واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. إيجاد مساحة شبه منحنية
مساحة شبه منحني منحنية تساوي عدديًا التكامل المحدد
أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس ، قلت إن التكامل المحدد هو الرقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.
بمعنى آخر، تكامل محدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما... على سبيل المثال ، فكر في تكامل محدد. يُحدد التكامل المنحنى منحنىًا معينًا على المستوى (يمكن دائمًا رسمه إذا رغبت في ذلك) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المنحني المقابل.
مثال 1
هذه صيغة نموذجية للمهمة. أول وأهم نقطة في الحل هي بناء الرسم... علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حق.
عند إنشاء رسم ، أوصي بالترتيب التالي: أولمن الأفضل بناء كل الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وفقط الى وقت لاحق- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. من الأكثر ربحية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف بإتجاه، يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المادة المرجعية.
هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.
في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسماً (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):
لن أفقس شبه منحني منحني ، هنا من الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. يستمر الحل على هذا النحو:
على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور، وبالتالي:
إجابه:
من لديه صعوبة في حساب تكامل محدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز 
راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.
بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على المخطط وتقدير ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 خلايا ، تبدو وكأنها الحقيقة. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا ، على سبيل المثال ، على الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن الرقم المعني لا يتناسب مع 20 خلية ، على الأكثر عشرة. إذا كانت الإجابة بالنفي ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.
مثال 2
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور
هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.
ماذا تفعل إذا كان شبه المنحني موجودًا تحت المحور؟
مثال 3
احسب مساحة الشكل المحددة بخطوط وقم بتنسيق المحاور.
الحل: لننفذ الرسم: 
إذا كان منحني شبه منحرف تقع بالكامل تحت المحور، ثم يمكن العثور على مساحتها من خلال الصيغة:
في هذه الحالة: 
انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:
1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.
2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.
من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.
مثال 4
أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده خطوط.
الحل: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في المشاكل في منطقة ما ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:
ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن.
إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما تصبح حدود التكامل واضحة ، كما كانت ، "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية الرسم التفصيلي للمخططات المختلفة بالتفصيل في المساعدة. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية... ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان ، على سبيل المثال ، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بما يكفي ، أو لم يكشف البناء الدقيق عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.
نعود إلى مشكلتنا: من المنطقي أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لننفذ الرسم: 
أكرر أنه في حالة البناء النقطي ، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل بواسطة "إنسان آلي".
والآن صيغة العمل:إذا كان على قطعة بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساويلبعض الوظائف المستمرة ، يمكن العثور على مساحة الشكل المقابل بالصيغة:
هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، من المهم تحديد الجدول الزمني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.
في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من
قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:
الشكل المطلوب يحده قطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:
إجابه:
في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة 
... نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة أسفل المحور ، إذن 
والآن بعض الأمثلة لحل مستقل
مثال 5
مثال 6
أوجد مساحة الشكل المحدد بخطوط.
أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل محدد ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، الحسابات صحيحة ، لكن بدون قصد ... تم العثور على منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المتواضع عدة مرات. هذه حالة واقعية:
مثال 7
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،،،.
أولاً ، دعنا ننفذ الرسم: 
الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - ما هو الشكل المحدد به!). لكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!
هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقا:
1) يوجد رسم بياني خطي على المقطع فوق المحور ؛
2) يقع الرسم البياني للقطع الزائد على المقطع فوق المحور.
من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:
إجابه:
المثال 8
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نمثل المعادلات في شكل "المدرسة" ، وننفذ الرسم نقطة تلو الأخرى: 
يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد" :.
ولكن ما هو الحد الأدنى ؟! من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن أيهما؟ يمكن ؟ ولكن أين يكون الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يكون ذلك جيدًا. أو الجذر. ماذا لو رسمنا الرسم البياني بشكل غير صحيح على الإطلاق؟
في مثل هذه الحالات ، يتعين عليك قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.
أوجد نقاط تقاطع الخط والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة: 
لذلك، .
الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أبسطها.
على الجزء 
، وفقًا للصيغة المقابلة: 
إجابه: 
حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.
المثال 9
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
الحل: ارسم هذا الشكل في الرسم. 
لإنشاء رسم نقطة بنقطة ، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام ، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي... في عدد من الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح من حيث المبدأ.
لا توجد مشاكل في حدود التكامل ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:
في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:
(1) يمكن رؤية كيفية دمج الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية... هذه تقنية نموذجية ، نقوم بقرص أحد الجيوب الأنفية.
