محلول المعادلات غير الخطية

فليكن من الضروري حل المعادلة

أين
- وظيفة مستمر غير الخطية.

يتم تقسيم طرق حل المعادلات إلى تكرار مباشر وتكراري. الطرق المباشرة هي أساليب لحساب الحل عن طريق الصيغة (على سبيل المثال، العثور على جذور المعادلة المربعة). الأساليب التكرارية هي الأساليب التي يتم بها إعطاء بعض التقريب الأولي وتسلسل متقارف من التقريبين إلى الحل الدقيق، ويتم حساب كل تقريب لاحق باستخدام السابق

ينقسم الحل الكامل للمهمة إلى 3 مراحل:

اضبط عدد وطبيعة وموقع جذور المعادلة (1).

العثور على القيم التقريبية للجذور، أي حدد الفجوات التي يتم فيها استدعاء الجذور (فصل الجذور).

ابحث عن قيمة الجذر بالدقة المطلوبة (توضيح الجذور).

هناك العديد من الطرق الرسومية والتحليلية لحل المهام الأولى.

الطريقة الأكثر مرئية لفصل جذور المعادلة (1) هي تحديد إحداثيات نقاط التقاطع في وظيفة الوظيفة
مع محور abscissa. الإحداثي السيني نقاط تقاطع الرسومات
مع محور
هي معادلة جذور (1)

يمكن الحصول على جذور جذور جذور المعادلة (1) تحليليا بناء على نظريات الوظائف المستمرة على القطاع.

إذا، على سبيل المثال، وظيفة
مستمر على قطع
و
وفقا ل The Bolzano - نظرية Cauchy، على القطاع
هناك جذر واحد على الأقل من المعادلة (1) (عدد فردي من الجذور).

إذا كانت الوظيفة
يرضي شروط نظرية بولزانو كوشي ورونوتون في هذا القطاع، ثم
هناك جذر واحد فقط من المعادلة (1). في الواقع، المعادلة (1) لديها على
الجذر الوحيد إذا تم الوفاء بالشروط:

إذا كانت الوظيفة في الفاصل الزمني المحدد قدما بشكل مستمر، فيمكنك استخدام نتيجة نظرية لفة، على طول نقطة ثابتة واحدة على الأقل بين جذور الجذور. ستكون خوارزمية حل المشكلات في هذه الحالة ما يلي:

الأداة المفيدة لفصل الجذر هي أيضا استخدام نظرية الاعتداء.

يتم تنفيذ محلول المشكلة الثالثة من خلال مختلف الأساليب التكرارية (العددية): طريقة الانقسام، طريقة التكرار البسيط، طريقة نيوتن، طريقة الوتر، إلخ.

مثال حل المعادلة
طريقة التكرار بسيطوبعد اقامة
وبعد بناء رسم بياني وظيفة.

يوضح الرسم البياني أن جذر معادلةنا ينتمي إلى القطاع
وبعد
- قطع العزلة من جذر معادلةنا. تحقق من ذلك تحليلا، أي الظروف (2):

أذكر أن المعادلة الأولية (1) في طريقة التكرار البسيط يتم تحويلها إلى النموذج
ويتم إجراء التكرار من قبل الصيغة:

(3)

إن تنفيذ الحسابات وفقا للصيغة (3) يسمى تكرار واحد. توقف التكرارات عندما تكون حالة راضية
أين - الخطأ المطلق لموقع الجذر، أو
أين - خطأ مبرد.

طريقة تكرار التكرار البسيط إذا كانت الحالة راضية
ل
وبعد حدد وظيفة
في الفورمولا (3)، من الممكن التأثير على تقارب الطريقة. في أبسط القضية
مع علامة زائد أو ناقص.

في الممارسة العملية، في كثير من الأحيان صريحة
مباشرة من المعادلة (1). إذا لم يتم تنفيذ حالة التقارب، يتم تحويلها إلى النموذج (3) وتحديدها. تخيل معادلةنا في النموذج
(Express X من المعادلة). تحقق من حالة التقارب من الطريقة:

ل
وبعد لاحظ أنه لم يتم تنفيذ حالة التقارب
، لذلك نحن نأخذ شريحة العزلة الجذرية
وبعد على طول الطريق، نلاحظ أنه عند تقديم معادلةنا في النموذج
حالة التقارب من الطريقة غير راضية:
على قطع
وبعد الرسم البياني يظهر ذلك
يزيد أسرع من الوظيفة
(| TG | زاوية الميل ل
على قطع
)

إختر
وبعد نحن ننظم التكرارات من الصيغة:

تنظيم برمجيا عملية التكرار بدقة معينة:

> fV: \u003d Proc (F1، X0، EPS)

> ك: \u003d 0:

x: \u003d x1 + 1:

بينما ABS (X1X)\u003e EPS تفعل

x1: \u003d f1 (x):

طباعة (efrf (x1.8)):

طباعة (ABS (X1-X)):

: طباعة ("iTer. \u003d٪ D"، K):

نهاية.:

ل 19 تكرارا، حصلنا على جذر معادلةنا

مع خطأ مطلق

دع معادلنا بواسطة نيوتنوبعد يتم تنفيذ التكرارات في طريقة نيوتن من قبل الصيغة:

يمكن اعتبار Newton الطريقة طريقة للتكرار البسيط مع وظيفة، ثم يتم تسجيل حالة التقارب من طريقة Newton على النحو التالي:

.

