افعل على 0. هل يمكنك القسمة على صفر؟ عندما ظهر الصفر

لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟ 16 أبريل 2018

لذلك ناقشنا مؤخرا. وهنا بيان آخر مثير للاهتمام. "لا يمكنك القسمة على الصفر!" - يحفظ غالبية أطفال المدارس هذه القاعدة دون طرح أسئلة. كل الأطفال يعرفون ما هو "غير مسموح" وماذا سيحدث إذا ردا على سؤاله: "لماذا؟" هذا ما سيحدث إذا

لكن في الحقيقة من المثير للاهتمام والمهم معرفة سبب استحالة ذلك.

النقطة المهمة هي أن العمليات الحسابية الأربع - الجمع والطرح والضرب والقسمة - هي في الواقع غير متساوية. يعترف علماء الرياضيات بأن اثنين منهم فقط كاملين - الجمع والضرب. يتم تضمين هذه العمليات وخصائصها في التعريف ذاته لمفهوم العدد. يتم بناء جميع الإجراءات الأخرى بطريقة أو بأخرى من هذين الأمرين.

ضع في اعتبارك الطرح ، على سبيل المثال. ماذا يعني 5 - 3؟ إجابة الطالب على ذلك بسيطة: عليك أن تأخذ خمسة أشياء ، تأخذ (تزيل) ثلاثة منها وترى كم بقي منها. لكن علماء الرياضيات ينظرون إلى هذه المشكلة بطريقة مختلفة تمامًا. لا يوجد طرح ، بل جمع فقط. لذلك ، فإن كتابة 5 - 3 تعني رقمًا ، عند إضافته إلى الرقم 3 ، يعطي الرقم 5. أي أن 5 - 3 هي مجرد تدوين مختصر للمعادلة: x + 3 = 5. لا يوجد طرح في هذا معادلة. ليس هناك سوى مهمة - للعثور على رقم مناسب.

نفس الشيء هو الحال مع الضرب والقسمة. يمكن فهم الترميز 8: 4 على أنه نتيجة تقسيم ثمانية عناصر إلى أربعة أكوام متساوية. لكنها في الواقع مجرد شكل مختصر للمعادلة 4 × = 8.

هذا هو المكان الذي يتضح فيه سبب استحالة (أو بالأحرى المستحيل) القسمة على صفر. تدوين 5: 0 هو اختصار لـ 0 x = 5. أي أن هذه المهمة هي العثور على رقم ، عند ضربه في 0 ، سيعطي 5. لكننا نعلم أنه عند ضرب 0 ، ستحصل دائمًا على 0. هذا هو خاصية ملازمة للصفر ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، جزء من تعريفها.

الرقم الذي ، عند ضربه في 0 ، سيعطي شيئًا آخر غير الصفر ، ببساطة غير موجود. وهذا يعني أن مهمتنا ليس لها حل. (نعم ، هذا يحدث ، فليس لكل مشكلة حل.) هذا يعني أن الترميز 5: 0 لا يتوافق مع أي رقم محدد ، وهو ببساطة لا يعني أي شيء ، وبالتالي لا معنى له. يتم التعبير عن اللامعنى من هذا التسجيل بإيجاز ، بالقول إنه لا يمكنك القسمة على صفر.

سيسأل القراء الأكثر انتباهاً في هذا المكان بالتأكيد: هل يمكن قسمة الصفر على صفر؟ في الواقع ، يمكن حل المعادلة 0 س = 0 بنجاح. على سبيل المثال ، يمكنك أن تأخذ x = 0 ، ثم نحصل على 0 · 0 = 0. إذن ، 0: 0 = 0؟ لكن دعونا لا نتسرع. دعنا نحاول أن نأخذ x = 1. نحصل على 0 · 1 = 0. صحيح؟ إذن 0: 0 = 1؟ ولكن يمكنك أخذ أي رقم بهذه الطريقة والحصول على 0: 0 = 5 ، 0: 0 = 317 ، إلخ.

