كيفية العثور على أصغر قيمة من الوظيفة. استخدام المشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيم الوظيفة المستمرة في الفاصل الزمني

من وجهة نظر عملية، فإن استخدام المشتق للعثور على أعظم وأصغر وظيفة الوظيفة هو أكبر اهتمام. ما هو مرتبط؟ تعظيم الأرباح، وتقليل التكاليف، وتحديد التجهيزات المثلى تحميل المعدات ... بمعنى آخر، في العديد من مجالات الحياة، يجب عليك حل مشاكل تحسين أي معلمات. وهذه هي مهام العثور على أعظم وأصغر وظيفة في الوظيفة.

تجدر الإشارة إلى أن أعظم وأصغر قيمة الوظيفة يتم تفتيشها عادة في فاصل زمني معين X، وهي إما الوظيفة بأكملها في تحديد وظيفة أو جزء من منطقة التعريف. الفاصل X نفسه يمكن أن يكون شريحة، فاصل مفتوح فجوة لا حصر لها.

في هذه المقالة، سنتحدث عن العثور على أعظم وأصغر قيم وظيفة محددة صراحة لمتغير واحد y \u003d f (x).

صفحة التنقل.

أعظم وأصغر قيمة الوظيفة هي التعريفات، التوضيح.

التركيز لفترة وجيزة على التعريفات الأساسية.

أعظم قيمة وظيفة ماذا عن أي شيء عدم المساواة العادلة.

أصغر قيمة من الوظيفة y \u003d f (x) على الفاصل الزمني من X دعوة هذه القيمة ماذا عن أي شيء عدم المساواة العادلة.

هذه التعريفات بديهية: أعظم القيمة (الأصغر) من الوظيفة هي أعظم قيمة (صغيرة) على الفاصل الزمني قيد الدراسة أثناء العبء.

نقاط ثابتة - هذه هي قيم الحجة التي يتم فيها رسم الوظيفة المشتقة إلى الصفر.

لماذا لدينا نقاط ثابتة عند العثور على أعظم وأصغر القيم؟ الإجابة على هذا السؤال يعطي نظرية المزرعة. من هذا النظرية، يتبع ذلك إذا كانت الوظيفة التفاضلية لها تطرف (الحد الأدنى المحلي أو الحد الأدنى المحلي) في مرحلة ما، ثم هذه النقطة ثابتة. وبالتالي، غالبا ما تأخذ الوظيفة أكبر قيمة لها (أصغر) في الفاصل الزمني X في إحدى النقاط الثابتة من هذه الفجوة.

في كثير من الأحيان في كثير من الأحيان الأكبر والأصغر وظيفة يمكن أن تأخذ عند النقاط التي لا يوجد مشتق لأول هذه الوظيفة، ويتم تعريف الوظيفة نفسها.

الإجابة على الفور واحدة من الأسئلة الأكثر شيوعا حول هذا الموضوع: "هل يمكنك دائما تحديد أكبر وظيفة (أصغر)"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتزامن حدود GAP X مع حدود وظيفة تحديد الوظيفة أو الفاصل الزمني X غير محدود. وبعض الوظائف المتعلقة بالانفينيتي وعلى حدود منطقة التعريف يمكن أن تتخذ قيم صغيرة بلا حدود وغير ذلك بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول شيء عن أكبر وقيمة وظيفة أصغر.

للوضوح، إعطاء الرسم التوضيحي الرسم. انظر إلى الرسومات - وسوف تصبح كثيرا أكثر وضوحا.

على قطع

في الرسم الأول، تأخذ الوظيفة أكبر (كحد أقصى) وقيم أصغر (م) في نقاط ثابتة داخل القطاع [-6؛ 6].

النظر في القضية التي تصور في الرسم الثاني. تغيير الجزء على. في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر وظيفة في الوظيفة في نقطة ثابتة، والأكبر - عند نقطة مع عبارات ABSCISSA مقابلة للحد الأيمن للفاصل الفاصل.

الشكل 2، النقاط الحدودية للجزء [-3؛ 2] هي خراج النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة الوظيفة.

الفاصل الافتتاح

في الرسم الرابع، تأخذ الوظيفة أكبر (أقصى ص) وقيم أصغر (م) في النقاط الثابتة داخل الفاصل الزمني المفتوح (-6؛ 6).

عند الفاصل، لا يمكنك تقديم أي استنتاجات حول أعظم قيمة.

على اللانهاية

في المثال المقدم في النمط السابع، تأخذ الوظيفة أعلى قيمة (MAX Y) في النقطة الثابتة مع ABSCISSA X \u003d 1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (MIN Y) على الحدود اليمنى للفاصل الفاصل. على ناقص اللانهاية، فإن قيم الوظيفة تقترب مقاربيا من Y \u003d 3.

عند الفاصل، لا تصل الوظيفة إلى أصغر أو أعظم قيمة. عندما تسعى X \u003d 2 إلى اليمين، تميل قيم الوظيفة إلى ناقص ما لا نهاية (مستقيم x \u003d 2 عبارة عن asymptota عمودي)، وعندما تسعى ABSCASSA إلى زائد اللانهاية، وقيم وظيفة مقترب مقارب ذ \u003d 3. يظهر الشكل 8 من هذا المثال في الشكل 8.

الخوارزمية لإيجاد أعظم وأصغر وظيفة مستمرة على القطاع.

نحن نكتب الخوارزمية التي تسمح لك بإيجاد أعظم وأصغر قيمة الوظيفة على القطاع.