في تعييننا
ويتم تنفيذ حالة التقارب على شريحة
ما هو مرئي في الرسم البياني:

أذكر أن طريقة Newton تتقارب بسرعة تربيعية، وينبغي تحديد التقريب الأولي بالقرب من الجذر. حق الحسابات:
، تقريب الأولي،. نحن ننظم التكرارات من الصيغة:

تنظيم برمجيا عملية التكرار مع دقة معينة. 4 التكرار تحصل على جذر المعادلة

من عند
استعرضنا أساليب حل المعادلات غير الخطية على سبيل المثال المعادلات المكعبة، بطبيعة الحال، هذه الأساليب حل أنواع مختلفة من المعادلات غير الخطية. على سبيل المثال، حل المعادلة

نيوتن س
، نجد جذر المعادلة في [-1.5؛ -1]:

المهمة: حل المعادلات غير الخطية مع الدقة

0.

قطع الأقسام في النصف (الانقسام)

التكرار بسيط.

نيوتن (الظل)

الترويجي - وتر.

يتم احتساب خيارات المهام على النحو التالي: تنقسم قائمة القائمة على 5 (
)، الجزء الأكمام يتوافق مع عدد المعادلة، والبقايا - عدد الطريقة.

رقم العمل المختبري 3-4.

الخيار رقم 5.

الغرض من العمل: تعلم حل أنظمة المعادلات غير الخطية (SNA) من خلال طريقة التكرارات البسيطة (MPI) و Newton باستخدام جهاز كمبيوتر.

1. لدراسة طريقة MPI و Newton لحل أنظمة المعادلات غير الخطية.

2. في مثال محدد، استيعاب الإجراء لحل أنظمة معادلات MPI غير الخطية و Newton باستخدام جهاز كمبيوتر.

3. قم بإجراء برنامج ومع ذلك لحل نظام المعادلات بدقة.

مثال على الأداء

المهمة.

1. حلل الحلل:

2. بناء Formulas Formulas MPI و Newton طريقة حل عددي للنظام في تقريب الأولي :.

3. قم بإجراء برنامج في أي لغة برمجة تقوم بتنفيذ عملية تكرارية مبنية.

قرار.

المنهج التحليلي.

الحل التحليلي للنوم هو النقاط و.

طريقة التكرارات البسيطة (MPI).

لبناء العمال، يجب أن يؤدي ذلك إلى حلول رقمي للنظام إلى الذهن أولا:

للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى للنظام على ثابت غير معروف، والثاني - قم بإضافتها وإضافتها إلى كلا الطرفين من المعادلة. نحصل على المعادلة الأولى للنظام المحول:

يحدد الأشخاص المجهولون من ظروف كافية لتقارب العملية التكرارية:

نكتب هذه الظروف بمزيد من التفصيل:

بعد أن يعتقد أن تعبيرات صفر تحت علامة الوحدة، نحصل على نظام من معادلات الجبرية الخطية (SLAVA) 4 أوامر من حجم مع 4 مجهول:

لحل النظام، من الضروري حساب المشتقات الخاصة:

ثم سيتم تسجيل سلافا مثل هذا:

لاحظ أنه إذا تغير المشتقات الخاصة قليلا في حي التقريب الأولي، ثم:

ثم سيتم تسجيل سلافا مثل هذا:

من خلال حل هذا النظام هي نقاط ،،، ثم فإن الصيغ العاملة من MPI لحل SNU سوف نلقي نظرة:

لتنفيذ الكمبيوتر، يمكن إعادة كتابة صيغ العمل حتى:

يمكن أن تبدأ العملية التكرارية باستخدام التقريب الأولي X 0 \u003d -2، Y 0 \u003d -4. تنتهي العملية أثناء أداء شرطين في وقت واحد: و. في هذه الحالة، تكون القيم القيمة التقريبية لأحد حلول SNU.

طريقة نيوتن.

لبناء الصيغ العاملة طريقة Newton في النموذج

أين تحتاج:

1. العثور على مصفوفة المشتقات الخاصة:

2. العثور على محدد من هذه المصفوفة:

3. تحديد مصفوفة العودة:

بعد التحويل:

نحصل على صيغة العمل طريقة Newton لتنفيذ جهاز كمبيوتر:

مخطط كتلة يتم عرض طريقة MPE و Newton لحل الإشارة في الشكل 1.

الشكل.1 من طريقة MPI و Newton.

نصوص البرامج:

برنامج P3_4؛ (التكرار)

يستخدم CRT؛

var n: عدد صحيح؛

clrscr؛

XN: \u003d x- (x-y + 2) + (1/2) * (x * y-3)؛

yn: \u003d y + (2/3) * (x - y + 2) + (1/6) * (x * y-3)؛

WRITELN (N: 3، X: 9: 5، XN: 9: 5 (XN-X): 9: 5، Y: 9: 5، YN: 9: 5، (YN-Y): 9: 5) ؛

n: \u003d n + 1؛

حتى (ABS (X-ZX)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

Readln؛

2) طريقة نيوتن:

برنامج P3_4؛ (نيوتون)

يستخدم CRT؛

var n: عدد صحيح؛

X0، X، XN، Y0، Y، YN، EPS، ZX، ZY: حقيقي؛

clrscr؛

n: \u003d 0؛ X0: \u003d - 2؛ x: \u003d x0؛ Y0: \u003d - 4؛ Y: \u003d y0؛ EPS: \u003d 0.001؛

WRITELN ("N X (I) x (i + 1) x (i + 1) -x (i) y (i) y (i + 1) y (i + 1) y (i + 1) -y (i)")؛

XN: \u003d x- (1 / (x + y)) * (x * x - x * y + 2 * x + x-y + 2)؛

yn: \u003d y- (1 / x + y)) * (x * y * (- y) -3 * (- y) + x * y-3)؛

Writeln (n: 3، x: 9: 5، XN: 9: 5، ABS (XN-X): 9: 5، Y: 9: 5، YN: 9: 5، ABS (YN-Y): 9: خمسة)؛

n: \u003d n + 1؛

حتى (ABS (X-ZX)<=eps) and (abs(y-zy)<=eps);

نتائج اختبار البرنامج:

TIP.2 - البرامج التي تعمل وفقا لطريقة التكرارات العادية؛

TIP.3 - برنامج برنامج نيوتن.

