Plaza trapezaya si se conoce la línea media. Trapecio cuadrado

Trapezón moligioso ... puede ser arbitraria, igual o rectangular. Y en cada caso necesitas saber cómo encontrar un área de trapezoide. Por supuesto, el más fácil de recordar las fórmulas básicas. Pero a veces es más fácil usar el que se deriva dado todas las características de una forma geométrica particular.

Unas pocas palabras sobre el trapezoide y sus elementos.

Cualquier cuadrángulo, en el que se pueden llamar a dos lados paralelos, se puede llamar trapecio. En general, no son iguales y llamados motivos. Más grande de ellos: la parte inferior, y la otra es la parte superior.

Las otras dos partes están de lado. En un trapecio arbitrario, tienen diferentes longitudes. Si son iguales, la figura se convierte en un aislado.

Si de repente, un ángulo entre cualquier lado y base será igual a 90 grados, el trapecio es rectangular.

Todas estas características pueden ayudar a resolver el problema sobre cómo encontrar el área del trapecio.

Entre los elementos de la figura, que pueden ser indispensables para resolver tareas, puede asignar tal:

• altura, es decir, el segmento, perpendicular a ambas bases;
• la línea media, que tiene su propio lado medio.

¿Cuál es la fórmula para calcular el área, si se conocen las bases y la altura?

Esta expresión se le da la principal, porque la mayoría de las veces puedes aprender estas cantidades, incluso cuando no se dan explícitamente. Entonces, para entender cómo encontrar el área del trapecio, deberá plegar ambos motivos y dividirlos en dos. El valor resultante se multiplica posteriormente por el significado de la altura.

Si designa las letras de la base A 1 y A 2, altura - H, entonces la fórmula para el área se verá así:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * n.

La fórmula para la cual se calcula el área si se le da su altura y la línea media.

Si observa detenidamente la fórmula anterior, es fácil notar que está claramente presente en la línea media. A saber, la cantidad de motivos divididos por dos. Deje que la línea promedio se denote por la letra L, entonces la fórmula para el cuadrado será así:

S \u003d l * n.

La posibilidad de encontrar un área de diagonales.

Este método ayudará si se conoce el ángulo formado por ellos. Supongamos que las diagonales se denotan mediante letras D 1 y D 2, y los ángulos entre ellos son α y β. Luego, la fórmula de cómo encontrar el área del trapezoide se registrará de la siguiente manera:

S \u003d ((D 1 * D 2) / 2) * Sin α.

En esta expresión, es posible reemplazar fácilmente α en β. El resultado no cambiará.

¿Cómo descubrir el área si se conocen todos los lados de la figura?

Hay tales situaciones en las que los lados se conocen en esta figura. Esta fórmula es engorrosa y difícil de recordar. Pero probablemente. Deje que los lados laterales tengan la designación: en 1 y en 2, la base es 1 más de y 2. Entonces la fórmula de campo tomará este tipo:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(A 1 - A 2) 2 + en 1 2 - a 2 2) / (2 * (A 1 - A 2)) ] 2).

Métodos para calcular un área igualmente trapecio.

El primero está asociado con el hecho de que se puede insertar en ella. Y, al saber su radio (se denota por la letra R), así como un ángulo en la base - γ, puede usar esta fórmula:

S \u003d (4 * R 2) / Sin γ.

La última fórmula general, que se basa en el conocimiento de todos los lados de la figura, se resucitará significativamente debido al hecho de que los lados son los mismos:

S \u003d ((A 1 + A 2) / 2) * √ (en 2 - [(A 1 - A 2) 2 / (2 * (A 1 - A 2)]] 2).

Métodos para calcular el área de trapecio rectangular.

Está claro que cualquiera de las figuras enumeradas enumeradas para una figura arbitraria. Pero a veces es útil saber una característica de un trapecio de este tipo. Se encuentra en el hecho de que la diferencia en los cuadrados de las longitudes de diagonales es igual a la diferencia formada por cuadrados cuadrados.

A menudo, se olvida la fórmula para el trapezoide, mientras que se recuerdan expresiones para el área del rectángulo y el triángulo. Entonces puedes aplicar una forma fácil. Divida el trapecio en dos figuras si es rectangular, o tres. Uno exactamente será un rectángulo, y los segundos, o dos triángulos restantes. Después de calcular las áreas de estas cifras, solo se plegará.

Esta es una forma bastante sencilla de encontrar un área rectangular.

