Zona trapezului curbilinar este numerică egală cu un anumit integral

Orice parte integrantă (care există) are un sens geometric foarte bun. La lecție, am spus că un anumit integral este un număr. Și acum este timpul să stați un alt fapt util. Din punctul de vedere al geometriei, un anumit integral este o zonă.

I.E, un anumit integral (dacă există) corespunde geometric zonei unei figuri. De exemplu, luați în considerare un anumit integral. Funcția Integrand stabilește o curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar un anumit integrare este numeric egal cu zona trapezului curbilinar corespunzător.

Exemplul 1.

Aceasta este o formulare tipică a sarcinilor. Primul și cel mai important punct al deciziei - construirea unui desen. Și desenul trebuie construit DREAPTA.

La construirea unui desen, recomand următoarea ordine: primul Este mai bine să construim totul drept (dacă sunt) și numai mai tarziu - Parabolele, hiperbolele, programele altor funcții. Graficele funcțiilor sunt mai profitabile pentru a construi poochoe.Tehnica de construcție de check-in poate fi găsită în materialul de referință.

Acolo puteți găsi, de asemenea, un material foarte util în legătură cu lecția noastră materialul - cum să construiți rapid o parabolă.

În această sarcină, decizia poate să arate așa.
Efectuați desenul (rețineți că ecuația stabilește axa):

Nu voi da un trapez curbil, este evident aici despre ce zonă există un discurs. Decizia continuă:

Pe segmentul segmentului este localizată o funcție peste axa, asa de:

Răspuns:

Care întâmpină dificultăți în calcularea unui anumit integrală și utilizarea formulei Newton-Leibnia , consultați prelegerea Anumite integrare. Exemple de soluții.

După finalizarea sarcinii, este întotdeauna util să vă uitați la desen și să estimați, cel real sa dovedit. În acest caz, "pe ochi" numărăm numărul de celule din desen - bine, aproximativ 9 vor fi zburat, se pare adevărului. Este destul de clar că, dacă am fi avut, să răspundem: 20 de unități pătrate, este evident că o eroare se face undeva - în figura a 20 celule, acesta nu este în mod clar montat, de la puterea unei duzini. Dacă răspunsul sa dovedit negativ, sarcina este de asemenea decisă incorect.

Exemplul 2.

Calculați zona de formă, liniile limitate și axa

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă se află trapezul curbiliniar sub axa?

Exemplul 3.

Calculați zona de formă, liniile limitate și axele de coordonate.

Soluție: Efectuați desenul:

Dacă un trapez curbil situat complet sub axa, atunci zona sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Nu confunda două tipuri de sarcini:

1) Dacă sunteți invitat să rezolvați un simplu integrat fără nici un sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă sunteți invitat să găsiți figura cifrei utilizând un anumit integral, atunci zona este întotdeauna pozitivă! De aceea, în doar formula considerată apare minus.

În practică, cifra este cel mai adesea localizată în jumătatea superioară și inferioară a planului și, prin urmare, din cele mai simple diagrame școlare, mergeți la exemple mai semnificative.

Exemplul 4.

Găsiți zona unei figuri plane, linii limitate ,.

Soluție: Mai întâi trebuie să trageți un desen. În general, atunci când construim un desen în sarcini în zonă, suntem cei mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Găsiți puncte de intersecție a parabolei și directe. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvăm ecuația:

Deci, limita inferioară de integrare, limita superioară a integrării.
Acest mod este mai bun, dacă este posibil, nu utilizați.

Este mult mai profitabil și mai rapid pentru a construi liniile liniei, în timp ce limitele de integrare sunt clarificate ca și cum "singure". Tehnica încetării pentru diferite grafice este considerată în detaliu în ajutor Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, o modalitate analitică de a găsi limitele după toate, este uneori necesar să se aplice dacă, de exemplu, programul este suficient de mare sau o construcție instruită nu a dezvăluit limitele de integrare (ele pot fi fracționate sau iraționale). Și un astfel de exemplu, luăm în considerare și noi.

Ne întoarcem la sarcina noastră: mai rațională construi o linie dreaptă și numai apoi parabola. Efectuați desenul:

Repet că în construcția curentă, limitele de integrare sunt adesea aflate în afara "automate".

