สำหรับลำแสงคานยื่นที่โหลดด้วยโหลดความเข้มแบบกระจาย kN/m และโมเมนต์เข้มข้นที่ kN m (รูปที่ 3.12) จำเป็นต้อง: สร้างไดอะแกรมของแรงเฉือนและโมเมนต์การดัดงอ เลือกลำแสงหน้าตัดวงกลมที่มี ความเค้นปกติที่อนุญาต kN/cm2 และตรวจสอบความแข็งแรงของลำแสงตามความเค้นในแนวดิ่งกับความเค้นในแนวสัมผัสที่อนุญาต kN/cm2 ขนาดลำแสง ม.; ม.; ม.

รูปแบบการคำนวณสำหรับปัญหาการดัดงอตามขวางโดยตรง

ข้าว. 3.12

การแก้ปัญหา "การดัดแนวขวางตรง"

การกำหนดปฏิกิริยาสนับสนุน

ปฏิกิริยาแนวนอนในการฝังจะเป็นศูนย์ เนื่องจากแรงภายนอกในทิศทางแกน z จะไม่กระทำกับลำแสง

เราเลือกทิศทางของแรงปฏิกิริยาที่เหลือที่เกิดขึ้นในการฝัง: เราจะกำหนดทิศทางปฏิกิริยาในแนวตั้ง เช่น ลง และโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา ค่าของพวกเขาถูกกำหนดจากสมการคงที่:

เมื่อเขียนสมการเหล่านี้ เราจะถือว่าโมเมนต์เป็นบวกเมื่อหมุนทวนเข็มนาฬิกา และการคาดการณ์ของแรงจะเป็นบวกหากทิศทางสอดคล้องกับทิศทางบวกของแกน y

จากสมการแรก เราพบว่าโมเมนต์อยู่ที่จุดผนึก:

จากสมการที่สอง - ปฏิกิริยาแนวตั้ง:

เราได้รับจากเรา ค่าบวกสำหรับโมเมนต์และปฏิกิริยาแนวตั้งในส่วนที่ฝังอยู่ บ่งบอกว่าเราเดาทิศทางของมันได้

ตามลักษณะของการยึดและการรับน้ำหนักของคานเราแบ่งความยาวออกเป็นสองส่วน ตามขอบเขตของแต่ละส่วนเหล่านี้เราจะร่างภาพตัดขวางสี่ส่วน (ดูรูปที่ 3.12) ซึ่งเราจะใช้วิธีการของส่วน (ROZU) เพื่อคำนวณค่าของแรงเฉือนและโมเมนต์การดัด

ส่วนที่ 1 ทิ้งด้านขวาของลำแสงทางจิตใจ เรามาแทนที่การกระทำทางด้านซ้ายที่เหลือด้วยแรงตัดและโมเมนต์การดัดงอ เพื่อความสะดวกในการคำนวณค่า ให้เราคลุมด้านขวาของลำแสงที่ถูกทิ้งด้วยกระดาษแผ่นหนึ่ง โดยจัดแนวขอบด้านซ้ายของแผ่นงานให้ตรงกับส่วนที่พิจารณา

ขอให้เราระลึกว่าแรงเฉือนที่เกิดขึ้นในส่วนตัดขวางใดๆ จะต้องปรับสมดุลแรงภายนอกทั้งหมด (ที่ทำงานอยู่และปฏิกิริยา) ที่กระทำต่อส่วนของลำแสงที่เราพิจารณา (ซึ่งมองเห็นได้) ดังนั้นแรงเฉือนจะต้องเท่ากับผลรวมพีชคณิตของแรงทั้งหมดที่เราเห็น

ขอให้เรานำเสนอกฎของสัญญาณสำหรับแรงตัด: แรงภายนอกที่กระทำต่อส่วนของลำแสงที่กำลังพิจารณาและมีแนวโน้มที่จะ "หมุน" ส่วนนี้สัมพันธ์กับส่วนในทิศทางตามเข็มนาฬิกาทำให้เกิดแรงตัดเชิงบวกในส่วนนั้น แรงภายนอกดังกล่าวรวมอยู่ในผลรวมพีชคณิตสำหรับคำจำกัดความที่มีเครื่องหมายบวก

ในกรณีของเรา เราเห็นเฉพาะปฏิกิริยาของส่วนรองรับซึ่งหมุนส่วนของลำแสงที่เรามองเห็นโดยสัมพันธ์กับส่วนแรก (สัมพันธ์กับขอบของแผ่นกระดาษ) ทวนเข็มนาฬิกา นั่นเป็นเหตุผล

กิโลนิวตัน

โมเมนต์การโค้งงอในส่วนใดๆ จะต้องสร้างสมดุลระหว่างโมเมนต์ที่สร้างโดยแรงภายนอกที่เราเห็นโดยสัมพันธ์กับส่วนที่เป็นปัญหา ด้วยเหตุนี้ จึงเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อส่วนของลำแสงที่เรากำลังพิจารณา โดยสัมพันธ์กับส่วนที่พิจารณา (หรืออีกนัยหนึ่งคือสัมพันธ์กับขอบของแผ่นกระดาษ) ในกรณีนี้ภาระภายนอกซึ่งดัดส่วนของลำแสงโดยคำนึงถึงความนูนลงด้านล่างจะทำให้เกิดโมเมนต์การดัดที่เป็นบวกในส่วนนั้น และโมเมนต์ที่สร้างขึ้นจากภาระดังกล่าวจะรวมอยู่ในผลรวมพีชคณิตสำหรับการพิจารณาด้วยเครื่องหมาย "บวก"

เราเห็นความพยายามสองประการ: ปฏิกิริยาและช่วงเวลาปิด อย่างไรก็ตาม ค่าเลเวอเรจของกำลังสัมพันธ์กับส่วนที่ 1 นั้นเป็นศูนย์ นั่นเป็นเหตุผล

กิโลนิวตัน

เราใช้เครื่องหมาย "บวก" เนื่องจากโมเมนต์ปฏิกิริยาทำให้ส่วนของลำแสงที่เรามองเห็นโค้งงอลง

ส่วนที่ 2 เหมือนเมื่อก่อนเราจะปิดด้านขวาทั้งหมดของลำแสงด้วยกระดาษแผ่นหนึ่ง ตอนนี้แรงมีไหล่ไม่เหมือนกับภาคแรก: ม. ดังนั้น

กิโลนิวตัน; กิโลนิวตัน

ส่วนที่ 3 เราพบการปิดด้านขวาของลำแสง

กิโลนิวตัน;

ส่วนที่ 4 ปิดด้านซ้ายของคานด้วยแผ่น แล้ว

กิโลนิวตัน

กิโลนิวตัน

.

ด้วยการใช้ค่าที่พบ เราสร้างไดอะแกรมของแรงเฉือน (รูปที่ 3.12, b) และโมเมนต์การดัด (รูปที่ 3.12, c)

ภายใต้พื้นที่ที่ไม่มีการโหลด แผนภาพของแรงเฉือนจะขนานกับแกนของลำแสงและภายใต้โหลดแบบกระจาย q - ตามแนวเส้นตรงที่เอียงขึ้นด้านบน ภายใต้ปฏิกิริยารองรับในแผนภาพ มีการกระโดดลงตามค่าของปฏิกิริยานี้ ซึ่งก็คือ 40 kN

ในแผนภาพของโมเมนต์การโค้งงอ เราเห็นการแตกหักภายใต้ปฏิกิริยาแนวรับ มุมโค้งงอมุ่งตรงไปยังปฏิกิริยารองรับ ภายใต้โหลดแบบกระจาย q แผนภาพจะเปลี่ยนไปตามพาราโบลากำลังสอง ซึ่งนูนไปทางโหลด ในส่วนที่ 6 บนแผนภาพจะมีส่วนปลาย เนื่องจากแผนภาพของแรงตัดในสถานที่นี้ผ่านค่าศูนย์

กำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางหน้าตัดของลำแสงที่ต้องการ

สภาวะความแรงของความเครียดปกติมีรูปแบบดังนี้

,

โดยที่โมเมนต์ต้านทานของลำแสงระหว่างการดัดคือที่ไหน สำหรับคานหน้าตัดวงกลมจะเท่ากับ:

.

ค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดของโมเมนต์การดัดงอเกิดขึ้นในส่วนที่สามของลำแสง: กิโลนิวตัน ซม

จากนั้นสูตรจะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของลำแสงที่ต้องการ

ซม.

เรายอมรับมม. แล้ว

กิโลนิวตัน/ซม.2 กิโลนิวตัน/ซม.2

“แรงดันไฟฟ้าเกิน” คือ

,

สิ่งที่ได้รับอนุญาต

เราตรวจสอบความแข็งแรงของลำแสงด้วยแรงเฉือนสูงสุด

ความเค้นเฉือนที่ใหญ่ที่สุดที่เกิดขึ้นในส่วนตัดขวางของลำแสง ส่วนรอบจะถูกคำนวณโดยสูตร

,

พื้นที่หน้าตัดอยู่ที่ไหน

จากแผนภาพ ค่าพีชคณิตที่ใหญ่ที่สุดของแรงเฉือนจะเท่ากับ กิโลนิวตัน แล้ว

กิโลนิวตัน/ซม.2 กิโลนิวตัน/ซม.2,

นั่นคือสภาวะกำลังสำหรับความเค้นในวงสัมผัสก็พอใจเช่นกัน และมีระยะขอบที่มาก

ตัวอย่างการแก้ปัญหา "การดัดแนวขวาง" ครั้งที่ 2

สภาวะของปัญหาตัวอย่างเกี่ยวกับการดัดงอตามขวางตรง

สำหรับลำแสงที่รองรับอย่างง่ายซึ่งโหลดด้วยโหลดความเข้มแบบกระจาย kN/m แรงเข้มข้น kN และโมเมนต์เข้มข้น kN m (รูปที่ 3.13) จำเป็นต้องสร้างไดอะแกรมของแรงเฉือนและโมเมนต์การดัดงอ และเลือกลำแสงของ I-beam หน้าตัดที่มีความเค้นปกติที่อนุญาต kN/cm2 และความเค้นแทนเจนต์ที่อนุญาต kN/cm2 ระยะลำแสง ม.

ตัวอย่างของปัญหาการดัดงอตรง - แผนภาพการคำนวณ

ข้าว. 3.13

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการดัดงอตรง

การกำหนดปฏิกิริยาสนับสนุน

สำหรับลำแสงที่รองรับอย่างง่ายนั้น จำเป็นต้องค้นหาปฏิกิริยารองรับสามปฏิกิริยา: และ เนื่องจากแรงในแนวตั้งฉากกับแกนเท่านั้นที่กระทำบนลำแสง ปฏิกิริยาแนวนอนของส่วนรองรับบานพับคงที่ A จึงเป็นศูนย์:

ทิศทางของปฏิกิริยาแนวตั้งจะถูกเลือกโดยพลการ ขอให้เรากำหนดทิศทางปฏิกิริยาแนวตั้งทั้งสองขึ้นด้านบน ในการคำนวณค่า เรามาสร้างสมการคงที่สองสมการกัน:

ให้เราระลึกว่าผลลัพธ์ของโหลดเชิงเส้น กระจายสม่ำเสมอในส่วนความยาว l เท่ากับ นั่นคือ เท่ากับพื้นที่ของแผนภาพของโหลดนี้ และมันถูกนำไปใช้ที่จุดศูนย์ถ่วงของสิ่งนี้ แผนภาพนั่นคืออยู่ตรงกลางของความยาว

;

กิโลนิวตัน

มาตรวจสอบกัน: .

โปรดจำไว้ว่าแรงที่มีทิศทางตรงกับทิศทางบวกของแกน y นั้นถูกฉาย (ฉาย) ลงบนแกนนี้ด้วยเครื่องหมายบวก:

ถูกแล้ว.

