez. Profesorul demonstrează opțiuni posibile construirea trapezelor.

Problema 1. Vor fi două trapeze egale dacă una dintre baze și, respectiv, două laturi sunt egale?
Discutați soluția problemei în grupuri și demonstrați corectitudinea raționamentului.
Un elev din grupă desenează un desen pe tablă și explică raționamentul.

2. Tipuri de trapez

• dezvoltarea memoriei motorii, abilități de a rupe un trapez în figuri cunoscute necesare pentru rezolvarea problemelor;
• dezvoltarea abilităților de a generaliza, compara, defini prin analogie și formula ipoteze.

Să ne uităm la poză:

– Prin ce sunt diferite trapezele din imagine?
Băieții au observat că tipul de trapez depinde de tipul de triunghi situat în stânga.
- Completați propoziția:

Un trapez se numește dreptunghiular dacă...
Un trapez se numește isoscel dacă...

3. Proprietăţile unui trapez. Proprietățile unui trapez isoscel.

• formularea, prin analogie cu un triunghi isoscel, a unei ipoteze despre proprietatea unui trapez isoscel;
• dezvoltarea abilităților analitice (comparare, ipoteza, demonstrarea, construirea).

• Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor este egal cu jumătate din diferența bazelor.
• Un trapez isoscel are unghiuri egale la orice bază.
• Un trapez isoscel are diagonale egale.
• Într-un trapez isoscel, înălțimea coborâtă de la vârf la baza mai mare îl împarte în două segmente, dintre care unul este egal cu jumătate din suma bazelor, celălalt cu jumătate din diferența bazelor.

Sarcina 2. Demonstrați că într-un trapez isoscel: a) unghiurile de la fiecare bază sunt egale; b) diagonalele sunt egale. Pentru a demonstra aceste proprietăți ale unui trapez isoscel, amintim semnele de egalitate ale triunghiurilor. Elevii finalizează sarcina în grupuri, discută și notează soluția în caiete.
Un elev din grup face o dovadă la tablă.

4. Exercițiu de atenție

5. Exemple de utilizare a formelor trapezoide în viața de zi cu zi:

• în interioare (canapele, pereți, plafoane suspendate);
• V design peisagistic(limitele gazonului, rezervoare artificiale, pietre);
• în industria modei (îmbrăcăminte, încălțăminte, accesorii);
• în proiectarea articolelor de zi cu zi (lămpi, vase, folosind forme trapezoidale);
• în arhitectură.

Lucrări practice(după opțiuni).

– Într-un sistem de coordonate, construiți trapeze isoscele pe baza celor trei vârfuri date.

Opțiunea 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) și (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
Opțiunea 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) și (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …; …).

– Determinați coordonatele celui de-al patrulea vârf.
Soluția este verificată și comentată de întreaga clasă. Elevii indică coordonatele celui de-al patrulea punct găsit și încearcă verbal să explice de ce condițiile date determină doar un punct.

O sarcină interesantă.Îndoiți un trapez din: a) patru triunghiuri dreptunghiulare; b) din trei triunghiuri dreptunghiulare; c) din două triunghiuri dreptunghiulare.

IV. Teme pentru acasă

• cultivarea stimei de sine corecte;
• creând o situaţie de „succes” pentru fiecare elev.

p.44, cunoașteți definiția, elementele unui trapez, tipurile acestuia, cunoașteți proprietățile unui trapez, să le puteți demonstra, Nr. 388, Nr. 390.

V. Rezumatul lecției. La sfârșitul lecției se dă copiilor chestionar, care vă permite să efectuați autoanaliză, să dați o evaluare calitativă și cantitativă a lecției .

- (trapez grecesc). 1) în geometrie, un patrulater în care două laturi sunt paralele și două nu. 2) o figură adaptată pentru exerciții de gimnastică. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Trapez- Trapez. TRAPEZ (din grecescul trapez, literal tabel), un patrulater convex în care două laturi sunt paralele (bazele trapezului). Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor (linia mediană) și înălțimea. ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Quadrangle, projectile, crossbar Dicționar de sinonime rusești. substantiv trapez, număr de sinonime: 3 bară transversală (21) ... Dicţionar de sinonime

- (din grecescul trapez, literal tabel), un patrulater convex în care două laturi sunt paralele (bazele unui trapez). Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor (linia mediană) și înălțimea... Enciclopedie modernă

- (din grecescul trapez lit. tabel), patrulater în care două laturi opuse, numite bazele trapezului, sunt paralele (în figura AD și BC), iar celelalte două sunt neparalele. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului (la ...... Dicţionar enciclopedic mare