¿Qué pasa si conoce las coordenadas de los vértices de la trapecio?

En este caso, será necesario utilizar una expresión que le permita determinar la distancia entre los puntos. Se puede aplicar tres veces: para aprender ambas bases y una altura. Y luego simplemente aplique la primera fórmula que se describe un poco más alto.

Para ilustrar este método, puede citar tal ejemplo. Los vértices con coordenadas A (5; 7), en (8; 7), C (10; 1), D (1; 1). Necesitas descubrir el área de la figura.

Antes de encontrar el área del trapecio, las coordenadas deben calcular las longitudes de la base. Esta fórmula será requerida:

corte la longitud \u003d √ (la diferencia de las primeras coordenadas de los puntos) 2 + (la diferencia de las segundas coordenadas de los puntos) 2).

La base superior está indicada por AV, significa que su longitud será igual a √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) \u003d √9 \u003d 3. Baja - SD \u003d √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) \u003d √81 \u003d 9.

Ahora necesitas gastar la altura de la parte superior a la base. Supongamos que su inicio estará en punto A. El extremo del segmento estará en la base inferior en el punto con las coordenadas (5; 1), deje que sea el punto N. La longitud del segmento A será igual a √ ( (5-5) 2 + (7-1) 2) \u003d √36 \u003d 6.

Sólo permanece sustituir los valores obtenidos en la fórmula del Spring Square:

S \u003d ((3 + 9) / 2) * 6 \u003d 36.

La tarea se resuelve sin unidades de medida, porque no se especifica la escala de la cuadrícula de coordenadas. Puede ser tanto un milímetro como un medidor.

Ejemplos de tareas

No. 1. Condición. Es un ángulo conocido entre las diagonales de un trapecio arbitrario, es igual a 30 grados. Una diagonal más pequeña es 3 DM, y el segundo es 2 veces más. Es necesario calcular el cuadrado del trapecio.

Decisión. Primero necesitas conocer la duración de la segunda diagonal, porque sin él no podrá contar la respuesta. Es fácil de calcular, 3 * 2 \u003d 6 (DM).

Ahora necesitas usar la fórmula apropiada para el cuadrado:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * Sin 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4.5 (DM 2). La tarea se resuelve.

Respuesta: El área del trapecio es de 4.5 DM 2.

# 2. condición.En el trapezo Absd, las bases son los segmentos de la presión arterial y el sol. Punto E - Lado central de la SD. Desde allí se llevó a cabo perpendicular a la AB recta, el final de este segmento está indicado por la letra N. Se sabe que las longitudes de AV y EN son iguales a 5 y 4 cm, respectivamente. Es necesario calcular el área de El trapecio.

Decisión. Primero necesitas hacer un dibujo. Dado que el valor perpendicular es menor que el lado al que se gasta, el trapecio será un poco estirado. Así que estará dentro de la figura.

Para ver claramente el problema de resolver el problema, deberá realizar una construcción adicional. A saber, pase una línea recta que sea paralela al lado de la av. Los puntos de intersección de este directo con el infierno - P, y con la continuación del sol - H. La figura resultante de Vohra - paralelogramas. Además, su área es deseada. Esto se debe al hecho de que los triángulos que resultaron con construcciones adicionales son iguales. Esto se desprende de la igualdad del lado y dos ángulos adyacentes a él, uno - vertical, el otro, el mentiroso.

Puede encontrar el área del paralelogramo por la fórmula que contiene el trabajo del lado y la altura, bajó.

Por lo tanto, el área del trapecio es igual a 5 * 4 \u003d 20 cm 2.

Respuesta: S \u003d 20 cm 2.

# 3. condición. Los elementos de un trapezo aislado tienen tales valores: la base inferior es de 14 cm, la parte superior es de 4 cm, el ángulo afilado es 45º. Es necesario calcular su área.

Decisión. Deje que una base más pequeña sea la designación de la aeronave. La altura realizada desde el punto B se llamará VN. Dado que el ángulo es 45º, el triángulo de AVN tendrá éxito en rectangular y en islasbero. Entonces, AN \u003d V. Y el EN es muy fácil de encontrar. Es igual a la mitad de la diferencia en la base. Es decir (14 - 4) / 2 \u003d 10/2 \u003d 5 (cm).

Se conocen las bases, se calcula la altura. Puede usar la primera fórmula que se ha considerado aquí para un trapecio arbitrario.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Respuesta: El área deseada es de 45 cm 2.

