ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 確率論の問題対称コインを2回投げる
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確率論における問題の解決。 数学教師MBOUNivnyanskaya中等学校、Nechaeva Tamara Ivanovna
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レッスンの目的：確率論におけるさまざまなタイプの問題とそれらを解決するための方法を検討します。 レッスンの目的：確率論におけるさまざまなタイプの問題を認識し、学童の論理的思考を改善することを教えること。
3スライド
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タスク1.ランダムな実験では、対称的なコインを2回投げます。 同じ数の頭と尾を得る確率を見つけます。
4スライド
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タスク2.コインを4回投げます。 それが決して尾を引くことはない確率を見つけてください。
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問題3.ランダムな実験で、対称的なコインが2回投げられます。 頭が1回だけ現れる確率を見つけます。 解決策：特定のイベントの確率を見つけるには、実験のすべての可能な結果を検討し、それらから好ましい結果を選択する必要があります（好ましい結果は問題の要件を満たす結果です）。 私たちの場合、対称的なコインを2回投げると、頭が1回だけ落ちるという結果が得られます。 イベントの確率は、結果の総数に対する好ましい結果の数の比率として計算されます。 したがって、対称コインを2回投げたときに、頭が1回だけ落ちる確率は、次のようになります。P\ u003d 2/4 \ u003d 0.5 \ u003d 50％回答：上記の実験の結果、頭は一度だけ落ちる50％です。 実験回数1回目2回目ヘッド1ヘッドヘッド22テールテール03ヘッドテール14テールヘッド1
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タスク4.サイコロを1回投げました。 転がされたポイントの数が4より大きい確率はどれくらいですか。解決策：ランダムな実験-サイコロを振る。 エレメンタリーイベントは、ドロップエッジの数値です。 回答：1/3総顔数：1、2、3、4、5、6基本イベント：N = 6 N（A）= 2
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タスク5.バイアスロン選手はターゲットを5回撃ちます。 ワンショットでターゲットに当たる確率は0.8です。 バイアスロン選手が最初の3回ターゲットにヒットし、最後の2回を逃した確率を見つけます。 結果を100分の1に四捨五入します。 解決策：ヒットの確率= 0.8欠落の確率= 1-0.8 =0.2А=（ヒット、ヒット、ヒット、ミス、ミス）0.8∙0.2∙0.2 P（A）\ u003d0.512∙0.04 \u003d0.02048≈0.02回答： 0.02
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タスク6.ランダムな実験では、2つのサイコロが投げられます。 転がされたポイントの合計が6である確率を見つけます。答えを100分の1に四捨五入します。解決策：この実験の基本的な結果は、順序付けられた数値のペアです。 最初の数字は最初のサイコロに、2番目の数字は2番目のサイコロになります。 基本的な結果のセットは、テーブルで便利に表されます。 行は最初のダイのポイント数に対応し、列は2番目のダイに対応します。 合計でn = 36の基本イベントがあります。各セルにドロップアウトポイントの合計を書き込み、合計が6であるセルを塗りつぶします。このようなセルは5つあります。したがって、イベントA =（の合計ドロップアウトポイントは6）5つの基本的な結果によって支持されます。 したがって、m = 5です。したがって、P（A）= 5/36 = 0.14です。 回答：0.14。 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
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確率式の定理コインをn回投げます。 次に、ヘッドが正確にk回落ちる確率は、次の式で求めることができます。ここで、Cnkは、次の式で計算されるkによるn個の要素の組み合わせの数です。
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問題7.コインが4回投げられます。 頭が正確に3回現れる確率を見つけます。 解決策問題の状況に応じて、合計でn = 4回のスローがありました。 必要なワシの数：k = 3。 nとkを式に代入します。同じ成功で、テールの数を数えることができます：k = 4 − 3 = 1。答えは同じになります。 回答：0.25