Și acum formula de lucru: Dacă pe segment o funcție continuă mai mult sau egal Unele funcții continue, zona cifrei corespunzătoare poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să se gândească unde se află cifra - peste axa sau sub axa și, aproximativ vorbind, important care este graficul de mai sus(în raport cu un alt program) Și ce - mai jos.

În acest exemplu, este evident că pe segmentul parabolei este situat mai sus și, prin urmare, este necesar să se scadă

Finalizarea soluției poate arăta astfel:

Figura dorită este limitată la parabola de sus și la fundul direct.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru zona trapezului curbilinar în jumătatea inferioară (vezi exemplul simplu nr. 3) - un caz special cu formula . Deoarece axa este definită de ecuație, iar graficul funcției este situat sub axa,

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5.

Exemplul 6.

Găsiți zona liniilor limitate din figura ,.

În cursul soluționării sarcinilor pentru calcularea zonei cu un anumit integral, apare uneori un caz amuzant. Desenul este finalizat corect, calcule - dreapta, dar intensificate ... a găsit zona nu este cifraCă așa a fost împachetat servitorul tău umil. Iată un caz real din viață:

Exemplul 7.

Calculați zona de formă, linii limitate ,,,.

Mai întâi executați desenul:

Figura a cărui zonă trebuie să găsim este umbrită în albastru(Uită-te cu atenție în condiții - decât figura este limitată!). Dar, în practică, la neatenție, este adesea că este necesar să se găsească zona figurii, care este umbrită cu verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util prin faptul că este considerat a fi în dimensiunea a două integrale specifice. Într-adevăr:

1) un program drept este localizat pe segmentul peste axa;

2) Pe segmentul deasupra axei există un grafic de hiperbele.

Este clar că piața poate (și nevoia) să se descompună, deci:

Răspuns:

Exemplul 8.

Calculați zona de formă, linii limitate,
Imaginați-vă ecuația în formularul "școală" și efectuați desenul curent:

Din desen este clar că limita superioară avem "bun" :.
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu o precizie perfectă, ar putea fi așa. Sau rădăcină. Și dacă în general am construit în mod necorespunzător un program?

În astfel de cazuri, trebuie să cheltuiți timp suplimentar și să specificați limitele de integrare analitic.

Găsiți punctele de intersecție ale direcției și parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvați ecuația:

Prin urmare,.

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru nu este să se confunde în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

La tăiere Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, și în încheierea lecției, luați în considerare două sarcini mai dificile.

Exemplul 9.

Calculați zona de formă, linii limitate ,,

Soluție: Arătați această formă în desen.

Pentru construcția curentă a desenului, este necesar să se cunoască aspectul sinusoidurilor (și în general este util să știți graficele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele valori sinusale, ele pot fi găsite în trigonometric TIP.. În unele cazuri (ca în acest sens), este permisă construirea unui desen schematic pe care trebuie să se reflecte în principiu graficul și limitele de integrare.

Cu limitele integrării, nu există probleme aici, ele urmează direct din starea: - "x" variază de la zero la "pi". Elaborăm o altă soluție:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, deci:

(1) Cum se integrează sinusurile și cosinele în grade ciudate pot fi văzute la lecție Integrals din funcțiile trigonometrice. Aceasta este o recepție tipică, apăsând un sinus.

(2) Folosim identitatea trigonometrică principală sub formă de

(3) Vom înlocui variabila, apoi:

Integrare nouă de modificare:

Care are lucruri foarte rele cu înlocuiri, vă rugăm să mergeți la lecție Metoda de înlocuire într-un integral nedefinit. Care nu este foarte clar pentru algoritmul de înlocuire într-un anumit integral, vizitați pagina Anumite integrare. Exemple de soluții.

Anumite integrare. Cum se calculează zona figurii

Accesați luarea în considerare a aplicațiilor integrate de aplicații. În această lecție, vom analiza sarcina tipică și cea mai obișnuită. - Cum să calculați forma planului cu un anumit integral. În cele din urmă, văzând semnificația în matematica superioară - o va găsi. Mic. Va trebui să aducem zona de țară în viață cu funcții elementare și să găsim zona folosind un anumit integral.

Pentru dezvoltarea de succes a materialelor, este necesar:

1) Pentru a înțelege integrarea nedefinită cel puțin un nivel mediu. Astfel, ceainiculele ar trebui să fie familiarizate cu lecția Nu.