ولكن إذا كان أي رقم مناسبًا ، فليس لدينا سبب لاختيار أي واحد منهم. وهذا يعني أنه لا يمكننا تحديد الرقم الذي يتوافق مع السجل 0: 0. وإذا كان الأمر كذلك ، فنحن مضطرون للاعتراف بأن هذا السجل ليس له معنى أيضًا. اتضح أنه حتى الصفر لا يمكن قسمة صفر. (في التحليل الرياضي ، توجد حالات يمكن فيها ، بسبب الظروف الإضافية للمشكلة ، تفضيل أحد الحلول الممكنة للمعادلة 0 × س = 0 ؛ في مثل هذه الحالات ، يتحدث علماء الرياضيات عن "الكشف عن عدم اليقين ،" ولكن في الحساب مثل هذه الحالات لا تحدث.)

هذه هي خصوصية عملية التقسيم. بتعبير أدق ، عملية الضرب والرقم المرتبط بها يحتويان على صفر.

حسنًا ، والأكثر دقة ، بعد أن قرأت حتى الآن ، قد يسأل: لماذا يستحيل القسمة على صفر ، لكن يمكنك طرح الصفر؟ بمعنى ما ، هذا هو المكان الذي تبدأ فيه الرياضيات الحقيقية. لا يمكنك الإجابة عليها إلا بعد التعرف على التعريفات الرياضية الرسمية للمجموعات العددية والعمليات عليها.

الصفر هو شخصية مثيرة للاهتمام في حد ذاته. في حد ذاته ، يعني الفراغ ، والافتقار إلى المعنى ، وبجانب رقم آخر يزيد من أهميته 10 مرات. أي أرقام في درجة الصفر تعطي دائمًا 1. تم استخدام هذه العلامة حتى في حضارة المايا ، كما أنها تدل على مفهوم "البداية ، السبب". حتى التقويم بدأ من اليوم صفر. وهذا الرقم يرتبط أيضًا بفرض حظر صارم.

منذ سنوات الدراسة الابتدائية ، تعلمنا جميعًا بوضوح قاعدة "لا يمكنك القسمة على صفر". لكن إذا كنت تأخذ الكثير من الإيمان في مرحلة الطفولة ونادرًا ما تثير كلمات الشخص البالغ الشكوك ، فإنك بمرور الوقت لا تزال ترغب في فهم الأسباب ، لفهم سبب وضع قواعد معينة.

لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟ أود الحصول على تفسير منطقي واضح لهذا السؤال. في الصف الأول ، لم يتمكن المعلمون من القيام بذلك ، لأنه في الرياضيات يتم شرح القواعد باستخدام المعادلات ، وفي ذلك العمر لم يكن لدينا أي فكرة عن ماهيتها. والآن حان الوقت لمعرفة ذلك والحصول على تفسير منطقي واضح لسبب عدم قدرتك على القسمة على صفر.

الحقيقة هي أنه في الرياضيات ، يتم التعرف على عمليتين فقط من العمليات الأساسية الأربع (+ ، - ، x ، /) مع الأرقام على أنها مستقلة: الضرب والجمع. تعتبر باقي العمليات مشتقات. لنلق نظرة على مثال بسيط.

أخبرني ، ما مقدار ما سيحدث إذا طرحت 18 من 20؟ بطبيعة الحال ، تظهر الإجابة على الفور في رؤوسنا: ستكون 2. وكيف توصلنا إلى مثل هذه النتيجة؟ بالنسبة للبعض ، سيبدو هذا السؤال غريباً - بعد كل شيء ، كل شيء واضح بالفعل أنه سيظهر 2 ، سيشرح أحدهم أنه أخذ 18 كوبيل من 20 كوبيل وحصل على كوبين. منطقيا ، كل هذه الإجابات ليست موضع شك ، ولكن من وجهة نظر الرياضيات ، يجب حل هذه المشكلة بطريقة مختلفة. دعونا نذكر مرة أخرى أن العمليات الرئيسية في الرياضيات هي الضرب والجمع ، وبالتالي في حالتنا تكمن الإجابة في حل المعادلة التالية: x + 18 = 20. ومن ثم يتبع ذلك x = 20-18، x = 2. يبدو ، لماذا ترسم كل شيء بهذه التفاصيل؟ بعد كل شيء ، كل شيء أساسي بسيط. ومع ذلك ، بدون ذلك يصعب تفسير سبب عدم إمكانية القسمة على صفر.