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問題8.コインが3回投げられます。 それが決して尾を引くことはない確率を見つけてください。 解決策nとkの数をもう一度書き留めます。 コインは3回投げられるので、n = 3です。また、尻尾があってはならないので、k = 0です。式に数字nとkを代入する必要があります。0であることを思い出させてください。 = 1定義上。 したがって、C30 = 1です。回答：0.125
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問題9.ランダムな実験で、対称的なコインが4回投げられます。 頭が尾よりも多く現れる確率を見つけます。 解決策：尻尾よりも頭の数が多いためには、3回（尻尾が1つになる）または4回（尻尾がまったくなくなる）のいずれかで落ちる必要があります。 これらの各イベントの確率を見つけましょう。 p1を3回頭を得る確率とします。 次に、n = 4、k = 3です。次のようになります。p2を見つけましょう-頭が4回すべて落ちる確率。 この場合、n = 4、k = 4です。答えを得るには、確率p1とp2を追加する必要があります。 注意：相互に排他的なイベントの確率のみを追加できます。 p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125回答：0.3125
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タスク10.バレーボールの試合が始まる前に、チームのキャプテンはかなりのロットを引いて、どのチームがボールでゲームを開始するかを決定します。 ステーターチームは、ローター、モーター、スターターの各チームと交代でプレーします。 Statorが最初と最後のゲームのみを開始する確率を見つけます。 解決。 「Stator」は、最初のゲームを開始し、2番目のゲームを開始せず、3番目のゲームを開始するという3つのイベントの積の確率を見つける必要があります。 独立したイベントを生成する確率は、これらのイベントの確率の積に等しくなります。 それぞれの確率は0.5に等しく、0.5 0.5 0.5 = 0.125であることがわかります。 回答：0.125。
確率論では、問題のグループがあり、その解決策には、確率の古典的な定義を知り、提案された状況を視覚化するだけで十分です。 これらの問題は、ほとんどのコイントスの問題とサイコロのトスの問題です。 確率の古典的な定義を思い出してください。
イベントAの確率 （数値で発生するイベントの客観的な可能性）は、このイベントに有利な結果の数と、等しく可能性のある互換性のない基本的な結果の総数の比率に等しくなります。 P（A）= m / n、 どこ：
- mは、イベントAの発生に有利な基本テスト結果の数です。
- nは、考えられるすべての基本テスト結果の総数です。
すべての可能なオプション（組み合わせ）の列挙と直接計算によって、テストの可能な基本的な結果の数と検討中の問題の好ましい結果の数を決定するのが便利です。
表から、可能な基本結果の数はn = 4であることがわかります。 イベントA =（イーグルが1回落ちる）の好ましい結果は、実験のオプションNo.2とNo.3に対応し、そのようなオプションは2つありますm = 2。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 2/4 = 0.5
タスク2 。 ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 頭が決して上がらない確率を見つけてください。
解決
。 コインは2回投げられるので、問題1と同様に、可能な基本結果の数はn = 4です。 イベントA =（ワシは一度も落ちません）の好ましい結果は、実験のバリアントNo. 4に対応します（タスク1の表を参照）。 そのようなオプションは1つしかないため、m = 1です。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 1/4 = 0.25
タスク3 。 ランダムな実験では、対称的なコインが3回投げられます。 それが正確に2回頭に浮かぶ確率を見つけます。
解決 。 3つのコイントス（頭と尾のすべての可能な組み合わせ）の可能なオプションは、表の形式で提示されます。
表から、可能な基本結果の数はn = 8であることがわかります。 イベントA =（ヘッド2回）の好ましい結果は、実験のオプションNo. 5、6、および7に対応します。 そのようなオプションは3つあるので、m = 3です。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 3/8 = 0.375
タスク4 。 ランダムな実験では、対称的なコインが4回投げられます。 それが正確に3回頭に浮かぶ確率を見つけます。
解決 。 4つのコイントスの可能なバリエーション（頭と尾のすべての可能な組み合わせ）は、表の形式で提示されます。
| オプション番号 | 1投目 | 2巻目 | 3巻目 | 4巻目 | オプション番号 | 1投目 | 2巻目 | 3巻目 | 4巻目 |
| 1 | 鷲 | 鷲 | 鷲 | 鷲 | 9 | Tails | 鷲 | Tails | 鷲 |
| 2 | 鷲 | Tails | Tails | Tails | 10 | 鷲 | Tails | 鷲 | Tails |
| 3 | Tails | 鷲 | Tails | Tails | 11 | 鷲 | Tails | Tails | 鷲 |
| 4 | Tails | Tails | 鷲 | Tails | 12 | 鷲 | 鷲 | 鷲 | Tails |