No. 4. Condición. Hay un absd arbitrario de trapecio. En sus lados laterales se toman y e, por lo que OE es paralelo a la base del infierno. La Plaza de Trapezium Aoed es cinco veces más que en Ove. Calcule el valor de OE, si se conoce la longitud de la base.

Decisión. Será necesario gastar dos paralelas AV directamente: el primero a través del punto C, su intersección con OE - punto t; El segundo a través de E y el punto de intersección con el infierno será M.

Deja que el OE desconocido \u003d x. La altura de un trapecio más pequeño de OVE - H 1, mayor AOED - H 2.

Dado que el área de estos dos trapezoes se correlacionó como 1 a 5, entonces se puede registrar tal igualdad:

(X + a 2) * h 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * h 2

h 1 / H 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Las alturas y el lado de los triángulos son proporcionales a la construcción. Por lo tanto, puedes escribir otra igualdad:

h 1 / H 2 \u003d (X - A 2) / (A 1 - X).

En los últimos dos registros en la parte izquierda hay valores iguales, significa que se puede escribir que (x + a 1) / (5 (x + a 2)) es igual a (x - a 2) / (y 1 - x).

Requiere una serie de transformaciones aquí. Primero multiplica la cruz la cruz. Aparecerán los corchetes, que indicarán la diferencia de cuadrados, después del uso de esta fórmula, se obtendrá una ecuación corta.

Debe revelar paréntesis y transferir todos los términos con un "X" desconocido al lado izquierdo, y luego retire la raíz cuadrada.

Respuesta: x \u003d √ ((A 1 2 + 5 A 2 2 2) / 6).

Y. Ahora puede comenzar a considerar cómo encontrar el cuadrado del trapecio. Esta tarea en la vida cotidiana ocurre muy rara vez, pero a veces resulta ser necesaria, por ejemplo, para encontrar la habitación en forma de trapecio, que se usan cada vez más en la construcción de apartamentos modernos, o en proyectos de diseño.

El trapeuno es una figura geométrica formada por cuatro segmentos que se cruzan, dos de los cuales son paralelos entre sí y se llaman las bases del trapecio. Otros dos segmentos se llaman las partes en el trapecio. Además, en el futuro, usamos otra definición. Esta es la línea central del trapecio, que es un segmento que conecta la mitad del lado y la altura del trapecio, que es igual a la distancia entre las bases.
Como en los triángulos, el trapecio tiene especies privadas en forma de trapecio de equilibrio (equilibrio), en el que la longitud del lado de los lados es la misma y un trapecio rectangular, que forma un ángulo recto con las bases.

Los trapezios poseen algunas propiedades interesantes:

1. La línea media del trapecio es igual a la mitad de la base y paralela a ellos.
   
2. En un trapecio aislado, los lados laterales y los ángulos que forman son iguales a las bases.
   
3. La mitad de las diagonales del trapecio y el punto de intersección de sus diagonales están en una línea recta.
   
4. Si la suma del lado del trapecio es igual a la suma de la base, puede ingresar un círculo
   
5. Si la suma de los ángulos formados por los lados del trapecio en cualquiera de su base es de 90, entonces la longitud del segmento que conecta la mitad de la base es igual a su dieta.
   
6. Un círculo puede describirse un trapecio equilibrado. Y viceversa. Si el trapecio se ajusta al círculo, significa que es un aislado.
   
7. El segmento que pasa a través de la mitad de las bases de un trapecio de equilibrio será perpendicular a sus bases y es un eje de la siestmia.
   

Cómo encontrar un área de trapeces.

La escena del trapecio será igual a la mitad de la base de sus fundaciones multiplicadas por la altura. En forma de fórmula, esto está escrito como una expresión:

donde el área S del trapecio, A, B-longitud de cada una de las bases del trapecio, la altura H del trapecio.

Es posible entender y recordar esta fórmula de la siguiente manera. De la siguiente manera, desde la figura debajo del trapecio, utilizando la línea media, se puede convertir en un rectángulo, cuya longitud será igual a la mitad de la mitad de asum.

También puede descomponer cualquier trapecio en formas más simples: un rectángulo y uno, o dos triángulos y si es tan sencillo, luego encuentre el área del trapezoide, como la suma de las áreas de los componentes de sus formas.