(2) نستخدم الهوية المثلثية الأساسية في النموذج 
(3) دعنا نغير المتغير ، ثم:
إعادة توزيع جديدة للتكامل:
من هو السيئ حقًا في الاستبدالات ، يرجى الذهاب إلى الدرس طريقة الاستبدال في التكامل غير المحدد... لمن ليست خوارزمية الاستبدال في تكامل محدد واضحة تمامًا ، قم بزيارة الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.
واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل
ننتقل إلى دراسة تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. سنقوم في هذا الدرس بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. - كيفية حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد... أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. سيتعين علينا تقريب منطقة الضواحي في الحياة باستخدام الدوال الأولية وإيجاد مساحتها باستخدام تكامل محدد.
لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:
1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل في المستوى المتوسط. وبالتالي ، يجب أن يتعرف الدمى أولاً على الدرس لا.
2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب تكامل محدد. يمكنك بناء صداقات دافئة مع تكاملات محددة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.
في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا يحتاج المرء إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدود والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا بناء رسملذلك ، ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر إلحاحًا. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية ، وعلى الأقل ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (كثير من الناس في حاجة إليه) بمساعدة المواد المنهجية ومقال عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.
في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة العثور على المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، ولن نتقدم كثيرًا في المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعاني الطالب من جهاز مكروه بحماس يتقن مسار الرياضيات العليا.
يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.
لنبدأ بشبه منحني شبه منحني.
منحني شبه منحرفيسمى الشكل المسطح الذي يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لوظيفة متصلة على مقطع لا يغير العلامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقلمحور الحد الأقصى:
ثم مساحة شبه منحني منحني الخطوط تساوي عدديًا التكامل المحدد... أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلولقلت أن العدد المحدد هو العدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.
بمعنى آخر، تكامل محدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما... على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تكاملًا محددًا. يُحدد التكامل منحنى على المستوى الذي يقع فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في عمل رسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.
مثال 1
هذه صيغة نموذجية للمهمة. أول وأهم نقطة في الحل هي بناء الرسم... علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم حق.
عند إنشاء رسم ، أوصي بالترتيب التالي: أولمن الأفضل بناء كل الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وفقط الى وقت لاحق- القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. من الأكثر ربحية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف بإتجاه، يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية... هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.
في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسماً (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):
لن أفقس شبه منحني منحني ، هنا من الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. يستمر الحل على هذا النحو:
على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور، وبالتالي:
إجابه:
من لديه صعوبة في حساب تكامل محدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز 
راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.
بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على المخطط وتقدير ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 خلايا ، تبدو وكأنها الحقيقة. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا ، على سبيل المثال ، على الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن الرقم المعني لا يتناسب مع 20 خلية ، على الأكثر عشرة. إذا كانت الإجابة بالنفي ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.
مثال 2
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور
هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.
ماذا تفعل إذا كان شبه المنحني موجودًا تحت المحور؟
مثال 3
احسب مساحة الشكل المحددة بخطوط وقم بتنسيق المحاور.
قرار: لننفذ الرسم: 
إذا كان شبه منحني يقع تحت المحور(أو على الأقل ليس أعلىمحور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة: 
انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:
1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.
2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة الطرح في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.
من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.
مثال 4
أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده خطوط.
قرار: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في المشكلات في منطقة ما ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:
ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..
إنه لأمر أكثر ربحية وأسرع بكثير إنشاء الخطوط نقطة بنقطة ، بينما تصبح حدود التكامل واضحة ، كما كانت ، "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية التخطيط التفصيلي للمخططات المختلفة بالتفصيل في المساعدة. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية... ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان ، على سبيل المثال ، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بما يكفي ، أو لم يكشف البناء الدقيق عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.
نعود إلى مشكلتنا: من المنطقي أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لننفذ الرسم: 
أكرر أنه في حالة البناء النقطي ، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل بواسطة "إنسان آلي".
والآن صيغة العمل: إذا كان على مقطع ما بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساويلبعض الوظائف المستمرة ، ثم يمكن العثور على مساحة الشكل ، التي تحدها الرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، من خلال الصيغة: 
هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، من المهم تحديد الجدول الزمني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.
في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من
قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:
الشكل المطلوب يحده قطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:
إجابه:
في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة 
... نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلىالمحور إذن 
والآن بعض الأمثلة لحل مستقل
مثال 5
مثال 6
أوجد مساحة الشكل المحدد بخطوط.
أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل محدد ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، الحسابات صحيحة ، لكن بدون قصد ... تم العثور على منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المتواضع عدة مرات. هذه حالة واقعية:
مثال 7
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،،،.
قرار: أولاً لننفذ الرسم: 
... إيه ، ظهر رسم رديء ، لكن يبدو أن كل شيء مقروء.
الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - ما هو الشكل المحدد به!). ولكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما ينشأ "خلل" ، حيث تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!
هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقا:
1) يوجد رسم بياني خطي على المقطع فوق المحور ؛
2) يقع الرسم البياني للقطع الزائد على المقطع فوق المحور.
من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:
إجابه:
دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.
المثال 8
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نمثل المعادلات في شكل "المدرسة" ، وننفذ الرسم نقطة تلو الأخرى: 
يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد" :.
ولكن ما هو الحد الأدنى ؟! من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن أيهما؟ يمكن ؟ ولكن أين يكون الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يكون ذلك جيدًا. أو الجذر. ماذا لو رسمنا الرسم البياني بشكل غير صحيح على الإطلاق؟
في مثل هذه الحالات ، يتعين عليك قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.
أوجد نقاط تقاطع الخط والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة: 
,
في الواقع،.
الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أبسطها.
على الجزء 
، وفقًا للصيغة المقابلة: 
إجابه: 
حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.
المثال 9
احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
قرار: دعونا نصور هذا الرقم في الرسم. 
لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول الزمني ، ولكن لإعادة الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس رسمًا ، باختصار ، اليوم هو اليوم =)
بالنسبة للبناء التفصيلي ، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي... في عدد من الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح من حيث المبدأ.
لا توجد مشاكل في حدود التكامل ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:
في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك:
الموضوع: حساب مساحة شكل مستوي باستخدام تكامل محدد
المهام: لمعرفة التعريف والصيغ لإيجاد منطقة شبه منحني منحني ؛
النظر في حالات مختلفة لإيجاد منطقة شبه منحنية منحنية ؛
كن قادرًا على حساب مساحة شبه منحني منحني.
يخطط:
منحني شبه منحرف.
صيغ لحساب مساحة شبه منحني منحني.
منحني شبه منحرفيسمى الشكل ، الذي يحده الرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سالبة f (x) على الفاصل الزمني ، بواسطة مقاطع الخط x = a و x = b ، وكذلك بقطعة من محور الإحداثي بين النقاط أ و ب.
صور شبه منحنية منحنية:
الآن دعنا ننتقل إلى الخيارات الممكنة لموقع الأشكال التي يجب حساب مساحتها على مستوى الإحداثيات.
الأول
سيكون الخيار الأبسط (الشكل الأول) المعتاد منحني شبه منحرفكما في التعريف. ليست هناك حاجة لاختراع أي شيء هنا ، نحن فقط نأخذ جزء لا يتجزأ من أقبل بمن الوظيفة و (خ)... إذا وجدنا التكامل ، فسنعرف أيضًا مساحة هذا شبه المنحرف. 
في ثانيا
المتغير ، لن يقتصر رقمنا على محور الإحداثي ، ولكن بوظيفة أخرى ز (س)... لذلك ، للعثور على المنطقة CEFD، علينا أولاً إيجاد المساحة AEFB(باستخدام تكامل و (خ)) ، ثم ابحث عن المنطقة ACDB(باستخدام تكامل ز (س)). والمساحة المطلوبة من الشكل CEFD، سيكون هناك فرق بين المنطقتين الأولى والثانية من شبه المنحني المنحني. نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابة كل هذا تحت تكامل واحد (انظر الصيغ الموجودة أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل. 
الثالث
مشابه جدًا للأول ، ولكن يتم وضع شبه منحرف فقط ، وليس أعلى الإحداثي السينيوتحته. لذلك ، من الضروري هنا أخذ نفس التكامل ، فقط بعلامة ناقص ، لأن قيمة التكامل ستكون سالبة ، وقيمة المنطقة يجب أن تكون موجبة. إذا بدلا من الوظيفة و (خ)تأخذ وظيفة –F (x)، فسيكون الرسم البياني الخاص به هو نفسه ببساطة معروضًا بشكل متماثل حول محور الإحداثي. 
