Tikimybių pridėjimo formulės. Tipinės klaidos sprendžiant tikimybių teorijos uždavinius

Įvykio tikimybė Ir jie vadina palankių įvykio A pradžiai testo rezultatų m skaičiaus santykį su visu vienodai galimų nenuoseklių rezultatų skaičiumi n: P (A) = m / n.

Sąlyginė įvykio tikimybė A (arba įvykio A tikimybė, jei įvyko įvykis B) yra skaičius Р В (А) = Р (AB) / Р (B), kur A ir B yra du atsitiktiniai to paties testo įvykiai.

Baigtinio įvykių skaičiaus suma vadinamas įvykiu, susidedančiu iš bent vieno iš jų pradžios. Dviejų įvykių suma žymima A + B.

Tikimybių sudėjimo taisyklės :

• bendri renginiai A ir B:
  P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB), kur P (A) yra įvykio A tikimybė, P (B) yra įvykio B tikimybė, P (A + B) ) – bent vieno iš dviejų įvykių įvykimo tikimybė, P (AB) – dviejų įvykių bendro įvykimo tikimybė.
• papildymo taisyklė nenuoseklūs įvykiai A ir B:
  P (A + B) = P (A) + P (B), kur P (A) yra įvykio A tikimybė, P (B) yra įvykio B tikimybė.

Pagal baigtinio įvykių skaičiaus sandaugą vadinamas įvykiu, susidedančiu iš to, kad kiekvienas iš jų įvyks. Dviejų įvykių produktas pažymėtas AB.

Tikimybių dauginimo taisyklės :

• priklausomi įvykiai A ir B:
  P (AB) = P (A) * PA (B) = P (B) * PB (A), čia PA (B) yra sąlyginė įvykio B tikimybė, jei įvykis A jau įvyko, PB ( A ) - sąlyginė įvykio A atsiradimo tikimybė, jei įvykis B jau įvyko;
• tikimybių daugybos taisyklė nepriklausomi renginiai A ir B:
  P (AB) = P (A) * P (B), kur P (A) yra įvykio A tikimybė, P (B) yra įvykio B tikimybė.

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Operacijos dėl įvykių. Tikimybių pridėjimo ir dauginimo taisyklės

1 problema ... Dėžutėje yra 250 lempučių, iš kurių 100 yra 90 W, 50 yra 60 W, 50 yra 25 W ir 50 yra 15 W. Nustatykite tikimybę, kad bet kurios atsitiktinai paimtos lemputės galia neviršys 60W.

Sprendimas.

A = (lemputės galia 90W), tikimybė P (A) = 100/250 = 0,4;
B = (lemputės galia 60W);
C = (lemputės galia 25W);
D = (lemputės galia 15W).

2. Renginiai A, B, C, D forma pilna sistema , nes jie visi yra nesuderinami ir vienas iš jų tikrai ateis į tam tikrą patirtį (pasirinkus lemputę). Tikimybė, kad vienas iš jų įvyks, yra patikimas įvykis, tada P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1.

3. Įvykiai (lemputės galia ne daugiau 60W) (ty mažesnė arba lygi 60W) ir (lemputės galia daugiau nei 60W) (šiuo atveju – 90W) yra priešingi. Pagal priešingų skaičių savybę P (B) + P (C) + P (D) = 1-P (A).

4. Atsižvelgiant į tai, kad P (B) + P (C) + P (D) = P (B + C + D), gauname P (B + C + D) = 1-P (A) = 1-0, 4 = 0,6.

2 užduotis ... Tikimybė, kad pirmasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį yra 0,7, o antrasis – 0,9. Raskite tikimybę, kad
a) į taikinį pataikys tik vienas šaulys;
b) į taikinį pataikys bent vienas šaulys.

Sprendimas.
1. Apsvarstykite šiuos įvykius:
A1 = (pirmas šaulys pataiko į taikinį), P (A1) = 0,7 iš uždavinio teiginio;
A1 = (pirmasis šaulys nepataikė), o P (A1) + P (A1) = 1, nes A1 ir A1 yra priešingi įvykiai. Vadinasi, P (A1) = 1-0,7 = 0,3;
A2 = (antrasis šaulys pataiko į taikinį), P (A2) = 0,9 iš uždavinio teiginio;
A2 = (antrasis šaulys nepataikė), o P (A2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Įvykis A = (į taikinį pataikė tik vienas šaulys) reiškia, kad įvyko vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: A1Ā2 arba A1A2.
Pagal tikimybių sudėjimo taisyklę P (A) = P (A1Ā2) + P (Ā1A2).

P (A1Ā2) = P (A1) * P (A2) = 0,7 * 0,1 = 0,07;
P (A1A2) = P (A1) * P (A2) = 0,3 * 0,9 = 0,27.
Tada P (A) = P (A1Ā2) + P (A1A2) = 0,07 + 0,27 = 0,34.

3. Įvykis B = (į taikinį pataiko bent vienas šaulys) reiškia, kad pirmasis šaulys pataikė į taikinį, arba antrasis šaulys, arba abu šauliai pataikė į taikinį.

Įvykis B ̄ = (į taikinį nepataiko joks šaulys) yra priešingas įvykiui B, o tai reiškia, kad P (B) = 1-P (B ̄).
Įvykis B̄ reiškia nepriklausomų įvykių Ā1 ir Ā2 atsiradimą vienu metu, todėl P (B̄) = P (Ā1Ā2) = P (Ā1) * P (Ā2) = 0,3 * 0,1 = 0,3.
Tada P (B) = 1-P (B̄) = 1-0,3 = 0,7.

3 problema ... Egzamino bilietas susideda iš trijų klausimų. Tikimybė, kad studentas atsakys į pirmąjį klausimą, yra 0,7; antroje - 0,9; trečioje - 0,6. Raskite tikimybę, kad studentas, pasirinkęs bilietą, atsakys:
a) visi klausimai;
d) bent du klausimai.

Sprendimas. 1. Apsvarstykite šiuos įvykius:
A1 = (mokinys atsakė į pirmąjį klausimą), P (A1) = 0,7 nuo uždavinio sąlygos;
A1 = (mokinys neatsakė į pirmąjį klausimą), o P (A1) + P (A1) = 1, nes A1 ir A1 yra priešingi įvykiai. Vadinasi, P (A1) = 1-0,7 = 0,3;
A2 = (mokinys atsakė į antrą klausimą), P (A2) = 0,9 nuo uždavinio sąlygos;
A2 = (mokinys neatsakė į antrąjį klausimą), o P (A2) = 1-0,9 = 0,1;
A3 = (mokinys atsakė į trečią klausimą), P (A3) = 0,6 iš uždavinio teiginio;
A3 = (mokinys neatsakė į trečią klausimą), o P (A3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Įvykis A = (mokinys atsakė į visus klausimus) reiškia savarankiškų įvykių A1, A2 ir A3 atsiradimą vienu metu, t.y. P (A) = P (A1A2A3) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę: P (A1A2A3) = P (A1) * P (A2) * P (A3) = 0,7 * 0,9 * 0,6 = 0,378 .. .
Tada P (A) = P (A1A2A3) = 0,378.

3. Įvykis D = (studentas atsakė bent į du klausimus) reiškia, kad buvo atsakyta į bet kuriuos du klausimus arba į visus tris, t.y. įvyko vienas iš keturių nenuoseklių įvykių: arba A1A2Ā3, arba A1Ā2A3, arba A1A2A3, arba A1A2A3.
Pagal nenuoseklių įvykių tikimybių sudėjimo taisyklę: P (D) = P (A1A2Ā3) + P (A1Ā2A3) + P (Ā1A2A3) + P (A1A2A3).

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių dauginimo taisyklę:
P (A1A2Ā3) = P (A1) * P (A2) * P (Ā3) = 0,7 * 0,9 * 0,4 = 0,252;
P (A1Ā2A3) = P (A1) * P (Ā2) * P (A3) = 0,7 * 0,1 * 0,6 = 0,042;
P (A ̄1A2A3) = P (A ̄1) * P (A2) * P (A3) = 0,3 * 0,9 * 0,6 = 0,162;
P (A1A2A3) = P (A1) * P (A2) * P (A3) = 0,7 * 0,9 * 0,6 = 0,378.
Tada P (D) = 0,252 + 0,042 + 0,162 + 0,378 = 0,834.