Hay otra fórmula simple para contar su área. De acuerdo con él, el área del trapecio es igual al producto de su línea central a la altura del trapecio y se escribe en la forma: S \u003d M * H, donde el área S, la longitud M de la línea media, h-altura del trapecio. Esta fórmula es más adecuada para problemas en las matemáticas que para las tareas domésticas, ya que en condiciones reales, no se conocerá la longitud de la línea media sin cálculos preliminares. Y usted será conocido solo por las longitudes de las bases y los lados laterales.

En este caso, el área del trapecio se puede encontrar por la fórmula:

S \u003d ((A + B) / 2) * √c 2 - ((B-A) 2 + C 2 -D 2/2 (B-A) 2

donde el área de S, A, B-Base B, c, lados de lado D del trapecio.

Hay varias maneras de encontrar el área del trapecio. Pero, son aproximadamente inconvenientes como la última fórmula, lo que significa que no tiene sentido detenerse en ellos. Por lo tanto, le recomendamos que utilice la primera fórmula del artículo y siempre deseamos obtener resultados precisos.

Hay muchas maneras de encontrar un área de trapecio. Por lo general, el tutor en Matemáticas posee varias técnicas para sus cálculos, nos centraremos con más detalle:
1) Donde la base AD y BC, y la altura BH del trapezoide. Prueba: llevaremos a cabo la diagonal BD y expresaremos el área de los triángulos ABD y CDB a través de los semicolutas de sus bases hasta la altura:

donde dp es una altura externa en

Mover la comida de esta igualdad y considerando que BH y DP Heights son iguales, obtenemos:

Tendré el soporte

Q.E.D.

Consecuencia de la fórmula del cuadrado de primavera:
Dado que la mitad de la base es igual a MN, la línea media del trapecio, entonces

2) Aplicación de la fórmula general del cuadrado del cuadrángulo..
El cuadrado del cuadrángulo es igual a la mitad del producto de diagonales multiplicado por el seno de la esquina entre ellos.
Para probar, es suficiente romper el trapecio en 4 triángulos, exprese el área de cada uno a través de "la mitad del trabajo de diagonales en la esquina de la esquina entre ellos" (se necesita como un ángulo, dobló las expresiones resultantes, tome las expresiones resultantes. Fuera del soporte y colóquelo este soporte en los multiplicados agrupando para obtener su igualdad. Por lo tanto

3) Método de cambio diagonal
Este es mi nombre. En los libros de texto de la escuela, el tutor en Matemáticas no cumplirá con ese encabezado. Descripción de la recepción se puede encontrar solo en libros de texto adicionales como un ejemplo de resolución de cualquier tarea. Notaré que la mayoría de los hechos interesantes y útiles de los tutores de planimetría en matemáticas abren a los estudiantes en el proceso de realizar trabajos prácticos. Es extremadamente no óptimo, porque el colegial debe asignarse a los teoremas individuales y llamar "nombres en voz alta". Uno de estos es el "cambio diagonal". ¿De qué se trata? Llevamos a cabo a través del vértice B directo paralelo a la CA a la intersección con la base inferior en el punto E. En este caso, el cuadrángulo EBCA será un paralelogramo (por definición) y, por lo tanto, BC \u003d EA y EB \u003d AC. Ahora somos importantes la primera igualdad. Tenemos:

Tenga en cuenta que el lecho del triángulo, cuyo área es igual al área del trapecio, tiene algunas propiedades más maravillosas:
1) Su área es igual a la plaza del trapecio.
2) Su igualdad se produce simultáneamente con el equilibrio del trapecio.
3) El ángulo superior en la parte superior de B es igual a la esquina entre las diagonales trapezoides (que se usa con mucha frecuencia en las tareas)
4) Su mediana BK es igual a la distancia QS entre la mitad de la base del trapecio. Con esta propiedad, recientemente me enfrenté a la preparación del estudiante en MEHMAT MSU en el libro de texto del libro de texto, la opción de 1973 (la tarea se administra en la parte inferior de la página).

Tutor de velocidad en matemáticas.

A veces sugiero las tareas de una manera muy astuta, soy un área trapezoidal. Lo relaciono con los servicios especiales para en la práctica, el tutor usa extremadamente raramente. Si necesita prepararse para el examen en matemáticas solo en la Parte B, no puede leer sobre ellos. Por el resto lo digo más. Resulta que el lugar del trapecio es el doble de áreas de triángulo con vértices en los extremos de un lado y medio del otro, es decir, el triángulo ABS en la imagen:
PRUEBA: Llevamos a cabo las alturas de SM y SN en BCS y ADS Triangles y expresamos la cantidad de las áreas de estos triángulos:

Dado que el punto S es el medio del CD, entonces (probarlo por sí mismos). Nos gusta elumba de la plaza de los triángulos:

Dado que esta cantidad resultó ser igual a la mitad del cuadrado del trapecio, luego la segunda mitad de ella. CH.T.D.