TRAPEZ, patruunghiular figură plată, în care două laturi opuse sunt paralele. Aria unui trapez este egală cu jumătate din suma laturilor paralele înmulțită cu lungimea perpendicularei dintre ele... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

TRAPEZ, trapez, femei (din greaca trapeza table). 1. Cadrilater cu două laturi paralele și două neparalele (mat.). 2. Un aparat de gimnastică format dintr-o bară transversală suspendată pe două frânghii (sport). Acrobatic...... Dicţionar Ushakova

TRAPEZ și, femeie. 1. Un patrulater cu două laturi paralele și două neparalele. Bazele trapezului (laturile sale paralele). 2. Un aparat de circ sau de gimnastică este o bară transversală suspendată pe două cabluri. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. CU… Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

Femeie, geom. un patrulater cu laturile inegale, dintre care două sunt paralele (paralele). Trapez, un patrulater similar în care toate laturile se depărtează. Trapezoedru, un corp fațetat de trapeze. Dicţionarul explicativ al lui Dahl. V.I. Dahl. 1863 1866... Dicţionarul explicativ al lui Dahl

- (Trapez), SUA, 1956, 105 min. Melodramă. Aspirantul acrobat Tino Orsini se alătură unei trupe de circ în care lucrează Mike Ribble, un celebru fost artist trapezist. Mike a cântat odată cu tatăl lui Tino. Tânărul Orsini îl vrea pe Mike... Enciclopedia Cinematografiei

Un patrulater în care două laturi sunt paralele și celelalte două laturi nu sunt paralele. Distanța dintre laturile paralele se numește. înălțimea T. Dacă laturile paralele și înălțimea conțin a, b și h metri, atunci aria lui T conține metri patrati … Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

În diverse materiale teste iar examenele sunt foarte frecvente probleme de trapez, a cărui soluție necesită cunoașterea proprietăților sale.

Să aflăm ce proprietăți interesante și utile are un trapez pentru rezolvarea problemelor.

După studierea proprietăților liniei mediane a unui trapez, se poate formula și dovedi proprietatea unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor.

MO – linie de mijloc triunghiul ABCși egal cu 1/2ВС (Fig. 1).

MQ este linia de mijloc a triunghiului ABD și este egal cu 1/2AD.

Atunci OQ = MQ – MO, deci OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Când rezolvați multe probleme pe un trapez, una dintre tehnicile principale este de a desena două înălțimi în el.

Luați în considerare următoarele sarcină.

Fie BT înălțimea unui trapez isoscel ABCD cu bazele BC și AD, cu BC = a, AD = b. Aflați lungimile segmentelor AT și TD.

Soluţie.

Rezolvarea problemei nu este dificilă (Fig. 2), dar vă permite să obțineți proprietatea înălțimii unui trapez isoscel desenat din vârf unghi obtuz : înălțimea unui trapez isoscel desenat din vârful unui unghi obtuz împarte baza mai mare în două segmente, dintre care cel mai mic este egal cu jumătate din diferența bazelor, iar cel mai mare este egal cu jumătate din suma bazelor .

Când studiați proprietățile unui trapez, trebuie să acordați atenție unei astfel de proprietăți ca asemănarea. Deci, de exemplu, diagonalele unui trapez îl împart în patru triunghiuri, iar triunghiurile adiacente bazelor sunt similare, iar triunghiurile adiacente laturilor au dimensiuni egale. Această afirmație poate fi numită proprietatea triunghiurilor în care un trapez este împărțit cu diagonalele sale. Mai mult decât atât, prima parte a enunțului poate fi dovedită foarte ușor prin semnul asemănării triunghiurilor în două unghiuri. Să demonstrăm a doua parte a declarației.

Triunghiurile BOC și COD au o înălțime comună (Fig. 3), dacă luăm ca baze segmentele BO și OD. Atunci S BOC /S COD = BO/OD = k. Prin urmare, S COD = 1/k · S BOC .

În mod similar, triunghiurile BOC și AOB au o înălțime comună dacă luăm ca baze segmentele CO și OA. Atunci S BOC /S AOB = CO/OA = k și S A O B = 1/k · S BOC .

Din aceste două propoziții rezultă că S COD = S A O B.

Să nu ne oprim asupra enunțului formulat, ci să găsim relația dintre ariile triunghiurilor în care se împarte trapezul cu diagonalele sale. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm următoarea problemă.

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. Se știe că ariile triunghiurilor BOC și AOD sunt egale cu S 1 și, respectiv, S 2. Găsiți aria trapezului.