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

TIKIMYBIŲ SUDĖTIS IR PAdauginimas. KARTOTOJI NEPRIKLAUSOMI BANDYMAI

Paskaita Žemėtvarkos fakulteto studentams

neakivaizdiniai kursai

Gorkis, 2012 m

Tikimybių sudėjimas ir daugyba. Pasikartojo

nepriklausomi testai

Tikimybių pridėjimas

Dviejų bendrų renginių suma A ir V vadinamas įvykiu SU, kurį sudaro bent vieno iš įvykių pradžia A arba V... Panašiai kelių bendrų įvykių suma yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių.

Dviejų nesuderinamų įvykių suma A ir V vadinamas įvykiu SU susidedantis iš puolimo ar įvykio A, arba įvykius V... Panašiai kelių nesuderinamų įvykių suma yra įvykis, susidedantis iš bet kurio iš šių įvykių.

Nenuoseklių įvykių tikimybių sudėjimo teorema galioja: dviejų nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai , t.y. ... Ši teorema gali būti išplėsta iki bet kokio riboto skaičiaus nenuoseklių įvykių.

Ši teorema reiškia:

įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui;

priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui, t.y.
.

1 pavyzdys ... Dėžutėje yra 2 balti, 3 raudoni ir 5 mėlyni rutuliukai. Kamuoliukai sumaišomi ir atsitiktinai išimamas vienas. Kokia tikimybė, kad rutulys bus spalvotas?

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (pašalintas spalvotas rutulys);

B= (pašalintas baltas rutulys);

C= (raudonas rutulys pašalintas);

D= (mėlynas rutulys pašalintas).

Tada A= C+ D... Nuo įvykių C, D yra nenuoseklūs, tada naudosime nenuoseklių įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:.

2 pavyzdys ... Urnoje yra 4 balti rutuliukai ir 6 juodi. Atsitiktinai iš urnos išimami 3 rutuliai. Kokia tikimybė, kad jie visi yra vienodos spalvos?

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (išimami tos pačios spalvos kamuoliukai);

B= (išimami balti rutuliukai);

C= (išimami juodi rutuliai).

Nes A= B+ C ir įvykius V ir SU yra nenuoseklūs, tada pagal nenuoseklių įvykių tikimybių sudėjimo teoremą
... Įvykio tikimybė V yra lygus
, kur
4,

... Pakaitalas k ir nį formulę ir gaukite
Panašiai randame įvykio tikimybę SU:
, kur
,
, t.y.
... Tada
.

3 pavyzdys ... Iš 36 kortų kaladės atsitiktinai ištraukiamos 4 kortos. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra bent trys tūzai.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (tarp ištrauktų kortų mažiausiai trys tūzai);

B= (tarp ištrauktų kortų yra trys tūzai);

C= (tarp ištrauktų kortų yra keturi tūzai).

Nes A= B+ C ir įvykius V ir SU tada nenuoseklu
... Raskite įvykių tikimybę V ir SU:

,
... Todėl tikimybė, kad tarp ištrauktų kortų yra bent trys tūzai, yra lygi

0.0022.

Tikimybių daugyba

Pagal gaminį du įvykiai A ir V vadinamas įvykiu SU, susidedantis iš šių įvykių kartu:
... Šis apibrėžimas taikomas bet kokiam ribotam įvykių skaičiui.

Vadinami du renginiai nepriklausomas jeigu vieno iš jų įvykimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Vystymai ,, … ,yra vadinami kolektyviai nepriklausomi jei kiekvieno iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kiti įvykiai, ar ne.

4 pavyzdys ... Dvi strėlės šaudo į taikinį. Pažymime įvykius:

A= (pirmas šaulys pataiko į taikinį);

B= (antrasis šaulys pataiko į taikinį).

Akivaizdu, kad tikimybė, kad pirmasis šaulys pataikys į taikinį, nepriklauso nuo to, ar antrasis šaulys pataikė, ar nepataikė, ir atvirkščiai. Taigi įvykiai A ir V nepriklausomas.

Galioja nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema: dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai : .

Ši teorema galioja ir n nepriklausomi įvykiai bendrai:.

5 pavyzdys ... Du šauliai šaudo į vieną taikinį. Tikimybė pataikyti į pirmąjį šaulį yra 0,9, o į antrąjį – 0,7. Abu šauliai iššauna po vieną šūvį vienu metu. Nustatykite tikimybę, kad bus du smūgiai į taikinį.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A

B

C= (abi strėlės pataikė į taikinį).

Nes
ir įvykius A ir V tada nepriklausomas
, t.y.

Vystymai A ir V yra vadinami priklausomas , jei vieno iš jų įvykimo tikimybė priklauso nuo to, ar įvyko kitas įvykis, ar ne. Tikimybė, kad įvyks įvykis A su sąlyga, kad įvykis V jau atvyko, vadinasi sąlyginė tikimybė ir žymimas
arba
.

6 pavyzdys ... Urnoje yra 4 balti ir 7 juodi rutuliai. Iš urnos išimami rutuliai. Pažymime įvykius:

A= (pašalintas baltas rutulys);

B= (juodas rutulys pašalintas).

Prieš pradedant išimti kamuoliukus iš urnos
... Iš urnos buvo išimtas vienas kamuoliukas, kuris pasirodė juodas. Tada įvykio tikimybė A po renginio V jau bus kitoks, lygus ... Tai reiškia, kad įvykio tikimybė A priklauso nuo įvykio V, t.y. šie įvykiai priklausys.

Priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema galioja: dviejų priklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko, t.y. arba.

7 pavyzdys ... Urnoje yra 4 balti rutuliai ir 8 raudoni. Iš jo atsitiktine tvarka iš eilės paimami du rutuliai. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra juodi.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (juodasis rutulys ištraukiamas pirmas);

B= (juodas rutulys pašalinamas antras).

Vystymai A ir V priklausomas nuo
, a
... Tada
.

8 pavyzdys ... Trys šauliai šaudo į taikinį nepriklausomai vienas nuo kito. Tikimybė pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,5, antrajam - 0,6 ir trečiajam - 0,8. Raskite tikimybę, kad į taikinį bus du pataikymai, jei kiekvienas šaulys iššaus vieną šūvį.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (bus du smūgiai į taikinį);

B= (pirmas šaulys pataiko į taikinį);

C= (antrasis šaulys pataikys į taikinį);

D= (trečiasis šaulys pataikys į taikinį);

= (pirmasis šaulys nepataikys į taikinį);

= (antras šaulys nepataikys į taikinį);

= (trečiasis šaulys nepataikys į taikinį).

Pagal pavyzdžio sąlygą
,
,
,

,
,
... Kadangi tada, naudojant nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą, gauname:

Tegul įvykiai
sudaryti pilną tam tikro testo įvykių grupę ir įvykį A gali įvykti tik su vienu iš šių įvykių. Jeigu žinomos įvykio tikimybės ir sąlyginės tikimybės A, tada įvykio A tikimybė apskaičiuojama pagal formulę:

arba
... Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formulė ir įvykius
hipotezes .

9 pavyzdys ... Surinkimo linija gauna 700 dalių iš pirmosios mašinos ir 300 dalių nuo antrojo. Pirmoji mašina laužo duoda 0,5%, o antroji – 0,7%. Raskite tikimybę, kad paimta dalis bus sugedusi.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (paimta dalis bus su defektais);

= (detalė pagaminta ant pirmos mašinos);

= (detalė pagaminta antroje mašinoje).