เราสร้างไดอะแกรมของแรงเฉือนและโมเมนต์การดัดงอ

เราแบ่งความยาวของลำแสงออกเป็นส่วนๆ ขอบเขตของส่วนเหล่านี้คือจุดที่ใช้แรงรวมศูนย์ (แอคทีฟและ/หรือรีแอกทีฟ) รวมถึงจุดที่สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของโหลดแบบกระจาย ปัญหาของเรามีสามส่วนดังกล่าว ตามขอบเขตของส่วนเหล่านี้เราจะร่างส่วนตัดขวางหกส่วนซึ่งเราจะคำนวณค่าของแรงเฉือนและโมเมนต์การดัด (รูปที่ 3.13, a)

ส่วนที่ 1 ทิ้งด้านขวาของลำแสงทางจิตใจ เพื่อความสะดวกในการคำนวณแรงเฉือนและโมเมนต์การดัดงอที่เกิดขึ้นในส่วนนี้ เราจะคลุมส่วนของลำแสงที่เราทิ้งไปด้วยกระดาษแผ่นหนึ่ง โดยจัดแนวขอบด้านซ้ายของแผ่นกระดาษให้ตรงกับส่วนนั้นเอง

แรงเฉือนในส่วนของลำแสงเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงภายนอกทั้งหมด (แอคทีฟและรีแอกทีฟ) ที่เราเห็น ใน ในกรณีนี้เราเห็นปฏิกิริยาของส่วนรองรับและโหลดเชิงเส้น q กระจายไปตามความยาวที่น้อยมาก โหลดเชิงเส้นผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ นั่นเป็นเหตุผล

กิโลนิวตัน

เครื่องหมายบวกเกิดขึ้นเนื่องจากแรงหมุนส่วนของลำแสงที่เรามองเห็นโดยสัมพันธ์กับส่วนแรก (ขอบกระดาษ) ตามเข็มนาฬิกา

โมเมนต์การดัดในส่วนลำแสงเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่เราเห็นสัมพันธ์กับส่วนที่พิจารณา (นั่นคือสัมพันธ์กับขอบของแผ่นกระดาษ) เราเห็นปฏิกิริยารองรับและโหลดเชิงเส้น q กระจายไปตามความยาวที่น้อยมาก อย่างไรก็ตาม แรงนั้นมีค่าเลเวอเรจเป็นศูนย์ โหลดเชิงเส้นผลลัพธ์จะเป็นศูนย์เช่นกัน นั่นเป็นเหตุผล

ส่วนที่ 2 เหมือนเมื่อก่อนเราจะปิดด้านขวาทั้งหมดของลำแสงด้วยกระดาษแผ่นหนึ่ง ตอนนี้เราเห็นปฏิกิริยาและโหลด q ที่กระทำต่อส่วนของความยาว โหลดเชิงเส้นผลลัพธ์จะเท่ากับ มันถูกแนบไว้ตรงกลางของส่วนที่มีความยาว นั่นเป็นเหตุผล

ให้เราระลึกว่าเมื่อพิจารณาสัญญาณของโมเมนต์การดัดงอเราจะปล่อยส่วนของลำแสงที่เราเห็นออกจากการยึดที่รองรับจริงทั้งหมดทางจิตใจและจินตนาการว่ามันราวกับว่าถูกบีบในส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณา (นั่นคือเราจินตนาการถึงขอบด้านซ้ายทางจิตใจ ของแผ่นกระดาษเป็นการฝังแบบแข็ง)

ส่วนที่ 3 มาปิดด้านขวากัน เราได้รับ

ส่วนที่ 4 ปิดด้านขวาของคานด้วยแผ่น แล้ว

ตอนนี้ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณ ให้ใช้กระดาษปิดด้านซ้ายของลำแสง เราเห็นแรงรวมศูนย์ P ปฏิกิริยาของส่วนรองรับที่เหมาะสมและโหลดเชิงเส้น q กระจายไปตามความยาวที่น้อยมาก โหลดเชิงเส้นผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ นั่นเป็นเหตุผล

กิโลนิวตัน

นั่นคือทุกอย่างถูกต้อง

หมวดที่ 5. ปิดด้านซ้ายของคานเช่นเดิม จะมี

กิโลนิวตัน;

กิโลนิวตัน

หมวดที่ 6. ปิดด้านซ้ายของคานอีกครั้ง เราได้รับ

กิโลนิวตัน;

ด้วยการใช้ค่าที่พบ เราสร้างไดอะแกรมของแรงเฉือน (รูปที่ 3.13, b) และโมเมนต์การดัด (รูปที่ 3.13, c)

เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าภายใต้พื้นที่ที่ไม่ได้โหลด แผนภาพของแรงเฉือนจะวิ่งขนานกับแกนของลำแสง และภายใต้โหลดแบบกระจาย q - ตามแนวเส้นตรงที่ลาดลง มีการกระโดดสามครั้งในแผนภาพ: ภายใต้ปฏิกิริยา - เพิ่มขึ้น 37.5 kN, ภายใต้ปฏิกิริยา - เพิ่มขึ้น 132.5 kN และภายใต้แรง P - ลดลง 50 kN

ในแผนภาพของโมเมนต์การโก่งตัว เราเห็นการแตกหักภายใต้แรงที่มีสมาธิ P และภายใต้ปฏิกิริยารองรับ มุมแตกหักมุ่งตรงไปที่แรงเหล่านี้ ภายใต้โหลดความเข้มแบบกระจาย q แผนภาพจะเปลี่ยนไปตามพาราโบลากำลังสอง ซึ่งนูนไปทางโหลด ภายใต้ช่วงเวลาที่เข้มข้นจะมีการกระโดด 60 kN · m ซึ่งก็คือตามขนาดของโมเมนต์นั้นเอง ในส่วนที่ 7 บนแผนภาพจะมีส่วนปลายสุด เนื่องจากแผนภาพของแรงตัดสำหรับส่วนนี้จะผ่านค่าศูนย์ () ให้เรากำหนดระยะห่างจากส่วนที่ 7 ถึงส่วนรองรับด้านซ้าย

โมเมนต์การดัดและแรงเฉือน

แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับการดัดงอ การดัดลำแสงบริสุทธิ์และแนวขวาง

การดัดโค้งแบบบริสุทธิ์เป็นรูปแบบหนึ่งของการเปลี่ยนรูปซึ่งมีโมเมนต์การดัดงอเกิดขึ้นที่หน้าตัดของลำแสงเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น การเปลี่ยนรูปแบบการโค้งงออย่างแท้จริงจะเกิดขึ้นหากแรงสองคู่ที่มีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้ามถูกนำไปใช้กับลำแสงตรงในระนาบที่ผ่านแกน
คาน เพลา เพลา และชิ้นส่วนโครงสร้างอื่นๆ ใช้สำหรับการดัดงอ หากลำแสงมีแกนสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งแกนและระนาบการกระทำของโหลดก็เกิดขึ้นพร้อมกัน โค้งตรง หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ โค้งงอ .

เมื่อศึกษาการเสียรูปของการดัดงอ เราจะจินตนาการว่าลำแสง (ไม้) ประกอบด้วยเส้นใยตามยาวจำนวนนับไม่ถ้วนที่ขนานกับแกน
เพื่อให้เห็นภาพการเสียรูปของการโค้งงอตรง เราจะทำการทดลองกับแท่งยางซึ่งมีการใช้ตารางเส้นตามยาวและตามขวาง
เมื่อนำลำแสงดังกล่าวไปดัดตรงคุณจะเห็นว่า (รูปที่ 1):
- เส้นขวางจะยังคงตรงในระหว่างการเปลี่ยนรูป แต่จะเลี้ยวเป็นมุมซึ่งกันและกัน
- ส่วนของคานจะขยายไปในทิศทางตามขวางด้านเว้าและแคบไปทางด้านนูน
- เส้นตรงตามยาวจะโค้งงอ

จากประสบการณ์นี้เราสามารถสรุปได้ว่า:
- ด้วยการดัดงอบริสุทธิ์ สมมติฐานของส่วนเรียบนั้นถูกต้อง
- เส้นใยที่อยู่ด้านนูนจะถูกยืดออกด้านเว้าจะถูกบีบอัดและที่ขอบระหว่างเส้นใยจะมีชั้นเส้นใยที่เป็นกลางซึ่งจะโค้งงอเท่านั้นโดยไม่เปลี่ยนความยาว

สมมติว่าสมมติฐานที่ว่าไม่มีแรงกดบนเส้นใยนั้นถูกต้อง อาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าด้วยการดัดงอบริสุทธิ์ในส่วนตัดขวางของคาน มีเพียงแรงดึงและแรงอัดปกติเท่านั้นที่เกิดขึ้น โดยมีการกระจายอย่างไม่สม่ำเสมอทั่วส่วนตัดขวาง
เรียกว่าเส้นตัดของชั้นที่เป็นกลางกับระนาบหน้าตัด แกนกลาง . เห็นได้ชัดว่าบนแกนที่เป็นกลาง ความเค้นปกติจะเป็นศูนย์

โมเมนต์การดัดและแรงเฉือน

ดังที่ทราบจากกลศาสตร์เชิงทฤษฎี ปฏิกิริยารองรับของคานถูกกำหนดโดยการเขียนและการแก้สมการสมดุลสถิตสำหรับลำแสงทั้งหมด เมื่อแก้ไขปัญหาความต้านทานของวัสดุ และพิจารณาปัจจัยแรงภายในในคาน เราคำนึงถึงปฏิกิริยาของการเชื่อมต่อพร้อมกับแรงภายนอกที่กระทำต่อคาน
ในการกำหนดปัจจัยแรงภายใน เราจะใช้วิธีการแบ่งส่วน และเราจะพรรณนาลำแสงด้วยเส้นเดียวเท่านั้น - แกนที่ใช้แรงกระทำและแรงปฏิกิริยา (โหลดและปฏิกิริยาปฏิกิริยา)

ลองพิจารณาสองกรณี:

1. มีการใช้แรงสองคู่ที่มีเครื่องหมายเท่ากันและตรงข้ามกับคาน
โดยคำนึงถึงความสมดุลของส่วนของลำแสงที่อยู่ทางซ้ายหรือขวาของส่วนนั้น 1-1 (รูปที่ 2) เราจะเห็นว่าในทุกภาคตัดขวางจะมีโมเมนต์การโก่งตัวเกิดขึ้นเท่านั้น เอ็ม และ เท่ากับโมเมนต์ภายนอก ดังนั้น นี่เป็นกรณีของการดัดงอล้วนๆ

โมเมนต์การดัดงอคือโมเมนต์ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นรอบแกนกลางของแรงตั้งฉากภายในที่กระทำต่อหน้าตัดของลำแสง
ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าโมเมนต์การดัดนั้นมี ทิศทางที่แตกต่างกันสำหรับส่วนคานซ้ายและขวา สิ่งนี้บ่งบอกถึงความไม่เหมาะสมของกฎสัญญาณคงที่เมื่อพิจารณาสัญญาณของโมเมนต์การดัดงอ

2. แรงแอคทีฟและแรงปฏิกิริยา (โหลดและปฏิกิริยาปฏิกิริยา) ที่ตั้งฉากกับแกนถูกนำไปใช้กับลำแสง (รูปที่ 3) เมื่อพิจารณาถึงความสมดุลของส่วนต่างๆ ของลำแสงที่อยู่ด้านซ้ายและขวา เราจะเห็นว่าโมเมนต์การดัดงอจะต้องทำหน้าที่ในหน้าตัดขวาง เอ็ม และ และแรงเฉือน ถาม .
จากนี้ไปในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ที่จุดตัดขวางไม่เพียงแต่มีความเค้นปกติที่สอดคล้องกับโมเมนต์การดัดเท่านั้น แต่ยังมีความเค้นแทนเจนต์ที่สอดคล้องกับแรงตามขวางอีกด้วย

แรงตามขวางเป็นผลจากแรงในแนวสัมผัสภายในในหน้าตัดของลำแสง
ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าแรงตามขวางมีทิศทางตรงกันข้ามสำหรับส่วนซ้ายและขวาของลำแสงซึ่งบ่งชี้ว่ากฎของสัญญาณคงที่นั้นไม่เหมาะสมเมื่อพิจารณาสัญญาณของแรงตามขวาง
การดัดซึ่งโมเมนต์การดัดและแรงเฉือนกระทำต่อหน้าตัดของลำแสงเรียกว่าแนวขวาง