En la Hucha del Tutor Especial, tomaría la forma de calcular el área de un trapecio igualitario en sus partes: donde P es un trapecio de medio período. La prueba no lo daré. De lo contrario, su tutor en Matemáticas permanecerá sin trabajo :). ¡Ven a las clases!

Tareas en la plaza del trapezoide:

Tutor de matemáticas: La lista a continuación no es un acompañamiento metodológico al tema, es solo una pequeña selección de tareas interesantes para las técnicas mencionadas anteriormente.

1) La base inferior de un trapecio inaccesible es de 13, y la parte superior es 5. Encuentre el área del trapecio si su diagonal es perpendicular al lado.
2) Encuentre el área del trapecio si sus bases son iguales a 2 cm y 5 cm, y los lados 2 cm y 3 cm.
3) En un equilibrio del trapecio, la base más grande es 11, el lado lateral es 5, y la diagonal es igual para encontrar el área del trapecio.
4) La diagonal de la trapecio igual es igual a 5, y la línea media es 4. Encontrar área.
5) En un trapecio de equilibrio, la base es igual a 12 y 20, y las diagonales son mutuamente perpendiculares. Calcular el cuadrado del trapecio
6) La diagonal de igualmente trapezo es con su ángulo de base inferior. Encuentre el área del trapecio si su altura es igual a 6 cm.
7) El área del trapecio es igual a 20, y uno de sus lados laterales es de 4 cm. Encuentra la distancia a él desde el centro del lado opuesto.
8) La diagonal de igualmente trapezo lo divide en triángulos con áreas 6 y 14. Encuentre la altura, si el lado lateral es 4.
9) En el trapecio, la diagonal es igual a 3 y 5, y el segmento que conecta la mitad de la base es 2. Encuentre el cuadrado del trapecio (MEHMAT MSU, 1970).

No elegí las tareas más difíciles (¡no debes tener miedo de Mehmat!) Con la posibilidad de su decisión independiente. ¡Decide sobre la salud! Si necesita prepararse para el examen en matemáticas, sin participar en este proceso, la fórmula del área del trapecio puede surgir problemas graves incluso con la tarea de B6 y especialmente con C4. No ejecute el tema y en caso de ninguna dificultad, póngase en contacto. El tutor en matemáticas siempre está contento de ayudarlo.

Kolpakov a.n.
Tutor en Matemáticas en Moscú, preparación para el examen en Strogino..

La práctica del EGE y GIA del año pasado muestra que las tareas de la geometría causan dificultades en muchos escolares. Puede manejarlos fácilmente si memoriza todas las fórmulas y prácticas necesarias para resolver problemas.

En este artículo, verá fórmulas para encontrar un área trapezoidal, así como ejemplos de tareas con soluciones. Lo mismo puede ser atrapado en los exámenes de certificación Kima a los Juegos Olímpicos. Por lo tanto, los cuidamos con cuidado.

¿Qué necesitas saber sobre un trapecio?

Para empezar, recuerda que trapecio Se llama un cuadrángulo, que tiene dos lados opuestos, también se llaman los terrenos, paralelos y los otros dos no.

En el trapecio, también se puede bajar la altura (perpendicular a la base). Se ha realizado una línea media, esta es una línea recta, que es paralela a los terrenos y es igual a la mitad de su suma. Y también diagonalmente, que puede intersectarse, formando ángulos afilados y estúpidos. O, en algunos casos, en ángulos rectos. Además, si el trapecio es libre, se puede insertar en él. Y describe el círculo cerca de él.

Fórmulas cuadradas trapezia

Para empezar, consideramos fórmulas estándar para la ubicación del trapecio. Maneras de calcular el área de un trapecio de equilibrio y curvilíneo, considere a continuación.

Entonces, imagine que tiene un trapecio con las bases A y B, en las que la altura H se reduce a una base mayor. Calcular la figura de la figura en este caso es simple simple. Solo es necesario dividir una cantidad de longitudes de base y multiplica lo que sucede, altura: S \u003d 1/2 (A + B) * H.