و الرابعمتغير عندما يكون جزء من الشكل أعلى محور الإحداثي ، وجزء تحته. لذلك ، علينا أولًا إيجاد مساحة الشكل AEFB، كما في الإصدار الأول ، ثم منطقة الشكل ا ب ت ثكما في الخيار الثالث ثم قم بطيها. نتيجة لذلك ، نحصل على مساحة الشكل DEFC... نظرًا لأن حدود التكامل هي نفسها هنا ، يمكن كتابة كل هذا تحت تكامل واحد (انظر الصيغ أسفل الشكل) كل هذا يتوقف على مدى تعقيد الوظائف ، وفي هذه الحالة سيكون من الأسهل العثور على التكامل. 
أسئلة للاختبار الذاتي:
ما هو الشكل الذي يسمى شبه منحني منحني؟
كيف تجد مساحة شبه منحنية منحنية؟
اجعل الدالة غير سالبة ومستمرة على فترة. بعد ذلك ، وفقًا للمعنى الهندسي للتكامل المحدد ، فإن مساحة شبه منحني منحني الخط يحدها من أعلى بالرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأسفل بمحور ، إلى اليسار واليمين بخطوط مستقيمة و (انظر الشكل 2). ) بواسطة الصيغة
المثال 9.أوجد مساحة الشكل المحدد بخط 
والمحور.
قرار... الرسم البياني للوظيفة 
هو قطع مكافئ تتجه أغصانه نحو الأسفل. دعونا نبنيها (شكل 3). لتحديد حدود التكامل ، نجد نقاط تقاطع الخط (القطع المكافئ) مع المحور (الخط المستقيم). للقيام بذلك ، نحل نظام المعادلات
نحن نحصل: 
ومن أين بالتالي، ، .
تين. 3
نجد مساحة الشكل بالصيغة (5):
إذا كانت الوظيفة غير موجبة ومستمرة على مقطع ما ، فإن مساحة شبه منحني منحني الخط يحدها من الأسفل بالرسم البياني لهذه الوظيفة ، من الأعلى بمحور ، إلى اليسار واليمين بخطوط مستقيمة ويتم حسابها بواسطة الصيغة
. (6)
إذا كانت الوظيفة متصلة على مقطع ما وعلامة التغييرات عند عدد محدود من النقاط ، فإن مساحة الشكل المظلل (الشكل 4) تساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة المقابلة:
تين. أربعة
المثال 10.احسب مساحة الشكل المحدد بالمحور والرسم البياني للوظيفة عند.
تين. خمسة
قرار... لنقم برسم (شكل 5). المساحة المطلوبة هي مجموع المساحات و. دعونا نجد كل من هذه المجالات. أولاً ، نحدد حدود التكامل من خلال حل النظام 
نحن نحصل،. لذلك:
;
.
وبالتالي ، فإن مساحة الشكل المظلل هي
(وحدات مربعة).
تين. 6
أخيرًا ، دع شبه منحني منحني الخطي مقيدًا أعلى وأسفل بالرسوم البيانية للوظائف المستمرة على فترة زمنية و ،
وعلى اليسار واليمين - خطوط مستقيمة و (الشكل 6). ثم يتم حساب مساحتها بواسطة الصيغة
. (8)
المثال 11.أوجد مساحة الشكل المحصور بخطوط و.
قرار.يظهر هذا الرقم في الشكل. 7. نحسب مساحتها بالصيغة (8). حل نظام المعادلات التي نجدها ؛ بالتالي، ، . في الجزء لدينا:. ومن ثم ، في الصيغة (8) نأخذ x، و كما -. نحن نحصل:
(وحدات مربعة).
يتم حل المشكلات الأكثر تعقيدًا لحساب المناطق عن طريق تقسيم الشكل إلى أجزاء غير متقاطعة وحساب مساحة الشكل بأكمله كمجموع مناطق هذه الأجزاء.
تين. 7
المثال 12.أوجد مساحة الشكل المحدد بخطوط ،،.
قرار... لنقم برسم (شكل 8). يمكن اعتبار هذا الشكل شبه منحني منحنيًا يحده من الأسفل المحور ، من اليسار واليمين - بخطوط مستقيمة ، ومن أعلى - بواسطة الرسوم البيانية للوظائف و. نظرًا لأن الشكل يحده من الأعلى رسوم بيانية لوظيفتين ، لحساب مساحته ، نقسم هذا الشكل بخط مستقيم إلى جزأين (1 هو الحد الأقصى لتقاطع الخطين و). تم العثور على مساحة كل جزء من هذه الأجزاء بالصيغة (4):
(وحدات مربعة) ؛ 
(وحدات مربعة). لذلك:
(وحدات مربعة).