ที่ลำแสงในสภาวะสมดุลกับการกระทำของน้ำ ระบบแบนกองกำลัง ผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงแอคทีฟและแรงปฏิกิริยาทั้งหมดที่สัมพันธ์กับจุดใด ๆ เท่ากับศูนย์ ดังนั้นผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อลำแสงทางด้านซ้ายของส่วนจะเท่ากับตัวเลขผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อลำแสงทางด้านขวาของส่วน
ดังนั้นโมเมนต์การดัดในส่วนลำแสงจะเท่ากับตัวเลขผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อลำแสงทางด้านขวาหรือซ้ายของส่วน

สำหรับลำแสงที่อยู่ในสภาวะสมดุลภายใต้การกระทำของระบบระนาบของแรงที่ตั้งฉากกับแกน (เช่นระบบแรงขนาน) ผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นผลรวมของแรงภายนอกที่กระทำต่อคานทางด้านซ้ายของส่วนจึงเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงที่กระทำต่อคานทางด้านขวาของส่วน
ดังนั้น แรงตามขวางในส่วนลำแสงจะมีค่าเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำไปทางขวาหรือซ้ายของส่วนดังกล่าว

เนื่องจากกฎของสัญญาณคงที่ไม่สามารถยอมรับได้สำหรับการสร้างสัญญาณของโมเมนต์การโก่งตัวและแรงเฉือน เราจะสร้างกฎของสัญญาณอื่น ๆ สำหรับพวกมัน กล่าวคือ: หากภาระภายนอกมีแนวโน้มที่จะโค้งงอลำแสงโดยมีความนูนลดลง จากนั้นโมเมนต์โค้งงอใน ส่วนจะถือว่าเป็นบวก และในทางกลับกัน หากภาระภายนอกมีแนวโน้มที่จะโค้งงอลำแสงโดยนูนขึ้น โมเมนต์การโก่งตัวในส่วนนี้จะถือเป็นลบ (รูปที่ 4a)

หากผลรวมของแรงภายนอกวางเรียงกัน ด้านซ้ายจากหน้าตัด ให้ผลลัพธ์ชี้ขึ้น จากนั้นแรงตามขวางในส่วนนั้นถือเป็นบวก ถ้าผลลัพธ์ชี้ลง แรงตามขวางในส่วนนั้นถือเป็นลบ สำหรับส่วนของลำแสงที่อยู่ทางด้านขวาของส่วน สัญญาณของแรงเฉือนจะอยู่ตรงข้าม (รูปที่ 4b) เมื่อใช้กฎเหล่านี้ คุณควรจินตนาการถึงส่วนของลำแสงที่ถูกยึดอย่างแน่นหนา และการเชื่อมต่อถูกละทิ้งและแทนที่ด้วยปฏิกิริยา

โปรดทราบอีกครั้งว่าในการกำหนดปฏิกิริยาของพันธะจะใช้กฎของสัญญาณของสถิตยศาสตร์และเพื่อกำหนดสัญญาณของโมเมนต์การดัดและแรงตามขวางจะใช้กฎของสัญญาณความต้านทานของวัสดุ
บางครั้งเรียกว่ากฎเครื่องหมายสำหรับโมเมนต์การดัด "กฎแห่งฝน" โปรดทราบว่าในกรณีที่นูนลง จะมีการสร้างกรวยขึ้นโดยที่ น้ำฝน(เครื่องหมายเป็นบวก) และในทางกลับกัน - หากลำแสงโค้งงอขึ้นด้านบนเป็นส่วนโค้งภายใต้อิทธิพลของแรง น้ำจะไม่คงอยู่ (สัญญาณของโมเมนต์การดัดงอจะเป็นลบ)

แผนภาพแรงภายในที่ โค้งตรง.

การดัดตรงเป็นความต้านทานแบบง่าย ๆ เมื่อมีการใช้แรงภายนอกในแนวตั้งฉาก แกนตามยาวไม้ (คาน) และตั้งอยู่ในหนึ่งในระนาบหลักตามการกำหนดค่าของส่วนตัดขวางของคาน

ดังที่ทราบกันดีว่าในระหว่างการดัดงอโดยตรงในหน้าตัดจะมีแรงภายในสองประเภทเกิดขึ้น: แรงตามขวางและโมเมนต์การดัดภายใน

ลองพิจารณาตัวอย่างแผนภาพการออกแบบคานคานยื่นที่มีแรงรวมศูนย์ ร, ข้าว. 1 ก., ...

a) แผนภาพการออกแบบ b) ด้านซ้าย c) ด้านขวา d) แผนภาพของแรงตามขวาง e) แผนภาพของโมเมนต์การดัดงอ

รูปที่ 1.การสร้างไดอะแกรมของแรงตามขวางและโมเมนต์การดัดภายในระหว่างการดัดโดยตรง:

ส่วนที่มีเหตุผลที่สุดควรได้รับการยอมรับว่ามี พื้นที่ขั้นต่ำที่ภาระที่กำหนด (โมเมนต์การดัดงอ) บนลำแสง ในกรณีนี้การใช้วัสดุในการผลิตลำแสงจะน้อยที่สุด เพื่อให้ได้ลำแสงที่มีการใช้วัสดุน้อยที่สุด เราต้องพยายามให้แน่ใจว่าปริมาณวัสดุที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้จะทำงานที่ความเค้นเท่ากับหรือใกล้เคียงกับที่อนุญาต ก่อนอื่นต้องเป็นไปตามส่วนตัดขวางของลำแสงระหว่างการดัด สภาวะความแรงเท่ากันของโซนแรงดึงและแรงอัดของคาน อื่นๆกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นที่ความเค้นดึงที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ( สูงสุด) n ความเค้นอัดสูงสุด ( สูงสุด) ถึงความเค้นที่อนุญาตและ

ดังนั้นสำหรับลำแสงที่ทำจากวัสดุพลาสติก (ทำงานเท่ากันทั้งแรงดึงและแรงอัด: ) เป็นไปตามเงื่อนไขของกำลังเท่ากันสำหรับส่วนที่สมมาตรรอบแกนกลาง ส่วนดังกล่าวรวมถึงส่วนสี่เหลี่ยม (รูปที่ 6, ก) ภายใต้เงื่อนไขของความเท่าเทียมกันที่ได้รับการรับรอง . อย่างไรก็ตามในกรณีนี้ วัสดุที่กระจายเท่าๆ กันตามความสูงของส่วนนั้นใช้งานไม่ดีในโซนแกนกลาง เพื่อให้ได้หน้าตัดที่มีเหตุผลมากขึ้น จำเป็นต้องย้ายวัสดุให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ไปยังโซนต่างๆ จากแกนกลางให้มากที่สุด ดังนั้นเราจึงมาถึง มีเหตุผลสำหรับวัสดุพลาสติกส่วนในรูปแบบ I-beam แบบสมมาตร(รูปที่ 6): แผ่นแนวนอนขนาดใหญ่ 2 แผ่นเชื่อมต่อกันด้วยผนัง (แผ่นแนวตั้ง) ซึ่งความหนาจะพิจารณาจากสภาวะความแข็งแรงของผนังในแง่ของความเค้นในแนวสัมผัส รวมถึงจากการพิจารณาความเสถียรด้วย ตามเกณฑ์ของเหตุผลส่วนที่เรียกว่ากล่องรูปจะอยู่ใกล้กับส่วน I (รูปที่ 6, วี).

รูปที่ 6.การกระจายตัวของความเค้นปกติในส่วนสมมาตร

ในทำนองเดียวกันเราได้ข้อสรุปว่าสำหรับคานที่ทำจากวัสดุที่เปราะส่วนที่มีเหตุผลมากที่สุดจะอยู่ในรูปแบบของคาน I ที่ไม่สมมาตรซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของความแข็งแรงที่เท่ากันในแรงดึงและแรงอัด (รูปที่ 27) : :

ซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนด

รูปที่ 7การกระจายความเค้นของโปรไฟล์ไม่สมมาตรของส่วนลำแสง

แนวคิดเรื่องความสมเหตุสมผลของหน้าตัดของแท่งในระหว่างการดัดนั้นถูกนำไปใช้ในโปรไฟล์ผนังบางมาตรฐานที่ได้จากการกดหรือรีดร้อนจากเหล็กโครงสร้างคุณภาพสูงธรรมดาและอัลลอยด์ตลอดจนอลูมิเนียมและโลหะผสมอลูมิเนียมที่ได้รับ ใช้งานได้กว้างในการก่อสร้าง วิศวกรรมเครื่องกล วิศวกรรมการบิน สิ่งที่แสดงในรูปที่. 7: เอ-ไอบีม, ข-ช่อง, วี -มุมไม่เท่ากัน ช- มุมด้านเท่า พบได้น้อยกว่าคือ tavr, tavroshveller, โปรไฟล์ซีต้า ฯลฯ

รูปที่ 8.โปรไฟล์ส่วนที่ใช้: a) I-beam, b) ช่อง, c) มุมไม่เท่ากัน, d) มุมด้านเท่ากันหมด

สูตรสำหรับโมเมนต์ความต้านทานตามแนวแกนระหว่างการดัดงอได้มาง่ายๆ เมื่อหน้าตัดของลำแสงมีความสมมาตรรอบแกนกลาง ความเค้นปกติที่จุดที่ห่างไกลที่สุด (ที่ ) จะถูกกำหนดโดยสูตร:

ลักษณะทางเรขาคณิตของส่วนตัดขวางของลำแสงเท่ากับเรียกว่า โมเมนต์ความต้านทานการดัดงอตามแนวแกน. โมเมนต์ความต้านทานตามแนวแกนระหว่างการดัดงอจะวัดเป็นหน่วยความยาวยกกำลังสาม (ปกติคือ cm3) แล้ว .

สำหรับหน้าตัดสี่เหลี่ยม: ;

สูตรสำหรับโมเมนต์ความต้านทานตามแนวแกนระหว่างการดัดงอสำหรับหน้าตัดแบบกลม: .

กระบวนการออกแบบ อาคารสมัยใหม่และอาคารได้รับการควบคุม เป็นจำนวนมากรหัสอาคารและข้อบังคับต่างๆ ในกรณีส่วนใหญ่ มาตรฐานจำเป็นต้องมีคุณสมบัติบางอย่างเพื่อให้มั่นใจได้ เช่น การเสียรูปหรือการโก่งตัวของคานพื้นภายใต้แรงคงที่หรือไดนามิก ตัวอย่างเช่น SNiP หมายเลข 2.09.03-85 กำหนดส่วนรองรับและทะลุการโก่งตัวของลำแสงไม่เกิน 1/150 ของความยาวช่วง สำหรับ พื้นห้องใต้หลังคาตัวเลขนี้เป็น 1/200 แล้วและสำหรับ คานอินเทอร์ฟลอร์และน้อยกว่า - 1/250 ดังนั้นหนึ่งใน ขั้นตอนที่บังคับการออกแบบคือการคำนวณการโก่งตัวของลำแสง

วิธีคำนวณและทดสอบการโก่งตัว

เหตุผลที่ SNiP สร้างข้อจำกัดที่เข้มงวดดังกล่าวนั้นเรียบง่ายและชัดเจน ยิ่งการเสียรูปน้อยลงเท่าใด ความแข็งแกร่งและความยืดหยุ่นของโครงสร้างก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น สำหรับการโก่งตัวที่น้อยกว่า 0.5% องค์ประกอบรับน้ำหนัก คาน หรือแผ่นพื้นยังคงรักษาคุณสมบัติยืดหยุ่น ซึ่งรับประกันการกระจายแรงตามปกติและรักษาความสมบูรณ์ของโครงสร้างทั้งหมด เมื่อการโก่งตัวเพิ่มขึ้น โครงอาคารจะโค้งงอ ต้านทาน แต่จะยืนขึ้น เมื่อเกินค่าที่อนุญาต พันธะจะแตก และโครงสร้างจะสูญเสียความแข็งแกร่งและความสามารถในการรับน้ำหนักเหมือนหิมะถล่ม