1. ابحث عن وظيفة تحديد الوظيفة وتحقق مما إذا كان يحتوي على الجزء بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد فيها مشتقة الأولى والتي يتم احتواؤها في الجزء (عادة ما يتم استخدام مثل هذه النقاط في الوظائف ذات الوسيطة تحت علامة الوحدة النمطية وفي وظائف الطاقة مع مؤشر عقلاني كسور). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى العنصر التالي.
3. نحدد جميع النقاط الثابتة الوقوع في قطاع. لهذا، نحن نساويها إلى الصفر، حل المعادلة التي تم الحصول عليها واختيار الجذور الصحيحة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لا أحد منهم يقع في القطاع، فنتنا ننتقل إلى العنصر التالي.
4. احسب قيم الوظيفة في النقاط الثابتة المحددة (إن وجدت)، عند النقاط لا يوجد مشتق أول (إن وجد)، وكذلك مع X \u003d A و X \u003d B.
5. من القيم التي تم الحصول عليها من الوظيفة، حدد الأكبر والأصغر - ستكون هي أشهر وقيم الوظيفة الأكثر شهرة وأصغر في الوظيفة، على التوالي.

سنقوم بتحليل الخوارزمية عند حل مثال للعثور على أعظم وأصغر وظيفة من الوظيفة على القطاع.

مثال.

العثور على أعظم وأصغر وظيفة

• على القطاع؛
• في الجزء [-4؛ -1].

قرار.

مجال تعريف الحقل هو العديد من الأرقام الصحيحة، باستثناء الصفر، وهذا هو. تقع كلا الشريحة في منطقة التعريف.

ابحث عن وظيفة مشتقة عن طريق:

من الواضح أن الوظيفة المشتقة موجودة في جميع نقاط القطاعات و [-4؛ -1].

النقاط الثابتة نحل من المعادلة. الجذر الصحيح الوحيد هو x \u003d 2. هذه النقطة الثابتة تدخل الجزء الأول.

للحالة الأولى، احسب قيم الوظيفة في نهايات القطاع وفي النقطة الثابتة، أي في X \u003d 1، X \u003d 2 و X \u003d 4:

لذلك، أعظم قيمة الوظيفة تم تحقيقه في X \u003d 1، وأصغر قيمة - في x \u003d 2.

لحالة ثانية، احسب قيم الوظيفة فقط في نهايات القطاع [-4؛ -1] (كما لا تحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

في بعض الأحيان تأتي مهام B15 الوظائف "السيئة" التي يصعب العثور عليها مشتقة. في السابق، كان فقط على تحقيقات فقط، ولكن الآن هذه المهام شائعة جدا بحيث لا يمكن تجاهلها عند التحضير لهذا EGE.

في هذه الحالة، تعمل تقنيات أخرى، واحدة منها - روتيني.

يتم استدعاء الوظيفة F (x) على زيادة متزايدة على القطاع، إذا لم يتم اتباع أي نقاط × 1 و X 2 من هذا الجزء التالي:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.) < f (× 2).

يسمى الوظيفة F (x) تنخفض رتابة على القطاع، إذا لم يكن هناك أي نقاط × 1 و X 2 من هذا الجزء التالي فيما يلي:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.)\u003e F ( × 2).

بمعنى آخر، للحصول على وظيفة متزايدة، كلما زاد عدد x، أكثر f (x). للحصول على وظيفة تناقص، والطريقة الأخرى هي: أكثر X، أقل f (x).

على سبيل المثال، يزيد اللوغاريتم رتابة إذا كانت القاعدة هي A\u003e 1، وتنخفض رتابة إذا 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d سجل x (a\u003e 0؛ a ≠ 1؛ x\u003e 0)

المربع الحسابي (وليس مربعا فقط) يزداد الجذر الرتابة الجذر في جميع أنحاء منطقة التعريف:

تتصرف الوظيفة الإرشادية بالمثل إلى لوغاريتم: ينمو في\u003e 1 وتنخفض في 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d x (a\u003e 0)

أخيرا، درجة مع مؤشر سلبي. يمكنك تسجيلها ككسر. لديك نقطة استراحة في أي رتابة مكسورة.

كل هذه الوظائف ليست أبدا في شكل نقي. يضيفون متعدد الحدود والكسور وغيرها من الهراء، لأنه يصبح من الصعب النظر في المشتق. ماذا يحدث - الآن سوف ندرس.

إحداثيات Vertex Parabola

في معظم الأحيان، يتم استبدال وسيطة الوظيفة ب مربع ثريفلين عرض y \u003d الفأس 2 + bx + c. جدوله هو بارابولا قياسي مهتمين به:

1. فروع Parabola - يمكن أن ترتفع (في\u003e 0) أو أسفل (أ< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. الجزء العلوي من Parabola هو نقطة تطرفية في الوظيفة التربيعية، حيث تأخذ هذه الوظيفة أصغرها (لأجهزة\u003e 0) أو أعظم (أ< 0) значение.

أعظم اهتمام هو أعلى بارابوليا.يتم احتساب الفرق التي تحسبها الصيغة:

لذلك، وجدنا نقطة تطرفية من الوظيفة التربيعية. ولكن إذا كانت الوظيفة الأولية ل Monotonne، فسيكون النقطة X 0 أيضا نقطة تطرفية. وبالتالي، فإننا صياغة القاعدة الرئيسية:

نقاط التطريز من وظيفة المربع الثلاثة والمعقدة التي تدخل فيها، تتزامن. لذلك، يمكنك البحث عن X 0 لقطات مربعة ثلاثية، ولتسلح الوظيفة.