2) Pentru a putea aplica formula Newton Labnic și a calcula un anumit integral. Pentru a stabili prietenii calde cu anumite integrități pe pagină Anumite integrare. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi zona figurii, nu există astfel de cunoștințe despre Incert și definiți integrale. Sarcina "calculează zona cu ajutorul unui anumit integral" implică întotdeauna construcția desenuluiPrin urmare, o problemă mult mai relevantă va fi cunoștințele și abilitățile de pe desene de construcție. În acest sens, este util să reîmprospătați în memoria graficelor principale ale principalelor funcții elementare și cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, parabola și hiperbola. Acest lucru se poate face (multe - necesare) folosind un material metodologic și articole despre transformările geometrice.

De fapt, cu sarcina de a găsi zona cu ajutorul unui anumit integral, toată lumea este familiară de la școală și vom mânca puțin din programul școlar. Acest articol nu ar putea fi nici măcar, dar faptul că sarcina se găsește în 99 de cazuri din 100, când studentul suferă de un turn urât, cu entuziasm, plecând cursul matematicii superioare.

Materialele acestui atelier sunt prezentate pur și simplu, în detaliu și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapeziu curbil.

Curvilinear trapez O figură plat este numită axă limitată, dreaptă și un program continuu pe un segment al unei funcții care nu schimbă semnul pe acest interval. Lăsați această cifră să fie localizată nu mai puțin Axa Abscisa:

Atunci zona trapezului curbilinar este numerică egală cu un anumit integral. Orice parte integrantă (care există) are un sens geometric foarte bun. La lectie Anumite integrare. Exemple de soluții Am spus că un anumit integral este un număr. Și acum este timpul să stați un alt fapt util. Din punctul de vedere al geometriei, un anumit integral este o zonă.

I.E, un anumit integral (dacă există) corespunde geometric zonei unei figuri. De exemplu, luați în considerare un anumit integral. Funcția Integrand stabilește o curbă pe plan, situată deasupra axei (care dorește să deseneze desenul), iar integralul specific este numeric egal cu zona trapezului curbilinar corespunzător.

Exemplul 1.

Aceasta este o formulare tipică a sarcinilor. Primul și cel mai important punct al deciziei - construirea unui desen. Și desenul trebuie construit DREAPTA.

La construirea unui desen, recomand următoarea ordine: primul Este mai bine să construim totul drept (dacă sunt) și numai mai tarziu - Parabolele, hiperbolele, programele altor funcții. Graficele funcțiilor sunt mai profitabile pentru a construi poochoe.Cu tehnica de construcție de check-in poate fi găsită în materialul de referință. Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi, de asemenea, un material foarte util în legătură cu lecția noastră materialul - cum să construiți rapid o parabolă.

În această sarcină, decizia poate să arate așa.
Efectuați desenul (rețineți că ecuația stabilește axa):

Nu voi da un trapez curbil, este evident aici despre ce zonă există un discurs. Decizia continuă:

Pe segmentul segmentului este localizată o funcție peste axa, asa de:

Răspuns:

Care întâmpină dificultăți în calcularea unui anumit integrală și utilizarea formulei Newton-Leibnia , consultați prelegerea Anumite integrare. Exemple de soluții.

După finalizarea sarcinii, este întotdeauna util să vă uitați la desen și să estimați, cel real sa dovedit. În acest caz, "pe ochi" numărăm numărul de celule din desen - bine, aproximativ 9 vor fi zburat, se pare adevărului. Este destul de clar că, dacă am fi avut, să răspundem: 20 de unități pătrate, este evident că o eroare se face undeva - în figura a 20 celule, acesta nu este în mod clar montat, de la puterea unei duzini. Dacă răspunsul sa dovedit negativ, sarcina este de asemenea decisă incorect.

Exemplul 2.

Calculați zona de formă, liniile limitate și axa

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă se află trapezul curbiliniar sub axa?

Exemplul 3.

Calculați zona de formă, liniile limitate și axele de coordonate.

Decizie: Efectuați desenul:

Dacă se află trapezul curbiliniar sub axa (sau cel puțin nu mai mare Această axă), atunci zona sa poate fi găsită prin formula:
În acest caz:

Atenţie! Nu confunda două tipuri de sarcini:

1) Dacă sunteți invitat să rezolvați un simplu integrat fără nici un sens geometric, atunci poate fi negativ.

