Serija člankov o znakih deljivosti se nadaljuje znak deljivosti s 3. V tem članku je najprej podana formulacija kriterija za deljivost s 3 in podani primeri uporabe tega merila pri ugotavljanju, katera od danih celih števil so deljiva s 3 in katera ne. Nadalje je podan dokaz o preizkusu deljivosti s 3. Obravnavani so tudi pristopi k ugotavljanju deljivosti številk s 3 kot vrednost nekega izraza.

Navigacija po straneh.

Znak deljivosti s 3, primeri

Začnimo z formulacije testa za deljivost s 3: celo število je deljivo s 3 , če je vsota njegovih števk deljiva s 3 , če vsota njegovih števk ni deljiva s 3 , potem samo število ni deljivo s 3 .

Iz zgornje formulacije je jasno, da znaka deljivosti s 3 ni mogoče uporabiti brez sposobnosti izvedbe. Za uspešno uporabo znaka deljivosti s 3 morate vedeti, da so od vseh številk 3, 6 in 9 deljiva s 3, števila 1, 2, 4, 5, 7 in 8 pa niso deljiva. do 3.

Zdaj lahko razmislimo o najpreprostejših Primeri uporabe testa za deljivost s 3. Ugotovite, ali je število −42 deljivo s 3. Za to izračunamo vsoto števk števila −42, ki je enaka 4+2=6. Ker je 6 deljivo s 3, potem lahko na podlagi merila deljivosti s 3 trdimo, da je število −42 deljivo tudi s 3. Toda pozitivno celo število 71 ni deljivo s 3, saj je vsota njegovih števk 7+1=8, 8 pa ni deljivo s 3.

Ali je 0 deljivo s 3? Za odgovor na to vprašanje test za deljivost s 3 ni potreben, tukaj se moramo spomniti ustrezne lastnosti deljivosti, ki pravi, da je nič deljiva s katerim koli celim številom. Torej je 0 deljivo s 3.

V nekaterih primerih je treba preizkus deljivosti s 3 uporabiti večkrat zapored, da bi dokazali, da je določeno število deljivo s 3 ali ne. Vzemimo primer.

Primer.

Pokažite, da je število 907444812 deljivo s 3.

Odločitev.

Vsota števk 907444812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Da ugotovimo, ali je 39 deljivo s 3, izračunamo njegovo vsoto števk: 3+9=12. In da ugotovimo, ali je 12 deljivo s 3, poiščemo vsoto števk števila 12, imamo 1+2=3. Ker smo dobili število 3, ki je deljivo s 3, je zaradi predznaka deljivosti s 3 število 12 deljivo s 3. Zato je 39 deljivo s 3, saj je vsota njegovih števk 12, 12 pa je deljivo s 3. Končno je 907333812 deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 39, 39 pa je deljivo s 3.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Ali je število −543205 deljivo s 3?

Odločitev.

Izračunajmo vsoto števk tega števila: 5+4+3+2+0+5=19 . Po drugi strani je vsota števk števila 19 1+9=10, vsota števk števila 10 pa 1+0=1. Ker smo dobili število 1, ki ni deljivo s 3, iz merila deljivosti s 3 izhaja, da 10 ni deljivo s 3. Zato 19 ni deljivo s 3, ker je vsota njegovih števk 10, 10 pa ni deljivo s 3. Zato prvotno število −543205 ni deljivo s 3, saj vsota njegovih števk, enaka 19, ni deljiva s 3.

odgovor:

št.

Omeniti velja, da nam neposredna deljenje danega števila s 3 omogoča tudi sklep, ali je dano število deljivo s 3 ali ne. S tem želimo povedati, da delitve ne smemo zanemariti v prid znaku deljivosti s 3. V zadnjem primeru, 543205 krat 3, bi poskrbeli, da 543205 niti ni deljivo s 3, iz česar bi lahko rekli, da tudi −543205 ni deljivo s 3.