Tikimybė, kad dalis pagaminta pirmoje mašinoje, yra
... Dėl antros mašinos
... Pagal sąlygą tikimybė gauti sugedusią detalę, pagamintą ant pirmos mašinos, yra lygi
... Antrajai mašinai ši tikimybė yra
... Tada tikimybė, kad paimta dalis bus sugedusi, apskaičiuojama naudojant bendrosios tikimybės formulę

Jei žinoma, kad atlikus testą įvyko koks nors įvykis A, tada tikimybė, kad šis įvykis įvyko su hipoteze
, yra lygus
, kur
- visa įvykio tikimybė A... Ši formulė vadinama Bayes formulė ir leidžia apskaičiuoti įvykių tikimybes
po to, kai paaiškėjo, kad įvykis A jau atvyko.

10 pavyzdys ... Tos pačios rūšies automobilių dalys gaminamos dviejose gamyklose ir patenka į parduotuvę. Pirmasis augalas pagamina 80% viso dalių skaičiaus, o antrasis - 20%. Pirmojo augalo gaminiuose standartinių dalių yra 90%, o antrojo – 95%. Pirkėjas nusipirko vieną dalį ir ji pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad ši dalis buvo pagaminta antroje gamykloje.

Sprendimas ... Pažymime įvykius:

A= (nupirkta standartinė dalis);

= (dalis pagaminta pirmajame gamykloje);

= (dalis pagaminta antroje gamykloje).

Pagal pavyzdžio sąlygą
,
,
ir
... Apskaičiuojame bendrą įvykio tikimybę A: 0,91. Tikimybė, kad dalis bus pagaminta antroje gamykloje, apskaičiuojama pagal Bayes formulę:

.

Savarankiško darbo užduotys

Tikimybė pataikyti į taikinį pirmajam šauliui yra 0,8, antrajam - 0,7 ir trečiajam - 0,9. Šauliai paleido po vieną šūvį. Raskite tikimybę, kad į taikinį bus pataikyta bent du kartus.

Remonto dirbtuvės gavo 15 traktorių. Žinoma, kad 6 iš jų reikia keisti variklį, o likusiems – atskirus agregatus. Atsitiktinai atrenkami trys traktoriai. Raskite tikimybę, kad variklį reikia keisti ne daugiau kaip dviem pasirinktiems traktoriams.

Gelžbetonio gamykloje gaminamos plokštės, kurių 80% yra aukščiausios kokybės. Raskite tikimybę, kad iš trijų atsitiktinai parinktų skydelių bent dvi bus aukščiausios klasės.

Trys darbininkai montuoja guolius. Tikimybė, kad pirmojo darbuotojo surinktas guolis yra aukščiausios kokybės, yra 0,7, antrojo – 0,8, trečiojo – 0,6. Kontrolei atsitiktine tvarka buvo paimtas vienas guolis iš kiekvieno darbuotojo surinktų. Raskite tikimybę, kad bent du iš jų bus aukščiausios kokybės.

Tikimybė laimėti pirmosios laidos loterijos bilietą yra 0,2, antrosios – 0,3, trečiosios – 0,25. Kiekvienam numeriui suteikiamas vienas bilietas. Raskite tikimybę laimėti bent du bilietus.

Buhalteris atlieka skaičiavimus naudodamas tris žinynus. Tikimybė, kad dominantys duomenys yra pirmoje žinyne, yra 0,6, antroje - 0,7, o trečioje - 0,8. Raskite tikimybę, kad buhalterį dominantys duomenys yra ne daugiau kaip dviejose žinynuose.

Trys automatų gamybos dalys. Pirmasis automatas gamina aukščiausios kokybės detalę su 0,9 tikimybe, antrasis - su 0,7, o trečias - su 0,6 tikimybe. Iš kiekvienos mašinos atsitiktinai paimamas vienas gabalas. Raskite tikimybę, kad tarp jų yra bent du aukščiausios kokybės.

To paties tipo dalys apdorojamos dviem staklėmis. Tikimybė pagaminti nestandartinę detalę pirmai mašinai yra 0,03, antrajai - 0,02. Apdorotos dalys sukraunamos vienoje vietoje. Tarp jų 67% iš pirmos mašinos, o likusieji iš antrojo. Atsitiktinai paimta dalis pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad jis buvo pagamintas pirmajame įrenginyje.

Dirbtuvės gavo dvi dėžes to paties tipo kondensatorių. Pirmoje dėžutėje buvo 20 kondensatorių, iš kurių 2 buvo sugedę. Antroje dėžutėje yra 10 kondensatorių, iš kurių 3 yra sugedę. Kondensatoriai buvo įdėti į vieną dėžę. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai iš dėžutės paimtas kondensatorius pasirodys veikiantis.

Trijose mašinose gaminamos to paties tipo detalės, kurios tiekiamos į bendrą konvejerį. Tarp visų dalių 20% iš pirmos mašinos, 30% iš antros ir 505 iš trečios. Tikimybė pagaminti standartinę detalę pirmoje mašinoje yra 0,8, antroje - 0,6 ir trečioje - 0,7. Paimta dalis pasirodė standartinė. Raskite tikimybę, kad ši dalis buvo pagaminta trečioje mašinoje.

Rinkėjas surinkimui gauna 40% detalių iš gamyklos A, o likusi dalis – iš gamyklos V... Tikimybė, kad dalis yra iš gamyklos A- aukščiausios kokybės, lygus 0,8, ir iš gamyklos V- 0,9. Rinkėjas atsitiktinai paėmė vieną gabalą ir jis nebuvo aukščiausios kokybės. Raskite tikimybę, kad ši dalis yra iš gamyklos V.

Dalyvauti mokinių sporto varžybose buvo skirta 10 mokinių iš pirmos grupės ir 8 iš antrosios. Tikimybė, kad studentas iš pirmos grupės pateks į akademijos rinktinę yra 0,8, o iš antrosios – 0,7. Atsitiktinai pasirinktas mokinys pateko į rinktinę. Raskite tikimybę, kad jis yra iš pirmosios grupės.

Bernulio formulė

Testai vadinami nepriklausomas jei kiekvienam iš jų įvykis A ateina su ta pačia tikimybe
, neatsižvelgiant į tai, ar šis įvykis pasirodė kituose bandymuose, ar ne. Priešingo įvykio tikimybė šiuo atveju yra lygus
.

11 pavyzdys ... Metamas kauliukas n kartą. Pažymime įvykį A= (nukrito trys taškai). Tikimybė, kad įvyks įvykis A kiekviename tyrime yra lygus ir nepriklauso nuo to, ar šis įvykis įvyko kituose bandymuose, ar ne. Todėl šie testai yra nepriklausomi. Priešingo įvykio tikimybė
(nemetant trijų taškų) yra lygus
.

Tikimybė, kad į n nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra įvykio tikimybė A yra lygus p, renginys ateis tiksliai k kartų (nesvarbu, kokia seka), apskaičiuojamas pagal formulę
, kur
... Ši formulė vadinama pagal Bernulio formulę ir patogu, jei bandymų skaičius n nėra per didelis.

12 pavyzdys ... Vaisių, užsikrėtusių latentine liga, dalis yra 25 proc. Atsitiktinai atrenkami 6 vaisiai. Raskite tikimybę, kad tarp atrinktųjų bus: a) lygiai 3 užsikrėtę vaisiai; b) ne daugiau kaip du užkrėsti vaisiai.

Sprendimas ... Pagal pavyzdžio sąlygą.

a) Pagal Bernulio formulę tikimybė, kad iš šešių atrinktų vaisių bus užkrėsti lygiai trys

0.132.

b) Pažymime įvykį A= (užkrėstų vaisių bus ne daugiau kaip du). Tada . Pagal Bernulio formulę:

0.297.

Vadinasi,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplaso ir Puasono teoremos

Bernulio formulė naudojama norint rasti tikimybę, kad įvykis A Ateis k vieną kartą n nepriklausomi testai ir kiekviename teste įvykio tikimybė A pastovus. Esant didelėms n reikšmėms, skaičiavimai naudojant Bernulio formulę tampa daug darbo reikalaujantys. Šiuo atveju, norint apskaičiuoti įvykio tikimybę A tikslingiau naudoti kitokią formulę.