لنرى الآن ما سيحدث إذا أردنا قسمة 18 على صفر. لنقم بالمعادلة مرة أخرى: 18: 0 = x. نظرًا لأن عملية القسمة هي مشتق من إجراء الضرب ، فإننا نحصل على x * 0 = 18. هذا هو المكان الذي يبدأ فيه الطريق المسدود. أي رقم في مكان x عند ضربه في صفر سيعطينا 0 ولن نتمكن من الحصول على 18 بأي شكل من الأشكال. أصبح من الواضح الآن لماذا لا يمكن للمرء أن يقسم على صفر. يمكن تقسيم الصفر على أي رقم ، ولكن على العكس - للأسف ، لا يمكن تقسيمه.

ماذا يحدث إذا تم تقسيم الصفر على نفسه؟ يمكن كتابتها على النحو التالي: 0: 0 = x ، أو x * 0 = 0. هذه المعادلة لها حلول لا حصر لها. لذا فإن النتيجة النهائية هي ما لا نهاية. لذلك ، فإن العملية لا معنى لها في هذه الحالة أيضًا.

القسمة على 0 هي أصل العديد من النكات الرياضية المفترضة التي يمكن استخدامها لأحجية أي شخص جاهل إذا رغبت في ذلك. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة: 4 * x - 20 = 7 * x - 35. لنخرج 4 في الجزء الأيسر ، وفي الجزء الأيمن 7. نحصل على: 4 * (x - 5) = 7 * (x) - 5). الآن نضرب طرفي المعادلة الأيسر والأيمن في الكسر 1 / (x - 5). ستأخذ المعادلة هذا الشكل: 4 * (x - 5) / (x - 5) = 7 * (x - 5) / (x - 5). دعونا نختصر الكسور بمقدار (س - 5) ونحصل على 4 = 7. من هذا يمكننا أن نستنتج أن 2 * 2 = 7! بالطبع ، المهم هنا هو أنه يساوي 5 وكان من المستحيل حذف الكسور ، لأن هذا أدى إلى القسمة على صفر. لذلك ، عند تقليل الكسور ، يجب أن تتحقق دائمًا من أن الصفر لا ينتهي بطريق الخطأ في المقام ، وإلا فستكون النتيجة غير متوقعة تمامًا.

لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟ من الذي حظره؟ تمنعنا المدرسة بعناد من القسمة على صفر ، ولكن بمجرد أن نتجاوز عتبة الجامعة ، تلقينا تساهلًا. ما كان يعتبر حظرًا في المدرسة أصبح ممكنًا الآن. يمكنك القسمة على الصفر والحصول على ما لا نهاية. الرياضيات العليا ... حسنًا ، تقريبًا.

تاريخ وفلسفة الصفر

في الواقع ، القصة مع القسمة على الصفر تطارد مخترعيها (أ). لكن الهنود فلاسفة معتادون على المشاكل المجردة. ماذا يعني التقسيم إلى لا شيء؟ بالنسبة للأوروبيين في ذلك الوقت ، لم يكن مثل هذا السؤال موجودًا على الإطلاق ، لأنهم لم يعرفوا عن الصفر أو الأرقام السالبة (التي تقع على يسار الصفر على المقياس).

