Toate înălțimile triunghiului se intersectează în două puncte. Elementele de bază ale triunghiului abc. Problema aplicării teoremei lui Pitagora

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului de matematică la 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. Potrivit și pentru promovarea examenului de bază la matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examen și nici un student de o sută de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria de care ai nevoie. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. S-au demontat toate sarcinile relevante din partea 1 din Banca de sarcini a FIPI. Cursul îndeplinește pe deplin cerințele examenului-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și direct.

Sute de teme de examen. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de USE. Stereometrie. Soluții complicate, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, grade și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Când rezolvați probleme geometrice, este util să urmați acest algoritm. Când citiți enunțul problemei, trebuie

Faceți un desen. Desenul ar trebui să corespundă cât mai mult posibil cu starea problemei, astfel încât sarcina sa principală este de a ajuta la găsirea soluției
Aplicați toate datele din enunțul problemei în desen
Scrieți toate conceptele geometrice care apar în problemă
Amintiți-vă toate teoremele care se referă la acest concept
Desenați pe desen toate relațiile dintre elementele unei figuri geometrice care decurg din aceste teoreme

De exemplu, dacă în problemă apare cuvântul bisectoare a unghiului unui triunghi, trebuie să vă amintiți definiția și proprietățile bisectoarei și să desemnați segmente și unghiuri egale sau proporționale în desen.

În acest articol, veți găsi proprietățile de bază ale unui triunghi pe care trebuie să le cunoașteți pentru a rezolva cu succes problemele.

TRIUNGHI.

Aria unui triunghi.

1. ,

aici este o latură arbitrară a triunghiului, este înălțimea coborâtă în această latură.

2. ,

aici și sunt laturi arbitrare ale triunghiului, este unghiul dintre aceste laturi:

3. Formula lui Heron:

Iată lungimile laturilor triunghiului, este semiperimetrul triunghiului,

4. ,

aici este semiperimetrul triunghiului, este raza cercului înscris.

Fie lungimile segmentelor tangentelor.

Atunci formula lui Heron poate fi scrisă după cum urmează:

6. ,

aici - lungimile laturilor triunghiului, - raza cercului circumscris.

Dacă pe o latură a unui triunghi se ia un punct care împarte această latură în raportul m: n, atunci segmentul care leagă acest punct cu vârful unghiului opus împarte triunghiul în două triunghiuri, ale căror zone sunt legate ca m : n:

Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.

Mediana unui triunghi

Acesta este segmentul de linie care leagă vârful triunghiului de mijlocul laturii opuse.

Medianele triunghiulare se intersectează într-un punct și sunt împărțite la punctul de intersecție într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf.

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi regulat împarte mediana în două segmente, dintre care cel mai mic este egal cu raza cercului înscris, iar cel mai mare este egal cu raza cercului înscris.

Raza cercului înscris este de două ori mai mare decât raza cercului înscris: R = 2r

Lungimea mediană triunghi arbitrar

aici - mediana trasată în lateral, - lungimile laturilor triunghiului.

Bisectoarea unui triunghi

Acesta este un segment al bisectoarei oricărui colț al triunghiului, conectând vârful acestui unghi cu latura opusă.

Bisectoarea unui triunghiîmparte latura în segmente proporționale cu laturile adiacente:

Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct, care este centrul cercului înscris.

Toate punctele bisectoarei unui unghi sunt echidistante de laturile unghiului.

Înălțimea triunghiului

Acesta este un segment al perpendicularei coborât de la vârful triunghiului spre partea opusă sau continuarea acestuia. Într-un triunghi obtuz, înălțimea trasă de la vârful unghiului ascuțit se află în afara triunghiului.

Înălțimile triunghiului se intersectează într-un punct, care se numește ortocentrul triunghiului.

Pentru a afla înălțimea unui triunghi atras în lateral, trebuie să-i găsiți zona în orice mod disponibil și apoi să utilizați formula:

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi, se află în punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului.

Raza cercului circumscris unui triunghi poate fi găsită prin următoarele formule:

Iată lungimile laturilor triunghiului, este aria triunghiului.

unde este lungimea laturii triunghiului, este unghiul opus. (Această formulă decurge din teorema sinusului).

Inegalitatea triunghiului

Fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma și mai mare decât diferența celorlalte două.