Deoarece S COD = S A O B, atunci S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD rezultă că BO/OD = √(S₁/S 2).

Prin urmare, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), ceea ce înseamnă S COD = √(S 1 · S 2).

Atunci S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Folosind asemănarea se demonstrează că proprietatea unui segment care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez paralel cu bazele.

Să luăm în considerare sarcină:

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. BC = a, AD = b. Aflați lungimea segmentului PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele. Ce segmente este împărțit PK la punctul O (Fig. 4)?

Din asemănarea triunghiurilor AOD și BOC rezultă că AO/OC = AD/BC = b/a.

Din asemănarea triunghiurilor AOP și ACB rezultă că AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Prin urmare, PO = BC b / (a ​​+ b) = ab/(a + b).

În mod similar, din asemănarea triunghiurilor DOK și DBC, rezultă că OK = ab/(a + b).

Prin urmare, PO = OK și PK = 2ab/(a + b).

Deci, proprietatea dovedită poate fi formulată astfel: un segment paralel cu bazele trapezului, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor și care leagă două puncte pe laturile laterale, este împărțit la jumătate la punctul de intersecție al diagonalelor. diagonalele. Lungimea sa este media armonică a bazelor trapezului.

Urmând proprietate în patru puncte: într-un trapez, punctul de intersecție al diagonalelor, punctul de intersecție al continuării laturilor, punctele medii ale bazelor trapezului se află pe aceeași dreaptă.

Triunghiurile BSC și ASD sunt similare (Fig. 5) iar în fiecare dintre ele medianele ST și SG împart unghiul de vârf S în părți egale. Prin urmare, punctele S, T și G se află pe aceeași dreaptă.

În același mod, punctele T, O și G sunt situate pe aceeași linie. Aceasta rezultă din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD.

Aceasta înseamnă că toate cele patru puncte S, T, O și G se află pe aceeași dreaptă.

Puteți găsi, de asemenea, lungimea segmentului care împarte trapezul în două similare.

Dacă trapezele ALFD și LBCF sunt similare (Fig. 6), atunci a/LF = LF/b.

Prin urmare LF = √(ab).

Astfel, un segment care împarte un trapez în două trapeze similare are lungimea egală cu media geometrică a lungimilor bazelor.

Să demonstrăm proprietatea unui segment care împarte un trapez în două zone egale.

Fie aria trapezului S (Fig. 7). h 1 și h 2 sunt părți ale înălțimii, iar x este lungimea segmentului dorit.

Atunci S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 și

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Să creăm un sistem

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Hotărând acest sistem, obținem x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Astfel, lungimea segmentului care împarte trapezul în două egale este egală cu √((a 2 + b 2)/2)(pătrat mediu al lungimii bazei).

Deci, pentru trapezul ABCD cu bazele AD și BC (BC = a, AD = b) am demonstrat că segmentul:

1) MN, care leagă punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, este paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei lor (medie numere aritmetice a și b);

2) PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele este egal cu
2ab/(a + b) (media armonică a numerelor a și b);

3) LF, care împarte un trapez în două trapeze similare, are lungimea egală cu media geometrică a numerelor a și b, √(ab);

4) EH, împărțind un trapez în două egale, are lungimea √((a 2 + b 2)/2) (rădăcina pătrată medie a numerelor a și b).

Semnul și proprietatea unui trapez înscris și circumscris.

Proprietatea unui trapez înscris: un trapez poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă este isoscel.

Proprietățile trapezului descris. Un trapez poate fi descris în jurul unui cerc dacă și numai dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor.

Consecințele utile ale faptului că un cerc este înscris într-un trapez:

1. Înălțimea trapezului circumscris este egală cu două raze ale cercului înscris.

2. Latura trapezului circumscris este vizibilă din centrul cercului înscris în unghi drept.

Primul este evident. Pentru a demonstra cel de-al doilea corolar, este necesar să stabilim că unghiul COD este corect, ceea ce, de asemenea, nu este dificil. Dar cunoașterea acestui corolar vă permite să utilizați un triunghi dreptunghic atunci când rezolvați probleme.

Să precizăm corolare pentru un trapez circumscris isoscel:

Înălțimea unui trapez circumscris isoscel este media geometrică a bazelor trapezului
h = 2r = √(ab).

Proprietățile luate în considerare vă vor permite să înțelegeți mai profund trapezul și să vă asigurați succesul în rezolvarea problemelor folosind proprietățile sale.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi problemele trapezului?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.