في الهند ، لم يكن طرح الأكبر من الأصغر والحصول على رقم سالب مشكلة. بعد كل شيء ، ماذا تعني 3-5 = -2 في الحياة العادية؟ هذا يعني أن شخصًا ما مدين لشخص ما 2. تم استدعاء الأرقام السالبة الديون.

الآن دعونا نتعامل بسهولة مع مسألة القسمة على صفر. بالعودة إلى عام 598 بعد الميلاد (فكر فقط منذ متى ، منذ أكثر من 1400 عام!) ولد عالم الرياضيات براهماغوبتا في الهند ، والذي تساءل أيضًا عن القسمة على الصفر.

واقترح أنه إذا أخذت ليمونة وبدأت في تقسيمها إلى أجزاء ، فسنصل عاجلاً أم آجلاً إلى استنتاج مفاده أن الشرائح ستكون صغيرة جدًا. في خيالنا ، يمكننا الوصول إلى النقطة التي تصبح فيها الفصيصات مساوية للصفر. لذا ، فإن السؤال هو ، إذا قمت بتقسيم ليمونة ليس إلى 2 أو 4 أو 10 أجزاء ، ولكن إلى عدد الأجزاء التي تميل إلى اللانهاية - ما هو حجم الشرائح؟ سيكون هناك عدد لا حصر له من "الشرائح الصفرية". كل شيء بسيط للغاية ، نقطع الليمون جيدًا ، نحصل على بركة مع عدد لا حصر له من الأجزاء - عصير الليمون.

يكفي أن تسأل نفسك سؤالاً:

إذا كانت القسمة على اللانهاية تعطي صفرًا ، فإن القسمة على صفر يجب أن تعطي اللانهاية.

س / ∞ = 0 ومن ثم س / 0 = ∞

لكن إذا تناولت الرياضيات ، فقد تبين أنها غير منطقية إلى حد ما:

أ * 0 = 0؟ ماذا لو ب * 0 = 0؟ يعني: أ * 0 = ب * 0

ومن هنا: أ = ب

أي ، أي رقم يساوي أي رقم. القسمة الأولى على الصفر غير صحيحة ، دعنا ننتقل. في الرياضيات ، تعتبر القسمة عكس الضرب. هذا يعني أننا إذا قسمنا 4 على 2 ، علينا إيجاد رقم ، عند ضربه في 2 ، نحصل على 4.

قسّم 4 على صفر - تحتاج إلى إيجاد الرقم الذي ، عند ضربه في صفر ، نحصل على 4. أي x * 0 = 4؟ لكن س * 0 = 0! مرة أخرى سوء الحظ. لذلك نسأل: "كم عدد الأصفار التي تحتاجها لتحصل على 4؟"ما لا نهاية؟ سيظل مجموع عدد الأصفار غير المحدود يصل إلى الصفر.

وقسمة 0 على 0 بشكل عام تعطي عدم يقين ، لأن 0 * x = 0 ، حيث x هي أي شيء على الإطلاق. هذا هو ، حلول لا حصر لها.

إن الطبيعة غير المنطقية والمجردة للعمليات ذات الصفر غير مسموح بها في الإطار الضيق للجبر ، أو بالأحرى ، فهي عملية غير محددة. إنها تحتاج إلى جهاز أكثر جدية - رياضيات أعلى. لذا ، بطريقة ما ، لا يمكنك القسمة على صفر ، ولكن إذا كنت تريد ذلك حقًا ، فيمكنك القسمة على صفر ، لكن عليك أن تكون مستعدًا لفهم أشياء مثل دالة ديراك دلتا والأشياء الأخرى التي يصعب فهمها. قسّم على الصحة.

شرح بسيط من الحياة

إليكم لغز من واقع الحياة. لنفترض أننا نريد حساب المدة التي سنستغرقها لقطع مسافة 10 كيلومترات. هذا يعني السرعة * الوقت = المسافة (S = Vt). لمعرفة الوقت نقسم المسافة على السرعة (t = S / V). وماذا سيحدث إذا كانت سرعتنا 0؟ ر = 10/0. سيكون هناك ما لا نهاية!