FIG.2 الرد: X (16) ≈ -300023، (16) ≈ -100001

FIG.3 الرد: X (8) ≈-3.00000، Y (8) ≈ - / 100000

كل الناس من الطبيعة يسعون إلى معرفة. (أرسطو. الميتافيزيقيا)

الأساليب العددية: حل المعادلات غير الخطية

إن مهام حل المعادلات في الممارسة العملية باستمرار، على سبيل المثال، في الاقتصاد، تطوير أعمال، تريد أن تعرف متى تصل الربح إلى قيمة معينة، في الطب في دراسة عمل المخدرات، من المهم أن تعرف متى تركيز المادة يصل إلى المستوى المحدد، إلخ.

في مهام التحسين، غالبا ما يكون من الضروري تحديد النقاط التي تشير إليها الوظيفة المشتقة إلى 0، وهو شرط مسبق محلي extremum.

في الإحصاءات في بناء تقديرات من قبل المربعات الصغرى أو الحد الأقصى لطريقة احتمالية، يجب حل المعادلات وأنظمة غير الخطية للمعادلات.

لذلك، هناك فئة كاملة من المهام المتعلقة بإيجاد الحلول. غير الخطية المعادلات، على سبيل المثال، المعادلات أو المعادلات، إلخ.

في أبسط القضية، لدينا وظيفة محددة على القطاع ( أ., ب) وتلقي القيم معينة.

كل قيمة عاشر من هذا الجزء، يمكننا مقارنة الرقم، وهذا هو وظيفي الاعتماد، مفهوم المفتاح للرياضيات.

نحتاج إلى إيجاد مثل هذه القيمة التي تسمى مثل هذه الوظيفة الجذور

بصريا، نحتاج إلى تحديد وظيفة تقاطع الوظيفة مع محور abscissa.

طريقة الانقسام في النصف

أبسط طريقة لإيجاد جذور المعادلة هي طريقة التقسيم في النصف أو تفرع ثنائي.

هذه الطريقة بديهية وكان الجميع قد تصرفوا في حل المشكلة بطريقة مماثلة.

الخوارزمية هي على النحو التالي.

لنفترض أننا وجدنا نقطتين، كما أن لديهم مختلف علامات، ثم بين هذه النقاط هناك جذر واحد على الأقل من الوظيفة.

نحن نقسم الجزء في النصف وإدخال وسط هدف.

ثم سما إما .

دعونا نترك نصف القطاع الذي له القيم الموجودة في النهايات لها علامات مختلفة. الآن يتم تقسيم هذا الجزء مرة أخرى إلى النصف وترك الجزء منه، على حدود الوظيفة له علامات مختلفة، وهكذا فإن تحقيق الدقة المطلوبة.

من الواضح أننا سوزيم المنطقة التي يقعون فيها جذر الوظيفة، وبالتالي، بدرجة معينة من الدقة، نحددها.

لاحظ الخوارزمية الموصوفة قابلة للتطبيق على أي وظيفة مستمرة.

يجب أن تشمل مزايا طريقة الشعبة في النصف موثوقيتها والبساطة العالية.

عيب الأسلوب هو حقيقة أنه قبل بدء تطبيقه، تحتاج إلى العثور على نقطتين، وقيم الوظائف التي لها علامات مختلفة. من الواضح أن الطريقة لا تنطبق على جذور التعددية حتى ولا يمكن تعميمها أيضا في حالة الجذور المعقدة وعلى نظام المعادلات.

الإجراء الخاص بتقارب الطريقة الخطية، في كل خطوة، تزداد الدقة مرتين، وكلما تم إجراء المزيد من التكرارات، كلما حددت الجذر أكثر دقة.

طريقة نيوتن: الأساسيات النظرية

طريقة الكلاسيكية نيوتن أو الظلال هذا هو أنه إذا - بعض النهج مع معادلة الجذر يتم تعريف التقريب التالي على أنه الظل الجذر إلى الوظيفة التي تنفق عند هذه النقطة.

المعادلة الظل إلى الوظيفة عند النقطة هي:

في معادلة الظل، سنضعها أيضا.

ثم الخوارزمية المتتالية في طريقة Newton هي كما يلي:

تقارب طريقة الظل التربيعي، ترتيب التقارب هو 2.

وبالتالي، فإن تقارب طريقة الظل نيوتن سريع جدا.

تذكر هذه الحقيقة الرائعة!

دون أي تغييرات، يتم تعميم الطريقة لحالة شاملة.

إذا كان الجذر هو جذر التعدد الثاني وما فوق، فإن ترتيب التقارب يقع ويصبح خطي.

التمرين 1وبعد ابحث عن استخدام طريقة معادلة الحلول العرضية على القطاع (0، 2).

تمرين 2. ابحث عن استخدام طريقة الحل العرضي للمعادلة في الجزء (1، 3).

يجب أن تتضمن عيوب طريقة نيوتن مكانتها، نظرا لأنها مضمونة تتلاقى في تقريب بدء تعسفيا فقط إذا تم الوفاء بشرط في كل مكان في الارتباك، هناك تقارب فقط في بعض الحي من الجذر.

عيب طريقة نيوتن هي الحاجة إلى حساب المشتقات في كل خطوة.