Tome otro caso: supongamos, en el trapecio, además de la altura, se llevó a cabo la línea media M. Sabemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: M \u003d 1/2 (A + B). Por lo tanto, con derecho completo podemos simplificar la fórmula del área de trapecio a las siguientes especies: S \u003d m * h. En otras palabras, para encontrar el área del trapecio, debe multiplicar la línea promedio a la altura.

Considere otra opción: en el trapecio, D 1 y D 2 fueron diagonales, que se intersecan no en el ángulo recto α. Para calcular el área de dicho trapecio, debe dividirse en dos obras de diagonales y multiplica lo que sucede con el ángulo del pecado entre ellos: S \u003d 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Ahora considere la fórmula para encontrar el cuadrado del trapecio, si no se sabe nada al respecto, excepto por las longitudes de todos sus lados: A, B, C y D. Esta es una fórmula voluminosa y compleja, pero será útil para usted recordar en caso de que. S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((B - A) 2 + C 2 - D 2)) 2.

Por cierto, los ejemplos anteriores son correctos y para el caso cuando necesita una fórmula de área rectangular. Este trapecio, el lado del cual se coloca las bases en ángulos rectos.

Trapezium igual

El trapecio, los lados de los cuales son iguales, se llama un aislado. Consideraremos varias opciones para la fórmula de un trapecio indiscriminado.

La primera opción: para el caso cuando un círculo con un radio R, y el lado lateral y la base más grande que forma el ángulo agudo α está dentro del interior de un trapecio igualmente. El círculo se puede inscribir en un trapecio, siempre que la suma de sus bases sea igual a la suma de las longitudes del lado.

Un área de trapecio de equilibrio se calcula de la siguiente manera: Multiplique el cuadrado del radio del círculo inscrito a cuatro y divida todo esto en Sinα: S \u003d 4r 2 / sinα. Otra área de la zona es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es igual a 30 0: S \u003d 8r 2.

La segunda opción: esta vez, tome una trampa igualmente factible, en la que se llevaron a cabo las diagonales D 1 y D 2, así como la altura H. Si las diagonales de trapecio son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la cantidad de la base: H \u003d 1/2 (A + B). Saberlo, es fácil convertir el cuadrado de fórmulas ya familiares para usted en este tipo: S \u003d h 2.

Fórmula del área del trapecio curvilíneo.

Comencemos con lo que entenderemos: ¿Qué es un trapecio curvilíneo? Imagine el eje de coordenadas y una gráfica de una función continua y no negativa F que no cambia el letrero dentro de un segmento dado en el eje x. El trapezo curvilíneo forma un gráfico de la función y \u003d f (x): en la parte superior, el eje X, en la parte inferior (segmento), y en los lados, directamente, realizado entre los puntos A y B y el gráfico de funciones.

Calcular el área de dicha figura no estándar no se puede mostrar arriba. Aquí debe aplicar el análisis matemático y utilizar la integral. A saber: Newton Labitsa Fórmula - S \u003d ∫ b a f (x) dx \u003d f (x) │ b a \u003d f (b) - f (a). En esta fórmula F es la función principal en el segmento seleccionado. Y el área del trapecio curvilíneo corresponde al incremento de un primitivo en un segmento dado.

Ejemplos de tareas

Para hacer que todas estas fórmulas se estén fácilmente en la cabeza, tiene algunos ejemplos de tareas para encontrar el lugar del trapezoide. Será mejor si primero intenta resolver las tareas, y solo luego tome la respuesta resultante con la solución terminada.

Número de tarea 1: Dana trapezium. Su base más grande es de 11 cm, menos de 4 cm. En el trapecio, se llevaron a cabo diagonales, un 12 cm de largo, el segundo - 9 cm.

Solución: Construye el trapecio AMRS. Pase directamente RH a través del número de vértice para que resulte paralelo a la EM Diagonal y cruzó los altavoces directos en el punto X. Resulta un triángulo arh.

Miraremos las dos cifras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo del arh y el paralelogramo del crym.

Gracias al paralelogramo, aprendemos que PX \u003d MS \u003d 12 CM y C \u003d MP \u003d 4cm. Desde donde podemos calcular el lado AH Triangle ARH: AH \u003d AC + C \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

También podemos demostrar que el triángulo ARH es rectangular (para que se aplique el teorema de Pythagora - AH 2 \u003d AR 2 + PC 2). Y calcule su área: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Además, deberá demostrar que los triángulos de la AMR y RCC son iguales. La base servirá la igualdad de las partes con el SR y CX (ya probado anteriormente). Y también las alturas que más abajo en estas partes son iguales a la altitud del trapezoide AMRS.