نقف مكتوفي الأيدي ، السرعة صفر ، وبهذه السرعة سنصل دائمًا إلى علامة 10 كم. لذا فإن الوقت سيكون ... ر = ∞. لذلك حصلنا على اللانهاية!

وفي هذا المثال ، يمكنك القسمة على صفر ، كما تسمح به تجربة الحياة. إنه لأمر مخز أن المعلمين في المدرسة لا يستطيعون شرح مثل هذه الأشياء ببساطة.

يقولون إنه يمكنك القسمة على صفر إذا حددت نتيجة القسمة على صفر. تحتاج فقط إلى توسيع الجبر. بمحض الصدفة الغريبة ، ليس من الممكن العثور على بعض الأمثلة على هذا الامتداد ، ولكن يمكن فهمها بشكل أفضل وبسيطة. لإصلاح الإنترنت ، يلزم إما عرض إحدى طرق هذا الامتداد ، أو وصف سبب عدم إمكانية ذلك.

تمت كتابة المقال استمرارًا للاتجاه:

تنصل

الغرض من هذه المقالة هو شرح كيفية عمل الأسس الأساسية للرياضيات في "اللغة البشرية" ، وبناء المعرفة واستعادة العلاقات السببية المفقودة بين فروع الرياضيات. جميع الحجج فلسفية ، من حيث الأحكام فهي تختلف عن تلك المقبولة عمومًا (لذلك ، لا تدعي أنها صارمة في الرياضيات). المقال مصمم لمستوى القارئ "مر على البرج منذ سنوات عديدة".

من المستحسن فهم مبادئ الجبر الحسابي والابتدائي والعامة والخطي والتحليل الرياضي وغير القياسي ونظرية المجموعات والطوبولوجيا العامة والهندسة الإسقاطية والهندسة الأفينية.

في سياق التجارب ، لم تتضرر أي لانهاية واحدة.

مقدمة

الذهاب إلى أبعد من ذلك هو عملية طبيعية للبحث عن معرفة جديدة. ولكن ليس كل بحث يجلب معرفة جديدة ومن ثم يستفيد.

1. في الواقع ، تم تقسيم كل شيء إلينا بالفعل!

1.1 التقريب تمديد خط الأعداد

لنبدأ بما ربما يبدأ به جميع المغامرين عند القسمة على صفر. دعونا نتذكر الرسم البياني للدالة .

إلى يسار ويمين الصفر ، تترك الوظيفة في اتجاهات مختلفة من "عدم الوجود". عند نقطة الصفر ، يوجد بشكل عام "تجمع" ولا يوجد شيء مرئي.

بدلاً من الاندفاع إلى "البركة" بتهور ، دعنا نرى ما يتدفق وما يتدفق منها. للقيام بذلك ، سوف نستخدم الحد - الأداة الرئيسية للتحليل الرياضي. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في أن الحد يسمح لك بالانتقال إلى نقطة معينة في أقرب وقت ممكن ، ولكن لا يسمح لك "بالخطوة". مثل هذا "السور" أمام "الدوامة".

إبداعي

حسنًا ، لقد تم إنشاء "السياج". لم يعد مخيفا بعد الآن. لدينا طريقان إلى "الدوامة". دعنا نذهب إلى اليسار - منحدر حاد ، على اليمين - صعود شديد الانحدار. مهما ذهبت إلى "السياج" ، فإنه لا يقترب. لا توجد طريقة لعبور "عدم الوجود" السفلي والعليا. نشأت شكوك ، فهل نسير في دوائر؟ على الرغم من الجواب ، فإن الأرقام تتغير ، لذلك ليس في دائرة. دعونا نفتش في الصندوق بأدوات التحليل الرياضي حتى الآن. بالإضافة إلى الحدود مع "السياج" ، تشتمل المجموعة على اللانهايات الموجبة والسالبة. الكميات مجردة تمامًا (وليست أرقامًا) ومصممة جيدًا وجاهزة للاستخدام! يناسبنا. دعنا نكمل "وجودنا" (مجموعة الأعداد الحقيقية) مع اثنين من اللانهايات الموقعة.