Dokaz testa za deljivost s 3

Naslednja predstavitev števila a nam bo pomagala dokazati znak deljivosti s 3. Vsako naravno število a lahko , po katerem nam omogoča, da dobimo predstavitev oblike , kjer so a n , a n−1 , ..., a 0 števke od leve proti desni v zapisu števila a . Zaradi jasnosti navajamo primer takšne predstavitve: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Zdaj pa zapišimo številne dokaj očitne enakosti: 10=9+1=3 3+1, 100=99+1=33 3+1, 1 000=999+1=333 3+1 in tako naprej.

Zamenjava v enakost a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 namesto 10 , 100 , 1 000 in tako naprej, dobimo izraze 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 in tako naprej
.

In dovolite, da se nastalo enakost prepiše na naslednji način:

Izraz je vsota števk a. Označimo ga zaradi kratkosti in priročnosti s črko A, torej vzemimo . Nato dobimo predstavitev števila a obrazca , ki jo bomo uporabili pri dokazovanju testa za deljivost s 3 .

Za dokazovanje testa deljivosti s 3 potrebujemo tudi naslednje lastnosti deljivosti:

• da je celo število a deljivo s celim številom b, je potrebno in zadostno, da je a deljivo z modulom b;
• če so v enakosti a=s+t vsi členi, razen nekega, deljivi z nekim celim številom b, je ta člen tudi deljiv z b.

Zdaj smo v celoti pripravljeni in lahko izvedemo dokaz o deljivosti s 3, zaradi udobja to lastnost formuliramo kot nujen in zadosten pogoj za deljivost s 3 .

Izrek.

Da je celo število a deljivo s 3, je potrebno in zadostno, da je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Dokaz.

Za a=0 je izrek očiten.

Če a je drugačen od nič, potem je modul a naravno število, potem je predstavitev mogoča, kjer je vsota števk števila a.

Ker je vsota in zmnožek celih števil celo število, potem je celo število, potem je po definiciji deljivosti zmnožek deljiv s 3 za vse a 0 , a 1 , …, a n .

Če je vsota števk števila a deljiva s 3, to je, da je A deljivo s 3, potem je zaradi lastnosti deljivosti, navedene pred izrekom, deljivo s 3, zato je a deljivo s 3. To dokazuje zadostnost.

Če a je deljivo s 3, potem je deljivo s 3, nato pa je zaradi enake lastnosti deljivosti število A deljivo s 3, torej vsota števk števila a je deljiva s 3. To dokazuje nujnost.

Drugi primeri deljivosti s 3

Včasih cela števila niso navedena eksplicitno, ampak kot vrednost neke dane vrednosti spremenljivke. Na primer, vrednost izraza za nekaj naravnega n je naravno število. Jasno je, da pri takšni specifikaciji števil neposredna deljenje s 3 ne bo pomagalo ugotoviti njihove deljivosti s 3, znaka deljivosti s 3 pa ne bo vedno mogoče uporabiti. Zdaj bomo razmislili o več pristopih k reševanju takšnih težav.

Bistvo teh pristopov je predstaviti izvirni izraz kot produkt več faktorjev, in če je vsaj eden od faktorjev deljiv s 3, potem bo zaradi ustrezne lastnosti deljivosti mogoče sklepati, da je celotna izdelek je deljiv s 3.

Včasih vam ta pristop omogoča izvajanje. Oglejmo si primer rešitve.

Primer.

Ali je vrednost izraza deljiva s 3 za kateri koli naravni n?

Odločitev.

Enakost je očitna. Uporabimo Newtonovo binomsko formulo:

V zadnjem izrazu lahko vzamemo 3 iz oklepajev in dobimo . Nastali produkt je deljiv s 3, saj vsebuje faktor 3, vrednost izraza v oklepaju za naravni n pa je naravno število. Zato je deljivo s 3 za katero koli naravno n.

odgovor:

da.