تين. ثمانية
|
تين. تسع
في الختام ، نلاحظ أنه إذا كان شبه منحني منحني الأضلاع محددًا بخطوط مستقيمة وكان المحور ومستمرًا على المنحنى (الشكل 9) ، فسيتم العثور على مساحته بواسطة الصيغة
حجم جسم الثورة
دع شبه منحني منحني الخطي ، يحده الرسم البياني لوظيفة مستمرة على القطعة ، بالمحور ، والخطوط المستقيمة ، وتدور حول المحور (الشكل 10). ثم يتم حساب حجم الجسم الناتج للثورة بواسطة الصيغة
. (9)
المثال 13.احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال الدوران حول محور شبه منحني منحني يحده قطع زائد وخطوط مستقيمة ومحور.
قرار... لنقم برسم (شكل 11).
ويترتب على بيان المشكلة أن ،. بالصيغة (9) نحصل عليها
.
تين. 10
تين. أحد عشر
يتم الحصول على حجم الجسم بالتناوب حول محور OUمنحني شبه منحرف يحده خطوط مستقيمة ص = جو ص = دالمحور OUوالرسم البياني للدالة المستمرة على قطعة (الشكل 12) ، تحددها الصيغة
. (10)
|
تين. 12
المثال 14... احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالدوران حول محور OUشبه منحني منحني يحده خطوط x 2 = 4في, ص = 4, س = 0 (الشكل 13).
قرار... حسب حالة المشكلة نجد حدود التكامل:،. بالصيغة (10) نحصل على:
تين. 13
طول قوس منحنى مسطح
دع منحنى المعادلة ، حيث يقع في المستوى (الشكل 14).
تين. أربعة عشرة
تعريف. يُفهم طول القوس على أنه الحد الذي يميل إليه طول الخط المكسور المدرج في هذا القوس ، عندما يميل عدد روابط الخط المكسور إلى اللانهاية ، ويميل طول الرابط الأكبر إلى الصفر.
إذا كانت الدالة ومشتقاتها متصلتين على مقطع ما ، فسيتم حساب طول قوس المنحنى بواسطة الصيغة
. (11)
المثال 15... احسب طول القوس للمنحنى المحاط بين النقاط التي من أجلها 
.
قرار... من حالة المشكلة لدينا 
... بالصيغة (11) نحصل على:
.
4. التكاملات غير الصحيحة
مع حدود لا حصر لها من التكامل
عند تقديم مفهوم التكامل المحدد ، كان من المفترض أن يتم استيفاء الشرطين التاليين:
أ) حدود التكامل لكنومحدودة.
ب) يتم تقييد التكامل على المقطع.
إذا لم يتم استيفاء أحد هذه الشروط على الأقل ، فسيتم استدعاء التكامل غير مناسب.
دعونا أولاً نفكر في التكاملات غير الصحيحة ذات حدود التكامل اللانهائية.
تعريف. دع الوظيفة تُحدد وتتواصل على الفاصل الزمني ، إذنوغير محدود على اليمين (شكل 15).
إذا تقارب التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة محدودة ؛ إذا تباعد التكامل غير الصحيح ، فإن هذه المنطقة لا نهائية.
تين. خمسة عشر
يتم تعريف التكامل غير المناسب مع حد أدنى لانهائي من التكامل بالمثل:
. (13)
يتقارب هذا التكامل إذا كان الحد الموجود على الجانب الأيمن من المساواة (13) موجودًا ومحدودًا ؛ خلاف ذلك ، يسمى التكامل متشعب.
يتم تعريف التكامل غير الصحيح مع حدين لا حصر لهما من التكامل على النحو التالي:
, (14)
حيث c هي أي نقطة في الفترة. لا يتقارب التكامل إلا إذا تقارب كلا التكاملات على الجانب الأيمن من المساواة (14).
;د) 
= [حدد مربعًا كاملًا في المقام:] = 
[إستبدال:
] = 
ومن ثم ، فإن التكامل غير الصحيح يتقارب وقيمته تساوي.
الشكل المحدد بالرسم البياني المستمر غير السالب على القطعة $ f (x) $ والخطوط المستقيمة $ y = 0 ، \ x = a $ و $ x = b $ ، يسمى شبه منحني منحني.
يتم حساب مساحة شبه المنحني المقابل بالصيغة:
$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)
سنقسم مشكلة إيجاد مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع إلى أنواع 4 دولارات. دعنا نفكر في كل نوع بمزيد من التفصيل.
النوع الأول: تم تحديد شبه منحني منحني بشكل صريح.ثم نطبق الصيغة (*) على الفور.