اللغة الرياضية:

هذا الامتداد هو الذي يسمح لك بأخذ الحد مع الحجة التي تميل إلى اللانهاية والحصول على اللانهاية كنتيجة لأخذ الحد.

يوجد فرعين للرياضيات يصفان الشيء نفسه باستخدام مصطلحات مختلفة.

دعونا نلخص:

في المخلفات الجافة. الأساليب القديمة توقفت عن العمل. زاد تعقيد النظام ، في شكل كومة من "إذا" ، "للجميع ما عدا" ، إلخ. كان لدينا شكلين فقط ، 1/0 و 0/0 (لم نفكر في عمليات الطاقة) ، والآن هناك خمسة. وقد أدى الكشف عن أحد أوجه عدم اليقين إلى المزيد من أوجه عدم اليقين.

1.2 عجلة

لم يتوقف إدخال اللانهاية غير الموقعة عند هذا الحد. من أجل الخروج من حالة عدم اليقين ، تحتاج إلى ريح ثانية.

إذن ، لدينا عدد كبير من الأعداد الحقيقية واثنان من أوجه عدم اليقين 1/0 و 0/0. للتخلص من الأول ، أجرينا توسعة إسقاطية لخط الأعداد (أي أننا أدخلنا اللانهاية غير الموقعة). دعنا نحاول التعامل مع الارتياب الثاني في الشكل 0/0. لنفعل الشيء نفسه. دعونا نكمل مجموعة الأرقام بعنصر جديد يمثل عدم اليقين الثاني.

يعتمد تعريف عملية القسمة على الضرب. لا يناسبنا. دعونا نفصل العمليات عن بعضها البعض ، لكن مع الحفاظ على السلوك المعتاد للأرقام الحقيقية. دعنا نحدد عملية القسمة الأحادية ، التي يُرمز إليها بـ "/".

دعونا نوسع تعريف العمليات.

هذا الهيكل يسمى "العجلة". تم أخذ المصطلح بسبب التشابه مع الصورة الطوبولوجية للتمديد الإسقاطي لخط الأعداد والنقطة 0/0.

كل شيء يبدو على ما يرام ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل:

لتسوية جميع الميزات ، بالإضافة إلى توسيع مجموعة العناصر ، يتم إرفاق المكافأة في شكل ليس واحد ، ولكن هويتين لوصف قانون التوزيع.

اللغة الرياضية:

من وجهة نظر الجبر العام ، عملنا في حقل. وفي الميدان ، كما تعلم ، يتم تحديد عمليتين فقط (الجمع والضرب). يتم استنتاج مفهوم القسمة من خلال المعكوس ، وإذا كان أعمق ، فعناصر الوحدة. التغييرات التي تم إجراؤها تحول نظامنا الجبري إلى أحادي من حيث الجمع (مع الصفر كعنصر محايد) والضرب (مع الوحدة كعنصر محايد).

في كتابات المكتشفين ، لا يتم استخدام الرموز و دائمًا. بدلاً من ذلك ، يمكنك العثور على الترميز في النموذج / 0 و 0/0.

لم يعد العالم جميلاً بعد الآن ، أليس كذلك؟ لا تكن في عجلة من امرنا. دعونا نتحقق مما إذا كانت الهويات الجديدة لقانون التوزيع ستتكيف مع مجموعتنا الموسعة .

هذه المرة ، كانت النتيجة أفضل بكثير.