من المنطق أعلاه لا يزال غير مفهوم، والذي نحصل عليه: الحد الأقصى أو الحد الأدنى. ومع ذلك، يتم تجميع المهام خصيصا بحيث لا يهم. أحكم لنفسك:

1. الجزء مفقود في حالة المشكلة. لذلك، ليس مطلوبا لحساب F (A) و F (B). يبقى أن يفكر في نقاط extrtum فقط؛
2. ولكن هناك نقاط واحدة فقط هي الجزء العلوي من Parabola × 0، واحداثياتها المحسوبة حرفيا شفهيا ودون أي مشتقات.

وبالتالي، فإن الحل للمشكلة مبسطة بحدة ويأتي إلى خطوتين:

1. اكتب معادلة Parabolla Y \u003d AX 2 + BX + C وابحث عن قمة الرأس حسب الصيغة: X 0 \u003d -B / 2A؛
2. ابحث عن قيمة الدالة المصدر في هذه المرحلة: f (x 0). إذا لم تكن هناك شروط إضافية، فستكون الجواب.

للوهلة الأولى، قد تبدو هذه الخوارزمية وأساسكه معقدة. أنا عمدا لا نشر مخطط "عاري" للقرار، لأن التطبيق الذي لا ينطبق به هذه القواعد محفوفة بالأخطاء.

النظر في المهام الحقيقية من الامتحان التجريبي في الرياضيات - إنه موجود في كثير من الأحيان هذه التقنية. في الوقت نفسه، سنرى أنه بهذه الطريقة أصبحت العديد من المهام B15 شفهي تقريبا.

تحت الجذر هناك وظيفة تربيعية Y \u003d X 2 + 6X + 13. الرسم البياني لهذه الوظيفة هو Barabola Branches UP، لأن معامل A \u003d 1\u003e 0.

أعلى بارابولا:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

نظرا لأن فروع Parabola موجهة إلى التصاعدي، عند النقطة X 0 \u003d -3، فإن وظيفة Y \u003d X 2 + 6X + 13 تأخذ أصغر قيمة.

الزيادات الجذرية الرتابة، مما يعني x 0 - نقطة الحد الأدنى من الوظيفة بأكملها. نحن لدينا:

مهمة. ابحث عن أصغر وظيفة الوظيفة:

y \u003d LOG 2 (× 2 + 2X + 9)

تحت لوغاريتم، وظيفة تربيعية: Y \u003d X 2 + 2X + 9. الرسم البياني - Barabola Branches، لأن a \u003d 1\u003e 0.

أعلى بارابولا:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

لذلك، عند النقطة X 0 \u003d -1، تأخذ الوظيفة التربيعية أصغر قيمة. ولكن وظيفة Y \u003d سجل 2 × رتيبة، لذلك:

y min \u003d y (-1) \u003d log 2 (-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d Log 2 8 \u003d 3

المؤشر هو الوظيفة التربيعية Y \u003d 1 - 4X - X 2. أعد كتابة ذلك في شكل طبيعي: Y \u003d -X 2 - 4x + 1.

من الواضح أن الجدول الزمني لهذه الوظيفة هو parabola، فروع أسفل (a \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

وظيفة المصدر هي إرشادية، فهي مونوونية، لذلك ستكون أكبر قيمة في النقطة التي تم العثور عليها x 0 \u003d -2:

ربما يلاحظ القارئ اليقظ أننا لم نخرج من مساحة القيم المسموح بها للجذر و اللوغاريتم. ولكن هذا لم يكن مطلوبا: داخل وظائفها إيجابية دائما.

عواقب من وظيفة تحديد الوظيفة

في بعض الأحيان لحل المشكلة B15 ليست كافية للعثور على الجزء العلوي من Parabola. قد تكذب القيمة المطلوبة في نهاية قطع، وليس على الإطلاق عند نقطة التطرف. إذا كانت المهمة لا تحدد قطعة على الإطلاق، فإننا ننظر إلى مجال القيم المسموح بها وظيفة المصدر. يسمى:

إيلاء الاهتمام مرة أخرى: قد يكون الصفر تحت الجذر، ولكن في لوغاريتم أو قيود، أبدا. دعونا نرى كيف يعمل على أمثلة محددة:

مهمة. ابحث عن أعظم قيمة الوظيفة:

تحت الجذر، الوظيفة التربيعية: Y \u003d 3 - 2x - x 2. الرسم البياني الخاص به - parabola، ولكن الفروع أسفل، لأن \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

نحن نكتب منطقة القيم المسموح بها (OTZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) 0 ⇒ x ∈ [-3؛ واحد]

الآن نجد الجزء العلوي من parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

النقطة X 0 \u003d -1 ينتمي إلى شريحة OTZ - وهذا أمر جيد. الآن نحن نعتبر قيمة الوظيفة في النقطة X 0، وكذلك في نهايات OTZ:

ذ (-3) \u003d ص (1) \u003d 0

لذلك، تلقوا أرقام 2 و 0. يطلب منا العثور على أكبر - هذا هو الرقم 2.

مهمة. ابحث عن أصغر وظيفة الوظيفة:

y \u003d سجل 0.5 (6X - X 2 - 5)

يكلف الدخول اللوغاريثم الدالة التربيعية Y \u003d 6X - X 2 - 5. هذا فروع Parabola أسفل، ولكن لا يمكن أن يكون هناك أرقام سلبية في لوغاريتم، لذلك نحن نكتب ...

6X - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

يرجى ملاحظة: عدم المساواة صارمة، وبالتالي فإن النهايات لا تنتمي إلى OTZ. هذا اللوغاريتم مختلف عن الجذر، حيث تكون نهايات القطاع مناسبة تماما.