نيتون التصور للطريقة

يتم استخدام طريقة نيوتن (طريقة الظل) إذا كانت المعادلة f.(عاشر) = 0 لديها جذر، ويتم الوفاء بالشروط:

1) وظيفة y.= f.(عاشر) محددة ومستمرة عندما؛

2) f.(أ.)· f.(ب.) < 0 (وظيفة تأخذ قيم علامات مختلفة في نهايات القطاع [ أ.; ب.]);

3) المشتقات f "(عاشر) و f ""(عاشر) الحفاظ على علامة على القطاع [ أ.; ب.] (أي وظيفة f.(عاشر) إما الزيادات أو النقصان على القطاع [ أ.; ب.] مع الحفاظ على اتجاه المحول)؛

الفكرة الرئيسية للطريقة هي كما يلي: على القطاع [ أ.; ب.] اختيار مثل هذا الرقم عاشر 0 , بحيث f.(عاشر 0 ) لديه نفس علامة كما f."" (عاشر 0 ), I.E. يتم تنفيذ الحالة f.(عاشر 0 )· f."" (عاشر) > 0 وبعد وبالتالي، يتم تحديد النقطة مع ABSCISSA عاشر 0 التي الظل المنحنى y.= f.(عاشر) على القطاع [ أ.; ب.] عبور المحور ثور.وبعد للنقطة عاشر 0 أولا أنها مريحة لاختيار واحدة من نهايات القطاع.

النظر في طريقة نيوتن على مثال محدد.

دعونا تعطي وظيفة متزايدة y \u003d f (x) \u003d x 2 -2، مستمر على الجزء (0؛ 2)، وبعد ذلك f "(س) \u003d 2 عاشر > 0 و f. "" (س) \u003d 2 > 0 .

صورة1 وبعد f (x) \u003d × 2 -2

حاضر معادلة الأشجار بشكل عام:

y-y 0 \u003d f" (× 0) · (x - x 0).

في حالتنا هذه: y-y 0 \u003d 2x 0 · (x-x 0).كنقطة X 0، اختر نقطة ب 1 (ب؛ f (b)) \u003d (2.2). نحن نحمل الاستفادة من الوظيفة y \u003d f (x) في النقطة ب 1، ونشير إلى نقطة تقاطع الظل والمحور ثور. هدف x 1.وبعد نحصل على أول معادلة الظل: y-2 \u003d 2 · 2 (x-2)، y \u003d 4x-6.

الثور: x 1 \u003d

صورة2. نتيجة التكرار الأول

y \u003d f (x) ثور. من خلال النقطة x 1.، الحصول على نقطة في 2 \u003d (1.5؛ 0.25)وبعد نحن مرة أخرى تنفق الظل للعمل y \u003d f (x) في النقطة 2، والرجوع إلى نقطة تقاطع الظل والمحور ثور. هدف × 2.

المعادلة التانغانية الثانية: y.-0.25=2*1.5(عاشر-1.5), y. = 3 عاشر - 4.25.

نقطة تقاطع الظل والمحور الثور: x 2 \u003d.

صورة3. التكرار الثاني لطريقة نيوتن

ثم ابحث عن نقطة تقاطع الوظيفة y \u003d f (x) وعمودي يقضون على المحور ثور. من خلال النقطة X 2، نحصل على نقطة في 3 وما إلى ذلك.

صورة4. الخطوة الثالثة من طريقة الظل

يتم تحديد التقريب الأول للجذر بواسطة الصيغة:

= 1.5.

يتم تحديد التقريب الثاني للجذر من خلال الصيغة:

=

يتم تحديد التقريب الثالث للجذر من خلال الصيغة:

في هذا الطريق , أنا.- يتم تحديد تقريب الجذر بواسطة الصيغة:

الحسابات جارية حتى تصدام العلامات العشرية اللازمة استجابة، أو دقة معينة ه - قبل تنفيذ عدم المساواة | xi.- xi.-1 | < هيا.

في حالتنا، قارنا التقريب الذي تم الحصول عليه في الخطوة الثالثة مع إجابة حقيقية حساب على الآلة الحاسبة:

الشكل 5. الجذر من 2، حساب على آلة حاسبة

كما يمكن أن نرى، في الخطوة الثالثة حصلنا على الخطأ أقل من 0.000002.

وبالتالي، يمكنك حساب قيمة حجم "الجذر التربيعي من 2" مع أي درجة من الدقة. اخترع نيوتن هذه الطريقة الرائعة وتسمح لجذور المعادلات المعقدة للغاية.

طريقة نيوتن: تطبيق على C ++

في هذه المقالة، نتمكن عملية حساب جذور المعادلات عن طريق كتابة تطبيق وحدة التحكم في C ++. سنقوم بتطويره في Visual C ++ 2010 Express، وهذه هي بيئة تطوير C ++ مجانية ومريحة للغاية.

لتبدأ، قم بتشغيل Visual C ++ 2010 Express. ستظهر نافذة البداية. في الزاوية اليسرى، انقر فوق "إنشاء مشروع".

تين. 1. الصفحة الأولية Visual C ++ 2010 Express

في القائمة التي تظهر، حدد "تطبيق وحدة التحكم Win32"، وأدخل طريقة الاسم "الطريقة".