دعونا نلخص:

في المخلفات الجافة. يعمل الجبر بشكل رائع. ومع ذلك ، تم أخذ مفهوم "غير محدد" كأساس ، والذي بدأ يعتبر شيئًا موجودًا ويعمل به. في يوم من الأيام ، سيقول شخص ما أن كل شيء سيء ومن الضروري تقسيم "غير محدد" إلى عدد قليل "غير محدد" ، ولكن أصغر. سيقول الجبر العام: "لا مشكلة ، يا أخي!".
شيء من هذا القبيل يفترض وحدات خيالية إضافية (ي و ك) في الكواتيرن أضف تسميات

في سياق الحساب المدرسي ، يتم إجراء جميع العمليات الحسابية بأرقام حقيقية. مجموعة هذه الأرقام (أو الحقل المرتب المستمر) لها عدد من الخصائص (البديهيات): التبادلية وترابط الضرب والجمع ، وجود صفر ، واحد ، عناصر معاكسة وعكسية. كما أن بديهيات الترتيب والاستمرارية ، المستخدمة في التحليل المقارن ، تسمح لك بتحديد جميع خصائص الأعداد الحقيقية.

بما أن القسمة هي معكوس الضرب ، فإن قسمة الأعداد الحقيقية على صفر ستؤدي حتمًا إلى مشكلتين غير قابلتين للحل. أولاً ، اختبار نتيجة القسمة على الصفر باستخدام الضرب لا يحتوي على تعبير رقمي. مهما كان رقم حاصل القسمة ، إذا ضربته في صفر ، فلا يمكنك الحصول على المقسوم. ثانيًا ، في مثال 0: 0 ، يمكن أن تكون الإجابة على الإطلاق أي رقم ، والذي يتحول دائمًا إلى الصفر عند ضرب القاسم.

القسمة على الصفر في الرياضيات العليا

أدت الصعوبات المذكورة في القسمة على الصفر إلى فرض حظر على هذه العملية ، على الأقل في إطار الدورة المدرسية. ومع ذلك ، في الرياضيات العليا ، يجدون طرقًا للالتفاف على هذا الحظر.

على سبيل المثال ، ببناء هيكل جبري آخر يختلف عن خط الأعداد المألوف. مثال على هذا الهيكل هو العجلة. هناك قوانين وقواعد هنا. على وجه الخصوص ، لا ترتبط القسمة بالضرب وتتحول من عملية ثنائية (مع وسيطتين) إلى عملية أحادية (مع وسيطة واحدة) ، يُشار إليها بالرمز / x.

يحدث توسع مجال الأعداد الحقيقية بسبب إدخال أعداد فائقة الواقعية ، والتي تغطي كميات لا متناهية من الكميات الكبيرة والصغيرة بشكل لا نهائي. يتيح لنا هذا الأسلوب اعتبار مصطلح "اللانهاية" كرقم معين. علاوة على ذلك ، عندما يتوسع خط الأعداد ، فإنه يفقد علامته ، ويتحول إلى نقطة مثالية تربط طرفي هذا الخط. يمكن مقارنة هذا الأسلوب بسطر لتغيير التواريخ ، عند الانتقال بين منطقتين زمنيتين UTC + 12 و UTC-12 ، يمكنك أن تجد نفسك في اليوم التالي أو في اليوم السابق. في هذه الحالة ، يصبح التأكيد x / 0 = ∞ صحيحًا لأي x ≠ 0.

للقضاء على الغموض 0/0 ، يتم إدخال عنصر جديد ⏊ = 0/0 للعجلة. علاوة على ذلك ، فإن لهذه البنية الجبرية الفروق الدقيقة الخاصة بها: 0 · x ≠ 0؛ xx ≠ 0 بشكل عام. أيضًا x · / x ≠ 1 ، نظرًا لأن القسمة والضرب لم يعدا يعتبران عمليات عكسية. ولكن يتم شرح ميزات العجلة جيدًا بمساعدة هويات قانون التوزيع ، الذي يعمل بشكل مختلف نوعًا ما في مثل هذه البنية الجبرية. يمكن العثور على تفسيرات أكثر تفصيلاً في الأدبيات المتخصصة.