• ใช้เครื่องคิดเลขซอฟต์แวร์ออนไลน์ซึ่ง "เดินสาย" เงื่อนไขมาตรฐานและไม่มีอะไรเพิ่มเติม;
• ใช้ข้อมูลอ้างอิงสำเร็จรูปสำหรับ หลากหลายชนิดและประเภทของคานสำหรับรูปแบบการรับน้ำหนักต่างๆ จำเป็นต้องระบุประเภทและขนาดของลำแสงอย่างถูกต้องและกำหนดการโก่งตัวที่ต้องการเท่านั้น
• คำนวณการโก่งตัวที่อนุญาตด้วยมือและศีรษะของคุณ นักออกแบบส่วนใหญ่ทำเช่นนี้ในขณะที่การควบคุมผู้ตรวจสอบสถาปัตยกรรมและการก่อสร้างชอบวิธีการคำนวณที่สอง

สำหรับข้อมูลของคุณ! เพื่อให้เข้าใจอย่างแท้จริงว่าทำไมการทราบขนาดของความเบี่ยงเบนจากตำแหน่งเริ่มต้นจึงเป็นสิ่งสำคัญ จึงควรทำความเข้าใจว่าการวัดปริมาณการโก่งตัวเป็นวิธีเดียวที่เข้าถึงได้และเชื่อถือได้ในการกำหนดสภาพของลำแสงในทางปฏิบัติ

วัดว่าคานจมขนาดไหน เพดานสามารถระบุได้อย่างมั่นใจ 99% ว่าโครงสร้างอยู่ในสภาพฉุกเฉินหรือไม่

วิธีการคำนวณการโก่งตัว

ก่อนที่จะเริ่มการคำนวณคุณจะต้องจำการอ้างอิงบางอย่างจากทฤษฎีความแข็งแรงของวัสดุและร่างขึ้น รูปแบบการออกแบบ. ขึ้นอยู่กับความถูกต้องของการดำเนินการไดอะแกรมและเงื่อนไขการโหลด ความแม่นยำและความถูกต้องของการคำนวณจะขึ้นอยู่กับ

เราใช้ โมเดลที่ง่ายที่สุดลำแสงโหลดที่แสดงในแผนภาพ การเปรียบเทียบลำแสงที่ง่ายที่สุดคือไม้บรรทัดไม้รูปถ่าย

ในกรณีของเรา ลำแสง:

1. มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า S=b*h ความยาวของส่วนรองรับคือ L;
2. ไม้บรรทัดจะเต็มไปด้วยแรง Q ที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของระนาบที่งอ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ปลายหมุนเป็นมุมเล็กๆ θ โดยมีการโก่งตัวสัมพันธ์กับตำแหน่งแนวนอนเริ่มต้น , เท่ากับฉ ;
3. ปลายคานวางบานพับและอิสระบนส่วนรองรับคงที่ ดังนั้นจึงไม่มีส่วนประกอบในแนวนอนของปฏิกิริยาและปลายของไม้บรรทัดสามารถเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดก็ได้

ในการพิจารณาการเสียรูปของร่างกายภายใต้ภาระ ให้ใช้สูตรของโมดูลัสยืดหยุ่น ซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วน E = R/Δ โดยที่ E คือค่าอ้างอิง R คือแรง Δ คือปริมาณการเสียรูปของร่างกาย .

คำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยและแรง

ในกรณีของเรา การพึ่งพาอาศัยกันจะมีลักษณะดังนี้: Δ = Q/(S E) สำหรับโหลด q ที่กระจายไปตามลำแสง สูตรจะมีลักษณะดังนี้: Δ = q h/(S E)

สิ่งต่อไปนี้คือจุดที่สำคัญที่สุด แผนภาพ Young ด้านบนแสดงการโก่งตัวของลำแสงหรือการเสียรูปของไม้บรรทัดราวกับว่ามันถูกบดอัดด้วยแรงกดอันทรงพลัง ในกรณีของเรา ลำแสงนั้นโค้งงอ ซึ่งหมายความว่าที่ปลายไม้บรรทัดซึ่งสัมพันธ์กับจุดศูนย์ถ่วง จะมีการใช้โมเมนต์การดัดสองอันด้วย เครื่องหมายที่แตกต่างกัน. แผนภาพการโหลดสำหรับลำแสงดังกล่าวแสดงไว้ด้านล่าง

ในการแปลงการพึ่งพาของ Young สำหรับโมเมนต์การดัดงอ จำเป็นต้องคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันด้วยไหล่ L เราได้ Δ*L = Q·L/(b·h·E)

หากเราจินตนาการว่าส่วนรองรับอันใดอันหนึ่งได้รับการแก้ไขอย่างแน่นหนา และโมเมนต์สมดุลที่เท่ากันของแรง M max = q*L*2/8 จะถูกนำไปใช้กับวินาที ตามลำดับ ขนาดของการเปลี่ยนรูปลำแสงจะแสดงโดยการพึ่งพา Δх = M x/((h/3) b (h/2) E). ปริมาณ b h 2 /6 เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อย และกำหนดให้เป็น W ผลลัพธ์ที่ได้คือ Δx = M x / (W E) ซึ่งเป็นสูตรพื้นฐานในการคำนวณคานสำหรับการดัดงอ W = M / E ผ่านโมเมนต์ความเฉื่อยและโมเมนต์ดัด

ในการคำนวณการโก่งตัวอย่างแม่นยำ คุณจะต้องทราบโมเมนต์การโก่งตัวและโมเมนต์ความเฉื่อย สามารถคำนวณค่าแรกได้ แต่สูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณลำแสงสำหรับการโก่งตัวจะขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของการสัมผัสกับส่วนรองรับที่ลำแสงตั้งอยู่และวิธีการโหลดตามลำดับสำหรับโหลดแบบกระจายหรือแบบเข้มข้น โมเมนต์การโก่งตัวจากโหลดแบบกระจายคำนวณโดยใช้สูตร Mmax = q*L 2 /8 สูตรที่กำหนดใช้ได้เฉพาะกับโหลดแบบกระจายเท่านั้น ในกรณีที่แรงกดบนคานรวมตัวอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งและมักไม่ตรงกับแกนสมมาตร ต้องใช้สูตรคำนวณการโก่งตัวโดยใช้แคลคูลัสอินทิกรัล

โมเมนต์ความเฉื่อยถือได้ว่าเทียบเท่ากับความต้านทานของลำแสงต่อภาระการดัดงอ ขนาดของโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับลำแสงสี่เหลี่ยมธรรมดาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรง่ายๆ W=b*h 3 /12 โดยที่ b และ h คือขนาดหน้าตัดของลำแสง

สูตรแสดงให้เห็นว่าไม้บรรทัดหรือกระดานที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียวกันสามารถมีโมเมนต์ความเฉื่อยและการโก่งตัวที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงหากวางบนส่วนรองรับ วิธีดั้งเดิมหรือวางไว้บนขอบ ไม่น่าแปลกใจเลยที่องค์ประกอบเกือบทั้งหมด ระบบขื่อหลังคาไม่ได้ทำจากไม้ขนาด 100x150 แต่ทำจากไม้ขนาด 50x150

ส่วนจริง โครงสร้างอาคารอาจมีมากที่สุด โปรไฟล์ที่แตกต่างกันตั้งแต่รูปทรงสี่เหลี่ยม วงกลม ไปจนถึงรูปทรง I-beam หรือช่องที่ซับซ้อน ในเวลาเดียวกัน การกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยและปริมาณการโก่งตัวด้วยตนเอง "บนกระดาษ" ในกรณีดังกล่าวกลายเป็นงานที่ไม่สำคัญสำหรับผู้สร้างที่ไม่เป็นมืออาชีพ

สูตรเพื่อการใช้งานจริง

ในทางปฏิบัติมักเผชิญกับงานตรงกันข้าม - เพื่อกำหนดปัจจัยด้านความปลอดภัยของพื้นหรือผนังสำหรับกรณีเฉพาะโดยพิจารณาจากค่าการโก่งตัวที่ทราบ ในธุรกิจรับเหมาก่อสร้าง การประเมินปัจจัยด้านความปลอดภัยของผู้อื่นเป็นเรื่องยากมาก วิธีการที่ไม่ทำลาย. บ่อยครั้งขึ้นอยู่กับขนาดของการโก่งตัวจำเป็นต้องทำการคำนวณประเมินปัจจัยด้านความปลอดภัยของอาคารและสภาพทั่วไป โครงสร้างรับน้ำหนัก. นอกจากนี้ จากการวัดที่ดำเนินการ จะพิจารณาว่าการเสียรูปนั้นยอมรับได้หรือไม่ ตามการคำนวณ หรือว่าอาคารอยู่ในภาวะฉุกเฉินหรือไม่

คำแนะนำ! ในเรื่องของการคำนวณสถานะขีดจำกัดของลำแสงตามปริมาณการโก่งตัว ข้อกำหนดของ SNiP จะมอบบริการอันล้ำค่า การตั้งค่าขีดจำกัดการโก่งตัวที่ ขนาดสัมพัทธ์ตัวอย่างเช่น 1/250 รหัสอาคารช่วยให้ระบุสภาวะฉุกเฉินของคานหรือแผ่นพื้นได้ง่ายขึ้นมาก

เช่น หากคุณตั้งใจจะซื้อ อาคารที่สร้างเสร็จแล้วซึ่งยืนหยัดบนดินที่มีปัญหามาเป็นเวลานานการตรวจสอบสภาพของเพดานตามการโก่งตัวที่มีอยู่จะมีประโยชน์ รู้ทุกอย่าง บรรทัดฐานที่อนุญาตการโก่งตัวและความยาวของคานสามารถประเมินได้โดยไม่ต้องคำนวณว่าสภาพของโครงสร้างมีความสำคัญเพียงใด

การตรวจสอบการก่อสร้างระหว่างการประเมินและประเมินการโก่งตัว ความจุแบริ่งการทับซ้อนกันเป็นวิธีที่ซับซ้อนมากขึ้น:

• เริ่มแรกจะมีการวัดรูปทรงเรขาคณิตของแผ่นพื้นหรือคานและบันทึกค่าการโก่งตัว
• ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่วัดได้ ประเภทของลำแสงจะถูกกำหนด จากนั้นจึงเลือกสูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยโดยใช้หนังสืออ้างอิง
• โมเมนต์ของแรงถูกกำหนดโดยการโก่งตัวและโมเมนต์ความเฉื่อย หลังจากนั้นเมื่อทราบวัสดุแล้ว คุณสามารถคำนวณความเค้นจริงในคานโลหะ คอนกรีต หรือไม้ได้

คำถามคือเหตุใดจึงเป็นเรื่องยากมากหากสามารถหาค่าการโก่งตัวได้โดยใช้สูตรในการคำนวณคานอย่างง่ายบนบานพับรองรับ f=5/24*R*L 2 /(E*h) ภายใต้แรงกระจาย ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบความยาวช่วง L ความสูงของโปรไฟล์ ความต้านทานการออกแบบ R และโมดูลัสยืดหยุ่น E สำหรับวัสดุปูพื้นเฉพาะ

คำแนะนำ! ใช้ในการคำนวณคอลเลกชันแผนกที่มีอยู่ขององค์กรออกแบบต่าง ๆ ซึ่งมีสูตรที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการกำหนดและคำนวณสถานะโหลดสูงสุดในรูปแบบย่อ

บทสรุป

นักพัฒนาและนักออกแบบอาคารที่จริงจังส่วนใหญ่กระทำในลักษณะเดียวกัน โปรแกรมนี้ดีช่วยให้คำนวณพารามิเตอร์การโก่งตัวและการโหลดพื้นฐานของพื้นได้อย่างรวดเร็ว แต่สิ่งสำคัญคือต้องจัดเตรียมหลักฐานเชิงเอกสารให้กับลูกค้าเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้รับในรูปแบบของการคำนวณตามลำดับเฉพาะบนกระดาษ

บทที่ 1 การโค้งงอของลำแสงเชิงเส้นและระบบลำแสงด้านขวา

1.1. การพึ่งพาพื้นฐานของทฤษฎีการดัดงอของลำแสง

คานเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกแท่งที่โค้งงอภายใต้แรงกระทำตามขวาง (ปกติถึงแกนของแท่ง) คานเป็นองค์ประกอบที่พบบ่อยที่สุดของโครงสร้างเรือ แกนของลำแสงคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดศูนย์ถ่วงของส่วนตัดขวางในสภาวะที่ไม่มีรูปร่าง ลำแสงจะถูกเรียกว่าตรงถ้าแกนของมันเป็นเส้นตรง ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดของลำแสงในสภาวะโค้งงอเรียกว่าเส้นยืดหยุ่นของลำแสง ยอมรับทิศทางของแกนพิกัดต่อไปนี้: แกน วัวสอดคล้องกับแกนของลำแสงและแกน โอ้และ ออนซ์– ด้วยแกนกลางหลักของความเฉื่อยของหน้าตัด (รูปที่ 1.1)

ทฤษฎีการดัดงอของลำแสงขึ้นอยู่กับสมมติฐานดังต่อไปนี้

1. ยอมรับสมมติฐานของส่วนแบน โดยที่ส่วนตัดขวางของลำแสงซึ่งเริ่มแรกจะแบนและเป็นปกติกับแกนของลำแสง ยังคงแบนและเป็นปกติกับเส้นยืดหยุ่นของลำแสงหลังจากการดัดงอ ด้วยเหตุนี้จึงสามารถพิจารณาการเสียรูปของการดัดงอของลำแสงได้อย่างอิสระจากการเสียรูปของแรงเฉือนซึ่งทำให้เกิดการบิดเบี้ยวของระนาบหน้าตัดของลำแสงและการหมุนของมันสัมพันธ์กับเส้นยืดหยุ่น (รูปที่ 1.2, ก).