V mnogih primerih dokazovanje deljivosti s 3 omogoča . Analizirajmo njegovo uporabo pri reševanju primera.

Primer.

Dokaži, da je za kateri koli naravni n vrednost izraza deljiva s 3.

Odločitev.

Za dokaz uporabljamo metodo matematične indukcije.

Pri n=1 vrednost izraza je , 6 pa je deljivo s 3 .

Recimo, da je vrednost izraza deljiva s 3, ko je n=k, torej deljiva s 3.

Ob upoštevanju, da je deljiva s 3, bomo pokazali, da je vrednost izraza za n=k+1 deljiva s 3, torej bomo pokazali, da je deljivo s 3.

Naredimo nekaj transformacij:

Izraz je deljen s 3 in izrazom je deljiva s 3, zato je njihova vsota deljiva s 3.

Torej je metoda matematične indukcije dokazala deljivost s 3 za katero koli naravno n.

Pokažimo še en pristop k dokazu deljivosti s 3. Če pokažemo, da je za n=3 m , n=3 m+1 in n=3 m+2 , kjer je m poljubno celo število, vrednost nekega izraza (s spremenljivko n ) deljiva s 3 , potem bo to dokazano deljivost izraza s 3 za katero koli celo število n . Upoštevajte ta pristop pri reševanju prejšnjega primera.

tako, kajti vsak naravni n je deljiv s 3.

odgovor:

da.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije števil.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teorija števil.
• Kulikov L.Ya. in drugi Zbirka nalog iz algebre in teorije števil: Učbenik za študente fiz.-mat. specialnosti pedagoških inštitutov.

Znaki deljivosti števil- to so pravila, ki omogočajo, da brez deljenja relativno hitro ugotovimo, ali je to število deljivo z danim brez ostanka.
Nekaj znaki deljivosti precej preprosto, nekaj težje. Na tej strani boste našli tako znake deljivosti praštevil, kot so na primer 2, 3, 5, 7, 11, kot znake deljivosti sestavljenih števil, kot sta 6 ali 12.
Upam, da vam bodo te informacije koristne.
Srečno učenje!

Znak deljivosti z 2

To je eden najpreprostejših znakov deljivosti. Sliši se takole: če se zapis naravnega števila konča s sodo številko, potem je sodo (brez ostanka deljeno z 2), in če se zapis števila konča z liho številko, je to število liho.
Z drugimi besedami, če je zadnja številka števila 2 , 4 , 6 , 8 oz 0 - število je deljivo z 2, če ni, potem ni deljivo
Na primer številke: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 so deljivi z 2, ker so sodi.
Številke: 23 5 , 137 , 2303
niso deljivi z 2, ker so lihi.

Znak deljivosti s 3

Ta znak deljivosti ima povsem drugačna pravila: če je vsota števk števila deljiva s 3, potem je tudi število deljivo s 3; Če vsota števk števila ni deljiva s 3, potem število ni deljivo s 3.
Torej, da bi razumeli, ali je število deljivo s 3, morate samo sešteti števila, ki ga sestavljajo.
Izgleda takole: 3987 in 141 sta deljena s 3, ker je v prvem primeru 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deljivo brez ostanka s 3), v drugi pa 1+4+1= 6 (6:3=2 - tudi deljivo s 3 brez ostanka).
Toda številki: 235 in 566 nista deljivi s 3, ker je 2+3+5= 10 in 5+6+6= 17 (in vemo, da niti 10 niti 17 ni mogoče deliti s 3 brez preostanka).

Deljivost s 4 znaki

Ta preizkus deljivosti bo bolj zapleten. Če zadnji 2 števki števila tvorita število, ki je deljivo s 4 ali je 00, potem je število deljivo s 4, sicer pa to število ni deljivo s 4 brez ostanka.
Na primer: 1 00 in 3 64 so deljivi s 4, ker se v prvem primeru število konča na 00 , in v drugem 64 , ki je deljivo s 4 brez ostanka (64:4=16)
Številke 3 57 in 8 86 niso deljivi s 4, ker ne 57 niti ne 86 niso deljivi s 4 in zato ne ustrezajo temu kriteriju deljivosti.