نحن نبحث عن الجزء العلوي من parabola:

x 0 \u003d -B / (2A) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

الجزء العلوي من parabola مناسب ل ODZ: X 0 \u003d 3 ∈ (1؛ 5). ولكن نظرا لأن نهايات القطاع لا يهتم بنا، فكر في قيمة الوظيفة فقط في النقطة X 0:

y Min \u003d y (3) \u003d سجل 0.5 (6 · 3 - 3 - 3 2 - 5) \u003d سجل 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d سجل 0.5 4 \u003d -2

ما هي وظيفة تطرفية وما هي حالة التطريز اللازمة؟

وظيفة متطرفة يسمى الوظيفة القصوى والحد الأدنى.

من المتطلبات الأساسية ذات الدالة القصوى والحد الأدنى (EXTERPTUM) هي كما يلي: إذا كانت الدالة F (x) لديها extremum في النقطة x \u003d a، ثم في هذه المرحلة، فإن المشتق إما صفر أو لا حصر له أو غير موجود.

هذه الحالة ضرورية، ولكنها ليست كافية. المشتق في النقطة X \u003d أو يمكن الاتصال الصفر، في إنفينيتي أو عدم وجوده بدون وظيفة للحصول على تطرف في هذه المرحلة.

ما هي الحالة الكافية لوظيفة التطريز (الحد الأقصى أو الحد الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان مقربا كافيا من النقطة X \u003d مشتق F؟ (x) إيجابيا على يسار السلبي والسلبي إلى يمين أ، ثم عند النقطة نفسها X \u003d والوظيفة F (X) أقصى

إذا كان ذلك في مقرب كاف من النقطة X \u003d ومشتق F؟ (x) سلبي من يسار الأطراف الإيجابية على يمين أ، ثم عند النقطة نفسها X \u003d والوظيفة F (x) لديها الحد الأدنى شريطة أن تكون الوظيفة f (x) مستمر هنا.

بدلا من ذلك، يمكنك استخدام الشرط الثاني الواحد لوظيفة ExtrTum:

اسمحوا النقطة X \u003d المشتق الأول f؟ (x) يشير إلى الصفر؛ إذا كان المشتق الثاني F؟ (أ) سلبي، فستكون الوظيفة f (x) عند النقطة x \u003d الحد الأقصى، إذا كان إيجابيا كحد أدنى.

ما هي وظيفة النقطة الحرجة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الوظيفة، حيث تحتوي الوظيفة على تطرف (أي كحد أقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه، تحتاج العثور على مشتق وظائف f؟ (x) ومعادلها على الصفر، حل المعادلة F؟ (x) \u003d 0. جذور هذه المعادلة، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد فيها مشتقة من هذه الوظيفة هي نقاط حرجة، أي قيم الحجة التي قد تكون فيها متطرف. يمكن تعريفها بسهولة من خلال النظر في الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بتلك القيم من الحجة، حيث يعبر الرسم البياني الوظيفة محور ABSCISSA (المحور أوه) وتلك التي يتسامح بها الرسوم البيانية.

على سبيل المثال، ابحث الشجاعة الشديدة.

وظيفة y (x) \u003d 3x2 + 2x - 50.

وظيفة مشتقة: ذ؟ (س) \u003d 6x + 2

نحل المعادلة: ص؟ (س) \u003d 0

6x + 2 \u003d 0، 6x \u003d -2، x \u003d -2 / 6 \u003d -1/3

في هذه الحالة، النقطة الحرجة هي X0 \u003d -1 / 3. هو مع معنى الحجة أن الوظيفة لديها extrtum.وبعد لهذا السبب لايجاد، نتحل عن تعبير عن وظيفة بدلا من "X" تم العثور على الرقم:

y0 \u003d 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 \u003d 3 * 1/9 - 2/3 - 50 \u003d 1/3 - 2/3 - 50 \u003d -1/3 - 50 \u003d -50،333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظيفة، I.E. أكبر وأصغر المعاني؟

إذا كانت علامة المشتقية أثناء الانتقال من خلال النقطة الحرجة X0 تتغير من "Plus" إلى "ناقص"، ثم X0 أقصى نقطة؛ إذا كانت علامة التغييرات المشتقة مع ناقص على Plus، فإن x0 هو نقطة الحد الأدنى؛ إذا لم تتغير الإشارة، ثم عند نقطة X0، لا يوجد حد أقصى، لا يوجد حد أدنى.

للمثال الذي يعتبر:

نأخذ قيمة تعسفية للحجة على يسار النقطة الحرجة: X \u003d -1

في X \u003d -1، ستكون قيمة المشتق؟ (- 1) \u003d 6 * (- 1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (أي، علامة "ناقص").

الآن خذ قيمة تعسفية للحجة لحق النقطة الحرجة: X \u003d 1

في X \u003d 1، ستكون قيمة المشتق (1) \u003d 6 * 1 + 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8 (I.E.E. علامة "زائد").

كما نرى، غير المشتق أثناء الانتقال من خلال النقطة الحرجة علامة مع ناقص على Plus. لذلك، مع قيمة حاسمة X0، لدينا نقطة الحد الأدنى.

أعظم وأصغر قيمة الوظيفة في الفاصل الزمني (على القطاع) موجود على نفس الإجراء، مع مراعاة حقيقة أنه، ربما لا تكمن جميع النقاط الهامة داخل الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي هي لمجموعة فترات من الفترات. إذا كانت النقطة الحرجة واحدة فقط داخل الفاصل الزمني - فستكون كحد أقصى أو كحد أدنى. في هذه الحالة، لتحديد أعظم وأصغر قيم الوظائف، نأخذ في الاعتبار قيم الوظيفة في نهايات الفاصل الزمني.

على سبيل المثال، ابحث عن أعظم وأصغر قيم الوظيفة.

y (x) \u003d 3sin (x) - 0،5x

على فترات:

لذلك، وظيفة مشتقة -

ذ؟ (س) \u003d 3COS (X) - 0.5

نحل المعادلة 3COS (X) - 0.5 \u003d 0

كوس (س) \u003d 0.5 / 3 \u003d 0،16667

x \u003d ± Arccos (0.16667) + 2πk.