2) Dacă sunteți invitat să găsiți figura cifrei utilizând un anumit integral, atunci zona este întotdeauna pozitivă! De aceea, în doar formula considerată apare minus.

În practică, cifra este cel mai adesea localizată în jumătatea superioară și inferioară a planului și, prin urmare, din cele mai simple diagrame școlare, mergeți la exemple mai semnificative.

Exemplul 4.

Găsiți zona unei figuri plane, linii limitate ,.

Decizie: Mai întâi trebuie să trageți un desen. În general, atunci când construim un desen în sarcini în zonă, suntem cei mai interesați de punctele de intersecție ale liniilor. Găsiți puncte de intersecție a parabolei și directe. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvăm ecuația:

Deci, limita inferioară de integrare, limita superioară a integrării.
În acest fel este mai bine, dacă este posibil, nu utilizați.

Este mult mai profitabil și mai rapid pentru a construi liniile liniei, în timp ce limitele de integrare sunt clarificate ca și cum "singure". Tehnica încetării pentru diferite grafice este considerată în detaliu în ajutor Diagrame și proprietăți ale funcțiilor elementare . Cu toate acestea, o modalitate analitică de a găsi limitele după toate, este uneori necesar să se aplice dacă, de exemplu, programul este suficient de mare sau o construcție instruită nu a dezvăluit limitele de integrare (ele pot fi fracționate sau iraționale). Și un astfel de exemplu, luăm în considerare și noi.

Ne întoarcem la sarcina noastră: mai rațională construi o linie dreaptă și numai apoi parabola. Efectuați desenul:

Repet că în construcția curentă, limitele de integrare sunt adesea aflate în afara "automate".

Și acum formula de lucru: Dacă pe segment o funcție continuă mai mult sau egal Unele funcții continue, zona figurii, limitate de graficele acestor funcții și directe, poate fi găsită prin formula:

Aici nu mai este necesar să se gândească unde se află cifra - peste axa sau sub axa și, aproximativ vorbind, important care este graficul de mai sus(în raport cu un alt program) Și ce - mai jos.

În acest exemplu, este evident că pe segmentul parabolei este situat mai sus și, prin urmare, este necesar să se scadă

Finalizarea soluției poate arăta astfel:

Figura dorită este limitată la parabola de sus și la fundul direct.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru zona trapezului curbilinar în jumătatea inferioară (vezi exemplul simplu nr. 3) - un caz special cu formula . Deoarece axa este definită de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai mare Axa, T.

Și acum câteva exemple pentru o decizie independentă

Exemplul 5.

Exemplul 6.

Găsiți zona liniilor limitate din figura ,.

În cursul soluționării sarcinilor pentru calcularea zonei cu un anumit integral, apare uneori un caz amuzant. Desenul este finalizat corect, calcule - dreapta, dar intensificate ... a găsit zona nu este cifraCă așa a fost împachetat servitorul tău umil. Iată un caz real din viață:

Exemplul 7.

Calculați zona de formă, linii limitate ,,,.

Decizie: Mai întâi face desenul:

... Oh, desenul lui Khrenovynsky a ieșit, dar totul pare să se ridice.

Figura a cărui zonă trebuie să găsim este umbrită în albastru (Uită-te cu atenție în condiții - decât figura este limitată!). Dar, în practică, "glitch" apare adesea în minte, pe care trebuie să găsiți o zonă a figurii, care este umbrită cu verde!

Acest exemplu este încă util și faptul că în ea zona cifrei este considerată utilizând două integrale specifice. Într-adevăr:

1) un program drept este localizat pe segmentul peste axa;

2) Pe segmentul deasupra axei există un grafic de hiperbele.

Este clar că piața poate (și nevoia) să se descompună, deci:

Răspuns:

Du-te la o altă sarcină de fond.

Exemplul 8.

Calculați zona de formă, linii limitate,
Imaginați-vă ecuația în formularul "școală" și efectuați desenul curent:

Din desen este clar că limita superioară avem "bun" :.
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce? Poate ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu o precizie perfectă, ar putea fi așa. Sau rădăcină. Și dacă în general am construit în mod necorespunzător un program?