Vietinė Laplaso teorema ... Tegul tikimybė pįvykio atsiradimą A kiekviename bandyme yra pastovus ir skiriasi nuo nulio ir vieneto. Tada tikimybė, kad įvykis A ateis tiksliai k kartų pakankamai dideliam skaičiui bandymų n, apskaičiuojamas pagal formulę

, kur
, ir funkcijos reikšmės
pateikiami lentelėje.

Pagrindinės funkcijos savybės
yra:

Funkcija
apibrėžtas ir tęstinis intervale
.

Funkcija
teigiamas, t.y.
>0.

Funkcija
net, t.y.
.

Nuo funkcijos
yra lygus, tada lentelėje rodomos tik teigiamos vertės NS.

13 pavyzdys ... Kviečių sėklų daigumas yra 80%. Eksperimentui atrenkama 100 sėklų. Raskite tikimybę, kad išdygs lygiai 90 pasirinktų sėklų.

Sprendimas ... Pagal pavyzdžio sąlygą n=100, k=90, p=0.8, q= 1-0,8 = 0,2. Tada
... Naudodamiesi lentele randame funkcijos reikšmę
:
... Tikimybė, kad iš pasirinktų sėklų išdygs lygiai 90 sėklų
0.0044.

Sprendžiant praktines problemas, atsiranda būtinybė rasti įvykio tikimybę A adresu n bent jau nepriklausomi testai kartų ir ne daugiau kartą. Ši problema išspręsta naudojant integral Laplaso teorema : Tegu tikimybė pįvykio atsiradimą A kiekviename iš n nepriklausomi testai yra pastovūs ir skiriasi nuo nulio ir vieneto. Tada tikimybė, kad įvykis įvyks, yra mažiausiai kartų ir ne daugiau kartų su pakankamai dideliu testų skaičiumi, apskaičiuojamas pagal formulę

Kur
,
.

Funkcija
paskambino Laplaso funkcija ir neišreiškiamas elementariomis funkcijomis. Šios funkcijos reikšmės pateiktos specialiose lentelėse.

Pagrindinės funkcijos savybės
yra:

.

Funkcija
didėja intervalas
.

adresu
.

Funkcija
nelyginis, t.y.
.

14 pavyzdys ... Įmonė gamina produkciją, iš kurios 13% ne pačios aukščiausios kokybės. Nustatykite tikimybę, kad neišbandytoje 150 aukščiausios kokybės produktų partijoje bus bent 125 ir ne daugiau kaip 135.

Sprendimas ... Pažymėkime. Paskaičiuokime
,

Tikimybių teorijos studijos prasideda tikimybių sudėjimo ir daugybos uždavinių sprendimu. Iš karto verta paminėti, kad mokinys, įsisavindamas šią žinių sritį, gali susidurti su problema: jei fizikinius ar cheminius procesus galima vizualizuoti ir suprasti empiriškai, tai matematinės abstrakcijos lygis yra labai aukštas, o supratimas čia ateina tik su patirtį.

Tačiau žaidimas vertas žvakės, nes formulės – tiek šiame straipsnyje aptartos, tiek sudėtingesnės – šiandien naudojamos visur ir gali būti naudingos darbe.

Kilmė

Kad ir kaip būtų keista, postūmis šios matematikos dalies plėtrai buvo... azartiniai lošimai. Iš tiesų, kauliukai, monetų metimas, pokeris, ruletė yra tipiški pavyzdžiai, kuriuose naudojamas tikimybių sudėjimas ir dauginimas. Tai aiškiai matyti bet kurio vadovėlio užduočių pavyzdyje. Žmonėms buvo įdomu sužinoti, kaip padidinti savo šansus laimėti, ir turiu pasakyti, kad kai kuriems tai pavyko.

Pavyzdžiui, jau XXI amžiuje vienas žmogus, kurio pavardės neatskleisime, šias per šimtmečius sukauptas žinias panaudojo tiesiogine prasme „apsiplėšdamas“ kazino, ruletėje laimėdamas kelias dešimtis milijonų dolerių.

Tačiau, nepaisant padidėjusio susidomėjimo šia tema, tik XX amžiuje buvo sukurta teorinė bazė, dėl kurios „teoreris“ tapo visaverčiu.Šiandien beveik bet kuriame moksle galima rasti skaičiavimus tikimybiniais metodais.

Pritaikomumas

Svarbus momentas naudojant tikimybių, sąlyginių tikimybių sudėties ir daugybos formules, yra centrinės ribos teoremos įvykdymas. Priešingu atveju, nors studentas gali to nežinoti, visi skaičiavimai, kad ir kokie tikėtini jie atrodytų, bus neteisingi.

Taip, labai motyvuotas studentas yra linkęs panaudoti naujas žinias, kai tik įmanoma. Tačiau šiuo atveju turėtumėte šiek tiek sulėtinti tempą ir griežtai apibrėžti taikymo sritį.

Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinius įvykius, kurie empirine prasme yra eksperimentų rezultatai: galime mesti šešių pusių kauliuką, ištraukti kortą iš kaladės, numatyti sugedusių dalių skaičių partijoje. Tačiau kai kuriuose klausimuose kategoriškai neįmanoma naudoti formulių iš šios matematikos dalies. Įvykio tikimybių svarstymo ypatybes, įvykių sudėjimo ir daugybos teoremas aptarsime straipsnio pabaigoje, tačiau kol kas kreipiamės į pavyzdžius.

Pagrindinės sąvokos

Atsitiktinis įvykis reiškia tam tikrą procesą ar rezultatą, kuris gali pasirodyti arba nepasireikšti kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, mes mėtome sumuštinį – jis gali nukristi alyva aukštyn arba alyva žemyn. Bet kuris iš dviejų rezultatų bus atsitiktinis, ir mes iš anksto nežinome, kuris iš jų įvyks.

Tiriant tikimybių sudėtį ir daugybą, mums reikia dar dviejų sąvokų.

Bendri renginiai yra tokie įvykiai, kurių atsiradimas neatmeta kito pasirodymo. Tarkime, į taikinį vienu metu šaudo du žmonės. Jei vienas iš jų pasiseks, tai neturės įtakos antrojo gebėjimui pataikyti į akis ar nepataikyti.

Nesuderinami bus tokie įvykiai, kurių įvykimas yra neįmanomas tuo pačiu metu. Pavyzdžiui, ištraukę iš dėžutės tik vieną rutulį, negalėsite iš karto gauti ir mėlyno, ir raudono.

Paskyrimas

Tikimybės sąvoka žymima lotyniška didžiąja raide P. Skliausteliuose pateikiami argumentai, žymintys kai kuriuos įvykius.

Sudėties teoremos, sąlyginės tikimybės, daugybos teoremos formulėse skliausteliuose matysite išraiškas, pvz.: A + B, AB arba A | B. Jie bus skaičiuojami įvairiai, dabar kreipsimės į juos.

Papildymas

Panagrinėkime atvejus, kai naudojamos tikimybių sudėties ir daugybos formulės.

Nenuosekliems įvykiams tinka paprasčiausia sudėjimo formulė: bet kurio atsitiktinio rezultato tikimybė bus lygi kiekvienos iš šių baigčių tikimybių sumai.

Tarkime, kad yra dėžutė su 2 mėlynais, 3 raudonais ir 5 geltonais kamuoliukais. Iš viso dėžutėje yra 10 prekių. Kokia yra teiginio, kad ištrauksime mėlyną ar raudoną kamuoliuką, tiesa? Jis bus lygus 2/10 + 3/10, tai yra, penkiasdešimt procentų.

Nenuoseklių įvykių atveju formulė tampa sudėtingesnė, nes pridedamas papildomas terminas. Grįžkime prie jo vienoje pastraipoje, apsvarstę kitą formulę.

Daugyba

Nepriklausomų įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba naudojamas skirtingais atvejais. Jei pagal eksperimento sąlygas mus tenkina bet kuris iš dviejų galimų rezultatų, apskaičiuosime sumą; jei norime gauti du tam tikrus rezultatus vienas po kito, naudosime kitą formulę.