Suma lungimilor oricăror două laturi este întotdeauna mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi:

Opus laturii mai mari este unghiul mai mare; vizavi de colțul mai mare se află latura mai mare:

Dacă, atunci invers.

Teorema sinusului:

laturile triunghiului sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse:

Teorema cosinusului:

pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi fără produsul acestor laturi de două ori cu cosinusul unghiului dintre ele:

Triunghi dreptunghic

- este un triunghi, unul dintre unghiurile căruia este de 90 °.

Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic se adună până la 90 °.

Ipotenuza este latura care se află opusă unui unghi de 90 °. Ipotenuza este cea mai mare latură.

Teorema lui Pitagora:

pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic este

iată raza cercului înscris, - catete, - ipotenuză:

Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei:

Mediana unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză, este egal cu jumătate din ipotenuză.

Determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui triunghi dreptunghic uite

Raportul elementelor dintr-un triunghi dreptunghic:

Pătratul înălțimii unui triunghi dreptunghic, tras din vârful unghiului drept, este egal cu produsul dintre proiecțiile catetelor și ipotenuza:

Pătratul catetei este egal cu produsul ipotenuzei și proiecția catetei la ipotenuză:

Picior situat opus colțului egal cu jumătate din ipotenuză:

Triunghi isoscel.

Bisectoarea unui triunghi isoscel trasat la bază este mediana și înălțimea.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.

Unghiul apex.

Și - părțile laterale,

Și - unghiuri la bază.

Înălțime, bisectoare și mediană.

Atenţie!Înălțimea, bisectoarea și mediana trasate în lateral nu se potrivesc.

Triunghi regulat

(sau triunghi echilateral ) este un triunghi, ale cărui laturi și unghiuri sunt egale între ele.

Aria unui triunghi regulat este egal cu

unde este lungimea laturii triunghiului.

Centrul unui cerc înscris într-un triunghi regulat, coincide cu centrul unui cerc circumscris unui triunghi regulat și se află în punctul de intersecție al medianelor.

Punctul de intersecție al medianelor unui triunghi regulatîmparte mediana în două segmente, dintre care cel mai mic este egal cu raza cercului înscris, iar cel mai mare este egal cu raza cercului înscris.

Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi isoscel este de 60 °, atunci acest triunghi este regulat.

Linia de mijloc a unui triunghi

Acesta este segmentul de linie care leagă punctele medii ale celor două laturi.

În figură, DE este linia de mijloc a triunghiului ABC.

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea acesteia: DE || AC, AC = 2DE

Colțul exterior al unui triunghi

Acesta este colțul adiacent oricărui colț al triunghiului.

Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri care nu sunt adiacente acestuia.

Funcții trigonometrice ale unghiului extern:

Semne de egalitate a triunghiurilor:

1 ... Dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu cele două laturi și unghiul dintre ele ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

2 ... Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu latura și două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

3 Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Important: deoarece două unghiuri dintr-un triunghi dreptunghic sunt cu siguranță egale, atunci pentru egalitatea a două triunghiuri dreptunghiulare necesită egalitatea doar a două elemente: două laturi, sau o latură și un unghi ascuțit.

Semne ale asemănării triunghiurilor:

1 ... Dacă cele două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi, iar unghiurile dintre aceste laturi sunt egale, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

2 ... Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

3 ... Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt similare.

Important:în triunghiuri similare, laturile similare se află opuse unghiurilor egale.

teorema lui Menelaus

Fie ca o dreaptă să intersecteze un triunghi și - punctul de intersecție cu latura, - punctul de intersecție cu latura și - punctul de intersecție cu prelungirea laturii. Atunci

Triunghiuri.

Noțiuni de bază.

Triunghi este o figură formată din trei segmente de dreaptă și trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă.

Segmentele sunt numite petreceri, și puncte - culmi.

Suma unghiurilor un triunghi este egal cu 180º.

Înălțimea triunghiului.

Înălțimea triunghiului este o perpendiculară trasată dinspre sus spre partea opusă.

Într-un triunghi cu unghi ascuțit, înălțimea este conținută în triunghi (Fig. 1).

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt înălțimile triunghiului (Fig. 2).

Într-un triunghi obtuz, înălțimea este în afara triunghiului (Figura 3).

Proprietăți înălțimea triunghiului:

Bisectoarea unui triunghi.

Bisectoarea unui triunghi este un segment de linie care împarte colțul vârfului în jumătate și leagă vârful cu un punct din partea opusă (Fig. 5).