În astfel de cazuri, trebuie să cheltuiți timp suplimentar și să specificați limitele de integrare analitic.

Găsiți punctele de intersecție ale direcției și parabolei.
Pentru a face acest lucru, rezolvați ecuația:


,

Într-adevăr.

Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru nu este să se confunde în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

La tăiere Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, și în încheierea lecției, luați în considerare două sarcini mai dificile.

Exemplul 9.

Calculați zona de formă, linii limitate ,,

Decizie: Arătați această formă în desen.

La naiba, ați uitat programul de semnare, dar pentru a redo imaginea, îmi pare rău, nu un Hotz. Nu este moștenit, mai scurt, ziua de azi \u003d)

Pentru construcția actuală trebuie să cunoașteți aspectul sinusoidurilor (și în general este util să știți graficele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele valori sinusale, ele pot fi găsite în trigonometric TIP.. În unele cazuri (ca în acest sens), este permisă construirea unui desen schematic pe care trebuie să se reflecte în principiu graficul și limitele de integrare.

Cu limitele integrării, nu există probleme aici, ele urmează direct din starea: - "x" variază de la zero la "pi". Elaborăm o altă soluție:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, deci:

Subiect: Calculul unei figuri plane cu un anumit integral

Sarcini: Pentru a afla definiția și formula de găsire a zonei trapezului curbilinar;

luați în considerare diverse cazuri de găsire a zonei trapezului curbilinar;

Fiți capabili să calculați zona trapezului curbilinar.

Plan:

Curvilinear trapeziu.

Formule pentru calcularea zonei trapezului curbilinar.

Curvilinear trapez Figura este numită un grafic al unei funcții continue, non-negative f (x) pe interval, segmente ale X \u003d A și X \u003d B, precum și secțiunea Axă Abscisa între punctele A și B.

Imagini ale trapetelor curbilineare:

Acum, să ne întoarcem la opțiunile posibile pentru localizarea figurilor a căror zonă trebuie calculată pe planul de coordonate.

Primul Va fi cea mai ușoară opțiune (primul desen), obișnuit krivolynaya trapezum.ca în definiție. Aici nimic nu ar trebui inventat doar să ia integral de la a. inainte de b. de la funcția f (x). Vom găsi integral - vom cunoaște zona acestui trapez.


În al doilea Opțiunea Figura noastră va fi limitată nu la axa Abscisa, ci o altă funcție g (x). Deci, ce să găsiți zona CEFD.Trebuie să găsim mai întâi zona AEFB. (folosind integral de la f (x)), apoi găsiți zona ACDB. (folosind integral de la g (x)). Și zona dorită a figurii CEFD.Va exista o diferență între prima și a doua pătrată a trapezului curbilinar. Deoarece limitele integrării sunt aceleași, atunci toate acestea pot fi înregistrate sub un integral (a se vedea formulele din figură), totul depinde de complexitatea funcțiilor, caz în care cazurile vor fi mai ușor de găsit integral.



Al treilea foarte asemănător cu primul, dar numai trapezul nostru este plasat, nu peste axa Abscisa.și sub ea. Prin urmare, este necesar să se facă același lucru integral aici, numai cu un semn minus, deoarece valoarea integrală va fi negativă, iar valoarea zonei ar trebui să fie pozitivă. Dacă în loc de o funcție f (x) Ia o caracteristică -F (x)Graficul va fi același simplu simetric afișat în raport cu axa Abscisa.


ȘI al patrulea Opțiunea atunci când o parte din figura noastră este deasupra axei Abscisa și partea sub ea. Deci, trebuie să găsim mai întâi zona figurii AEFB., ca în prima versiune și apoi zona figurii ABCD.Ca în cea de-a treia versiune și apoi pliați-le. Ca rezultat, obținem zona figurii Defc.. Deoarece limitele integrării sunt aceleași, atunci toate acestea pot fi înregistrate sub un integral (a se vedea formulele din figură), totul depinde de complexitatea funcțiilor, caz în care cazurile vor fi mai ușor de găsit integral.

Întrebări pentru auto-test:

Ce cifră se numește un trapezion curbilinar?

Cum să găsiți o zonă de trapeziu de crivoilină?