2. ความเค้นปกติในพื้นที่ขนานกับแกนลำแสงจะถูกละเลยเนื่องจากมีขนาดเล็ก (รูปที่ 1.2, ข).

3. คานถือว่ามีความแข็งเพียงพอเช่น การโก่งตัวมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความสูงของคานและมุมการหมุนของส่วนต่างๆ นั้นเล็กเมื่อเทียบกับความสามัคคี (รูปที่ 1.2, วี).

4. ความเค้นและความเครียดมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์เชิงเส้น กล่าวคือ กฎของฮุคนั้นถูกต้อง (รูปที่ 1.2, ช).

ข้าว. 1.2. สมมติฐานของทฤษฎีการดัดคาน

เราจะพิจารณาช่วงเวลาการดัดและแรงเฉือนที่เกิดขึ้นระหว่างการดัดลำแสงในหน้าตัดอันเป็นผลมาจากการกระทำของส่วนหนึ่งของลำแสงที่ถูกโยนไปทางจิตใจไปตามหน้าตัดไปยังส่วนที่เหลือ

โมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อส่วนที่สัมพันธ์กับแกนหลักอันใดอันหนึ่งเรียกว่าโมเมนต์การดัดงอ ช่วงเวลาแห่งการดัดงอ เท่ากับผลรวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมด (รวมถึงปฏิกิริยารองรับและโมเมนต์) ที่กระทำต่อส่วนที่ปฏิเสธของลำแสง สัมพันธ์กับแกนที่ระบุของส่วนที่พิจารณา

การฉายภาพไปยังระนาบหน้าตัดของเวกเตอร์หลักของแรงที่กระทำในส่วนนั้นเรียกว่าแรงเฉือน เท่ากับผลรวมของเส้นโครงบนระนาบหน้าตัดของแรงทั้งหมด (รวมถึงปฏิกิริยารองรับ) ที่กระทำต่อส่วนที่ปฏิเสธของลำแสง.

ให้เราจำกัดตัวเองให้คำนึงถึงการโค้งงอของลำแสงที่เกิดขึ้นในระนาบ XOZ.การโค้งงอดังกล่าวจะเกิดขึ้นเมื่อภาระด้านข้างกระทำในระนาบขนานกับระนาบ XOZและผลลัพธ์ในแต่ละส่วนจะผ่านจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางของการดัดงอของส่วน โปรดทราบว่าสำหรับส่วนของคานที่มีแกนสมมาตรสองแกน จุดศูนย์กลางการโค้งงอจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์ถ่วง และสำหรับส่วนที่มีแกนสมมาตรหนึ่งแกน มันจะอยู่บนแกนสมมาตร แต่ไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางของ แรงโน้มถ่วง.

น้ำหนักของคานที่รวมอยู่ในตัวเรือสามารถกระจายได้ (ส่วนใหญ่มักจะกระจายสม่ำเสมอไปตามแกนของคานหรือเปลี่ยนแปลงไปตามกฎเชิงเส้น) หรือนำไปใช้ในรูปแบบของแรงและโมเมนต์ที่มีความเข้มข้น

ให้เราแสดงความเข้มของโหลดแบบกระจาย (โหลดต่อความยาวหน่วยของแกนลำแสง) โดย ถาม(x) แรงที่มีความเข้มข้นภายนอก – เช่น รและโมเมนต์การดัดงอภายนอกจะเป็นดังนี้ ม. โหลดแบบกระจายและแรงรวมศูนย์จะเป็นค่าบวกหากทิศทางของการกระทำตรงกับทิศทางบวกของแกน ออนซ์(รูปที่ 1.3, ก,ข). โมเมนต์การดัดงอภายนอกจะเป็นค่าบวกหากหมุนตามเข็มนาฬิกา (รูปที่ 1.3, วี).

ข้าว. 1.3. ลงนามกฎสำหรับการโหลดภายนอก

ให้เราแสดงถึงการโก่งตัวของลำแสงตรงเมื่อโค้งงอในระนาบ XOZผ่าน วและมุมการหมุนของส่วนคือผ่าน θ ให้เรายอมรับกฎของสัญญาณสำหรับองค์ประกอบดัด (รูปที่ 1.4):

1) การโก่งตัวเป็นบวกหากเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางบวกของแกน ออนซ์(รูปที่ 1.4, ก):

2) มุมการหมุนของส่วนเป็นบวกหากส่วนนั้นหมุนตามเข็มนาฬิกาเนื่องจากการดัด (รูปที่ 1.4, ข);

3) โมเมนต์การดัดงอเป็นบวกหากลำแสงโค้งงอขึ้นด้านบนภายใต้อิทธิพลของมัน (รูปที่ 1.4, วี);

4) แรงเฉือนเป็นบวกหากหมุนองค์ประกอบลำแสงที่เลือกทวนเข็มนาฬิกา (รูปที่ 1.4, ช).

ข้าว. 1.4. กฎการลงนามสำหรับองค์ประกอบการดัด

จากสมมติฐานของส่วนแบน จะเห็นได้ (รูปที่ 1.5) ว่าการยืดตัวสัมพัทธ์ของเส้นใย ε x, แยกจากกันโดย zจากแกนกลางก็จะเท่ากัน

ε x= −z/ρ ,(1.1)

ที่ไหน ρ – รัศมีความโค้งของคานในส่วนที่พิจารณา

ข้าว. 1.5. แผนภาพการดัดงอของลำแสง

แกนกลางของหน้าตัดคือตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดที่การเปลี่ยนรูปเชิงเส้นระหว่างการดัดเป็นศูนย์ ระหว่างความโค้งและอนุพันธ์ของ ว(x) มีการพึ่งพาอาศัยกัน

เนื่องจากสมมติฐานที่ยอมรับกันว่ามุมการหมุนมีขนาดเล็กสำหรับคานที่มีความแข็งเพียงพอ ค่านี้เล็กเมื่อเทียบกับความสามัคคีดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

การทดแทน 1/ ρ จาก (1.2) ถึง (1.1) เราได้รับ

ความเค้นดัดงอปกติ σ xตามกฎของฮุคจะเท่าเทียมกัน

เนื่องจากเป็นไปตามคำจำกัดความของคานที่ว่าไม่มีแรงตามยาวที่พุ่งไปตามแกนของลำแสง เวกเตอร์หลักของความเค้นปกติจะต้องหายไปนั่นคือ

ที่ไหน เอฟ– พื้นที่หน้าตัดของคาน

จาก (1.5) เราพบว่าโมเมนต์คงที่ของพื้นที่หน้าตัดของลำแสงเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าแกนกลางของส่วนตัดผ่านจุดศูนย์ถ่วง

โมเมนต์ของแรงภายในที่กระทำต่อภาคตัดขวางสัมพันธ์กับแกนกลาง ของฉันจะ

หากเราคำนึงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดสัมพันธ์กับแกนกลาง โอ้เท่ากับ และแทนที่ค่านี้เป็น (1.6) เราได้รับการพึ่งพาที่แสดงสมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐานสำหรับการดัดลำแสง

โมเมนต์ของแรงภายในในส่วนที่สัมพันธ์กับแกน ออนซ์จะ

ตั้งแต่ขวาน โอ้และ ออนซ์ตามเงื่อนไขคือแกนกลางหลักของส่วนแล้ว .

ตามมาว่าเมื่อมีการให้โหลดในระนาบขนานกับระนาบการดัดหลัก เส้นยืดหยุ่นของคานจะเป็นเส้นโค้งแบน โค้งนี้เรียกว่า แบน. จากการพึ่งพา (1.4) และ (1.7) ที่เราได้รับ

สูตร (1.8) แสดงให้เห็นว่าความเค้นปกติระหว่างการโค้งงอของคานนั้นแปรผันตามระยะห่างจากแกนกลางของคาน โดยธรรมชาติแล้ว สิ่งนี้เป็นไปตามสมมติฐานของส่วนระนาบ ในการคำนวณเชิงปฏิบัติ โมเมนต์ความต้านทานของส่วนลำแสงมักจะถูกใช้เพื่อกำหนดความเค้นปกติสูงสุด

ที่ไหน | z| สูงสุด - ค่าสัมบูรณ์ของระยะห่างของเส้นใยที่อยู่ไกลที่สุดจากแกนกลาง

ต่อไปนี้คือตัวห้อย ยละเว้นเพื่อความเรียบง่าย

มีการเชื่อมโยงระหว่างโมเมนต์การดัด แรงเฉือน และความเข้มของภาระตามขวาง ซึ่งตามมาจากสภาวะสมดุลขององค์ประกอบที่แยกออกจากลำแสงทางจิตใจ

พิจารณาองค์ประกอบลำแสงที่มีความยาว ดีเอ็กซ์ (รูปที่ 1.6) สันนิษฐานว่าการเสียรูปขององค์ประกอบนั้นไม่มีนัยสำคัญ

หากมีช่วงเวลาหนึ่งเกิดขึ้นที่ด้านซ้ายขององค์ประกอบ มและแรงตัด เอ็นจากนั้นในส่วนด้านขวา แรงที่เกี่ยวข้องจะเพิ่มขึ้นทีละขั้น ลองพิจารณาเฉพาะการเพิ่มขึ้นเชิงเส้นเท่านั้น .

รูปที่ 1.6. แรงที่กระทำต่อองค์ประกอบลำแสง

เท่ากับการฉายภาพบนแกนให้เป็นศูนย์ ออนซ์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อองค์ประกอบ และโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่สัมพันธ์กับแกนกลางของส่วนขวา เราได้:

จากสมการเหล่านี้ เราได้ความแม่นยำจนถึงปริมาณที่มีลำดับความเล็กที่สูงกว่า

จาก (1.11) และ (1.12) เป็นไปตามนั้น

การขึ้นต่อกัน (1.11)–(1.13) รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบท Zhuravsky–Schwedler จากการขึ้นต่อกันเหล่านี้ตามมาว่าแรงเฉือนและโมเมนต์การดัดงอสามารถกำหนดได้โดยการรวมโหลดเข้าด้วยกัน ถาม:

ที่ไหน เอ็น 0 และ ม 0 – แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดงอในส่วนที่สอดคล้องกับx=x 0 ซึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้น ξ,ξ 1 – ตัวแปรอินทิเกรต.