Proprietăți bisectoare:

Mediana triunghiului.

Mediana unui triunghi este un segment de linie care leagă vârful cu mijlocul laturii opuse (Fig. 9a).

Lungimea mediei poate fi calculată folosind formula:

2b 2 + 2c 2 - A 2
m a 2 = ——————
4

Unde m a este mediana trasă în lateral A.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată de ipotenuză este jumătate din ipotenuză:

c
m c = —
2

Unde m c- mediana trasată la ipotenuză c(Figura 9c)

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct (în centrul de masă al triunghiului) și sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf. Adică, segmentul de la vârf la centru este de două ori mai mare decât segmentul de la centru spre latura triunghiului (Figura 9c).

Trei mediane ale unui triunghi îl împart în șase triunghiuri egale.

Linia de mijloc a triunghiului.

Linia de mijloc a unui triunghi este un segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale (Fig. 10).

Linia de mijloc a triunghiului este paralelă cu a treia latură și este egală cu jumătatea acesteia

Colțul exterior al triunghiului.

Colț exterior triunghiul este egal cu suma a două unghiuri interioare neadiacente (Fig. 11).

Colțul exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi neadiacent.

Triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic este un triunghi cu unghi drept (fig. 12).

Latura unui triunghi dreptunghic opus unui unghi drept se numește ipotenuză.

Celelalte două partide sunt chemate picioare.

Segmente de drepte proporționale într-un triunghi dreptunghic.

1) Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea trasă dintr-un unghi drept formează trei triunghiuri asemănătoare: ABC, ACH și HCB (fig. 14a). În consecință, unghiurile formate de înălțime sunt egale cu unghiurile A și B.

Fig.14a

Triunghi isoscel.

Triunghi isoscel este un triunghi cu două laturi egale (Fig. 13).

Aceste laturi egale sunt numite laturile laterale iar al treilea este bază triunghi.

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale. (În triunghiul nostru, unghiul A este egal cu unghiul C).

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este atât bisectoarea, cât și înălțimea triunghiului.

Triunghi echilateral.

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale (Fig. 14).

Proprietățile triunghiului echilateral:

Proprietăți minunate ale triunghiurilor.

Triunghiurile au proprietăți originale care vă vor ajuta să rezolvați cu succes problemele cu aceste forme. Unele dintre aceste proprietăți sunt prezentate mai sus. Dar le repetăm încă o dată, adăugându-le și alte câteva caracteristici grozave:

1) Într-un triunghi dreptunghic cu catete de 90º, 30º și 60º b, care se află vizavi de un unghi de 30º, este egal cu jumătate din ipotenuză. Și piciorulA mai mult piciorb√3 ori (Fig. 15 A). De exemplu, dacă catetul b este 5, atunci ipotenuza c neapărat egal cu 10, iar piciorul A este egal cu 5√3.

2) Într-un triunghi isoscel dreptunghic cu unghiuri de 90º, 45º și 45º, ipotenuza este de √2 ori catetul (Fig. 15). b). De exemplu, dacă catetele sunt 5, atunci ipotenuza este 5√2.

3) Linia de mijloc a triunghiului este egală cu jumătate din latura paralelă (Fig. 15 Cu). De exemplu, dacă latura unui triunghi este 10, atunci linia mediană paralelă este 5.

4) Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză (Figura 9c): m c= s/2.

5) Medianele unui triunghi, care se intersectează într-un punct, sunt împărțite la acest punct într-un raport de 2: 1. Adică, segmentul de la vârf până la punctul de intersecție al medianelor este de două ori mai mare decât segmentul de la punctul de intersecție al medianelor până la latura triunghiului (Figura 9c)

6) Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris (Fig. 15). d).

Teste de egalitate pentru triunghiuri.

Primul semn de egalitate: dacă două laturi și unghiul dintre ele ale unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele unui alt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al doilea semn de egalitate: dacă latura și unghiurile adiacente acesteia ale unui triunghi sunt egale cu latura și unghiurile adiacente acesteia ale celuilalt triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Al treilea semn al egalității: dacă trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.

Inegalitatea triunghiului.

În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Teorema lui Pitagora.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

c 2 = A 2 + b 2 .

Aria unui triunghi.

1) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturii sale cu înălțimea trasă de această latură:

Ah
S = ——
2

2) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul oricăror două dintre laturile sale cu sinusul unghiului dintre ele:

1
S = — AB AC · păcat A
2

Un triunghi circumscris unui cerc.

Un cerc se numește înscris într-un triunghi dacă atinge toate laturile sale (Fig. 16 A).

Un triunghi înscris într-un cerc.

Un triunghi se numește înscris într-un cerc dacă îl atinge cu toate vârfurile sale (Fig. 17). A).

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic (Fig. 18).

Sinusul unghi ascutit X opunându-se catete la ipotenuză.
Se notează astfel: păcatX.

Cosinus unghi ascutit X triunghiul dreptunghic este raportul adiacent catete la ipotenuză.
Se notează astfel: cos X.

Tangentă unghi ascutit X este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Se notează astfel: tgX.

Cotangentă unghi ascutit X- Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Se notează astfel: ctgX.

Reguli:

Picior opus colțului X, este egal cu produsul dintre ipotenuză și sin X:

b = c Păcat X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul ipotenuzei și cos X:

a = c Cos X

Picior opus colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și tg X:

b = a Tg X

Picior adiacent colțului X, este egal cu produsul celui de-al doilea segment și ctg X:

a = b Ctg X.

Pentru orice unghi ascuțit X:

păcat (90 ° - X) = cos X

cos (90 ° - X) = păcat X

Triunghi) sau trece în afara triunghiului la un triunghi obtuz.

YouTube colegial

1 / 5

✪ ÎNĂLȚIMEA BISECTRICIANULUI MEDIAN a unui triunghi, nota 7

✪ bisectoare, mediană, înălțime triunghi. Geometrie clasa 7

✪ Clasa a 7-a, Lecția 17, Medianele, bisectoarele și înălțimile triunghiului

✪ Înălțimea mediană, bisectoare, triunghi | Geometrie

✪ Cum să găsiți lungimea bisectoarei, mediana și înălțimile? | Botai cu mine # 031 | Boris Trushin

Subtitrări

Proprietățile punctului de intersecție a celor trei înălțimi ale triunghiului (ortocentrul)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(Pentru a dovedi identitatea, ar trebui să folosiți formulele

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (EC)))

Pentru punctul E, ar trebui să luați intersecția celor două înălțimi ale triunghiului.)

Ortocentru conjugată izogonal la centru cerc circumscris .
Ortocentru se află pe o singură linie dreaptă cu centroidul, centru cerc circumscrisși centrul unui cerc de nouă puncte (vezi linia lui Euler).
Ortocentru un triunghi cu unghi ascuțit este centrul unui cerc înscris în ortotriunghiul său.
Centrul unui triunghi circumscris de ortocentrul cu vârfuri la mijlocul laturilor acestui triunghi. Ultimul triunghi se numește triunghi complementar în raport cu primul triunghi.
Ultima proprietate poate fi formulată astfel: Centrul unui cerc circumscris unui triunghi servește ortocentru triunghi suplimentar.
Puncte simetrice ortocentru a unui triunghi în raport cu laturile sale, se află pe cercul circumscris.
Puncte simetrice ortocentru a unui triunghi în raport cu punctele medii ale laturilor, se află, de asemenea, pe cerc circumferitor și coincid cu puncte diametral opuse vârfurilor corespunzătoare.
Dacă O este centrul cercului circumscris ΔABC, atunci O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
Distanța de la vârful triunghiului la ortocentru este de două ori distanța de la centrul cercului circumscris la partea opusă.
Orice segment extras din ortocentruînainte de a traversa cercul circumscris, acesta este întotdeauna înjumătățit de cercul lui Euler. Ortocentru este centrul homoteziei acestor două cercuri.
teorema lui Hamilton... Trei segmente de linie care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi cu unghi ascuțit îl împart în trei triunghiuri având același cerc Euler (un cerc de nouă puncte) ca și triunghiul original cu unghi ascuțit.
Consecințele teoremei lui Hamilton:
- Trei segmente de linie care leagă ortocentrul cu vârfurile unui triunghi cu unghi ascuțit îl împart în trei Triunghiul lui Hamilton având raze egale ale cercurilor circumscrise.
- Razele cercurilor circumscrise de trei Triunghiurile lui Hamilton sunt egale cu raza cercului circumscris triunghiului original cu unghi ascuțit.
Într-un triunghi cu unghi ascuțit, ortocentrul se află în interiorul triunghiului; în obtuz - în afara triunghiului; într-un dreptunghiular – la vârful unui unghi drept.