نجد النقاط الهامة في الفاصل [-9؛ تسع]:

x \u003d Arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11،163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

x \u003d -Arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7،687

x \u003d Arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4،88

x \u003d -Arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1،403

x \u003d Arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -Arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d ARCCOS (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7،687

x \u003d -Arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11،163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

نجد قيم الوظيفة في القيم الحرجة للوسيطة:

y (-7،687) \u003d 3COS (-7،687) - 0.5 \u003d 0،885

y (-4.88) \u003d 3COS (-488) - 0.5 \u003d 5،398

y (-1،403) \u003d 3COS (-1،403) - 0.5 \u003d -2،256

y (1.403) \u003d 3COS (1.403) - 0.5 \u003d 2،256

ذ (4،88) \u003d 3COS (4،88) - 0.5 \u003d -5،398

ص (7،687) \u003d 3COS (7،687) - 0.5 \u003d -0،885

يمكن أن نرى أنه على الفاصل [-9؛ 9] أعظم قيمة الوظيفة لديها في X \u003d -4.88:

x \u003d -4.88، Y \u003d 5،398،

وأصغر - في X \u003d 4.88:

x \u003d 4.88، y \u003d -5،398.

على الفاصل [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: X \u003d -4.88. قيمة الوظيفة في x \u003d -4.88 تساوي y \u003d 5،398.

نجد قيمة الوظيفة في نهايات الفاصل الزمني:

y (-6) \u003d 3COS (-6) - 0.5 \u003d 3،838

y (-3) \u003d 3COS (-3) - 0.5 \u003d 1،077

على الفاصل [-6؛ -3] لديك أعظم قيمة الوظيفة

y \u003d 5،398 في X \u003d -4.88

أصغر قيمة هي

y \u003d 1،077 في x \u003d -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسومات وظيفة وتحديد أطراف الانتفاخ والمعقاة؟

للعثور على جميع النقاط الوامضة للخط Y \u003d f (x)، من الضروري العثور على المشتق الثاني، لاستبدالها إلى الصفر (حل المعادلة) وتجربة كل هذه القيم X التي يكون المشتق الثاني صفر لانهائي أو غير موجود. إذا كان أثناء الانتقال من خلال إحدى هذه القيم، فإن المشتق الثاني يغير علامة، ثم يكون الرسم البياني الوظيفة في هذه المرحلة. إذا لم يتغير، فإن الانعطاف ليس كذلك.

معادلة جذور f؟ (x) \u003d 0، وكذلك النقاط المحتملة لكسر الوظيفة وفقطة المنشقة الثانية مساحة تحديد الوظيفة لعدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد الانتفاخ عند كل فترات من فتراتهم من خلال علامة المشتق الثاني. إذا كان المشتق الثاني في النقطة على الفاصل الزمني قيد الدراسة إيجابيا، فإن الخط y \u003d f (x) تواجه هنا مقعر صعوديا، وإذا سلبي هو الكتاب.

كيفية العثور على المتغيرات لمتغيرين؟

للعثور على وظيفة المتطرفين f (x، y)، متباينة في مجال مهمتها، تحتاج إلى:

1) ابحث عن النقاط الهامة، ولهذا حل نظام المعادلات

fX؟ (x، y) \u003d 0، فو؟ (x، y) \u003d 0

2) لكل نقطة حرجة P0 (أ؛ ب) لاستكشاف ما إذا كانت علامة الفرق لا تزال دون تغيير

لجميع النقاط (X؛ Y)، بالقرب من P0. إذا احتفظ الفرق بعلامة إيجابية، فإن عند النقطة P0 لدينا حد أدنى، إذا كان السلبي هو الحد الأقصى. إذا كان الاختلاف لا يحفظ علامة، فلا يوجد تطرف في P0.

وبالمثل، يتم تحديد المتطيارين من الوظيفة مع عدد أكبر من الحجج.

تعلق عملية العثور على أصغر وأكبر قيمة لوظيفة على القطاع نشر مثير للكائن (رسومات الوظيفة) من طائرة هليكوبتر مع قصف من مدفع طويل المدى من النقاط مع بعض النقاط واختيار هذه النقاط جميع النقاط الخاصة لقطات التحكم. يتم تحديد النقاط بطريقة معينة وفقا لقواعد محددة. بأي القواعد؟ سنظل نتحدث عن ذلك.

إذا كانت الوظيفة ذ. = f.(عاشر) مستمر على القطاع [ أ., ب.] ثم تصل إلى هذا القطاع الأصغر و أعظم معاني وبعد يمكن أن يحدث إما في نقاط extrtum. أو في نهايات القطاع. لذلك، للعثور الأصغر و أعظم قيم الوظيفة مستمر على القطاع [ أ., ب.]، تحتاج إلى حساب قيمها في الكل نقاط حرجة وفي نهايات القطاع، ثم اختر من بينهم أصغر وأكثر.

اسمحوا، على سبيل المثال، مطلوب لتحديد أعظم قيمة الوظيفة. f.(عاشر) على القطاع [ أ., ب.]. للقيام بذلك، ابحث عن كل نقاطها الحرجة التي تكذب أ., ب.] .

نقطة حرجة دعا نقطة فيها يتم تعريف الوظيفة ، وهي المشتق إما يساوي الصفر، أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة في النقاط الحرجة. وأخيرا، يجب مقارنتها فيما بينها قيمة الوظيفة في النقاط الهامة وفي نهايات القطاع ( f.(أ.) أنا. f.(ب.)). أعظم هذه الأرقام سوف أعظم قيمة لوظيفة على القطاع [أ., ب.] .