Znak deljivosti s 5

In spet imamo dokaj preprost znak deljivosti: če se zapis naravnega števila konča s številko 0 ali 5, je to število deljivo brez ostanka s 5. Če se zapis števila konča z drugo številko, potem število brez ostanka ni deljivo s 5.
To pomeni, da so vse številke, ki se končajo s številkami 0 in 5 , na primer 1235 5 in 43 0 , spadajo pod pravilo in so deljivi s 5.
In na primer 1549 3 in 56 4 se ne končajo na 5 ali 0, kar pomeni, da ne morejo biti deljive s 5 brez ostanka.

Znak deljivosti s 6

Pred nami je sestavljeno število 6, ki je produkt številk 2 in 3. Zato je sestavljeno tudi znak deljivosti s 6: da je število deljivo s 6, mora ustrezati dvema znakoma deljivosti hkrati: znak deljivosti z 2 in predznak deljivosti s 3. Hkrati upoštevajte, da ima tako sestavljeno število, kot je 4, posamezen predznak deljivosti, ker je produkt števila 2 samo po sebi . Toda nazaj k testu za deljivost s 6.
Števili 138 in 474 sta sodi in ustrezata znakoma deljivosti s 3 (1+3+8=12, 12:3=4 in 4+7+4=15, 15:3=5), kar pomeni, da sta deljivo s 6. Toda 123 in 447, čeprav sta deljiva s 3 (1+2+3=6, 6:3=2 in 4+4+7=15, 15:3=5), sta liha, in zato ne ustrezajo kriteriju deljivosti s 2 in zato ne ustrezajo kriteriju deljivosti s 6.

Znak deljivosti s 7

To merilo deljivosti je bolj zapleteno: število je deljivo s 7, če je rezultat odštevanja podvojene zadnje števke od števila desetic tega števila deljiv s 7 ali enak 0.
Sliši se precej zmedeno, v praksi pa je preprosto. Prepričajte se sami: številka 95 9 je deljivo s 7, ker 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je deljivo s 7 brez ostanka). Poleg tega, če pride do težav s številom, pridobljenim med transformacijami (zaradi njegove velikosti je težko razumeti, ali je deljivo s 7 ali ne, potem lahko ta postopek nadaljujete tolikokrat, kot se vam zdi primerno).
na primer 45 5 in 4580 1 imajo znake deljivosti s 7. V prvem primeru je vse precej preprosto: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. V drugem primeru bomo naredili to: 4580 -2*1=4580-2=4578. Težko nam je razumeti, ali 457 8 krat 7, zato ponovimo postopek: 457 -2*8=457-16=441. In spet bomo uporabili znak deljivosti, saj imamo pred seboj še trimestno število 44 1. Torej, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 je deljivo s 7 brez ostanka, kar pomeni, da je 45801 deljivo tudi s 7.
In tukaj so številke 11 1 in 34 5 ni deljivo s 7, ker 11 -2*1=11-2=9 (9 ni enakomerno deljivo s 7) in 34 -2*5=34-10=24 (24 ni enakomerno deljivo s 7).

Znak deljivosti z 8

Znak deljivosti z 8 zveni takole: če zadnje 3 števke tvorijo število, ki je deljivo z 8, ali je 000, je dano število deljivo z 8.
Številke 1 000 ali 1 088 so deljivi z 8: prvi se konča z 000 , drugi 88 :8=11 (deljivo z 8 brez ostanka).
In tukaj so številke 1 100 ali 4 757 niso deljive z 8, ker so števila 100 in 757 niso deljivi z 8 brez ostanka.