Proprietăți de elevație a triunghiului isoscel

Dacă două înălțimi dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel (teorema Steiner - Lemus), iar a treia înălțime este simultan mediana și bisectoarea unghiului din care iese.
Este adevărat și invers: într-un triunghi isoscel, două înălțimi sunt egale, iar a treia înălțime este atât mediana, cât și bisectoarea.
Într-un triunghi echilateral, toate cele trei înălțimi sunt egale.

Proprietățile cotei de bază ale unui triunghi

Fundamenteînălțimile formează așa-numitul ortotriunghi, care are proprietăți proprii.
Cercul circumscris ortotriunghiului este cercul lui Euler. Acest cerc conține, de asemenea, trei puncte medii ale laturilor triunghiului și trei puncte medii ale trei segmente care leagă ortocentrul cu vârfurile triunghiului.
O altă formulare a ultimei proprietăți:
- Teorema lui Euler pentru un cerc de nouă puncte. Fundamente Trei înălțimi un triunghi arbitrar, mijlocul celor trei laturi ale sale ( fundamentele sale interne mediane) și punctele medii ale trei segmente care leagă vârfurile sale cu ortocentrul, toate se află pe același cerc (pe cerc de nouă puncte).
Teorema... În orice triunghi, un segment care se leagă fundatii Două înălțimi triunghi, taie un triunghi ca acesta.
Teorema... Într-un triunghi, un segment care se leagă fundatii Două înălțimi triunghiuri situate pe două laturi, antiparalel un terț cu care nu are puncte comune. Prin cele două capete ale sale, precum și prin două vârfuri ale celei de-a treia laturi menționate, puteți desena oricând un cerc.

Alte proprietăți de elevație a triunghiului

Dacă triunghiul versatil (scalen), apoi este intern bisectoarea trasă din orice vârf se află între intern mediana si inaltimea trase din acelasi varf.
Înălțimea triunghiului este conjugată izogonal cu diametrul (raza) cerc circumscris trasă din același vârf.
Într-un triunghi cu unghi ascuțit, cei doi sunt înălțimi tăiați astfel de triunghiuri din el.
Într-un triunghi dreptunghic înălţime desenat din vârful unui unghi drept îl împarte în două triunghiuri asemănătoare cu cel original.

Proprietăți ale minimului înălțimii triunghiului

Cea mai mică dintre înălțimile triunghiului are multe proprietăți extreme. De exemplu:

Proiecția ortogonală minimă a unui triunghi pe linii drepte situate în planul triunghiului are o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile sale.
Secțiunea dreaptă minimă în plan prin care poate fi trasă o placă triunghiulară neîndoită trebuie să aibă o lungime egală cu cea mai mică dintre înălțimile acestei plăci.
Cu mișcarea continuă a două puncte de-a lungul perimetrului triunghiului unul spre celălalt, distanța maximă dintre ele în timpul deplasării de la prima întâlnire la a doua nu poate fi mai mică decât lungimea celei mai mici înălțimi a triunghiului.
Înălțimea minimă dintr-un triunghi se află întotdeauna în acel triunghi.

Relații de bază

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) Unde S (\ displaystyle S)- aria unui triunghi, a (\ displaystyle a)- lungimea laturii triunghiului, la care se coboara inaltimea.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) Unde b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- produsul laturilor, R - (\ displaystyle R-) raza cercului circumscris
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), Unde r (\ displaystyle r) este raza cercului înscris.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a)))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c) )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), Unde S (\ displaystyle S)- aria unui triunghi.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ stil de afișare a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (A))))))))), a (\ displaystyle a)- latura triunghiului la care cade inaltimea h a (\ displaystyle h_ (a)).
Înălțimea unui triunghi isoscel, coborât la bază: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ),)

Unde c (\ displaystyle c)- baza, a (\ displaystyle a)- latură.

Teorema înălțimii pentru un triunghi dreptunghic

Dacă înălțimea într-un triunghi dreptunghic este ABC cu o lungime h (\ displaystyle h) trasă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza cu lungimea c (\ displaystyle c) pentru segmente m (\ stil de afișare m)și n (\ displaystyle n) corespunzătoare picioarelor b (\ displaystyle b)și a (\ displaystyle a), atunci următoarele egalități sunt adevărate.