| 5 | Tails | Tails | Tails | 鷲 | 13 | Tails | 鷲 | 鷲 | 鷲 |
| 6 | 鷲 | 鷲 | Tails | Tails | 14 | 鷲 | Tails | 鷲 | 鷲 |
| 7 | Tails | 鷲 | 鷲 | Tails | 15 | 鷲 | 鷲 | Tails | 鷲 |
| 8 | Tails | Tails | 鷲 | 鷲 | 16 | Tails | Tails | Tails | Tails |
表から、可能な基本結果の数はn = 16であることがわかります。 イベントA =（イーグルが3回落ちる）の好ましい結果は、実験のオプションNo. 12、13、14、および15に対応します。これは、m = 4を意味します。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 4/16 = 0.25
 |
サイコロの問題における確率の決定
タスク5 。 サイコロ（正しいサイコロ）が投げられたときに3ポイント以上が落ちる確率を決定します。
解決
。 サイコロ（通常のサイコロ）を投げるとき、その6つの面のいずれかが落ちる可能性があります。 いずれかの基本イベントが発生する-1から6ポイント（ポイント）の損失。 したがって、可能な基本結果の数はn = 6です。
イベントA =（3ポイント以上が落ちた）は、4、5、または6ポイント（ポイント）が落ちたことを意味します。 したがって、好ましい結果の数はm = 3です。
イベントの確率Р（А）= m / n = 3/6 = 0.5
タスク6 。 サイコロが投げられたときに、ポイントの数が4を超えない確率を決定します。結果を1000分の1に四捨五入します。
解決
。 サイコロを投げるとき、その6つの面のいずれかが落ちる可能性があります。 いずれかの基本イベントが発生する-1から6ポイント（ポイント）の損失。 したがって、可能な基本結果の数はn = 6です。
イベントA =（4ポイント以下が脱落した）は、4、3、2、または1ポイント（ポイント）が脱落したことを意味します。 したがって、好ましい結果の数はm = 4です。
イベントの確率Р（А）= m / n = 4/6 = 0.6666…≈0.667
タスク7 。 サイコロが2回投げられます。 両方の数値が4未満である確率を見つけます。
解決 。 サイコロ（サイコロ）が2回投げられるので、次のように議論します。最初のサイコロで1つのポイントが落ちた場合、2番目のサイコロで1、2、3、4、5、6が落ちる可能性があります。 1）、（1; 2）、（1; 3）、（1; 4）、（1; 5）、（1; 6）など。 すべてのケースを6行6列の表の形式で示します。
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
イベントA =（4未満の数値が両方とも脱落した）（太字で強調表示されている）の好ましい結果が計算され、m = 9が得られます。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 9/36 = 0.25
タスク8 。 サイコロが2回投げられます。 描かれた2つの数字の最大値が5である確率を見つけます。答えを1000分の1に四捨五入します。
解決 。 サイコロを2回投げた場合に考えられるすべての結果は、次の表に示されています。
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
表から、可能な基本結果の数はn = 6 * 6 = 36であることがわかります。
イベントA =（描かれた2つの数字の最大値は5）（太字で強調表示されている）の好ましい結果が計算され、m = 8が得られます。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 8/36 = 0.2222…≈0.222
タスク9 。 サイコロが2回投げられます。 4未満の数字が少なくとも1回ロールされる確率を見つけます。
解決 。 サイコロを2回投げた場合に考えられるすべての結果は、次の表に示されています。
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
表から、可能な基本結果の数はn = 6 * 6 = 36であることがわかります。
「少なくとも1回は4未満の数字が落ちた」という表現は、「4未満の数字が1回または2回落ちた」ことを意味し、イベントAの好ましい結果の数=（少なくとも1回は4未満の数字が落ちた） ）（太字で示されています）m = 27。
イベントの確率を見つけるР（А）= m / n = 27/36 = 0.75
タスクの定式化：ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 頭（尻尾）が一度も脱落しない確率を求めます（正確に/少なくとも1、2回脱落します）。
タスクは、10番（確率の古典的な定義）でグレード11の基本レベルの数学のUSEに含まれています。
そのような問題がどのように解決されるかを例で見てみましょう。
タスク1の例：
ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 頭が決して上がらない確率を見つけてください。
OOまたはRORR
そのような組み合わせは全部で4つありますが、ワシが1つもない組み合わせにのみ興味があります。 そのような組み合わせ（PP）は1つだけです。