الجبر ، الذي اعتاد عليه الجميع ، هو في الواقع حالة خاصة لأنظمة أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ، نفس العجلة. كما ترى ، من الممكن القسمة على صفر في الرياضيات الأعلى. هذا يتطلب تجاوز حدود الأفكار المعتادة حول الأرقام والعمليات الجبرية والقوانين التي يطيعونها. على الرغم من أن هذه عملية طبيعية تمامًا تصاحب أي بحث عن معرفة جديدة.

مقالات لها صلة

مصادر:

غالبًا ما يتم تمييز العمليات الحسابية ذات الصفر بقواعد خاصة وحتى محظورات. لذلك ، يتعلم جميع أطفال المدارس من المدرسة الابتدائية القاعدة: "لا يمكنك القسمة على صفر". هناك المزيد من القواعد والاتفاقيات المتعلقة بالأرقام السالبة. كل هذا يعقد فهم الطالب للمادة بشكل كبير ، لذلك في بعض الأحيان يكون من غير الواضح ما إذا كان يمكن قسمة الصفر على رقم سالب.

ما هو الانقسام

بادئ ذي بدء ، من أجل معرفة ما إذا كان يمكن قسمة الصفر على رقم سالب ، يجب على المرء أن يتذكر كيفية تقسيم الأرقام السالبة بشكل عام. العملية الحسابية للقسمة هي معكوس الضرب.

يمكن وصف ذلك على النحو التالي: إذا كان a و b عددًا منطقيًا ، ثم قسمة a على b ، فهذا يعني العثور على رقم c والذي ، عند ضربه في b ، سينتج عنه الرقم a. هذا التعريف للقسمة صحيح لكل من الأعداد الموجبة والسالبة إذا كانت المقسومات غير صفرية. في هذه الحالة ، يتم الالتزام بصرامة بشرط استحالة القسمة على الصفر.

لذلك ، على سبيل المثال ، لقسمة الرقم 32 على الرقم -8 ، يجب أن تجد مثل هذا الرقم الذي ، عند ضربه في الرقم -8 ، سينتج عنه الرقم 32. سيكون هذا الرقم هو -4 ، منذ ذلك الحين

(-4) س (-8) = 32. في هذه الحالة ، تضاف الإشارات ، وينتج عنها موجب ناقص.

هكذا:

أمثلة أخرى لقسمة الأعداد المنطقية:

21: 7 = 3 ، بما أن 7 × 3 = 21 ،

(−9): (−3) = 3 منذ 3 (−3) = −9.

قواعد قسمة الأعداد السالبة

لتحديد معامل حاصل القسمة ، عليك قسمة مقياس المقسوم على مقياس المقسوم عليه. في هذه الحالة ، من المهم أن تأخذ في الاعتبار علامة كل من العنصر والعنصر الآخر للعملية.

لقسمة رقمين لهما نفس الإشارات ، عليك قسمة مقياس المقسوم على مقياس المقسوم عليه ، ووضع علامة موجب أمام النتيجة.

لقسمة رقمين بعلامات مختلفة ، تحتاج إلى قسمة مقياس المقسوم على معامل المقسوم عليه ، لكن ضع علامة الطرح أمام النتيجة ، ولا يهم أي من العناصر ، المقسوم عليه ، أو العائد ، كان سلبيا.

القواعد والعلاقات المشار إليها بين نتائج الضرب والقسمة ، المعروفة بالأرقام الموجبة ، صالحة أيضًا لجميع الأرقام المنطقية ، باستثناء الرقم صفر.

هناك قاعدة مهمة للصفر: حاصل قسمة الصفر على أي عدد غير صفري هو أيضًا صفر.

0: b = 0 ، b 0. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون b موجبة وسالبة.

وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أنه يمكن قسمة الصفر على رقم سالب ، وستكون النتيجة دائمًا صفرًا.