Znak deljivosti z 9

Ta znak deljivosti je podoben znaku deljivosti s 3: če je vsota števk števila deljiva z 9, je tudi število deljivo z 9; Če vsota števk števila ni deljiva z 9, potem število ni deljivo z 9.
Na primer: 3987 in 144 sta deljiva z 9, ker je v prvem primeru 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deljivo brez ostanka z 9), v drugi pa 1+4+4= 9 (9:9=1 - tudi brez ostanka deljivo z 9).
Toda številki: 235 in 141 nista deljivi z 9, ker je 2+3+5= 10 in 1+4+1= 6 (in vemo, da niti 10 niti 6 ni mogoče deliti z 9 brez ostanka).

Znaki deljivosti z 10, 100, 1000 in drugimi bitnimi enotami

Te kriterije deljivosti sem združil, ker jih je mogoče opisati na enak način: število je deljivo z bitno enoto, če je število ničel na koncu števila večje ali enako številu nič v dani bitni enoti.
Z drugimi besedami, na primer, imamo takšne številke: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . vsi so deljivi z 1 0 ; 46400 in 867 000 so tudi deljive z 1 00 ; in samo eden od njih - 867 000 deljivo z 1 000 .
Številke, ki se končajo z ničlami, manjše od bitne enote, niso deljive s to bitno enoto, na primer 600 30 in 7 93 ne deli 1 00 .

Znak deljivosti z 11

Če želite ugotoviti, ali je število deljivo z 11, morate dobiti razliko med vsoto sodih in lihih števk tega števila. Če je ta razlika enaka 0 ali deljiva z 11 brez ostanka, je število samo deljivo z 11 brez ostanka.
Da bi bilo bolj jasno, predlagam, da razmislimo o primerih: 2 35 4 je deljivo z 11, ker ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je deljivo tudi z 11, ker ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
In tukaj je 1 1 1 oz 4 35 4 ni deljivo z 11, saj v prvem primeru dobimo (1 + 1) - 1 =1, v drugem pa ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Znak deljivosti z 12

Število 12 je sestavljeno. Njegov znak deljivosti je skladnost z znakoma deljivosti na 3 in na 4 hkrati.
Na primer, 300 in 636 ustrezata obema znakoma deljivosti s 4 (zadnji 2 števki sta ničli ali deljivi s 4) in znakom deljivosti s 3 (vsota števk ter prvega in drugega števila sta deljiva s 3 ), zato so deljivi z 12 brez ostanka.
Toda 200 ali 630 nista deljiva z 12, ker v prvem primeru število ustreza le znaku deljivosti s 4, v drugem pa le znaku deljivosti s 3. Ne pa obema znakoma hkrati.

Znak deljivosti s 13

Znak deljivosti s 13 je, da če je število desetic števila, dodano enotam tega števila, pomnoženo s 4, večkratnik 13 ali enako 0, je število samo deljivo s 13.
Vzemite za primer 70 2. Torej 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je enakomerno deljivo s 13), torej 70 2 je deljivo s 13 brez ostanka. Drug primer je številka 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Število 130 je deljivo s 13 brez ostanka, kar pomeni, da dano število ustreza znaku deljivosti s 13.
Če vzamemo številke 12 5 oz 21 2, potem dobimo 12 +4*5=32 in 21 +4*2=29 in niti 32 niti 29 nista deljiva s 13 brez ostanka, kar pomeni, da podana števila niso deljiva s 13 brez ostanka.

Deljivost števil

Kot je razvidno iz zgornjega, lahko domnevamo, da se lahko katero koli izmed naravnih števil poveže z lastnim individualnim znakom deljivosti ali "sestavljenim" predznakom, če je število večkratnik več različnih števil. Toda kot kaže praksa, v bistvu večja kot je številka, bolj zapleten je njen atribut. Morda je čas, porabljen za preverjanje merila deljivosti, enak ali večji od samega deljenja. Zato običajno uporabljamo najpreprostejši kriterij deljivosti.