Grįžtant prie pavyzdžio iš ankstesnės dalies, pirmiausia norime ištraukti mėlyną rutulį, o tada raudoną. Pirmas mums žinomas skaičius yra 2/10. Kas bus toliau? Liko 9 rutuliukai, tarp jų dar tiek pat raudonų - trys vnt. Pagal skaičiavimus, jūs gaunate 3/9 arba 1/3. Bet ką dabar daryti su dviem skaičiais? Teisingas atsakymas yra padauginti, kad gautumėte 2/30.

Bendri renginiai

Dabar galite grįžti prie bendrų renginių sumos formulės. Kodėl nukrypome nuo temos? Norėdami sužinoti, kaip dauginamos tikimybės. Dabar šios žinios mums pravers.

Jau žinome, kokie bus pirmieji du nariai (toks pat kaip ir anksčiau svarstytoje sudėjimo formulėje), bet dabar reikia atimti tikimybių sandaugą, kurią ką tik išmokome skaičiuoti. Aiškumo dėlei parašykime formulę: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Pasirodo, vienoje išraiškoje naudojamas ir tikimybių sudėjimas, ir daugyba.

Tarkime, kad norėdami gauti kreditą, turime išspręsti bet kurią iš dviejų problemų. Pirmąjį galime išspręsti 0,3 tikimybe, o antrąjį – 0,6. Sprendimas: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Atminkite, kad čia nepakaks vien susumuoti skaičius.

Sąlyginė tikimybė

Galiausiai yra sąlyginės tikimybės sąvoka, kurios argumentai nurodyti skliausteliuose ir atskirti vertikaliomis juostomis. P (A | B) įrašas skamba taip: „įvykio A tikimybė, įvyks įvykis B“.

Pažiūrėkime pavyzdį: draugas duoda jums įrenginį, tebūnie tai telefonas. Jis gali būti sulūžęs (20%) arba tinkamas naudoti (80%). Su 0,4 tikimybe galite suremontuoti bet kokį į rankas patekusį įrenginį arba nesugebate to padaryti (0,6). Galiausiai, jei įrenginys veikia, galite pasiekti reikiamą asmenį su 0,7 tikimybe.

Nesunku suprasti, kaip tokiu atveju pasireiškia sąlyginė tikimybė: sugedus telefonui prie žmogaus nepavyks patekti, o jei jis yra tvarkingas, taisyti nereikia. Taigi, norėdami gauti kokių nors rezultatų „antrame lygyje“, turite išsiaiškinti, kuris įvykis buvo įvykdytas pirmą kartą.

Skaičiavimai

Panagrinėkime tikimybių sudėties ir daugybos problemų sprendimo pavyzdžius, naudodamiesi ankstesnės pastraipos duomenimis.

Pirmiausia suraskime tikimybę, kad pataisysite jums duotą įrenginį. Tam, pirma, jis turi būti sugedęs, antra, jūs turite susidoroti su remontu. Tai tipiška daugybos problema: gauname 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kokia tikimybė, kad iš karto pateksite į reikiamą žmogų? Taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimas: 0,8 * 0,7 = 0,56. Tokiu atveju pastebėjote, kad telefonas veikia tinkamai, ir sėkmingai skambinote.

Galiausiai apsvarstykite šią galimybę: jums sugedo telefonas, sutvarkėte, tada surinkote numerį ir kitas asmuo pakėlė ragelį. Čia jau reikia padauginti tris komponentus: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

Bet ką daryti, jei vienu metu turite du neveikiančius telefonus? Kokia tikimybė, kad sutvarkysite bent vieną iš jų? dėl tikimybių sudėties ir daugybos, nes naudojami bendri įvykiai. Sprendimas: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Taigi, jei į rankas pateks du sugedę įrenginiai, 64 % atvejų galėsite juos sutaisyti.

Atsargus naudojimas

Kaip minėta straipsnio pradžioje, tikimybių teorijos naudojimas turėtų būti apgalvotas ir apgalvotas.

Kuo didesnė eksperimentų serija, tuo teoriškai prognozuojama vertė priartėja prie gautos praktiškai. Pavyzdžiui, mes metame monetą. Teoriškai, žinodami apie tikimybių sudėjimo ir dauginimo formulių egzistavimą, galime numatyti, kiek kartų išeis „galvos“ ir „uodegos“, jei eksperimentą atliksime 10 kartų. Atlikome eksperimentą ir atsitiktinai sumažėjo pusių santykis buvo 3:7. Bet jei paleidžiame 100, 1000 ar daugiau bandymų seriją, paaiškėja, kad pasiskirstymo grafikas vis labiau artėja prie teorinio. : 44–56, 482–518 ir pan.

Dabar įsivaizduokite, kad šis eksperimentas atliekamas ne su moneta, o gaminant kokią nors naujausią cheminę medžiagą, kurios tikimybės mes nežinome. Atliktume 10 eksperimentų ir, negavę sėkmingo rezultato, galėtume apibendrinti: „medžiagos gauti neįmanoma“. Bet kas žino, jei būtume vienuoliktą kartą pabandę, ar būtume pasiekę tikslą, ar ne?

Taigi, jei kreipiatės į nežinomybę, į neištirtą sritį, tikimybės teorija gali netikti. Kiekvienas paskesnis bandymas šiuo atveju gali būti sėkmingas ir tokie apibendrinimai kaip „X neegzistuoja“ arba „X neįmanomas“ bus per anksti.

Galutinis žodis

Taigi, mes apžvelgėme dviejų rūšių sudėtį, daugybą ir sąlygines tikimybes. Toliau tyrinėdami šią sritį turite išmokti atskirti situacijas, kuriose naudojama kiekviena konkreti formulė. Be to, turite įsivaizduoti, ar tikimybiniai metodai paprastai yra taikomi jūsų problemai išspręsti.

Jei praktikuosite, po kurio laiko visas reikalingas operacijas pradėsite atlikti tik mintyse. Mėgstantiems kortų žaidimus šis įgūdis gali būti laikomas itin vertingu – ženkliai padidinsite savo šansus laimėti, vien apskaičiavę konkrečios kortos ar kostiumo tikimybę. Tačiau įgytas žinias nesunkiai pritaikysite kitose veiklos srityse.

At Norint įvertinti bet kokio atsitiktinio įvykio tikimybę, labai svarbu turėti gerą išankstinį supratimą, ar mus dominančio įvykio tikimybė () priklauso nuo to, kaip vystysis kiti įvykiai.

Klasikinės schemos atveju, kai visi rezultatai yra vienodai tikėtini, mes jau galime savarankiškai įvertinti konkretaus mus dominančio įvykio tikimybės reikšmes. Tai galime padaryti net jei įvykis yra sudėtingas kelių elementarių rezultatų rinkinys. Ką daryti, jei keli atsitiktiniai įvykiai įvyksta vienu metu arba paeiliui? Kaip tai įtakoja mus dominančio įvykio tikimybę?

Jei kelis kartus metu kauliuką ir noriu, kad atsirastų šešetas, bet man nesiseka visą laiką, ar tai reiškia, kad turiu padidinti statymą, nes pagal tikimybių teoriją aš tuoj pasisekti? Deja, tikimybių teorija nieko panašaus nenurodo. Be kaulo, be kortelės, be monetos nezinau kaip issiminti ką jie mums rodė praėjusį kartą. Jiems visiškai nesvarbu, ar šiandien pirmą, ar dešimtą kartą bandau savo likimą. Kiekvieną kartą kartodamas metimą žinau tik viena: ir šį kartą tikimybė gauti „šešetuką“ vėl lygi šeštadaliui. Žinoma, tai nereiškia, kad man reikalingas skaičius niekada neiškris. Tai tik reiškia, kad mano pralaimėjimas po pirmo metimo ir po bet kurio kito metimo yra savarankiški įvykiai.

Įvykiai A ir B vadinami nepriklausomas jeigu vieno iš jų įgyvendinimas niekaip neįtakoja kito įvykio tikimybės. Pavyzdžiui, tikimybė pataikyti į taikinį pirmuoju iš dviejų ginklų nepriklauso nuo to, ar į taikinį pataikė kitas ginklas, todėl įvykiai „pirmasis pistoletas pataikė į taikinį“ ir „antras pataikė į taikinį“ yra nepriklausomi. .