Să presupunem că funcția este non-negativă și continuă pe segment. Apoi, în conformitate cu sensul geometric al unui anumit integral, zona unui trapeziu curbilinanar, limitată din partea superioară a graficului acestei funcții, de la axa de jos, pe stânga și la dreapta - direct și (vezi fig. 2) se calculează prin formula

Exemplul 9. Găsiți o zonă a figurilor limitate și toporul.

Decizie. Graficul grafic Este o parabolă a cărei ramuri sunt îndreptate. Construim-o (figura 3). Pentru a determina limitele de integrare, găsiți intersecția liniei (parabola) cu axă (dreaptă). Pentru a face acest lucru, rezolvați sistemul de ecuații

Primim: Unde,; Prin urmare ,,.

Smochin. 3.

Formula de formă (5):

Dacă funcția este ne-pozitivă și continuă pe segment, atunci zona trapezului curbilinar, limitată la partea inferioară cu un grafic al acestei funcții, axa superioară, pe stânga și la dreapta - direct și, calculată de către formulă

. (6)

În cazul în care funcția este continuă pe segment și modifică semnul în numărul de puncte de puncte, atunci zona figurii umbrite (figura 4) este egală cu cantitatea algebrică a integrării specifice corespunzătoare:

Smochin. patru.

Exemplul 10. Calculați zona figurii, limitate de axa și graficul funcției la.

Smochin. cinci

Decizie. Să tragem un desen (figura 5). Zona dorită este suma pătratului și. Vom găsi fiecare dintre aceste zone. În primul rând, definim limitele de integrare, rezolvând sistemul Primim ,. Prin urmare:

;

.

Astfel, zona figurii umbrite este egală cu

(Sq. ed.).

Smochin. 6.

În cele din urmă, trapezul curbilinar este limitat de la deasupra și sub diagramele continue pe segmentul de funcții și,
Și pe stânga și la dreapta - drept și (figura 6). Apoi zona sa este calculată prin formula

. (8)

Exemplul 11. Găsiți zona de linii limitate din figura și.

Decizie. Această cifră este descrisă în fig. 7. Zona este calculată cu formula (8). Rezolvarea sistemului de ecuații pe care le găsim; Prin urmare ,,. Pe segmentul avem :. Înseamnă în formula (8) ca luați x., si ca -. Primim:

(Sq. ed.).

Sarcini mai complexe pentru calcularea zonelor sunt rezolvate prin împărțirea figurii pe piesele inverse și calculând zona întregii figuri ca suma zonelor din aceste părți.

Smochin. 7.

Exemplul 12. Găsiți zona de linii limitate din figura,.

Decizie. Să tragem un desen (figura 8). Această figură poate fi considerată ca un trapezi curbil, limitată la partea superioară a axei, pe stânga și la dreapta - direct și, pe partea superioară a graficelor de funcții și. Deoarece cifra este limitată din partea de sus a graficelor a două funcții, atunci pentru calcularea zonei sale, vom rupe această figură direct în două părți (1 este punctul de intersecție a liniilor și). Suprafața fiecăreia dintre aceste părți se găsește cu formula (4):

(Sq. ed.); (Sq. ed.). Prin urmare:

(Sq. ed.).

Smochin. opt

h. \u003d j ( w.)

Smochin. nouă

În concluzie, observăm că, dacă trapezul curbilinar este limitat la axă și, axă și continuă pe curbă (figura 9), zona sa este localizată conform formulei

Volumul volumului de rotație

Lăsați un trapeziu curbil, limitat de un program continuu pe un segment de o funcție, axă, drept și, se rotește în jurul axei (figura 10). Apoi volumul corpului de rotație rezultat este calculat prin formula

. (9)

Exemplul 13. Calculați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei trapezului curbilinar, limitată de hiperbolă, dreaptă și axă.

Decizie. Să facem un desen (figura 11).

Din condițiile sarcinii rezultă că. Prin formula (9) ajungem

.

Smochin. 10.

Smochin. unsprezece

Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ou. curvilinear trapezium limitat y \u003d S. și y \u003d D., axa Ou. și un program continuu pe segmentul funcției (figura 12) este determinat prin formula

. (10)

h. \u003d j ( w.)

Smochin. 12.

Exemplul 14.. Calculați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei Ou. CURVILINEAR TRAPIZIUM LIMITED LIMITED h. 2 = 4w., y \u003d. 4, x \u003d. 0 (figura 13).