تين. 2. إنشاء المشروع

// الطريقة: CPP: يحدد نقطة الإدخال لتطبيق وحدة التحكم #include "Stdafx.h" #تضمن. استخدام اسم للمحطة؛ تعويم F (مزدوج X) // إرجاع قيمة الوظيفة f (x) \u003d x ^ 2-2 تعويم DF (تعويم X) // إرجاع قيمة المشتق تعويم D2F (تعويم X) // قيمة المشتق الثاني int _tmain (int argc، _tchar * argv) iNT EXIT \u003d 0، I \u003d 0؛ // المتغيرات للإخراج والدورة مزدوج X0، XN؛ // تقريبية محسوبة للجذر مضاعفة A، B، EPS؛ // قطع الحدود ودقة ضرورية كوت.<<"Please input \n=>"; سين \u003e\u003e a \u003e\u003e ب؛ / / أدخل حدود القطاع الذي سنبحث عنه كوت.<<"\nPlease input epsilon\n=>"; سين \u003e\u003e EPS؛ / / أدخل دقة الحساب المطلوبة إذا (a\u003e b) // إذا كان المستخدم حائر على حدود القطاع، فقم بتغييرها في الأماكن إذا (f (a) * f (b)\u003e 0) // إذا كانت علامات الوظيفة على حواف القطاع هي نفسها، فلا يوجد جذر كوت.<<"\nError! No roots in this interval\n"; إذا (f (a) * d2f (a)\u003e 0) x0 \u003d a؛ / / لتحديد نقطة البداية، تحقق f (x0) * d2f (x0)\u003e 0؟ xN \u003d x0-f (x0) / df (x0)؛ / / نحن نعتبر التقريب الأول كوت.<<++i<<"-th iteration = "< في حين (Fabs (X0-XN)\u003e EPS) // حتى تصل إلى الدقة اللازمة، ستستمر في حساب xN \u003d x0-f (x0) / df (x0)؛ // مباشرة صيغة نيوتن كوت.<<++i<<"-th iteration = "< كوت.<<"\nRoot = "< كوت.<<"\nExit?=>"; ) بينما (الخروج! \u003d 1)؛ // بينما لم يدخل المستخدم الخروج \u003d 1

دعونا نرى كيف يعمل. انقر فوق المثلث الأخضر في الركن الأيسر العلوي من الشاشة، أو مفتاح F5.

إذا حدث خطأ في الترجمة "خطأ LNK1123: فشل عند التحويل إلى COVE: ملف غير صالح أو تلفه،" يتم التعامل مع هذا إما عن طريق تثبيت أول خدمة Service Pack 1، أو في إعدادات Project Project -\u003e قم بإيقاف تشغيل Loader التخطيط الإضافي.

تين. 4. حلود تجميع المشروع حل

سنبحث عن جذور من الوظيفة f (x) \u003d.x2-2..

أولا، تحقق من تطبيق التطبيق على بيانات الإدخال "الخطأ". لا توجد جذور على القطاع، يجب أن يصدر برنامجنا رسالة خطأ.

لدينا نافذة تطبيق:

تين. 5. إدخال بيانات المدخلات

نقدم حدود القطاع 3 و 5 والدقة 0.05. أصدر البرنامج، كما ينبغي، رسالة خطأ أنه لا يوجد جذر في هذا القطاع.

تين. 6. لا يوجد خطأ "على هذا الجزء من الجذور ليس!"

لن نخرج بعد، لذلك على الرسالة "الخروج؟" نحن ندخل "0".

تحقق الآن من تطبيق التطبيق على بيانات الإدخال الصحيحة. نقدم قطعة ودقة 0.0001.

تين. 7. حساب الجذر مع الدقة اللازمة

كما نرى، تم تحقيق الدقة اللازمة في التكرار الرابع.

للخروج من التطبيق، أدخل "الخروج؟" \u003d\u003e 1.

طريقة التسوق

لتجنب حساب المشتق، يمكن تبسيط طريقة Newton، واستبدال المشتقات في القيمة التقريبية التي تحسبها النقاطان السابقة:

العملية التكرارية هي:

هذه عملية تكرارية من خطوتين، لأنه يستخدم اثنين من سابقة للعثور على التقريب اللاحق.

الإجراء الخاص بتقارب طريقة التسلسل أقل من طريقة الظل والمتساوين في حالة جذر واحد.

وتسمى هذه القيمة الرائعة قسم متقاطع ذهبي:

سأكون مقتنعا بهذا، عد للراحة.

وهكذا، مع دقة ترتيب أعلى بلا حدود

من خلال التخلص من العضو المتبقي، نحصل على نسبة متكررة، حلها طبيعي للبحث عنه.

بعد الاستبدال، لدينا: و

للتقارب، من الضروري أن تكون إيجابية، وبالتالي.

نظرا لأن المعرفة المشتقة غير مطلوبة، فإن مع نفس المبلغ من العمليات الحسابية في قسم Secant (على الرغم من الترتيب الأصغر للتقارب)، فمن الممكن تحقيق دقة أكبر من طريقة الظل.

لاحظ أنه بالقرب من الجذر الذي تضطر إلى تقسيمه إلى رقم صغير، وهذا يؤدي إلى فقدان الدقة (خاصة في حالة جذور متعددة)، وبالتالي اختيار حسابات صغيرة نسبيا وأداء الحسابات قبل التنفيذ ويواصلون تقليل اختلافهم في الفرق في التقريب المجاور.

بمجرد أن يبدأ النمو، توقف العمليات الحسابية ولم يستخدم التكرار الأخير.

مثل هذا الإجراء لتحديد وقت نهاية التكرارات يسمى الاستقبال غارفيكا.

طريقة بارابولا

النظر في طريقة ثلاث خطوات يتم بها تحديد التقريب ثلاث نقاط سابقة، و.

للقيام بذلك، استبدل، على غرار قسم Secant، وظيفة الاستيفاء Parabola يمر عبر النقاط، و.

في شكل نيوتن، لديها النموذج:

يتم تعريف النقطة باعتبارها واحدة من جذور متعدد الحدود، وهو أقرب إلى الوحدة النمطية إلى هذه النقطة.

إن إجراء تقارب طريقة Parabola أعلى من طريقة التقسيم، ولكن أقل من طريقة Newton.

هناك اختلاف مهم من الأساليب التي تم النظر فيها مسبقا هي أنه حتى لو كانت حقيقية مع تقريبية حقيقية وبدءا منها، يمكن أن تؤدي طريقة Parabola إلى جذر متكامل للمهمة الأولية.

هذه الطريقة مريحة للغاية للبحث عن جذور متعددة الحدود عالية الدرجة.