وبالمثل، يتم حل المهام أصغر قيم الوظيفة .

نحن نبحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة معا

مثال 1. ابحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة على قطع [-1, 2] .

قرار. نجد مشتق هذه الوظيفة. نحن نساوي المشتق الصفر () والحصول على نقطتين حرجتين: و. للعثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة في قسم معين، تكفي لحساب قيمها في أقسام القطاع والنقطة، لأن النقطة لا تنتمي إلى القطاع [-1، 2 ]. هذه القيم الوظائف هي كما يلي: ،،، إنه يتبع هذا أصغر معنى الوظيفة (على الرسم البياني أدناه الأحمر المعين)، يساوي -7، يتحقق في الطرف الأيمن من القطاع - في هذه النقطة، و معظم (أحمر أيضا في الجدول الزمني)، يساوي 9، - في نقطة حرجة.

إذا كانت الوظيفة مستمرة في بعض الفترة الزمنية، فهذه الفجوة ليست جزءا (أ، على سبيل المثال، الفاصل الزمني؛ الفارق بين الفاصل الزمني والجزء: لا يتم تضمين نقاط الحدود الفاصلة في الفاصل الزمني، ونقاط الحدود من القطاع جزء من القطاع)، ثم من بين قيم الوظيفة قد لا تكون أصغر وأكبر. على سبيل المثال، تكون الوظيفة التي تصور في الشكل أدناه مستمرا على] -∞، + ∞ [وليس لديها أكبر قيمة.

ومع ذلك، لأي فاصل زمني (مغلق أو مفتوح أو لا حصر له)، فإن الخاصية التالية للوظائف المستمرة صالحة.

مثال 4. ابحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة على قطع [-1, 3] .

قرار. نجد مشتق هذه الوظيفة كمشتق خاص:

.

نحن نساوي الصفر المشتق، مما يعطينا نقطة حرجة واحدة :. إنه ينتمي إلى الجزء [-1، 3]. للعثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة في شريحة معينة، نجد قيمها في نهايات القطاع وفي النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

قارن هذه القيم. الخلاصة: تساوي -5/13، في النقطة و أعظم قيمةيساوي 1، عند هذه النقطة.

نستمر في البحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة معا.

هناك معلمون، على موضوع العثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة، لا يعطي الطلاب لحل الأمثلة أكثر صعوبة من تلك التي تم النظر فيها، أي تلك التي تكون فيها الوظيفة عبارة عن مادة متعددة أو الكسر، البسط ومقاوم لها هي متعدد الحدود. لكننا لن نقتصر على هذه الأمثلة، لأنه من بين المعلمين هناك عشاق لإجبار الطلاب على التفكير في المشتقات الكاملة (المشتقات الجدول). لذلك، ستذهب وظيفة لوغاريتم ووظيفة المثلثية إلى الدورة.

مثال 6. ابحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة على قطع .

قرار. نجد مشتق هذه الوظيفة العمل المشتق :

نحن نساوي مشتق صفر، مما يعطي نقطة حرجة واحدة :. إنه ينتمي إلى القطاع. للعثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة في شريحة معينة، نجد قيمها في نهايات القطاع وفي النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة لجميع الإجراءات: وظيفة تصل إلى أصغر قيمةيساوي 0، عند النقطة وفي النقطة و أعظم قيمةمساو هيا²، في النقطة.

مثال 7. ابحث عن أصغر وأكبر قيم الوظيفة على قطع .

قرار. نجد مشتق هذه الميزة:

نحن تساوي الصفر المشتق:

النقطة الحرجة الوحيدة التي تنتمي إلى القطاع. للعثور على أصغر وأكبر قيم الوظيفة في شريحة معينة، نجد قيمها في نهايات القطاع وفي النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

انتاج: وظيفة تصل إلى أصغر قيمةيساوي النقطة و أعظم قيمةيساوي النقطة.

في المهام المتطرفة التطبيقية، يتم تقليل العثور على قيم الوظائف الأصغر (الأكبر)، كقاعدة عامة، لإيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). لكن الاهتمام العملي أكثر ليست مينيما أو ماكسيما، لكن هذه القيم للحجة التي يتحقق منها. عند حل المهام التطبيقية، تنشأ صعوبة إضافية - وضع الوظائف التي تصف الظاهرة قيد الدراسة أو العملية.

مثال 8.يجب أن يكون سبب خزان 4، وجود متوازي مع قاعدة مربعة وفتح من الأعلى، بسبب القصدير. ما هي أحجام الخزان بحيث يجب أن تكون أصغر كمية من المواد على غلافه؟

قرار. اسمحوا ان عاشر - جانب الأساس حاء - ارتفاع الخزان، س. - منطقة سطحها دون غطاء، الخامس. - حجمها. يتم التعبير عن مساحة السطح من الخزان من قبل الصيغة، I.E. إنها وظيفة لمتغيرين. للتعبير عن س. كدالة لمتغير واحد، نستخدم ما، من أين. استبدال الأساس وجدت حاء في الصيغة ل س.:

نستكشف هذه الميزة على extrtum. يتم تحديده وتمييزه في كل مكان في] 0، + ∞ [، و

.

نحن نساوي المشتق الصفر () والعثور على نقطة حرجة. بالإضافة إلى ذلك، فإن المشتق غير موجود، ولكن هذه القيمة غير مدرجة في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة تطرفية. لذلك، النقطة الحرجة الوحيدة. التحقق من ذلك لوجود extrtum، باستخدام الميزة الثانية الكافية. العثور على المشتق الثاني. مع المشتق الثاني أكثر صفر (). وهذا يعني أن الوظيفة تصل إلى الحد الأدنى وبعد منذ هذا الحد الأدنى - التطريز الوحيد لهذه الوظيفة، وهو أصغر معنىوبعد لذلك، يجب أن يكون جانب قاعدة الخزان 2 مترا وارتفاعه.