Decizie. În conformitate cu starea sarcinii, găsim limitele integrării :,. Prin formula (10) obținem:

Smochin. 13.

Lungimea unei curbe plane cu arc

Lăsați curba dată de ecuație, unde, se află în plan (fig.14).

Smochin. paisprezece

Definiție. Sub stratul de arc este înțeles ca limită la care lungimea liniei întrerupte, inspirată în acest ARC, atunci când numărul de legături Loloral tinde la infinit și lungimea celei mai mari legături se străduiește pentru zero.

Dacă funcția și derivatul său sunt continuu pe segment, lungimea arcului curbei este calculată prin formula

. (11)

Exemplul 15.. Calculați lungimea curbei ARC încheiată între punctele pentru care .

Decizie. Din condițiile sarcinii pe care le avem . Prin formula (11) obținem:

.

4. Integralurile primite
cu limite de integrare infinită

La introducerea conceptului de un anumit integral, se presupune că se efectuează următoarele două condiții:

a) limitele de integrare dar și sunt finite;

b) Funcția integrată este limitată la segmentul.

Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, este apelat integral invalid.

Luați în considerare integriile inițial incompatibile cu limite de integrare infinită.

Definiție. Să presupunem că funcția este definită și continuă pe interval, atunci și drept nelimitat (figura 15).

Dacă o convergere integrală depreciată, atunci această zonă este cea mai bună; Dacă o diverge integral incompatibilă, atunci această zonă este infinită.

Smochin. cincisprezece

Introducerea integrală cu o limită de integrare inferioară infinită este determinată în mod similar:

. (13)

Acest lucru integrat converge dacă limita din partea dreaptă a egalității (13) există și este finită; În caz contrar, integralul se numește divergent.

Integral integrat cu două limite infinite de integrare sunt definite după cum urmează:

, (14)

unde c este orice punct al intervalului. Converjele integrale numai în cazul în care ambele integrale sunt converted în partea dreaptă a egalității (14).

;

d) \u003d [Evidențiați un pătrat complet în denominator:] \u003d [Înlocuire:

] =

Aceasta înseamnă că convergerile integrante intolerabile și valoarea acestuia sunt egale.

Figura, limitată de o diagramă continuă non-negativă pe un segment $$ funcții $ F (x) $ și direct $ y \u003d 0, \\ x \u003d A $ și $ x \u003d B $, se numește un trapeziu curbilinar.

Zona trapezului curbilinar corespunzător este calculată prin formula:

$ S \u003d \\ int \\ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Sarcini pentru găsirea zonei Curbilinear Trapezium Vom fi împărțiți condiționat cu 4 $ $. Luați în considerare fiecare tip de citire mai mult.

I Tip: Trapezul curbilinar este clar setat. Apoi aplicați imediat formula (*).

De exemplu, găsiți zona Curvilinear Trapezium, limitată de graficul funcției $ y \u003d 4- (X-2) ^ (2) $, și direct $ y \u003d 0, \\ x \u003d 1 $ și $ x x \u003d $ 3.

Desenați acest trapeziu curbil.

Folosind formula (*), vom găsi zona acestui trapeziu curbilinar.

$ S \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (\\ stânga (4- (X-2) ^ (2) \\ dreapta) dx) \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - \\ stânga. \\ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \\ dreapta | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) \\ stânga ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \\ dreapta) \u003d 4 \\ CDOT 2 - \\ frac (1) (3) \\ stânga ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ dreapta) \u003d 8 - \\ frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- \\ frac (2) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) $ (unitate $ ^ (2) $).

Tipul II: Trapezul curbiliniar este definit implicit. Acest caz, de obicei, nu specifică sau este specificat parțial drept $ x \u003d a, \\ x \u003d b $. În acest caz, trebuie să găsiți punctele de intersecție ale funcțiilor $ y \u003d F (x) $ și $ y \u003d 0 $. Aceste puncte vor fi puncte $ A $ și $ B $.

De exemplu, găsiți zona figurii limitate de graficele funcțiilor $ y \u003d 1-x ^ (2) $ și $ y \u003d 0 $.

Găsiți punctele de intersecție. Pentru a face acest lucru, echivalează părțile potrivite ale funcțiilor.