Todo esto le permitirá argumentar que S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Número de tarea 2: Dana trapecio krrs. En sus lados laterales hay puntos O y E, mientras que OE y COP son paralelos. También se sabe que el área de los trapezoides de ORM y el buey se ubica en una proporción de 1: 5. Pm \u003d a y kc \u003d b. Se requiere que encuentre OE.

Solución: Pase una línea recta, paralela a través del punto, y el punto de su intersección con OE Mark T. A - El punto de intersección de un directo, realizado a través del punto E Paralelo a la RK, con la base de la COP.

Introducimos otra designación - o \u003d x. Así como la altura H 1 para el triángulo de TME y la altura de H2 para el triángulo AES (puede probar independientemente la similitud de estos triángulos).

Asumimos que b\u003e a. El área de alcohol y trapezoides de buey es de 1: 5, lo que nos da el derecho de hacer tal ecuación: (x + a) * H 1 \u003d 1/5 (B + X) * H2. Convertimos y obtenemos: H 1 / H 2 \u003d 1/5 * ((B + X) / (x + a)).

Una vez que los triángulos de TME y AES son similares, tenemos H 1 / H 2 \u003d (X - A) / (B - X). Combinamos ambos registros y obtenezcamos: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((B + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d ( B + X) (B - X) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (B 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d B 2 + 5A 2 ↔ x \u003d √ (5A 2 + B 2) / 6.

Por lo tanto, OH \u003d X \u003d √ (5A 2 + B 2) / 6.

Conclusión

La geometría no es la más fácil de la ciencia, sino que probablemente lidiará con las tareas de examen. Es suficiente para mostrar algo de perfección al prepararse. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.

Intentamos recolectar en un solo lugar todas las fórmulas para calcular el área del trapecio para que pueda usarlas cuando se prepare para los exámenes y repita el material.

Asegúrese de informar sobre este artículo a compañeros de clase y amigos en las redes sociales. ¡Que las buenas estimaciones del examen y GIA serán más!

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Hay varios tipos de cuadrangulares en matemáticas: cuadrado, rectángulo, rombo, paralelogramo. Entre ellos y el trapecio es la forma de un cuadrilátero convexo, que tiene dos lados paralelos, y hay otros dos. Las partes opuestas paralelas se llaman bases, y otras dos, los lados del trapecio. El segmento que conecta los lados del medio se llama la línea central. Hay varios tipos de trapecios: un curvilíneo inaulado, rectangular. Para cada tipo de trapecio hay fórmulas para encontrar el área.

Trapecio cuadrado

Para encontrar el cuadrado del trapecio, debe conocer la longitud de sus fundaciones y la altura. La altura del trapecio es un segmento, perpendicular a los terrenos. Deje que la base superior sea A, la base inferior - B y la altura - h. Luego es posible calcular el SEM en la fórmula:

S \u003d ½ * (A + B) * H

esos. Tomar la mitad de los terrenos multiplicados por la altura.

También será posible calcular la escena del trapezoide, si se conoce la altura y el valor de la línea media. Denota la línea media - m. Luego

Es más complicado por la tarea: se conoce la longitud de los cuatro lados del trapecio: A, B, C, D. Luego, el área será recuperada por la fórmula:

Si se conocen las longitudes de las diagonales y el ángulo entre ellos, entonces el área se busca de la siguiente manera:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

donde D con los índices 1 y 2 son diagonales. En esta fórmula, el ángulo del seno se da en el cálculo.

Con las longitudes conocidas de las bases A y B y dos ángulos en la base inferior, el área se calcula como:

S \u003d ½ * (B2 - A2) * (Sin α * Sin β / Sin (α + β))

Cuadrado de un trapezo igual

Un trapecio igualmente es un estuche trapezoidal privado. Su diferencia es que tal trapecio es un cuadrilátero convexo con un eje de simetría que pasa a través de la mitad de los dos lados opuestos. Sus lados laterales son iguales.

Es posible encontrar un área de trapecio igualmente libre de varias maneras.

• A través de la longitud de los tres lados. En este caso, la longitud del lado de los lados coincidirá, por lo tanto, se indica mediante un valor: C, A y B - las longitudes de los terrenos:

• Si se conoce la longitud de la base superior, el lado y el valor del ángulo en la base inferior, entonces el área se calcula de la siguiente manera:

S \u003d c * sin α * (A + C * cos α)

donde A es la base superior, C es el lado.