مثال 9.من الفقرة أ.على خط السكك الحديدية، نقطة من عند، تسوية منه على مسافة ل.، يجب شحن البضائع. تكلفة وزن وحدة الوزن لكل وحدة المسافة عن طريق السكك الحديدية تساوي، وعلى الطريق السريع يساوي. إلى أي نقطة م. يجب إجراء خطوط السكك الحديدية الطريق السريع لنقل البضائع لكن في من عند كان الأكثر اقتصادا (مؤامرة AU السكك الحديدية مفترض مباشرة)؟

في بعض الأحيان في مهام B14 هناك وظائف "سيئة" من الصعب العثور عليها المشتق. في السابق، كان فقط على تحقيقات فقط، ولكن الآن هذه المهام شائعة جدا بحيث لا يمكن تجاهلها عند التحضير لهذا EGE. في هذه الحالة، تعمل تقنيات أخرى، واحدة منها رتابة. تسمى وظيفة تعريف F (X) بشكل رابط متزايد على القطاع، إذا لأي نقطة × 1 و X 2 من هذا الجزء ما يلي: X 1

تعريف. تسمى الوظيفة F (x) تنخفض رتابة على القطاع، إذا لأي نقطة × 1 و X 2 من هذا الجزء ما يلي راض: × 1 و (× 2). بمعنى آخر، للحصول على وظيفة متزايدة، كلما زاد عدد x، أكثر f (x). بالنسبة لانخفاض الوظيفة، والعكس الآخر صحيح: كلما زاد x، كلما أقل و (س).

أمثلة. يزيد LOGARRITMM رتابة إذا كانت القاعدة هي A\u003e 1، وينخفض \u200b\u200bرتابة، إذا 0 0. f (x) \u003d سجل x (a\u003e 0؛ x\u003e 0) 1، وانخفاض رتابة، إذا 0 0. f (x) \u003d سجل الفأس (a\u003e 0؛ x\u003e 0) "\u003e 1، وانخفاض رتابة، إذا 0 0. f (x) \u003d سجل الفأس (أ) \u003e 0؛ a 1؛ x\u003e 0) "\u003e 1، وانخفاض رتابة، إذا 0 0. f (x) \u003d سجل الفأس (a\u003e 0؛ x\u003e 0)" العنوان \u003d "(! Lang: أمثلة . LOGARRIMM زيادات رتابة، إذا كانت الأساس A\u003e 1، وينخفض \u200b\u200bرتابة، إذا 0 0. F (x) \u003d سجل الفأس (a\u003e 0؛ x\u003e 0)"> title="أمثلة. يزيد LOGARRITMM رتابة إذا كانت القاعدة هي A\u003e 1، وينخفض \u200b\u200bرتابة، إذا 0 0. f (x) \u003d سجل x (a\u003e 0؛ x\u003e 0)"> !}

أمثلة. تتصرف الوظيفة الإرشادية بالمثل إلى LOGARIRMM: إنه ينمو في\u003e 1 وينخفض \u200b\u200bعند 0 0: 1 وينخفض \u200b\u200bعند 0 0: "\u003e 1 وينخفض \u200b\u200bعند 0 0:"\u003e 1 وانخفاض عند 0 0: "العنوان \u003d" (! Lang: أمثلة. تتصرف الوظيفة الإرشادية مثل اللوغاريتم: النمو في\u003e 1 وتنقص 0 0:"> title="أمثلة. تتصرف الوظيفة الإرشادية بالمثل إلى LOGARIRMM: إنه ينمو في\u003e 1 وينخفض \u200b\u200bعند 0 0:"> !}

0) أو أسفل (0) أو أسفل (9 غالبا ما يتم استبدال إحداثيات رؤوس البارابولا حجة الوظيفة بهدف مربعة من ثلاثة أجاد على جدولها القياسي، حيث نهم مهتمون في الفروع: يمكن أن ترتفع فروع Parabola (في A\u003e 0) أو لأسفل (A 0) أو أكبر (A 0) أو لأسفل (A 0) أو لأسفل (A 0) أو أكبر (A 0) أو لأسفل (A 0) أو لأسفل (عنوان \u003d "(! Lang: إحداثيات غالبا ما يتم استبدال Pearabol Vertex حجة الوظيفة بمنظر مربعة من ثلاثة صفوف لجدول الزجاج القياسي الذي نهتم به في الفروع: يمكن أن ترتفع فروع Parabola (في A\u003e 0) أو أسفل (أ)

الجزء مفقود في حالة المشكلة. لذلك، ليس مطلوبا لحساب F (A) و F (B). يبقى أن يفكر في نقاط extrtum فقط؛ ولكن هناك قمة واحدة فقط من parabola × 0، يتم احتسابها التي تحسبها حرفيا شفهيا ودون أي مشتقات.

وبالتالي، فإن الحل للمشكلة مبسطة بشكل حاد ويأتي إلى خطوتين: اكتب معادلة Parabola وابحث عن قمة الرأس حسب الصيغة: للعثور على قيمة الوظيفة الأصلية في هذه المرحلة: f (x 0). إذا لم تكن هناك شروط إضافية، فستكون الجواب.