Jei du įvykiai A ir B yra nepriklausomi, o kiekvieno iš jų tikimybė yra žinoma, tai tikimybę, kad vienu metu įvyks ir įvykiai A, ir įvykiai B (žymimi AB), galima apskaičiuoti naudojant tokią teoremą.

Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema

P (AB) = P (A) * P (B)- tikimybė vienu metu du nepriklausomasįvykiai lygūs produktasšių įvykių tikimybės.

Pavyzdys.Tikimybės pataikyti į taikinį šaudant iš pirmojo ir antrojo ginklo yra atitinkamai lygios: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Raskite tikimybę pataikyti viena salve abiem ginklais vienu metu.

Sprendimas: kaip jau matėme įvykiai A (pataikyti iš pirmojo ginklo) ir B (pataikyti iš antrojo ginklo) yra nepriklausomi, t.y. P (AB) = P (A) * P (B) = p 1 * p 2 = 0,56.

Kas atsitiks su mūsų vertinimais, jei pradiniai įvykiai nėra nepriklausomi? Šiek tiek pakeiskime ankstesnį pavyzdį.

Pavyzdys.Du šauliai varžybose šaudo į taikinius, o jei vienas šauna taikliai, varžovas nervinasi, prastėja jo rezultatai. Kaip šią kasdienę situaciją paversti matematine problema ir nubrėžti jos sprendimo būdus? Intuityviai aišku, kad reikia kažkaip atskirti du įvykių raidos scenarijus, sudaryti iš esmės du scenarijus, du skirtingus uždavinius. Pirmuoju atveju, varžovui nepataikius, scenarijus bus palankus nervingam sportininkui ir jo taiklumas bus didesnis. Antruoju atveju, jei varžovas padoriai realizavo savo šansą, tikimybė pataikyti į taikinį antrajam sportininkui sumažėja.

Norėdami atskirti galimus įvykių scenarijus (dažnai vadinamus hipotezėmis), dažnai naudosime „tikimybių medžio“ schemą. Ši schema savo prasme yra panaši į sprendimų medį, kurį tikriausiai jau nagrinėjote. Kiekviena šaka reprezentuoja atskirą įvykių raidos scenarijų, tik dabar ji turi savo prasmę vadinamoji sąlyginis tikimybės (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Ši schema labai patogi analizuojant nuoseklius atsitiktinius įvykius.

Belieka išsiaiškinti dar vieną svarbų klausimą: kur yra pradinės tikimybių reikšmės realias situacijas ? Juk tikimybių teorija veikia ne su tomis pačiomis monetomis ir kauliukais? Paprastai šie įverčiai yra paimti iš statistikos, o kai statistikos nėra, atliekame savo tyrimus. Ir dažnai tai turime pradėti ne nuo duomenų rinkimo, o nuo klausimo, kokios informacijos mums apskritai reikia.

Pavyzdys.Tarkime, reikia įvertinti rinkos dydį šimtą tūkstančių gyventojų turinčiame mieste naujai, nebūtinai prekei, pavyzdžiui, balzamo, skirto dažytų plaukų priežiūrai. Apsvarstykite „tikimybių medžio“ schemą. Šiuo atveju kiekvienos „šakos“ tikimybės vertę turime apytiksliai įvertinti. Taigi, mūsų įvertinimai apie rinkos dydį:

1) 50% visų miesto gyventojų yra moterys,

2) tik 30% moterų dažnai dažosi plaukus,

3) tik 10% jų naudoja balzamus dažytiems plaukams,

4) iš jų tik 10 % gali sukaupti drąsos išbandyti naują produktą,

5) 70% jų dažniausiai viską perka ne iš mūsų, o iš konkurentų.

Sprendimas: Pagal tikimybių daugybos dėsnį nustatome mus dominančio įvykio tikimybę A = (miesto gyventojas perka iš mūsų šį naują balzamą) = 0,00045.

Padauginkime šią tikimybės reikšmę iš miesto gyventojų skaičiaus. Dėl to turime tik 45 potencialius klientus, o jei vertinsime, kad vieno šių pinigų burbulo užtenka keliems mėnesiams, prekyba nėra itin gyva.

Vis dėlto mūsų vertinimai turi tam tikros naudos.

Pirma, galime palyginti skirtingų verslo idėjų prognozes, jos turės skirtingas „šakės“ diagramose ir, žinoma, skirsis ir tikimybių reikšmės.

Antra, kaip jau minėjome, atsitiktinis dydis nėra vadinamas atsitiktiniu, nes jis visiškai nuo nieko nepriklauso. Tik ji tikslus vertė iš anksto nežinoma. Žinome, kad vidutinį pirkėjų skaičių galima padidinti (pavyzdžiui, reklamuojant naują prekę). Taigi prasminga sutelkti savo pastangas į tas „šakės“, kur tikimybių skirstinys mums ne itin tinka, į tuos veiksnius, kuriuos galime paveikti.

Apsvarstykite kitą kiekybinį apsipirkimo elgesio tyrimo pavyzdį.

Pavyzdys. Maisto turguje per dieną vidutiniškai apsilanko 10 000 žmonių. Tikimybė, kad turgaus lankytojas pateks į pieno paviljoną, yra 1/2. Žinoma, kad šiame paviljone per dieną vidutiniškai parduodama 500 kg įvairios produkcijos.

Ar galime sakyti, kad vidutinis pirkinys paviljone sveria tik 100 g?

Diskusija.Žinoma ne. Akivaizdu, kad ne visi, patekę į paviljoną, galiausiai ten ką nors nusipirko.

Kaip parodyta diagramoje, norėdami atsakyti į klausimą apie vidutinį pirkinio svorį, turime rasti atsakymą į klausimą, kokia tikimybė, kad į paviljoną patekęs žmogus ten ką nors nusipirks. Jeigu tokių duomenų neturime, o mums jų reikia, turėsime juos gauti patys, kurį laiką stebėję paviljono lankytojus. Tarkime, mūsų stebėjimai parodė, kad tik penktadalis paviljono lankytojų ką nors perka.

Kai tik gauname šias sąmatas, užduotis tampa jau paprasta. Iš 10 000 į turgų atėjusių žmonių į pieno produktų paviljoną pateks 5 000, o pirkinių bus tik 1000. Vidutinis pirkinio svoris – 500 gramų. Įdomu pastebėti, kad norint susidaryti išsamų vaizdą apie tai, kas vyksta, sąlyginio „išsišakojimo“ logika turi būti apibrėžta kiekviename mūsų samprotavimo etape taip aiškiai, tarsi dirbtume su „konkrečia“ situacija, o ne su tikimybėmis.

Savikontrolės užduotys

1. Tegu yra elektros grandinė, susidedanti iš n nuosekliai sujungtų elementų, kurių kiekvienas veikia nepriklausomai nuo kitų.

Yra žinoma kiekvieno elemento gedimo tikimybė p. Nustatykite visos grandinės dalies teisingo veikimo tikimybę (įvykis A).

2. Mokinys žino 20 iš 25 egzamino klausimų. Raskite tikimybę, kad studentas žinos tris egzaminuotojo pasiūlytus klausimus.

3. Gamyba susideda iš keturių vienas po kito einančių etapų, kurių kiekviename veikia įrenginiai, kurių gedimo tikimybė per kitą mėnesį yra lygi atitinkamai p 1, p 2, p 3 ir p 4. Raskite tikimybę, kad per mėnesį nebus gamybos nutraukimo dėl įrangos gedimo.

Gali būti sunku tiesiogiai suskaičiuoti tam tikram įvykiui palankius atvejus. Todėl norint nustatyti įvykio tikimybę, gali būti naudinga duotą įvykį pavaizduoti kaip kai kurių kitų, paprastesnių įvykių derinį. Tačiau šiuo atveju reikia žinoti taisykles, reglamentuojančias įvykių derinio tikimybes. Būtent į šias taisykles remiasi šio skyriaus pavadinime nurodytos teoremos.

Pirmasis iš jų yra susijęs su tikimybės, kad įvyks bent vienas iš kelių įvykių, apskaičiavimu.