ถาวร เอ็น 0 และ ม 0 สำหรับคานที่กำหนดค่าคงที่สามารถกำหนดได้จากสภาวะสมดุลสถิตของคานเหล่านั้น

ถ้าคานถูกกำหนดโดยคงที่ โมเมนต์การโก่งตัวที่ส่วนใดๆ สามารถพบได้โดยใช้ (1.14) และเส้นยืดหยุ่นจะถูกกำหนดโดยการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ (1.7) สองครั้ง อย่างไรก็ตาม คานที่กำหนดแบบคงที่นั้นหาได้ยากมากในโครงสร้างตัวเรือ คานส่วนใหญ่ที่ประกอบเป็นโครงสร้างของเรือก่อให้เกิดระบบที่ไม่แน่นอนทางสถิตหลายระบบ ในกรณีเหล่านี้ สมการ (1.7) ไม่สะดวกในการกำหนดเส้นยืดหยุ่น และขอแนะนำให้ใช้สมการลำดับที่สี่

1.2. สมการเชิงอนุพันธ์ของการดัดคาน

สมการเชิงอนุพันธ์ (1.7) สำหรับกรณีทั่วไปเมื่อโมเมนต์ความเฉื่อยของหน้าตัดเป็นฟังก์ชันของ xโดยคำนึงถึง (1.11) และ (1.12) ที่เราได้รับ:

โดยที่จำนวนเฉพาะบ่งบอกถึงความแตกต่างด้วยความเคารพ x.

สำหรับคานปริซึมเช่น เมื่อคานที่มีหน้าตัดคงที่จะได้สมการการดัดงอแบบดิฟเฟอเรนเชียลดังนี้

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์สามัญของลำดับที่สี่ (1.18) สามารถแสดงเป็นชุดของสมการเชิงอนุพันธ์สี่ประการของลำดับที่หนึ่ง:

เราใช้สมการต่อไปนี้ (1.18) หรือระบบสมการ (1.19) เพื่อกำหนดการโก่งตัวของลำแสง (เส้นยืดหยุ่น) และองค์ประกอบการดัดงอที่ไม่รู้จักทั้งหมด: ว(x), θ (x), ม(x), เอ็น(x).

บูรณาการ (1.18) 4 ครั้งติดต่อกัน (สมมติว่าปลายด้านซ้ายของคานสอดคล้องกับส่วนx= xa ), เราได้รับ:

จะเห็นได้ง่ายว่าอินทิเกรตคงที่ นาแม่θa , วะ มีบางอย่าง ความหมายทางกายภาพกล่าวคือ:

เอ็น เอ– แรงเฉือนที่จุดเริ่มต้นของการนับ เช่น ที่ x=xa ;

ม– โมเมนต์การดัดงอที่จุดเริ่มต้นของการอ้างอิง

θa – มุมการหมุนที่จุดเริ่มต้นของการนับ

วะ – การโก่งตัวในส่วนเดียวกัน

เพื่อกำหนดค่าคงที่เหล่านี้ คุณสามารถสร้างเงื่อนไขขอบเขตได้สี่เงื่อนไข - สองเงื่อนไขสำหรับปลายแต่ละด้านของลำแสงช่วงเดียว โดยธรรมชาติแล้วเงื่อนไขของขอบเขตขึ้นอยู่กับการจัดเรียงปลายคาน เงื่อนไขที่ง่ายที่สุดสอดคล้องกับส่วนรองรับแบบบานพับบนส่วนรองรับแบบแข็งหรือการฝังแบบแข็ง

เมื่อปลายคานได้รับการรองรับด้วยบานพับบนส่วนรองรับที่แข็งแรง (รูปที่ 1.7, ก) การโก่งตัวของลำแสงและโมเมนต์การดัดงอเป็นศูนย์:

ด้วยการฝังแบบแข็งบนส่วนรองรับแบบแข็ง (รูปที่ 1.7, ข) การโก่งตัวและมุมการหมุนของส่วนเท่ากับศูนย์:

หากปลายคาน (คอนโซล) ว่าง (รูปที่ 1.7, วี) จากนั้นในส่วนนี้ โมเมนต์การดัดและแรงเฉือนจะเท่ากับศูนย์:

สถานการณ์ที่เป็นไปได้เกี่ยวข้องกับการเลื่อนการฝังหรือการฝังแบบสมมาตร (รูปที่ 1.7, ช). สิ่งนี้นำไปสู่เงื่อนไขขอบเขตดังต่อไปนี้:

โปรดทราบว่าโดยปกติจะเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขต (1.26) ที่เกี่ยวข้องกับการโก่งตัวและมุมการหมุน จลนศาสตร์และเงื่อนไข (1.27) – ด้วยกำลัง.

ข้าว. 1.7. ประเภทของเงื่อนไขขอบเขต

ในโครงสร้างเรือ เรามักจะต้องจัดการกับเงื่อนไขขอบเขตที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งสอดคล้องกับการรองรับของคานบนส่วนรองรับแบบยืดหยุ่นหรือการสิ้นสุดแบบยืดหยุ่นของปลาย

ส่วนรองรับแบบยืดหยุ่น (รูปที่ 1.8, ก) คือแนวรับที่มีการเบิกจ่ายตามสัดส่วนกับปฏิกิริยาที่กระทำต่อแนวรับ เราจะพิจารณาปฏิกิริยาของการรองรับแบบยืดหยุ่น รเป็นบวกถ้ามันทำหน้าที่รองรับในทิศทางของทิศทางบวกของแกน ออนซ์. จากนั้นเราก็สามารถเขียนได้ว่า:

ว =เออาร์,(1.29)

ที่ไหน ก– ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์การปฏิบัติตามของส่วนรองรับแบบยืดหยุ่น

ค่าสัมประสิทธิ์นี้เท่ากับการทรุดตัวของส่วนรองรับยืดหยุ่นภายใต้การกระทำของปฏิกิริยา ร= 1 กล่าวคือ ก=ดับเบิลยูอาร์ = 1 .

ส่วนรองรับแบบยืดหยุ่นในโครงสร้างเรืออาจเป็นคานที่เสริมกำลังคานที่ต้องการ หรือเสาและโครงสร้างอื่นๆ ที่ทำงานในลักษณะรับแรงอัด

เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์การปฏิบัติตามของการรองรับแบบยืดหยุ่น กจำเป็นต้องโหลดโครงสร้างที่สอดคล้องกันด้วยแรงหนึ่งหน่วยและค้นหาค่าสัมบูรณ์ของการทรุดตัว (การโก่งตัว) ณ จุดที่ใช้แรง การสนับสนุนที่เข้มงวด – กรณีพิเศษการสนับสนุนยืดหยุ่นที่ ก= 0.

การปิดผนึกแบบยืดหยุ่น (รูปที่ 1.8, ข) เรียกว่าสิ่งนี้ โครงสร้างรองรับซึ่งป้องกันการหมุนอย่างอิสระของส่วนและมุมของการหมุน θ ในส่วนนี้เป็นสัดส่วนกับช่วงเวลา เช่น มีการพึ่งพาอาศัยกัน

θ = Â ม.(1.30)

ตัวคูณตามสัดส่วน Â เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์การปฏิบัติตามการฝังแบบยืดหยุ่น และสามารถกำหนดเป็นมุมการหมุนของการฝังแบบยืดหยุ่นได้ที่ ม = 1 กล่าวคือ Â = θ ม = 1 .

กรณีพิเศษของการซีลยางยืดด้วย Â = 0 คือการสิ้นสุดแบบยาก ในโครงสร้างเรือ การฝังแบบยืดหยุ่นมักจะคานตามปกติสำหรับชิ้นที่อยู่ระหว่างการพิจารณาและนอนอยู่ในระนาบเดียวกันตัวอย่างเช่น คาน ฯลฯ ถือได้ว่าฝังอย่างยืดหยุ่นบนเฟรม

ข้าว. 1.8. การสนับสนุนแบบยืดหยุ่น ( ก) และซีลยืดหยุ่น ( ข)

หากปลายคานยาว ลได้รับการรองรับบนตัวรองรับแบบยืดหยุ่น (รูปที่ 1.9) จากนั้นปฏิกิริยาของตัวรองรับในส่วนท้ายจะเท่ากับแรงเฉือนและสามารถเขียนเงื่อนไขขอบเขตได้:

เครื่องหมายลบในเงื่อนไขแรก (1.31) เป็นที่ยอมรับ เนื่องจากแรงเฉือนเชิงบวกในส่วนรองรับด้านซ้ายสอดคล้องกับปฏิกิริยาที่กระทำบนลำแสงจากบนลงล่าง และบนส่วนรองรับจากล่างขึ้นบน

หากปลายคานยาว ลปิดผนึกอย่างยืดหยุ่น(รูปที่ 1.9) จากนั้นสำหรับส่วนรองรับโดยคำนึงถึงกฎของสัญญาณสำหรับมุมการหมุนและโมเมนต์การดัดเราสามารถเขียนได้:

เครื่องหมายลบในเงื่อนไขที่สอง (1.32) เป็นที่ยอมรับ เนื่องจากโมเมนต์บวกในส่วนรองรับด้านขวาของลำแสง โมเมนต์ที่กระทำบนซีลยืดหยุ่นจะถูกกำหนดทิศทางทวนเข็มนาฬิกา และมุมบวกของการหมุนในส่วนนี้จะกำหนดทิศทางตามเข็มนาฬิกา เช่น. ทิศทางของโมเมนต์และมุมการหมุนไม่ตรงกัน

เมื่อพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ (1.18) และเงื่อนไขขอบเขตทั้งหมด แสดงว่าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นเส้นตรงโดยคำนึงถึงทั้งการโก่งตัวที่อยู่ในเงื่อนไขและอนุพันธ์ของเงื่อนไขเหล่านั้น และโหลดที่กระทำบนคาน ความเป็นเส้นตรงเป็นผลมาจากสมมติฐานเกี่ยวกับความถูกต้องของกฎของฮุค และการโก่งตัวของลำแสงเพียงเล็กน้อย

ข้าว. 1.9. ลำแสงซึ่งปลายทั้งสองข้างได้รับการรองรับอย่างยืดหยุ่นและฝังอย่างยืดหยุ่น ( ก);

แรงในการรองรับแบบยืดหยุ่นและซีลแบบยืดหยุ่นที่สอดคล้องกับค่าบวก
ทิศทางโมเมนต์ดัดและแรงเฉือน ( ข)

เมื่อมีการจ่ายโหลดหลายครั้งบนคาน องค์ประกอบการดัดงอแต่ละส่วนของคาน (การโก่งตัว มุมการหมุน โมเมนต์ และแรงเฉือน) คือผลรวมขององค์ประกอบการดัดงอเนื่องจากการกระทำของโหลดแต่ละรายการแยกกัน ตำแหน่งที่สำคัญมากนี้เรียกว่าหลักการซ้อนทับหรือหลักการรวมของการกระทำของโหลด มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณภาคปฏิบัติ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเปิดเผยความไม่แน่นอนของคาน

1.3. วิธีพารามิเตอร์เริ่มต้น

อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการดัดคานสามารถใช้เพื่อกำหนดเส้นยืดหยุ่นของคานช่วงเดียวในกรณีที่โหลดคาน ฟังก์ชั่นต่อเนื่องพิกัดตลอดทั้งเที่ยวบิน ถ้าโหลดมีแรงกระจุกตัว โมเมนต์ หรือโหลดแบบกระจายที่กระทำต่อความยาวของลำแสง (รูปที่ 1.10) นิพจน์ (1.24) จะไม่สามารถนำมาใช้โดยตรงได้ ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดเส้นยืดหยุ่นในส่วนที่ 1, 2 และ 3 ถึง ว 1 , ว 2 , ว 3 เขียนอินทิกรัลสำหรับแต่ละรายการในรูปแบบ (1.24) และค้นหาค่าคงที่ตามอำเภอใจทั้งหมดจากเงื่อนไขขอบเขตที่ปลายคานและเงื่อนไขการผันคำกริยาที่ขอบเขตของส่วนต่างๆ เงื่อนไขการจับคู่ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีดังนี้

ที่ x=ก 1

ที่ x=ก 2

ที่ x=ก 3

เห็นได้ง่ายว่าวิธีการแก้ปัญหานี้นำไปสู่ค่าคงที่ตามอำเภอใจจำนวนมากเท่ากับ 4 n, ที่ไหน n– จำนวนส่วนตามความยาวของคาน