على سبيل المثال ، ابحث عن مساحة شبه منحنية منحنية يحدها الرسم البياني للوظيفة $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ ، وبالخطوط المستقيمة $ y = 0 ، \ x = 1 $ و $ x = 3 دولارات.
لنرسم هذا شبه المنحني المنحني.
بتطبيق الصيغة (*) ، نجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني.
$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ left. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ right | _ (1) ^ (3) = $
$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ left ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $
$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).
النوع الثاني: يتم تحديد شبه منحني بشكل ضمني.في هذه الحالة ، الخطوط المستقيمة $ x = a ، \ x = b $ عادة غير محددة أو محددة جزئيًا. في هذه الحالة ، تحتاج إلى إيجاد نقاط تقاطع الدالتين $ y = f (x) $ و $ y = 0 $. ستكون هذه النقاط هي النقاط $ a $ و $ b $.
على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $.
لنجد نقاط التقاطع. للقيام بذلك ، نساوي الجانبين الأيمن من الوظائف.
إذن ، $ a = -1 $ و $ b = 1 $. لنرسم هذا شبه المنحني المنحني.
لنجد مساحة هذا شبه المنحني المنحني.
$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ left. \ frac (x ^ (3)) (3) \ صحيح | _ (-1) ^ (1) = $
$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ يسار (1 + 1 \ يمين) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (وحدة $ ^ (2) $).
النوع الثالث: مساحة الشكل يحدها تقاطع وظيفتين مستمرتين غير سالبتين.لن يكون هذا الشكل شبه منحني منحني الأضلاع ، مما يعني أنه لا يمكنك حساب مساحته باستخدام الصيغة (*). كيف تكون؟اتضح أن مساحة هذا الشكل يمكن إيجادها على أنها الفرق بين مناطق شبه المنحنيات التي تحدها الوظيفة العليا و $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) ، والدالة السفلية و $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $) ، حيث يتم لعب دور $ x = a ، \ x = b $ بواسطة إحداثيات $ x $ لنقاط تقاطع هذه الوظائف ، أي
$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)
أهم شيء عند حساب هذه المناطق هو عدم التجاوز في اختيار الوظائف العلوية والسفلية.
على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد بالدالتين $ y = x ^ (2) $ و $ y = x + 6 $.
لنجد نقاط تقاطع هذه الرسوم البيانية:
من خلال نظرية فييتا ،
$ x_ (1) = - 2، \ x_ (2) = 3. $
أي ، $ a = -2 ، \ b = 3 $. لنرسم شكلاً:
إذن ، الوظيفة العلوية هي $ y = x + 6 $ ، والقاع هو $ y = x ^ (2) $. بعد ذلك ، ابحث عن $ S_ (uf) $ و $ S_ (lf) $ بالصيغة (*).
$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (6dx) = \ left. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ right | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) = 32، 5 $ (وحدات $ ^ (2) $).
$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2 ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).
استبدل الموجود في (**) واحصل على:
$ S = 32،5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (الوحدة $ ^ (2) $).
النوع الرابع: مساحة الشكل مقيدة بوظيفة (وظائف) لا تفي بشرط اللاسلبية.من أجل العثور على مساحة مثل هذا الشكل ، يجب أن تكون متماثلًا حول $ Ox $ ( بعبارات أخرى،ضع "سلبيات" أمام الوظائف) اعرض المنطقة ، وباستخدام الطرق الموضحة في الأنواع من الأول إلى الثالث ، ابحث عن منطقة المنطقة المعروضة. ستكون هذه المنطقة هي المنطقة المطلوبة. في السابق ، قد يتعين عليك العثور على نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.
على سبيل المثال ، أوجد مساحة الشكل المحدد برسوم بيانية للوظائف $ y = x ^ (2) -1 $ و $ y = 0 $.
لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف:
أولئك. $ a = -1 $ و $ b = 1 $. لنرسم المنطقة.
اعرض المنطقة بشكل متماثل:
$ y = 0 \ Rightarrow \ y = -0 = 0 $
$ y = x ^ (2) -1 \ Rightarrow \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.
تحصل على شبه منحني منحني يحده الرسم البياني للوظيفة $ y = 1-x ^ (2) $ و $ y = 0 $. هذه هي مشكلة إيجاد شبه منحرف منحني الأضلاع من النوع الثاني. لقد حللناها بالفعل. كانت الإجابة: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (unit $ ^ (2) $). ومن ثم ، فإن مساحة شبه المنحني المطلوب تساوي:
$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (الوحدة $ ^ (2) $).
جار التحميل ...