Sudėjimo teorema.

Tegul A ir B yra du nesuderinami įvykiai. Tada tikimybė, kad įvyks bent vienas iš šių dviejų įvykių, yra lygi jų tikimybių sumai:

Įrodymas. Leisti būti visa poromis nesuderinamų įvykių grupė. Jei tada tarp šių elementarių įvykių yra būtent įvykių, palankių A, ir būtent įvykių, palankių B. Kadangi įvykiai A ir B yra nesuderinami, tai nė vienas iš įvykių negali būti palankus abiems šiems įvykiams. Įvykis (A arba B), susidedantis iš to, kad įvyksta bent vienas iš šių dviejų įvykių, akivaizdžiai palankus ir kiekvienam iš A palankių įvykių, ir kiekvienam iš įvykių

Palankus B. Todėl bendras įvykiui palankių įvykių skaičius (A arba B) yra lygus sumai, kuri yra tokia:

Q.E.D.

Nesunku suprasti, kad sudėjimo teorema, suformuluota aukščiau dviejų įvykių atveju, gali būti lengvai perkelta į bet kurio baigtinio jų skaičiaus atvejį. Būtent, jei poromis nesuderinami įvykiai, tada

Pavyzdžiui, galima rašyti trijų įvykių atveju

Svarbi sudėjimo teoremos pasekmė yra teiginys: jei įvykiai poromis nenuoseklūs ir vienareikšmiškai įmanomi, tada

Iš tiesų, įvykis yra arba arba arba, darant prielaidą, yra patikimas, o jo tikimybė, kaip nurodyta § 1, yra lygi vienetui. Visų pirma, jei jie reiškia du tarpusavyje priešingus įvykius, tada

Sudėjimo teoremą iliustruosime pavyzdžiais.

1 pavyzdys. Šaudant į taikinį tobulo šūvio tikimybė yra 0,3, o šūvio įvertinimu „gerai“ – 0,4. Kokia tikimybė už kadrą gauti bent „gerai“ įvertinimą?

Sprendimas. Jei įvykis A reiškia gauti „puikų“ pažymį, o įvykis B reiškia gauti „gerą“, tada

2 pavyzdys. Urnoje, kurioje yra balti, raudoni ir juodi rutuliukai, yra balti rutuliukai, o aš – raudoni. Kokia tikimybė ištraukti rutulį, kuris nėra juodas?

Sprendimas. Jei įvykį A sudaro baltas rutulys, o įvykis B - raudonas rutulys, tada rutulio išvaizda nėra juoda

reiškia balto arba raudono rutulio išvaizdą. Kadangi pagal tikimybės apibrėžimą

tada pagal sudėjimo teoremą rutulio, kuris nėra juodas, atsiradimo tikimybė yra lygi;

Šią problemą galima išspręsti taip. Tegul įvykis C susideda iš juodo rutulio atsiradimo. Juodų rutuliukų skaičius yra lygus, kad P (C) Rutulio, kuris nėra juodas, atsiradimas yra priešingas įvykis C, todėl, remiantis aukščiau pateikta sudėjimo teoremos išvada, turime:

kaip ir anksčiau.

3 pavyzdys. 1000 bilietų serijos grynųjų pinigų loterijoje yra 120 grynųjų ir 80 daiktų laimėjimų. Kokia tikimybė laimėti vieną loterijos bilietą?

Sprendimas. Jei A žymime įvykį, kurį sudaro piniginės naudos praradimas, o B - daiktą, tada tikimybės apibrėžimas reiškia

Mus dominantis įvykis reprezentuoja (A arba B), todėl sudėjimo teorema reiškia

Taigi bet kurio laimėjimo tikimybė yra 0,2.

Prieš pereinant prie kitos teoremos, turite susipažinti su svarbia nauja sąvoka - sąlyginės tikimybės sąvoka. Šiuo tikslu pradėsime nuo šio pavyzdžio.

Tarkime, sandėlyje yra 400 lempučių, pagamintų dviejose skirtingose ​​gamyklose, kur pirmoji pagamina 75 % visų lempučių, o antroji – 25 %. Tarkime, kad tarp pirmosios gamyklos pagamintų lempučių 83% atitinka tam tikro standarto sąlygas, o antrosios gamyklos gaminiams šis procentas yra 63. Nustatykime tikimybę, kad netyčia iš sandėlio paimta lemputė atitinka standarto sąlygas.

Atkreipkite dėmesį, kad bendrą standartinių lempučių skaičių sudaro pirmosios pagamintos lemputės.

gamykloje, o antroje gamykloje pagamintos 63 lemputės, tai yra lygus 312. Kadangi vienodai įmanomas turėtų būti bet kurios lemputės pasirinkimas, turime 312 palankių atvejų iš 400, todėl

kai įvykis B yra tas, kad mūsų pasirinkta lemputė yra standartinė.

Atliekant šį skaičiavimą, nebuvo daroma prielaidų, kokiam augalui priklauso pasirinkta lemputė. Jei daromos tokios prielaidos, akivaizdu, kad mus dominanti tikimybė gali pasikeisti. Taigi, pavyzdžiui, jei žinoma, kad pasirinkta lemputė pagaminta pirmoje gamykloje (įvykis A), tada tikimybė, kad ji yra standartinė, bus nebe 0,78, o 0,83.

Tokia tikimybė, ty įvykio B tikimybė, jei įvyks įvykis A, vadinama sąlygine įvykio B tikimybe, su sąlyga, kad įvykis A įvyksta ir yra žymimas

Jei ankstesniame pavyzdyje A pažymime įvykį, kad pasirinkta lemputė pagaminta pirmoje gamykloje, tai galime rašyti

Dabar galime suformuluoti svarbią teoremą, susijusią su įvykių sutapimo tikimybės skaičiavimu.

Daugybos teorema.

A ir B įvykių sutapimo tikimybė yra lygi vieno iš įvykių tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, darant prielaidą, kad įvyko pirmasis:

Šiuo atveju įvykių A ir B derinys reiškia kiekvieno iš jų pradžią, tai yra abiejų įvykių A ir B pradžią.

Įrodymas. Apsvarstykite visą grupę vienodai galimų poromis nesuderinamų įvykių, kurių kiekvienas gali būti palankus arba nepalankus tiek įvykiui A, tiek įvykiui B.

Suskirstykime visus šiuos įvykius į keturias skirtingas grupes taip. Pirmoji grupė apima tuos įvykius, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B; antrai ir trečiai grupėms priskirsime tokius įvykius, kurie teikia pirmenybę vienam iš dviejų mus dominančių įvykių, o neteikia palankumo kitam, pavyzdžiui, antrai grupei - tuos, kurie palankiai vertina A, bet ne B, ir treti – tie, kurie palankiai vertina B, bet ne A; pagaliau į

į ketvirtąją grupę bus įtraukti tie įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Kadangi įvykių numeracija neturi reikšmės, galima daryti prielaidą, kad šis padalijimas į keturias grupes atrodo taip:

I grupė:

II grupė:

III grupė:

IV grupė:

Taigi tarp vienodai galimų ir poromis nesuderinamų įvykių yra įvykiai, palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B, I įvykiai, palankūs įvykiui A, bet nepalankūs įvykiui, palankūs B, bet nepalankūs A, ir , galiausiai, įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Beje, atkreipkite dėmesį, kad bet kurioje iš keturių mūsų svarstytų grupių (ir net ne vienoje) gali nebūti nei vieno įvykio. Tokiu atveju atitinkamas skaičius, nurodantis įvykių skaičių tokioje grupėje, bus lygus nuliui.

Mūsų atliktas suskirstymas į grupes leidžia rašyti iš karto

nes įvykių A ir B derinys yra palankesnis pirmosios grupės įvykiams ir tik jiems. Bendras A palankių įvykių skaičius yra lygus bendram pirmosios ir antrosios grupių įvykių skaičiui, o palankių B – bendram pirmosios ir trečiosios grupių įvykių skaičiui.