P = 1/4 = 0.25
回答：0.25
タスク2の例：
ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 それが正確に2回頭に浮かぶ確率を見つけます。
コインを2回投げた場合に落ちる可能性のあるすべての組み合わせを検討してください。 便宜上、ワシは文字Oで、尾は文字Pで示します。
OOまたはRORR
そのような組み合わせは全部で4つありますが、頭が正確に2回現れる組み合わせにのみ関心があります。 そのような組み合わせ（OO）は1つだけです。
P = 1/4 = 0.25
回答：0.25
タスク3の例：
ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 それがちょうど一度頭に浮かぶ確率を見つけてください。
コインを2回投げた場合に落ちる可能性のあるすべての組み合わせを検討してください。 便宜上、ワシは文字Oで、尾は文字Pで示します。
OOまたはRORR
全部で4つの組み合わせがありますが、1回だけ頭が落ちた組み合わせにのみ興味があります。 そのような組み合わせは2つだけです（OPとRO）。
回答：0.5
タスク4の例：
ランダムな実験では、対称的なコインが2回投げられます。 頭が少なくとも1回現れる確率を見つけます。
コインを2回投げた場合に落ちる可能性のあるすべての組み合わせを検討してください。 便宜上、ワシは文字Oで、尾は文字Pで示します。
OOまたはRORR
そのような組み合わせは全部で4つありますが、少なくとも1回は頭が落ちる組み合わせにのみ関心があります。 そのような組み合わせは3つだけです（OO、OR、RO）。
P = 3/4 = 0.75
統一国家試験で4番に提示されている確率論の課題には、それに加えて、コインを投げたり、サイコロを投げたりする課題があります。 今日はそれらを分析します。
コイントスの問題
タスク1。左右対称のコインを2回投げます。 それがちょうど一度だけ尾を引く確率を見つけてください。
このような問題では、P（テール）とO（ヘッド）の文字を使用して、考えられるすべての結果を書き留めておくと便利です。 したがって、ORの結果は、最初のスローがヘッドになり、2番目のスローがテールになったことを意味します。 検討中の問題では、PP、RO、OR、OOの4つの結果が考えられます。 イベント「テールが1回だけ現れる」を支持する2つの結果：ROとOR。 必要な確率はです。
回答：0.5。
タスク2。対称コインを3回投げます。頭がちょうど2回上がる確率を見つけます。
合計で、PRR、RRO、ROR、ROO、ORR、ORO、OOR、OOOの8つの結果が可能です。 イベントを支持する「正確に2回進む」3つの結果：ROO、ORO、OOR。 必要な確率はです。
回答：0.375。
タスク3。サッカーの試合が始まる前に、審判はコインを投げて、どのチームがボールを始めるかを決定します。 エメラルドチームは、異なるチームと3試合を行います。 これらのゲームで「エメラルド」が1回だけたくさん勝つ確率を見つけてください。
このタスクは前のタスクと似ています。 テールの喪失が「エメラルド」によるロットの勝ちを意味するたびにしましょう（そのような仮定は確率の計算に影響を与えません）。 次に、8つの結果が可能です：PRR、RRO、ROR、ROO、ORR、ORO、OOR、LLC。 イベント「テールが1回だけ現れる」を支持する3つの結果があります：POO、ORO、OOP。 必要な確率はです。
回答：0.375。
タスク4。 左右対称のコインを3回投げます。 ROOの結果が来る確率を見つけます（最初にテールが出たとき、2番目と3番目-ヘッド）。
前のタスクと同様に、ここには8つの結果があります：PPP、PPO、POP、POO、OPP、ORO、OOP、OOO。 ROOの結果の確率はに等しい。
回答：0.125。
サイコロの目問題
タスク5。サイコロは2回投げられます。 「ポイントの合計は8」というイベントを支持する基本的な経験の結果はいくつありますか？
タスク6。 2つのサイコロが同時に投げられます。 合計が4になる確率を求めます。 結果を100分の1に四捨五入します。
一般に、サイコロ（サイコロ）が投げられた場合、同様に可能な結果があります。 同じサイコロを1回続けて投げると、同じ数の結果が得られます。
次の結果は、イベント「合計4」を支持します。1-3、2-2、3-1。それらの数は3です。望ましい確率はです。
分数の概算値を計算するには、コーナーによる除算を使用すると便利です。 したがって、0.083 ...にほぼ等しく、100分の1に丸めると、0.08になります。
回答：0.08
タスク7。 3つのサイコロが同時に投げられます。 合計5ポイントを獲得する確率を求めます。 結果を100分の1に四捨五入します。
結果を3つの数字、つまり1番目、2番目、3番目のサイコロに落ちたポイントと見なします。 合計すると、同じように考えられる結果があります。 次の結果は、「合計5」イベントを支持します：1-1-3、1-3-1、3-1-1、1-2-2、2-1-2、2-2-1。 それらの数は6です。望ましい確率はです。 分数の概算値を計算するには、コーナーによる除算を使用すると便利です。 およそ0.027 ...を取得し、100分の1に丸めると、0.03になります。 出典「試験の準備。 数学。 確率論」。 F.F.編集 ルイセンコ、S.Yu。 Kulabukhov
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