Astfel, $ a \u003d -1 $, și $ b \u003d 1 $. Desenați acest trapeziu curbil.

Găsiți zona acestui trapeziu curbilinar.

$ S \u003d \\ int _ limite _ (- 1) ^ (1) (\\ stânga (1-x ^ (2) \\ dreapta) dx) \u003d \\ int ^ limite _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \\ INT \\ LIMITE _ (1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - \\ stânga. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ Dreapta | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (- 1)) - \\ frac (1) (3) \\ stânga (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ dreapta) \u003d 2 - \\ frac (1) (3) \\ stânga (1 + 1 \\ dreapta) \u003d 2 - \\ frac (2) (3) \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unități $ ^ (2) $).

Tipul III: Zona Figura, limitată de intersecția a două funcții continue non-negative. Această cifră nu va fi un trapez curbil și, prin urmare, cu ajutorul formulei (*), zona sa nu se calculează. Cum să fii?Se pare că zona acestei figuri poate fi găsită ca diferența în zonele trapezilor curbilinale delimitată de funcția superioară și $ y \u003d 0 $ ($ S_ (UF) $) și funcția inferioară și $ y \u003d 0 $ ($ s_ (LF) $), unde în rolul de $ x \u003d a, \\ x \u003d b $, coordonate sunt coordonate de $ x $ de intersecție a acestor funcții, adică

$ S \u003d S_ (UF) -S_ (LF) $. (**)

Cel mai important lucru la calcularea acestor zone nu este "dor" cu alegerea funcției superioare și inferioare.

De exemplu, găsiți zona figurii limitate de funcțiile $ y \u003d x ^ (2) $ și $ y \u003d x + $ 6.

Găsiți punctele de intersecție ale acestor grafice:

Pe teorema Vieta,

$ x_ (1) \u003d - 2, \\ x_ (2) \u003d 3. $

Adică, $ a \u003d -2, \\ b \u003d $ 3. Voi arăta figura:

Astfel, funcția superioară este $ y \u003d x + $ 6, iar partea inferioară este $ y \u003d x ^ (2) $. Apoi, găsim $ s_ (UF) $ și $ s_ (LF) $ cu formula (*).

$ S_ (UF) \u003d \\ int \\ limite _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ limite _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \\ int \\ limite _ (- 2) ^ (3) (6dx) \u003d \\ stânga. \\ Frac (x ^ (2)) (2) \\ dreapta | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) \u003d 32, $ 5 (unitate $ ^ (2) $).

$ S_ (LF) \u003d \\ int \\ limite _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d \\ stânga. \\ Frac (x ^ (3)) (3) \\ dreapta | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (unitate $ ^ (2) $).

Înlocuim găsiți în (**) și obținem:

$ S \u003d 32.5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (unitate $ ^ (2) $).

Tipul IV: Zona de figură, limitată de funcțiile (funcțiilor), care nu este satisfăcătoare (e) condiția non-negativității. Pentru a găsi zona unei astfel de figuri, aveți nevoie de simetric față de axa de $ Ox ( cu alte cuvinte, Puneți "minus" înainte de funcții) pentru a afișa zona și pentru a utiliza metodele stabilite în tipurile I - III, găsiți zona zonei afișate. Această zonă va fi zona dorită. Anterior, este posibil să fie necesar să găsiți punctele de intersecție a graficelor de funcții.

De exemplu, găsiți zona figurii limitate de graficele funcțiilor $ y \u003d x ^ (2) -1 $ și $ y \u003d 0 $.

Găsiți punctele de intersecție a graficelor de funcții:

acestea. $ a \u003d -1 $, și $ b \u003d 1 $. Trageți zona.

Afișați simetric zona:

$ y \u003d 0 \\ \\ dreaptaRrow \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ dreaptaRrow \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

Se pare că este o trapezion curbil, limitată de un grafic al funcției $ y \u003d 1-x ^ (2) $ și $ y \u003d 0 $. Aceasta este sarcina de a găsi un trapeziu curbiliniar al celui de-al doilea tip. Am rezolvat deja acest lucru. Răspunsul a fost astfel: $ s \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unitate $ ^ (2) $). Aceasta înseamnă că zona trapezului curbilinar dorit este egală cu:

$ S \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unitate $ ^ (2) $).