طريقة التكرارات البسيطة

يمكن صياغة مهمة العثور على حلول من المعادلات مهمة لإيجاد الجذور: أو كهمة العثور على نقطة ثابتة.

اسمحوا ان و - ضغط: (على وجه الخصوص، حقيقة أن - ضغط، وكيفية رؤيته بسهولة، يعني ذلك).

على نظرية Banach هناك نقطة فريدة

يمكن العثور عليه كحد أقصى لإجراءات تكرارية بسيطة.

حيث التقريب الأولي هو نقطة تعسفية للفجوة.

إذا كانت الوظيفة التفاضلية، فإن معيار الضغط المريح هو الرقم. في الواقع، على نظرية Lagrange

وبالتالي، إذا كان المشتق أقل من واحد، فهو ضغط.

شرط بشكل أساسي، على سبيل المثال، لا توجد نقطة ثابتة، على الرغم من أن المشتق هو الصفر. تعتمد سرعة التقارب على القيمة. أقل، أسرع التقارب.

قسم الفيزيميا Yufu (RSU)
الأساليب العددية والبرمجة
مواد لمحاضرة البرنامج الدراسي
محاضر - فن. تجهيز. Scherbakov I.N.

نظم المعادلات غير الخطية

عند حل مشكلات سلوك النمذجة للأنظمة الكيميائية، غالبا ما يكون من الضروري حل أنظمة المعادلات غير الخطية فيما يتعلق بالمتغيرات. نظم ن. المعادلات الخطية مع N غير معروف X 1، X 2، ...، X N مقبول عموما على النحو التالي:

حيث f 1، f 2، ... f n هي أي وظائف من المتغيرات المستقلة، بما في ذلك غير الخطية بالنسبة إلى غير معروف.

كما هو الحال في المعادلات الخطية، يكون حل النظام مثل هذا المتجه (أو ناقلات) (x *)، والتي، أثناء الاستبدال، فقط جميع معادلات النظام في الهويات في وقت واحد.

قد لا يكون نظام المعادلات حلولا، ولديه حل واحد أو عدد محدود أو لا حصر له من الحلول. يجب حل مسألة عدد الحلول لكل مهمة محددة بشكل منفصل.

النظر في العديد من طرق تكرارية بسيطة لحل أنظمة المعادلات غير الخطية، وهي طريقة التكرار البسيط، طريقة Zeidel و Newton طريقة.

طريقة التكرار بسيط

لتنفيذ هذه الطريقة، يعد النظام القابل للذوبان للمعادلات ضرورية من خلال التحولات الجبرية تؤدي إلى النموذج التالي، معربا عن كل معادلة على متغير واحد على النحو التالي:

اختيار ناقل التقريب الأولي

استبدالها بالنظام المحول للمعادلات. من المعادلة الأولى، يتم الحصول على تقريب جديد إلى المتغير الأول، من الثانية الثانية، إلخ. يتم استبدال القيمة المحددة الناتجة للمتغيرات مرة أخرى في هذه المعادلات، إلخ. diffex، على (I + 1) -Mage الإجراء التكراري

طريقة زيد

تعديل خوارزمية Zeidel من التكرار البسيط هو استخدام القيم المكررة للمتغيرات بالفعل في خطوة التكرار الحالية. لذلك، لتوضيح قيم المتغير الأول، يتم استخدام قيم الخطوة السابقة فقط، للمتغير الثاني - القيمة X 1 من الخطوة الحالية، والباقي - من السابق، إلخ. :

طريقة نيوتن روفسون

الأساس الرياضي للطريقة هو تغيير الوظائف F. 1 , F. 2 , و N. (الأجزاء اليسرى من تشكيل المعادلات) عن طريق التحلل في سلسلة من تايلور في حي تقريب التقريب الأولي لحل وتجاهل جميع أعضاء السلسلة إلى جانب خطي نسبيا الزيادات المتغيرات.

النظر في الطريقة على مثال نظام معادلتين مع اثنين غير معروف:

الوظائف الخطية F. 1 , F. 2 عن طريق التحلل في سلسلة من تايلور بالقرب من مرحلة ما (تقريب الأولي) وتجاهل جميع أعضاء السلسلة إلى جانب الخطي بالنسبة لزيادة المتغيرات.

أذكر أنه بالنسبة لوظيفة متغير واحد، فإن التحلل في سلسلة من تايلور في محيط النقطة X 0 لديه النموذج التالي:

بعد تجاهل جميع الأعضاء، ما عدا الخطي:

للحصول على وظيفة العديد من المتغيرات، يتم التحلل بشكل مشابه.

اختر للبحث عن حلول نظام المعادلات بعض التقريب الأولي

نحن نكتب لوظيفة F. 1 2 متغيرات خطية جزء من التحلل في سلسلة من تايلور في محيط النقطة المحددة

للمعادلة الثانية بالمثل

إذا كانت القيم المتغيرة عاشر 1 و عاشر 2 إنهم حلا، يجب أن ينشأ كلتا المعادلات للنظام إلى الصفر، وبالتالي فإن التحلل الناتج مساواة صفر.

لتسجيل موجز، نقدم التدوين التالي:

زيادة متغير

قيمة أول وظيفة مشتقة F. J عبر المتغير X I مع قيم متغيرة

- قيمة J هي وظيفة في القيم المقابلة للمتغيرات، وهذا هو، المعادلة j -to تفرد.

نحصل على نظام المعادلات الخطية 2 × 2 فيما يتعلق بزيادة المتغيرات

أو في شكل مصفوفة،

حيث يسمى مصفوفة قيم المشتقات الخاصة مصفوفة جاكوبي (أو جاكوبي). حل هذا النظام يعطي تعديلات ناقلات على التقريب الأولي.