Dabar apskaičiuokime tikimybę, tai yra įvykio B tikimybę, su sąlyga, kad įvykis A įvyko. Dabar įvykiai, įtraukti į trečią ir ketvirtą grupes, išnyksta, nes jų išvaizda prieštarautų įvykio A pradžiai, o galimų atvejų skaičius nebėra lygus. Iš jų B įvykiui pirmenybę teikia tik pirmosios grupės įvykiai, todėl gauname:

Norint įrodyti teoremą, pakanka parašyti akivaizdžią tapatybę:

ir visas tris jame esančias trupmenas pakeiskite aukščiau apskaičiuotomis tikimybėmis. Prieiname teoremoje teigiamą lygybę:

Akivaizdu, kad tapatybė, kurią parašėme aukščiau, turi prasmę tik tada, kai ji visada yra teisinga, nebent A yra neįmanomas įvykis.

Kadangi įvykiai A ir B yra lygūs, juos sukeitę, gauname kitą daugybos teoremos formą:

Tačiau šią lygybę galima gauti taip pat, kaip ir ankstesnę, jei pastebėsime, kad naudojame tapatybę

Palyginę dviejų tikimybės P (A ir B) išraiškų dešines puses, gauname naudingą lygybę:

Dabar panagrinėkime pavyzdžius, iliustruojančius daugybos teoremą.

4 pavyzdys. Tam tikros įmonės gaminiuose 96% produktų pripažįstami tinkamais (įvykis A). Pirmai klasei (įvykis B), pasirodo, priklauso 75 punktai iš šimto gerų. Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinai paimtas produktas bus tinkamas ir priklausys pirmai klasei.

Sprendimas. Norima tikimybė yra įvykių A ir B sutapimo tikimybė. Pagal sąlygą turime:. Todėl daugybos teorema suteikia

5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu (įvykis A) yra 0,2. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį, jei sugenda 2 % saugiklių (t. y. 2 % atvejų šūvis nėra

Sprendimas. Tegul įvykis B reiškia, kad įvyks šūvis, o B reiškia priešingą įvykį. Tada pagal hipotezę ir sudėjimo teoremos padarinį. Be to, pagal sąlygas.

Taikinio pralaimėjimas reiškia įvykių A ir B kombinaciją (įvyks šūvis ir pataikys), todėl pagal daugybos teoremą

Svarbų specialųjį daugybos teoremos atvejį galima gauti naudojant įvykių nepriklausomybės sąvoką.

Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų tikimybė nekinta dėl kito įvykio.

Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai yra iškritimas iš skirtingo taškų skaičiaus, kai vėl metamas kauliukas arba viena ar kita monetos pusė, kai moneta vėl metama, nes akivaizdu, kad tikimybė, kad herbas nukris ant monetos. antras metimas yra lygus nepriklausomai nuo to, ar herbas krito, ar nenukrito per pirmąjį.

Taip pat tikimybė antrą kartą išimti baltą rutulį iš urnos su baltais ir juodais rutuliais, jei anksčiau buvo grąžintas pirmasis, nepriklauso nuo to, ar baltas, ar juodas rutulys buvo pašalintas pirmą kartą. Todėl pirmojo ir antrojo pasitraukimo rezultatai nepriklauso vienas nuo kito. Priešingai, jei pirmas išimtas rutulys negrįžta į urną, tai antrojo išėmimo rezultatas priklauso nuo pirmojo, nes urnoje esančių kamuoliukų sudėtis po pirmojo išėmimo keičiasi priklausomai nuo jo baigties. Pateikiame priklausomų įvykių pavyzdį.

Naudodami sąlyginių tikimybių žymėjimą, įvykių A ir B nepriklausomumo sąlygą galime užrašyti formoje

Naudodami šias lygybes, galime redukuoti nepriklausomų įvykių daugybos teoremą į tokią formą.

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada jų derinio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Iš tiesų, pakanka pirminėje daugybos teoremos išraiškoje manyti, kas išplaukia iš įvykių nepriklausomybės, ir gauname reikiamą lygybę.

Dabar panagrinėkime kelis įvykius: Visus juos pavadinsime nepriklausomais, jei kurio nors iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kiti įvykiai, ar ne.

Esant įvykiams, kurie visumoje yra nepriklausomi, daugybos teorema gali būti išplėsta iki bet kurio baigtinio jų skaičiaus, todėl ją galima suformuluoti taip:

Nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

6 pavyzdys. Darbuotojas aptarnauja tris automatines mašinas, prie kurių reikia kreiptis, kad būtų pašalintas gedimas, jei mašina sustoja. Tikimybė, kad pirmoji mašina nesustos per valandą, yra 0,9. Tokia pati tikimybė antrai mašinai yra 0,8, o trečiajai - 0,7. Nustatykite tikimybę, kad per valandą darbuotojui nereikės prieiti prie jo prižiūrimų mašinų.

7 pavyzdys. Tikimybė numušti orlaivį šautuvo šūviu Kokia tikimybė sunaikinti priešo lėktuvą tuo pačiu metu iššaunant 250 šautuvų?

Sprendimas. Tikimybė, kad lėktuvas nebus numuštas vienu šūviu, yra lygi sudėjimo teorema. Tada, naudodamiesi daugybos teorema, galime apskaičiuoti tikimybę, kad lėktuvas nebus numuštas po 250 šūvių, kaip sutapimo tikimybę. įvykių. Jis lygus Po to vėl galime panaudoti sudėjimo teoremą ir rasti tikimybę, kad plokštuma bus pataikyta kaip priešingo įvykio tikimybę

Iš to matyti, kad nors tikimybė numušti orlaivį vienu šautuvo šūviu yra nereikšminga, vis dėlto šaudant iš 250 šautuvų, tikimybė numušti orlaivį jau yra gana apčiuopiama. Jis žymiai padidėja, jei padidinamas šautuvų skaičius. Taigi šaudant iš 500 šautuvų tikimybė numušti orlaivį, kaip nesunku paskaičiuoti, šaudant iš 1000 šautuvų yra lygi – net.

Aukščiau įrodyta daugybos teorema leidžia mums šiek tiek išplėsti sudėjimo teoremą, išplečiant ją suderinamų įvykių atveju. Akivaizdu, kad jei įvykiai A ir B yra suderinami, tai bent vieno iš jų įvykimo tikimybė nėra lygi jų tikimybių sumai. Pavyzdžiui, jei įvykis A reiškia lyginio įvykį

taškų skaičius metant kauliuką, o įvykis B yra kritimas iš taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, tada įvykis (A arba B) yra palankus kritimui 2, 3, 4 ir 6 taškais, yra

Kita vertus, tai yra. Taigi šiuo atveju

Taigi aišku, kad suderinamų įvykių atveju tikimybių sudėjimo teorema turi būti pakeista. Kaip dabar matysime, ją galima suformuluoti taip, kad ji galiotų ir suderinamiems, ir nesuderinamiems įvykiams, kad anksčiau svarstyta sudėjimo teorema pasirodytų kaip ypatingas naujos atvejis.

Įvykiai, kuriems A nėra palankūs.

Visi elementarieji įvykiai, palankūs įvykiui (A arba B), turėtų būti palankūs arba tik A, arba tik B, arba abu A ir B. Taigi bendras tokių įvykių skaičius yra

ir tikimybė

Q.E.D.

Pritaikę formulę (9) aukščiau pateiktam taškų skaičiaus kritimo metant kauliuką pavyzdžiu, gauname:

kuris yra toks pat kaip tiesioginio skaičiavimo rezultatas.

Akivaizdu, kad (1) formulė yra ypatingas (9) atvejis. Iš tiesų, jei įvykiai A ir B yra nesuderinami, tada sutapimo tikimybė

Pavyzdys. Du saugikliai nuosekliai sujungti elektros grandinėje. Pirmojo saugiklio gedimo tikimybė yra 0,6, o antrojo - 0,2. Nustatykime elektros energijos tiekimo nutraukimo tikimybę sugedus bent vienam iš šių saugiklių.

Sprendimas. Kadangi įvykiai A ir B, susidedantys iš pirmojo ir antrojo saugiklių gedimo, yra suderinami, norima tikimybė nustatoma pagal (9) formulę:

Pratimai