ข้าว. 1.10. คานรับน้ำหนักในบางพื้นที่ ประเภทต่างๆ

สะดวกกว่ามากในการแสดงเส้นยืดหยุ่นของลำแสงในรูปแบบ

โดยที่เงื่อนไขที่เกินเส้นคู่จะถูกนำมาพิจารณาเมื่อใด x³ ก 1, x³ ก 2 ฯลฯ

เห็นได้ชัดว่า δ 1 ว(x)=ว 2 (x)−ว 1 (x); δ2 ว(x)=ว 3 (x)−ว 2 (x); ฯลฯ

สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อกำหนดการแก้ไขเส้นยืดหยุ่น δ ฉันว (x) ตาม (1.18) และ (1.32) สามารถเขียนได้ในรูป

อินทิกรัลทั่วไปสำหรับการแก้ไขใดๆ δ ฉันว (x) ถึงเส้นยางยืดสามารถเขียนได้ในรูปแบบ (1.24) ด้วย xa = ฉัน . ในกรณีนี้คือพารามิเตอร์ นาแม่θa , วะ มีความหมายในการเปลี่ยนแปลง (กระโดด) ตามลำดับ คือ แรงเฉือน โมเมนต์ดัด มุมการหมุน และลูกศรโก่งตัวเมื่อผ่านหน้าตัด x=ฉัน . เทคนิคนี้เรียกว่าวิธีพารามิเตอร์เริ่มต้น จะเห็นได้ว่าสำหรับลำแสงดังแสดงในรูปที่ 1 1.10 จะได้สมการของเส้นยางยืดเป็น

ดังนั้นวิธีการของพารามิเตอร์เริ่มต้นทำให้สามารถเขียนสมการของเส้นยืดหยุ่นในรูปแบบที่มีค่าคงที่ใดก็ได้เพียงสี่ค่าเท่านั้น เอ็น 0 , ม 0 , θ 0 , ว 0 ซึ่งกำหนดจากเงื่อนไขขอบเขตที่ปลายคาน

โปรดทราบว่าสำหรับ จำนวนมากคานช่วงช่วงเดียวต่างๆ ที่พบในทางปฏิบัติ มีการรวบรวมตารางการดัดโค้งโดยละเอียด ซึ่งทำให้ง่ายต่อการค้นหาการโก่งตัว มุมการหมุน และองค์ประกอบการดัดงออื่นๆ

1.4. การหาค่าความเค้นเฉือนระหว่างการดัดคาน

สมมติฐานของส่วนแบนที่ยอมรับในทฤษฎีการดัดของลำแสงนำไปสู่ความจริงที่ว่าการเปลี่ยนรูปของแรงเฉือนในส่วนลำแสงกลายเป็น เท่ากับศูนย์และเราไม่สามารถใช้กฎของฮุคเพื่อกำหนดความเค้นเฉือนได้ อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ พ.ศ กรณีทั่วไปเมื่อแรงเฉือนกระทำในส่วนของลำแสง ความเค้นในแนวสัมผัสที่สอดคล้องกันควรเกิดขึ้น ความขัดแย้งนี้ (ซึ่งเป็นผลมาจากสมมติฐานที่ยอมรับของส่วนของระนาบ) สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการพิจารณาสภาวะสมดุล เราจะสมมุติว่าเมื่อคานที่ประกอบด้วยแถบบางๆ โค้งงอ ความเค้นในแนวสัมผัสในหน้าตัดของแต่ละแถบจะมีการกระจายสม่ำเสมอตลอดความหนาและขนานไปกับด้านยาวของเส้นขอบ ตำแหน่งนี้ได้รับการยืนยันในทางปฏิบัติโดยคำตอบที่แน่นอนของทฤษฎีความยืดหยุ่น ลองพิจารณาลำแสงของ I-beam แบบผนังบางแบบเปิด ในรูป รูปที่ 1.11 แสดงทิศทางบวกของความเค้นในแนวสัมผัสในหน้าแปลนและผนังโปรไฟล์ระหว่างการดัดงอในระนาบของผนังคาน ให้เราเน้นด้วยส่วนตามยาว ฉัน -ฉันและหน้าตัดสองส่วนของความยาวองค์ประกอบ ดีเอ็กซ์ (รูปที่ 1.12)

ให้เราแสดงความเค้นแทนเจนต์ในส่วนตามยาวที่ระบุด้วย τ และแรงตั้งฉากในส่วนตัดขวางเริ่มต้นด้วย ต. พลังปกติในส่วนสุดท้ายจะเพิ่มขึ้น ลองพิจารณาเฉพาะการเพิ่มขึ้นเชิงเส้นเท่านั้น

ข้าว. 1.12. แรงตามยาวและความเค้นเฉือน
ในองค์ประกอบหน้าแปลนคาน

สภาวะสมดุลสถิตขององค์ประกอบที่เลือกจากลำแสง (การฉายแรงบนแกนมีค่าเท่ากับศูนย์ วัว) จะ

ที่ไหน ; ฉ– พื้นที่ของส่วนโปรไฟล์ถูกตัดออกด้วยเส้น ฉัน -ฉัน; δ – ความหนาของโปรไฟล์ที่ส่วน

จาก (1.36) เป็นดังนี้:

เนื่องจากความเครียดปกติ σ xถูกกำหนดโดยสูตร (1.8) แล้ว

ในกรณีนี้ เราถือว่าลำแสงมีส่วนตัดขวางคงที่ตลอดความยาว โมเมนต์คงที่ของส่วนโปรไฟล์ (ตัดออกด้วยบรรทัด ฉัน -ฉัน) สัมพันธ์กับแกนกลางของส่วนลำแสง โอ้คืออินทิกรัล

จากนั้นจาก (1.37) สำหรับค่าสัมบูรณ์ของความเค้นที่เราได้รับ:

โดยปกติแล้ว สูตรผลลัพธ์สำหรับการพิจารณาความเค้นเฉือนจะใช้ได้กับส่วนตามยาวใดๆ เช่นกัน ครั้งที่สอง –ครั้งที่สอง(ดูรูปที่ 1.11) และโมเมนต์คงที่ ส ots ถูกคำนวณสำหรับส่วนที่ตัดออกของพื้นที่โปรไฟล์ลำแสงสัมพันธ์กับแกนกลางโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย

สูตร (1.38) ในความหมายของการได้มา จะกำหนดค่าความเค้นในวงสัมผัสในส่วนตามยาวของลำแสง จากทฤษฎีบทเรื่องการจับคู่ความเค้นในแนวสัมผัส ซึ่งทราบจากหลักสูตรเรื่องความแข็งแรงของวัสดุ ตามมาว่าความเค้นในแนวสัมผัสเดียวกันกระทำที่จุดที่สอดคล้องกันของหน้าตัดของลำแสง โดยธรรมชาติแล้ว การฉายภาพเวกเตอร์หลักของความเค้นในแนวสัมผัสจะอยู่บนแกน ออนซ์จะต้องเท่ากับแรงเฉือน เอ็นในส่วนที่กำหนดของลำแสง เนื่องจากอยู่ในคอร์เบลของคานประเภทนี้ดังแสดงในรูป 1.11 ความเค้นในวงสัมผัสมีทิศทางตามแนวแกน โอ้, เช่น. ปกติกับระนาบการกระทำของโหลด และโดยทั่วไปจะสมดุล แรงเฉือนจะต้องสมดุลโดยความเค้นเฉือนในแผ่นคาน การกระจายตัวของความเค้นในแนวสัมผัสตามความสูงของผนังเป็นไปตามกฎการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาคงที่ ส ot ของส่วนที่ตัดออกของพื้นที่สัมพันธ์กับแกนกลาง (ที่ความหนาของผนังคงที่ δ)

ให้เราพิจารณาส่วนที่สมมาตรของ I-beam พร้อมพื้นที่หน้าแปลน เอฟ 1 และบริเวณผนัง ω = hδ (รูปที่ 1.13)

ข้าว. 1.13. ส่วนของไอบีม

โมเมนต์คงที่ของส่วนที่ตัดออกของพื้นที่สำหรับจุดที่ตั้งอยู่ที่ zจากแกนกลางก็จะมี

ดังที่เห็นจากการพึ่งพาอาศัยกัน (1.39) โมเมนต์คงที่จะแปรผันตาม zตามกฎของพาราโบลากำลังสอง มูลค่าสูงสุด ส ots และด้วยเหตุนี้ความเครียดสัมผัส τ , จะได้ที่แกนกลางโดยที่ ซี = 0:

ความเค้นเฉือนสูงสุดในผนังคานที่แกนกลาง

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนของลำแสงที่เป็นปัญหามีค่าเท่ากับ

จากนั้นค่าความเค้นเฉือนสูงสุดจะเท่ากับ

ทัศนคติ เอ็น/ω ไม่มีอะไรมากไปกว่าความเค้นเฉือนเฉลี่ยในผนัง คำนวณโดยใช้การกระจายความเค้นสม่ำเสมอ ยกตัวอย่าง ω = 2 เอฟ 1 ตามสูตร (1.41) ที่เราได้รับ

ดังนั้นลำแสงที่พิจารณาจึงมีความเค้นสัมผัสในผนังที่แกนกลางมากที่สุดเพียง 12.5% ​​เท่านั้น เกินค่าเฉลี่ยของแรงดันไฟฟ้าเหล่านี้ ควรสังเกตว่าสำหรับโปรไฟล์ลำแสงส่วนใหญ่ที่ใช้ในตัวเรือ ความเค้นเฉือนสูงสุดจะสูงกว่าค่าเฉลี่ยประมาณ 10–15%

หากเราพิจารณาการกระจายตัวของความเค้นเฉือนระหว่างการดัดงอในส่วนของลำแสงที่แสดงในรูปที่. 1.14 คุณจะเห็นว่าพวกมันก่อตัวเป็นโมเมนต์สัมพันธ์กับจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น ในกรณีทั่วไปการดัดงอของลำแสงดังกล่าวในระนาบ XOZจะมาพร้อมกับการบิด

การโค้งงอของลำแสงไม่ได้มาพร้อมกับการบิดถ้าภาระกระทำในระนาบขนานกับ XOZผ่านจุดที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางโค้ง จุดนี้โดดเด่นด้วยความจริงที่ว่าโมเมนต์ของแรงสัมผัสทั้งหมดในส่วนของลำแสงสัมพันธ์กับมัน เท่ากับศูนย์.

ข้าว. 1.14. ความเค้นสัมผัสระหว่างการดัดคานช่อง (จุดที่ ก – จุดศูนย์กลางโค้ง)

แสดงระยะห่างจากจุดศูนย์กลางโค้ง ก จากแกนของผนังคานลอดผ่าน จเราเขียนเงื่อนไขสำหรับโมเมนต์ของแรงในวงสัมผัสให้เท่ากับศูนย์สัมพันธ์กับจุด ก:

ที่ไหน ถาม 2 – แรงสัมผัสในผนัง เท่ากับแรงเฉือน เช่น ถาม 2 =เอ็น;

ถาม 1 =ถาม 3 – แรงในสายพาน พิจารณาจาก (1.38) จากการพึ่งพา

ความเค้นเฉือน (หรือมุมเฉือน) γ แปรผันตามความสูงของผนังคานในลักษณะเดียวกับความเค้นเฉือน τ , ถึงค่าสูงสุดที่แกนกลาง

ดังที่ได้แสดงไปแล้ว สำหรับคานที่มีคอร์ด การเปลี่ยนแปลงของความเค้นในแนวสัมผัสตามความสูงของผนังนั้นไม่มีนัยสำคัญมาก สิ่งนี้ทำให้เราสามารถพิจารณาเพิ่มเติมบางอย่างได้ มุมเฉลี่ยเฉือนในเว็บลำแสง

การเสียรูปแบบเฉือนนำไปสู่ความจริงที่ว่ามุมขวาระหว่างระนาบหน้าตัดของลำแสงและแทนเจนต์กับเส้นยืดหยุ่นจะเปลี่ยนไปตามจำนวนγ พุธแผนภาพแบบง่ายของการเสียรูปแรงเฉือนขององค์ประกอบลำแสงจะแสดงในรูปที่ 1 1.15.