• Si, en lugar de la base superior, se conoce la longitud de la Baja B inferior, el área se calcula por la fórmula:

S \u003d c * sin α * (b - c * cos α)

• Si cuando se conocen dos bases y ángulo en la base inferior, el área se calcula a través de la tangente del ángulo:

S \u003d ½ * (B2 - A2) * TG α

• Además, el área se calcula a través de la diagonal y el ángulo entre ellos. En este caso, la diagonal de longitud es igual, por lo que cada uno indica la letra D sin índices:

S \u003d ½ * d2 * sin α

• Calcule el área del trapecio, conociendo la longitud del lado, la línea media y la magnitud del ángulo en la base inferior.

Deje que el lado lateral - C, la línea media - M, el ángulo - A, luego:

S \u003d m * c * pecado α

A veces, en un trapecio equilátero, puede ingresar a un círculo cuyo radio será R.

Se sabe que, en cualquier trapecio, puede ingresar un círculo si la suma de las longitudes de la base es igual a la suma de las longitudes de su lado. Luego, el área se encuentra a través del radio del círculo inscrito y el ángulo en la base inferior:

S \u003d 4R2 / Sin α

El mismo cálculo se lleva a cabo a través del diámetro de D Círculo inscrito (por cierto, coincide con la altura del trapecio):

Conocer las bases y el ángulo, el área de un trapecio de equilibrio se calcula como:

S \u003d a * b / sin α

(Esto y las fórmulas subsiguientes son correctas solo para trapecio con el círculo inscrito).

A través de las bases y el radio del área del círculo es la siguiente:

Si solo se conocen motivos, el área es considerada por la fórmula:

A través de las bases y la línea lateral, el área del trapecio con el círculo incluido y a través de las bases y la línea media - M se calcula de la siguiente manera:

Cuadrado de un trapecio rectangular

Un rectangular se llama trapezoide, en el que uno de los lados laterales perpendicular a los terrenos. En este caso, el lado lateral coincide con la altura del trapecio.

Un trapecio rectangular es un cuadrado y un triángulo. Habiendo encontrado el área de cada una de las figuras, doble los resultados obtenidos y obtenga el área total de la forma.

Además, las fórmulas comunes para calcular el área de trapecio también son adecuadas para calcular el trapecio rectangular.

• Si se conocen las longitudes de las bases y la altura (o el lado perpendicular), entonces el área se calcula por la fórmula:

S \u003d (A + B) * H / 2

Como H (altura), el lado lateral con. Entonces la fórmula se ve así:

S \u003d (A + B) * C / 2

• Otra forma de calcular el área es multiplicar la longitud de la línea media a la altura:

o en la longitud del lado perpendicular lateral:

• El siguiente método de cálculo, después de la mitad del trabajo de diagonales y esquina sinusal entre ellos:

S \u003d ½ * d1 * d2 * sin α

Si la diagonal es perpendicular, entonces la fórmula se simplifica a:

S \u003d ½ * d1 * d2

• Otro método de cálculo es a través de una media versionadora (la suma de la longitud de los dos lados opuestos) y el radio del círculo inscrito.

Esta fórmula es válida para los terrenos. Si tomamos las longitudes de los lados, entonces uno de ellos será igual a un radio doble. La fórmula se verá así:

S \u003d (2R + C) * r

• Si un círculo está inscrito en un trapecio, entonces el área se calcula de la misma manera:

donde m es la longitud de la línea media.

Cuadrado de trapecio curvilíneo

El trapecio curvilíneo es una figura plana, limitada por un gráfico de una función continua no negativa y \u003d f (x), determinada en el segmento, el eje abscisa y la línea recta x \u003d a, x \u003d b. En esencia, sus dos lados son paralelos entre sí (bases), el tercer lado es perpendicular a los terrenos, y el cuarto es una curva correspondiente a la función de la función.

El área del trapecio curvilíneo está buscando una fórmula integral de Newton-leibnic:

Así se calculan las áreas de varios tipos de trapeces. Pero, además de las propiedades de las partes, los trapezoides poseen las mismas propiedades de las esquinas. Como todos los cuadramentos existentes, la suma de los ángulos internos del trapecio es de 360 \u200b\u200bgrados. Y la suma de los ángulos adyacentes a la línea de banda es de 180 grados.