0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "العنوان \u003d" (! Lang: ابحث عن أصغر قيمة الوظيفة: الحل: تحت الجذر هناك الميزة التربيعية لهذه الميزة Barabola Branches، منذ معامل A \u003d 1\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} ابحث عن أصغر قيمة لهذه الوظيفة: الحل: تحت الجذر هناك وظيفة تترجمية في مخطط وظيفة Parabola هذه بواسطة الفروع، منذ معامل A \u003d 1\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3. 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "\u003e 0. توبر بارابول: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3 "\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3" العنوان \u003d "(! Lang: العثور على أقل قيمة الوظيفة : الحل: تحت الجذر هناك وظيفة تترجمية من مخطط Parabola Branches، نظرا لأن معامل A \u003d 1\u003e 0. العلاج Parabol: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6 / 2 \u003d 3."> title="ابحث عن أصغر قيمة لهذه الوظيفة: الحل: تحت الجذر هناك وظيفة تترجمية في مخطط وظيفة Parabola هذه بواسطة الفروع، منذ معامل A \u003d 1\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 6 / (2 · 1) \u003d 6/2 \u003d 3."> !}

ابحث عن أصغر قيمة الوظيفة: الحل الموجود أسفل اللوغاريتمي مرة أخرى وظيفة من الدرجة الثانية. أبريل بارابولا الفروع، لأن A \u003d 1\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 "\u003e 0. TOPPER PARAPOL: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1 "\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1" العنوان \u003d "(! Lang: ابحث عن الأقل قيمة الوظيفة: الحل الموجود تحت لوغاريتم هي وظيفة تربيعية. حمى بارابولا الفروع، لأن \u003d 1\u003e 0. توبر بارابولا: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="ابحث عن أصغر قيمة الوظيفة: الحل الموجود أسفل اللوغاريتمي مرة أخرى وظيفة من الدرجة الثانية. أبريل بارابولا الفروع، لأن A \u003d 1\u003e 0. أعلى Parabola: X 0 \u003d B / (2A) \u003d 2 / (2 · 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> !}

ابحث عن أعظم قيمة الوظيفة: الحل: في المؤشر توجد وظيفة من الدرجة الثانية لإعادة كتابةها في نموذج عادي: من الواضح أن الجدول الزمني لهذه الوظيفة من Parabola، فروع أسفل (A \u003d 1

عواقب وظيفة تحديد الوظيفة في بعض الأحيان لحل المشكلة B14 ليست كافية للعثور على الجزء العلوي من parabola. قد تكمن القيمة المطلوبة في نهاية القطاع، وليس على الإطلاق عند نقطة التطرف. إذا لم تحدد المهمة شريحة على الإطلاق، فنحن ننظر إلى مجال القيم المسموح بها للوظيفة الأصلية. يسمى:

0 2. جذر مربع حسابي موجود فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا تكون ملاحظات الكسر صفر: "العنوان \u003d" (! Lang: 1. يجب أن تكون الوسيطة LogARITM إيجابية: Y \u003d Log AF (X) F ( X)\u003e 0 2. جذر مربع حسابي موجود فقط للأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا تكون ملاحظات الكسر صفر:" class="link_thumb"> 26 !} 1. يجب أن تكون حجة اللوغاريتم الإيجابية: y \u003d سجل a f (x) f (x) f (x)\u003e 0 2. جذر مربع الحساب موجود فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا يكون ناقل الكسر صفر: 0 2. موجودة الجذر المربع الحسابي فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا يكون مقياس الكسر صفر: "\u003e 0 2. الجذر الحسابي الموجود موجود فقط من الأرقام غير السالبة: 3. Snaker of the Screct يجب ألا كن صفر: "\u003e 0 2. جذر مربع حسابي موجود فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا يساوي الكسور المساوي الصفر:" العنوان \u003d "(! Lang: 1. يجب أن تكون حجة اللوغاريتم إيجابية: Y \u003d Log AF (x) f (x)\u003e 0 2. مربع حسابي موجود الجذر فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا تكون ملاحظات الكسر صفر:"> title="1. يجب أن تكون حجة اللوغاريتم الإيجابية: y \u003d سجل a f (x) f (x) f (x)\u003e 0 2. جذر مربع الحساب موجود فقط من الأرقام غير السالبة: 3. يجب ألا يكون ناقل الكسر صفر:"> !}

الحل تحت الجذر هو مرة أخرى وظيفة تربيعية. مخططها من Parabola، ولكن يتم توجيه الفروع إلى أسفل، منذ A \u003d 1
الآن نجد قمة السيرة الذاتية: X 0 \u003d B / (2A) \u003d (2A) / (2) / (2 · (1)) \u003d 2 / (2) \u003d 1 نقطة × 0 \u003d 1 ينتمي إلى الجزء OTZ وهذا جيد وبعد الآن نحن نعتبر قيمة الوظيفة في النقطة x 0، وكذلك في نهايات OTZ: Y (3) \u003d y (1) \u003d 0 لذلك، تلقوا أرقام 2 و 0. يطلب منا العثور على أكبر عدد 2. الجواب: 2

يرجى ملاحظة: عدم المساواة صارمة، وبالتالي فإن النهايات لا تنتمي إلى OTZ. هذا اللوغاريتم مختلف عن الجذر، حيث تكون نهايات القطاع مناسبة تماما. نحن نبحث عن parabola لؤلؤها: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 · (1)) \u003d 6 / (2) \u003d 3 the pearabol vertex مناسبة ل otz: x 0 \u003d 3 (1؛ 5؛ ). ولكن نظرا لأن نهايات القطاع لا يهتم بنا، فكر في قيمة الوظيفة فقط في النقطة X 0:

Y Min \u003d y (3) \u003d سجل 0.5 (6 ·) \u003d \u003d سجل 0.5 (18 9 5) \u003d سجل 0.5 4 \u003d 2 الإجابة: -2