ข้าว. 1.15. แผนภาพการเปลี่ยนรูปแรงเฉือนขององค์ประกอบลำแสง

โดยระบุลูกศรโก่งตัวที่เกิดจากแรงเฉือนทะลุ ว sdv เราสามารถเขียนได้:

โดยคำนึงถึงกฎของสัญญาณสำหรับแรงตัด เอ็นและหามุมการหมุน

เพราะว่า ,

เราได้รับอินทิเกรต (1.47)

คงที่ กรวมอยู่ใน (1.48) กำหนดการเคลื่อนที่ของลำแสงเป็น แข็งและสามารถนำมาใช้ได้เท่ากับค่าใด ๆ เนื่องจากเมื่อพิจารณาลูกศรรวมของการโก่งตัวจากการดัด ว ดัดและเฉือน วเอสดีวี

ผลรวมของค่าคงที่การรวมจะปรากฏขึ้น ว 0 +กพิจารณาจากเงื่อนไขขอบเขตที่นี่ ว 0 – การโก่งตัวจากการดัดที่จุดกำเนิด

ให้เราใส่ในอนาคต ก=0. จากนั้นนิพจน์สุดท้ายของเส้นยืดหยุ่นที่เกิดจากแรงเฉือนจะอยู่ในรูปแบบ

ส่วนประกอบการดัดและแรงเฉือนของเส้นยางยืดแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.16.

ข้าว. 1.16. โค้งงอ ( ก) และแรงเฉือน ( ข) ส่วนประกอบของเส้นยางยืดของลำแสง

ในกรณีที่พิจารณา มุมการหมุนของส่วนต่างๆ ระหว่างแรงเฉือนจะเป็นศูนย์ ดังนั้น เมื่อคำนึงถึงแรงเฉือน มุมการหมุนของส่วน โมเมนต์การดัด และแรงเฉือนจะสัมพันธ์กับอนุพันธ์ของเส้นยืดหยุ่นจาก โค้งงอ:

สถานการณ์ค่อนข้างแตกต่างในกรณีของโมเมนต์ที่มีความเข้มข้นซึ่งกระทำบนลำแสง ซึ่งดังที่แสดงด้านล่าง ไม่ทำให้เกิดการโก่งตัวจากแรงเฉือน แต่จะนำไปสู่การหมุนเพิ่มเติมของส่วนของลำแสงเท่านั้น

ให้เราพิจารณาคานที่รองรับอย่างอิสระบนส่วนรองรับแบบแข็งซึ่งอยู่ทางด้านซ้าย ช่วงเวลานั้นถูกต้อง ม. แรงเฉือนในกรณีนี้จะเป็นดังนี้สม่ำเสมอและเท่าเทียมกัน

สำหรับส่วนอ้างอิงที่ถูกต้อง เราได้รับตามลำดับ

.(1.52)

นิพจน์ (1.51) และ (1.52) สามารถเขียนใหม่เป็นได้

การแสดงออกในวงเล็บแสดงถึงการเพิ่มสัมพัทธ์กับมุมการหมุนของส่วนที่เกิดจากแรงเฉือน

ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาคานที่รองรับอย่างเรียบง่ายซึ่งโหลดด้วยแรงที่อยู่ตรงกลางช่วงของมัน ร(รูปที่ 1.18) จากนั้นการโก่งตัวของลำแสงภายใต้แรงจะเท่ากับ

การโก่งงอสามารถพบได้จากโต๊ะดัดคาน การโก่งตัวของแรงเฉือนถูกกำหนดโดยสูตร (1.50) โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า .

ข้าว. 1.18. แผนผังของลำแสงที่รองรับอย่างเรียบง่ายซึ่งเต็มไปด้วยแรงที่มีสมาธิ

ดังที่เห็นได้จากสูตร (1.55) การบวกสัมพัทธ์กับการโก่งตัวของลำแสงเนื่องจากแรงเฉือนมีโครงสร้างเหมือนกับการบวกสัมพัทธ์กับมุมการหมุน แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่แตกต่างกัน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์

โดยที่ β เป็นค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขขึ้นอยู่กับงานเฉพาะที่พิจารณา การออกแบบส่วนรองรับ และน้ำหนักของคาน

มาวิเคราะห์การพึ่งพาของสัมประสิทธิ์กัน เคจากปัจจัยต่างๆ

ถ้าเราคำนึงว่า เราได้รับแทน (1.56)

โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนลำแสงสามารถแสดงในรูปแบบได้เสมอ

,(1.58)

โดยที่ α คือสัมประสิทธิ์ตัวเลข ขึ้นอยู่กับรูปร่างและลักษณะของหน้าตัด ดังนั้น สำหรับ I-beam ตามสูตร (1.40) โดยมี ω =2 เอฟ 1 เราจะพบว่า ฉัน = เอ่อ 2 /3 เช่น α =1/3

โปรดทราบว่าเมื่อขนาดของหน้าแปลนลำแสงเพิ่มขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์ α จะเพิ่มขึ้น

โดยคำนึงถึง (1.58) แทนที่จะเป็น (1.57) เราสามารถเขียนได้:

ดังนั้นค่าของสัมประสิทธิ์ เคอย่างมีนัยสำคัญขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของช่วงของลำแสงต่อความสูงของรูปร่างของส่วน (ผ่านค่าสัมประสิทธิ์α) การจัดเรียงตัวรองรับและภาระของลำแสง (ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ β) ยิ่งลำแสงค่อนข้างยาว ( ชม/ลเล็ก) ยิ่งอิทธิพลของการเสียรูปแรงเฉือนน้อยลง สำหรับคานโปรไฟล์แบบรีด ชม/ลน้อยกว่า 1/10-1/8 ไม่สามารถนำมาพิจารณาการแก้ไขกะได้

อย่างไรก็ตาม สำหรับคานที่มีหน้าแปลนกว้าง เช่น กระดูกงู คานค้ำ และฟลอร่าที่เป็นส่วนประกอบของชั้นล่างสุด อิทธิพลของแรงเฉือนและตามที่ระบุ ชม/ลอาจจะกลายเป็นเรื่องสำคัญก็ได้

ควรสังเกตว่าการเปลี่ยนรูปแบบแรงเฉือนไม่เพียงส่งผลต่อการเพิ่มขึ้นของการโก่งตัวของลำแสงเท่านั้น แต่ในบางกรณียังส่งผลต่อการเปิดเผยความไม่แน่นอนของคานและระบบลำแสงด้วย

สมมติฐานของส่วนระนาบระหว่างการดัดงอสามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่าง: ให้เราใช้ตารางที่ประกอบด้วยเส้นตรงตามยาวและตามขวาง (ตั้งฉากกับแกน) บนพื้นผิวด้านข้างของลำแสงที่ไม่มีรูปร่าง จากการดัดลำแสง เส้นตามยาวจะเป็นโครงร่างโค้ง ในขณะที่เส้นขวางจะยังคงเป็นเส้นตรงและตั้งฉากกับแกนโค้งของลำแสง

การกำหนดสมมติฐานส่วนระนาบ: ส่วนตัดขวางที่เรียบและตั้งฉากกับแกนของลำแสงก่อน และคงความเรียบและตั้งฉากกับแกนโค้งหลังจากเปลี่ยนรูปแล้ว

กรณีนี้บ่งชี้ว่า: เมื่อปฏิบัติตามแล้ว สมมติฐานส่วนระนาบเช่นเดียวกับและ

นอกเหนือจากสมมติฐานของส่วนเรียบแล้ว ยังยอมรับข้อสันนิษฐาน: เส้นใยตามยาวของลำแสงจะไม่กดทับกันเมื่อมันโค้งงอ

สมมติฐานและสมมติฐานส่วนระนาบเรียกว่า สมมติฐานของเบอร์นูลลี.

พิจารณาคานหน้าตัดสี่เหลี่ยมที่อยู่ระหว่างการดัดโค้ง () เรามาเลือกองค์ประกอบลำแสงที่มีความยาว (รูปที่ 7.8.a) จากการดัดงอ ส่วนตัดขวางของลำแสงจะหมุนทำให้เกิดมุม เส้นใยด้านบนได้รับแรงอัด และเส้นใยด้านล่างได้รับแรงตึง เราแสดงรัศมีความโค้งของเส้นใยที่เป็นกลางเป็น

ตามอัตภาพ เราถือว่าเส้นใยเปลี่ยนความยาวในขณะที่ยังคงเส้นตรง (รูปที่ 7.8.b) แล้วเด็ดขาดและ การยืดตัวสัมพัทธ์ไฟเบอร์อยู่ที่ระยะทาง y จากไฟเบอร์ที่เป็นกลาง:

ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าเส้นใยตามยาวซึ่งไม่ได้รับแรงตึงหรือแรงอัดเมื่อลำแสงโค้งงอ จะผ่านแกนกลางหลัก x

เนื่องจากความยาวของลำแสงไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการดัดงอ แรงตามยาว (N) ที่เกิดขึ้นในส่วนตัดขวางจะต้องเป็นศูนย์ แรงตามยาวเบื้องต้น

เมื่อพิจารณาถึงการแสดงออก :

ปัจจัยสามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้ (ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอินทิเกรต)

นิพจน์นี้แสดงถึงภาพตัดขวางของลำแสงรอบแกน x ที่เป็นกลาง มันจะเป็นศูนย์เมื่อแกนกลางผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด ด้วยเหตุนี้แกนกลาง (เส้นศูนย์) เมื่อลำแสงโค้งงอผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด

เห็นได้ชัดว่าโมเมนต์การดัดงอสัมพันธ์กับความเค้นปกติที่เกิดขึ้นที่จุดในหน้าตัดของแท่ง โมเมนต์การดัดงอเบื้องต้นที่สร้างขึ้นโดยแรงพื้นฐาน:

,

โดยที่ โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของหน้าตัดสัมพันธ์กับแกน x ที่เป็นกลาง และอัตราส่วนคือความโค้งของแกนลำแสง

ความแข็งแกร่ง คานในการดัด(ยิ่งมากรัศมีความโค้งก็จะยิ่งน้อยลง)

สูตรผลลัพธ์ที่ได้ แสดงถึง กฎของฮุคของการดัดงอคันเบ็ด: โมเมนต์การดัดงอที่เกิดขึ้นในหน้าตัดจะเป็นสัดส่วนกับความโค้งของแกนลำแสง

แสดงรัศมีความโค้ง () จากสูตรกฎของฮุคสำหรับท่อนไม้ขณะดัดและแทนค่าลงในสูตร เราได้รับสูตรสำหรับความเค้นปกติ () ที่จุดใดก็ได้ในหน้าตัดของลำแสงซึ่งอยู่ที่ระยะทาง y จากแกนกลาง x: .

ในสูตรสำหรับความเค้นปกติ () ที่จุดใดก็ได้ในหน้าตัดของลำแสงควรแทนที่ค่าสัมบูรณ์ของโมเมนต์การดัด () และระยะห่างจากจุดถึงแกนกลาง (พิกัด y) ไม่ว่าความเค้น ณ จุดที่กำหนดจะเป็นแรงดึงหรือแรงอัดสามารถกำหนดได้ง่ายโดยธรรมชาติของการเสียรูปของลำแสงหรือโดยแผนภาพของโมเมนต์การดัดงอ ซึ่งพิกัดของค่านั้นจะถูกพล็อตไว้ที่ด้านข้างของเส้นใยที่ถูกบีบอัดของลำแสง

จากสูตรแสดงให้เห็นอย่างชัดเจน: ความเค้นปกติ () เปลี่ยนแปลงไปตามความสูงของส่วนตัดขวางของลำแสงตามกฎเชิงเส้น ในรูป ในรูปที่ 7.8 แสดงแผนภาพ ความเค้นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างการโค้งงอของลำแสงเกิดขึ้นที่จุดที่ไกลที่สุดจากแกนกลาง หากมีการลากเส้นในส่วนตัดขวางของลำแสงขนานกับแกน x ที่เป็นกลาง ความเค้นปกติที่เท่ากันจะเกิดขึ้นที่ทุกจุด

การวิเคราะห์อย่างง่าย แผนภาพความเครียดปกติแสดงให้เห็นว่าเมื่อลำแสงโค้งงอ วัสดุที่อยู่ใกล้แกนกลางจะไม่ทำงานในทางปฏิบัติ ดังนั้น เพื่อลดน้ำหนักของลำแสง แนะนำให้เลือกรูปทรงหน้าตัดซึ่งวัสดุส่วนใหญ่จะถูกเอาออกจากแกนที่เป็นกลาง เช่น ส่วน I