بالإضافة إلى ذلك مع ناقل التقريب الأول يعطي قيم جديدة للمتغيرات.

وبالتالي، فإن إجراء الحل كما يلي:

1. يتم تحديد التقريب الأولي، يتم تقليل النظام إلى طبيعته، في النموذج التحليلي هناك مشتقات خاصة للأجزاء الصحيحة لمعادلات النظام على جميع التناوب.

2. يتم حساب مصفوفة قيم جاكوبي للمشتقات الخاصة في تقريب الأولي.

3. يتم حل نظام المعادلات الخطية بالنسبة لزيادة المتغيرات.

4. يتضاف متجه التوظيف إلى ناقل التقريب الابتدائي

5. يتم فحص حالة التقارب، وإذا لم يتحقق، فإن الإجراء يتكرر مع الفقرة 2.

تتمتع هذه الطريقة بسهولة في نظام معادلات أي بعد.

للعمل f 1 n المتغيرات الخطية جزء من التحلل في سلسلة من تايلور في حي النقطة مكتوب

بعد تحلل جميع معادلات النظام واستخدام التعيينات التي تم إدخالها مسبقا، بعد التحول، نحصل على نظام لمعادلات خطية النظام N بالنسبة لزيادة المتغيرات δ

أو في شكل مصفوفة،

في شكل مختصر، يمكن كتابة ذلك - (f ") (δ x) \u003d - (f)، حيث مصفوفة قيم المشتقات الخاصة - (F") - تسمى مصفوفة جاكوبي. أو جاكوبي نظم المعادلات.

حل هذا النظام يعطي تعديلات ناقلات على التقريب الأولي. يعطي إضافة ذلك مع ناقل التقريب الأولي قيم جديدة ومحددة للمتغيرات.

المشتقات الخاصة اللازمة للحساب مصفوفات جاكوبي، من الممكن حساب تحليلي أو، إذا كان من المستحيل أو يصعب الحصول عليها، وفقا لصيغة التمايز التقريبي، على سبيل المثال، كنسبة زيادة وظيفة الوظيفة لزيادة الحجة

أين إبسيلون- عدد صغير بما فيه الكفاية.

طرق مراقبة تقارب الأساليب التكرارية
حلول النظام

يمكن رصد تقارب العملية التكرارية لحل نظام المعادلات غير الخطية بعدة طرق، على سبيل المثال:

1. عادي (Euklidov أو -maximum) مقاولي الصلاحية

2. Euclideova قاعدة الاختلافات النسبية للمتغيرات

3. ناقلات القواعد القصوى من الانحرافات النسبية

تطبيق طريقة Newton لحل نظام المعادلات

مصفوفة المشتقات الخاصة (في شكل تحليلي)

نظام المعادلات الخطية

يمكن حلها عن طريق التحكم عن بعد أو عن بعد أو طريقة تداول المصفوفة. خذ التقريب الأولي X \u003d 0.15، Y \u003d 0.17

التكرار الأول:

جاكوبي مصفوفة - قيم وظيفة متجه التعديلات ناقلات التعديلات الجديدة X \u003d 0.15 + 0.028704 \u003d 0.178704، Y \u003d 0.17 + 0.090926 \u003d 0،090926 \u003d 0،260926 التكرار الثاني: التعديلات ناقلات تحسب تقريب جديد X \u003d 0.196656، ذ \u003d 0،293359 التكرار الثالث: تعديل ناقلات محسوبة تقريب جديد X \u003d 0،199867، Y \u003d 0،299739 بالفعل على التكرار السادس من Euclidova، فإن قاعدة المتجه غير الواضح هو 2.8 ∙ 10 -13، والحد الأقصى للتغيير النسبي للمتغيرات هو 1.6 ∙ 10 -12 و يتحمل الحل إلى x \u003d 0.2، y \u003d 0.3 مع وجود خطأ مطلق أقل من 5 ∙ 10 -7. تتخلف طريقة التكرار البسيط في نفس الشروط الأولية بدقة هذه الدقة في الخطوة الثالثة والثلاثين، وتعديل Zeidel - في الخطوة الحادية والثلاثين. يوضح الشكل أدناه مثالا على تنظيم العمليات الحسابية عند حل النظام الذي تم اعتباره في برنامج MS Excel
التفسيرات: في الخلايا B3 و B4 وضعت تقريبية مبدئية لحل النظام (القيم X 0 و Y 0، على التوالي). في حدود D3: خلايا E4، يتم وضع الصيغ لحساب مصفوفة Yakobi، شريطة أن تكون X في الخلية B3، و Y في خلية B4 (يتم عرض الصيغ أدناه). في الخلايا G3: G4 يحسب قيمة متجه فينوس مع علامة سلبية.
في خلية H3، يتم احتساب Euclideova من خلال قاعدة ناقلات غير عادية. في الخلايا i3: i4 - يتم حل نظام المعادلات الخطية ومجول التعديلات على الحل. لهذا، يتم رسم مصفوفة معاملات النظام (مصفوفة جاكوبي) وضربها على عمود المتجهات من الأعضاء الحرة (ناقلات السلبية للمتبقية). يتم إدخال الصيغة في هذه النطاق من الخلايا كصيغة صفيف. في مكان قريب - في خلية J3 - يتم احتساب قاعدة ناقلات التعديلات للتحكم في التقارب (انظر الصيغ في الشكل أدناه).
يتم إضافة القيم التي تم الحصول عليها في الخلايا i3: i4 إلى التقريب الأولي (في الخلايا B6: B7) ثم تتكرر العمليات الحسابية على غرار الدورة الأولى. يمكن نسخ الصيغ المسجلة في السطر 6 و 7 حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة.

يتم تقليل المهام إلى حل نظام المعادلات غير الخطية

مثال على وجود مشكلة يتم فيه استخدام محلول أنظمة المعادلات غير الخطية يمكن أن يكون تقريرا لوظيفة جدول محددة مع النماذج الرياضية، غير الخطية فيما يتعلق بالمعلمات. تم وصفه بالتفصيل في وقت سابق. إذا كانت وظيفة التقريب والمعلمات التي تحددها i. تعيين على النحو التالي يمكن كتابة حالة تمرير الجدول الزمني للدالة من خلال جميع نقاط مجموعة الجداول في شكل النظام التالي: مثال آخر هو البحث عن تطرف (الحد الأدنى أو الحد الأقصى) من وظيفة العديد من المتغيرات في حالة متطرف هو المساواة المتزامنة صفر من جميع المشتقات الخاصة. وبالتالي، من الضروري حل نظام معادلات الأنواع التالية، والتي، في الحالة العامة، ستكون غير خطية

طريقة التكرار البسيطة، تسمى أيضا طريقة تقريبية متتالية، هي خوارزمية رياضية للعثور على قيمة قيمة غير معروفة من خلال التوضيح تدريجيا. جوهر هذه الطريقة هو أنه، كما يمكن رؤيته من الاسم، يعبر تدريجيا عن ما يلي من التقرير الأولي، واحصل على نتائج أكثر وضوحا. يتم استخدام هذه الطريقة للبحث عن قيمة المتغير في وظيفة معينة، وكذلك في حل أنظمة المعادلات، كل من الخطي وغير الخطي.

النظر في كيفية تنفيذ هذه الطريقة عند حل انحدار. طريقة التكرار البسيطة لها الخوارزمية التالية:

1. التحقق من تنفيذ حالة التقارب في مصفوفة المصدر. نظرية التقارب: إذا كان مصفوفة المصدر من النظام لديه انتشار قطري (أي، في كل سطر، يجب أن تكون عناصر القطر الرئيسية أكثر مومسا أكثر من مجموع عناصر قطريات في الوحدة النمطية)، ثم الطريقة من التكرارات البسيطة تتحرك.

2. لم يكن مصفوفة النظام المصدر دائما هيمنة قطرية. في مثل هذه الحالات، يمكن تحويل النظام. المعادلات تفي بحالة التقارب تركت سليمة، ومع مجموعات خطية غير مرضية، أي الجهاز، خصم، أضعاف المعادلات بين أنفسهم حتى يتم الحصول على النتيجة المرجوة.

إذا تم العثور على معاملات غير مريحة في قطري رئيسي في قطري رئيسي، فإن مكوناتها التي تتم إضافتها إلى كلا جزأين من هذه المعادلة، التي يجب أن تتزامن علاماتها مع علامات العناصر القطرية.

3. تحويل النظام الناتج إلى نموذج طبيعي:

x - \u003d β - + α * x -

يمكن إجراء هذا بطرق كثيرة، على سبيل المثال، لذلك: من المعادلة الأولى للتعبير عن X 1 من خلال غير معروفة أخرى، من الثاني 2، من الثالث 3، إلخ. في هذه الحالة، نستخدم الصيغ:

α ij \u003d - (IJ / A II)

أنا \u003d ب I / A II
من الضروري التأكد من أن النظام الذي تم الحصول عليه من الأنواع العادية يتوافق مع حالة التقارب:

σ (J \u003d 1) | α ij | 1، مع i \u003d 1،2، ... n

4. نبدأ في التقدم، في الواقع، طريقة التقريبات المتتالية نفسها.

x (0) - التقريب الأولي، التعبير عنها x (1)، أكثر من خلال x (1) Express x (2). تبدو الصيغة العامة والمصفوفة مثل هذا:

x (n) \u003d β - + α * x (n-1)

احسب حتى تصل إلى الدقة المطلوبة:

ماكس | x i (k) -x i (k + 1) ε

لذلك، دعونا نفهم طريقة التكرار البسيط في الممارسة العملية. مثال:
حل الصايا:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 \u003d 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 \u003d 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4 مع دقة ε \u003d 10 -3

دعونا نرى ما إذا كانت العناصر القطرية تهيمن عليها الوحدة النمطية.

نرى أن حالة التقارب ترضي فقط المعادلة الثالثة. نحن الأول والثاني نحول المعادلة الأولى لإضافة الثانية:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 \u003d 3

من الثالث سوف تأجيل الأول:

2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2

لقد حولنا النظام الأصلي إلى ما يعادل:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 \u003d 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 \u003d 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 \u003d 4

الآن نحن نقدم النظام إلى شكل طبيعي:

x1 \u003d 0.3947-0.789X2-0.3158X3.
x2 \u003d 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 \u003d 0.8511-0.383X1-0.5319X2.

تحقق من تقارب عملية التكرار:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 \u003d 0.9149 ≤ 1، I.E. يتم تنفيذ الحالة.

0,3947
التقريب الأولي X (0) \u003d 0.4762
0,8511

نحن نبيل هذه القيم إلى معادلة النموذج العادي، نحصل على القيم التالية:

0,08835
س (1) \u003d 0،486793
0,446639

نحن استبدال القيم الجديدة، نحصل على:

0,215243
س (2) \u003d 0.405396
0,558336

نستمر في حساب حتى اللحظة حتى القيم التي تلبي نهج الحالة المحددة.

س (7) \u003d 0،441091

تحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1 * 0،1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 \u003d 0،9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

النتائج التي تم الحصول عليها أثناء استبدال القيم الموجودة في المعادلات الأولية تلبي تماما شروط المعادلة.

كما نرى، فإن طريقة التكرار البسيطة تعطي نتائج دقيقة إلى حد ما، ومع ذلك، لحل هذه المعادلة، كان علينا أن نقض الكثير من الوقت وجعل الحسابات الضخمة.