Kako vzeti določene integrale. Končni integral in metode za njegov izračun. Preučujemo koncept "integral"

V večini uporabnih problemov ni priporočljivo izračunati natančne vrednosti določenega integrala, poleg tega še zdaleč ni vedno mogoče. Pogosto je dovolj, da poznamo vrednost določenega integrala z določeno stopnjo natančnosti, na primer z natančnostjo tisočinke.

Za iskanje približne vrednosti določenega integrala z zahtevano natančnostjo se uporablja numerična integracija, na primer Simpsonova metoda (parabola metoda), metoda trapeza ali metoda pravokotnika. Vendar pa je v nekaterih primerih mogoče natančno izračunati določen integral.

V tem članku se bomo osredotočili na uporabo formule Newton-Leibniz za izračun natančne vrednosti določenega integrala, podali bomo podrobno rešitev tipičnih primerov. Na primerih se bomo ukvarjali tudi s spremembo spremenljivke v določenem integralu in z iskanjem vrednosti določenega integrala pri integraciji po delih.

Navigacija po straneh.

Formula Newton-Leibniz.

Naj je funkcija y = f (x) neprekinjena na intervalu in je F (x) eden od antiderivov funkcije na tem intervalu, potem je res:.

Imenuje se Newton-Leibnizova formula osnovna formula integralnega računa.

Za dokaz Newton-Leibnizove formule potrebujemo koncept integrala s spremenljivo zgornjo mejo.

Če je funkcija y = f (x) neprekinjena na intervalu, potem je za argument integral oblike funkcija zgornje meje. To funkcijo označujemo , in ta funkcija je neprekinjena in enakost .

Dejansko zapišemo prirast funkcije, ki ustreza prirastku argumenta, in uporabimo peto lastnost določenega integrala in posledico desete lastnosti:

kje .

To enakost prepišemo kot ... Če se spomnimo in gremo do meje pri, potem dobimo. To pomeni, da je eden od antiderivov funkcije y = f (x) na segmentu. Tako lahko množico vseh antideriv F (x) zapišemo kot , kjer je C poljubna konstanta.

F (a) izračunamo z uporabo prve lastnosti določenega integrala: , torej, . Ta rezultat bomo uporabili pri izračunu F (b): tj ... Ta enakost daje dokazano formulo Newton-Leibniz.

Prirast funkcije je običajno označen kot ... Z uporabo tega zapisa dobi Newton-Leibnizova formula obliko .

Za uporabo Newton-Leibnizove formule moramo le poznati enega od antiderivov y = F (x) integranda y = f (x) na segmentu in izračunati prirast tega antiderivata na tem segmentu. Članek obravnava glavne načine iskanja antiderivata. Tukaj je nekaj primerov izračunavanja določenih integralov z uporabo Newton-Leibnizove formule za pojasnitev.

Primer.

Izračunajte vrednost določenega integrala s formulo Newton-Leibniz.

Rešitev.

Za začetek upoštevajte, da je integrand neprekinjen na intervalu, torej integrabilen na njem. (O integrabilnih funkcijah smo govorili v poglavju o funkcijah, za katere obstaja določen integral).

Za jasnost vzemimo primer.

Primer.

Izračunaj vrednost določenega integrala .

Rešitev.

Integrand je neprekinjen na intervalu integracije, zato obstaja določen integral.

Označujemo ... Za x = 9 imamo, za x = 18 pa imamo, tj. Zamenjava dobljenih rezultatov v formulo :

Iz tabele nedoločenih integralov je razvidno, da je eden od antiderivov funkcije funkcija, zato imamo po Newton-Leibnizovi formuli

Možno je bilo brez formule .

Če vzamemo nedoločen integral , potem bomo prišli do rezultata .

Tako z uporabo Newton-Leibnizove formule izračunamo določen integral:

Kot lahko vidite, so rezultati enaki.

Integracija po delih pri izračunu določenega integrala.

Funkcija je integrabilna na intervalu zaradi svoje kontinuitete.

Naj bo u (x) = x in , potem , a ... Po formuli dobimo

Ta primer je mogoče rešiti na drug način.

Iskanje niza antiderivov funkcije integracijo po delih in uporabimo formulo Newton-Leibniz:

In čemu so integrali? Poskusite sami odgovoriti na to vprašanje.

Učitelji pri razlagi teme integralov naštevajo področja, ki so malo uporabna za šolske misli. Med njimi:

• izračun površine figure.
• izračun telesne teže z neenakomerno gostoto.
• določanje prevožene razdalje pri premikanju z neskladno hitrostjo.
• in itd.

Vseh teh procesov ni vedno mogoče povezati, zato se marsikateri študent zmede, četudi ima vsa osnovna znanja za razumevanje integrala.

Glavni razlog za neznanje- nerazumevanje praktičnega pomena integralov.

Integral - kaj je to?

Predpogoji... Potreba po integraciji se je pojavila v stari Grčiji. Takrat je Arhimed začel uporabljati metode za iskanje površine kroga, ki so v bistvu podobne sodobnemu integralnemu računu. Takrat je bil glavni pristop za določanje površine neenakomernih številk metoda izčrpanosti, ki je dovolj enostavna za razumevanje.

Bistvo metode... V to sliko je vpisano monotono zaporedje drugih figur, nato pa se izračuna meja zaporedja njihovih območij. Ta meja je bila vzeta kot površina te številke.

V tej metodi je enostavno slediti ideji integralnega računa, ki je sestavljen iz iskanja meje neskončne vsote. Kasneje so to idejo uporabili znanstveniki za rešitev uporabne naloge astronavtika, ekonomija, mehanika itd.

Moderni integral... Klasično teorijo integracije sta na splošno oblikovala Newton in Leibniz. Opiral se je na zakone diferencialnega računa, ki so obstajali v tistem času. Če želite to razumeti, morate imeti nekaj osnovnega znanja, ki vam bo pomagalo opisati vizualne in intuitivne ideje o integralih v matematičnem jeziku.

Razlaga koncepta "integral"

Postopek iskanja izpeljanke se imenuje diferenciacijo, in iskanje antiderivata je integracijo.

Integralno matematični jezik- to je antiderivat funkcije (kar je bilo pred izpeljanko) + konstanta "C".

Integralno s preprostimi besedami Je površina ukrivljene figure. Nedoločen integral - celotno območje. Določen integral je površina na danem območju.

Integral je zapisan takole:

Vsak integrand se pomnoži s komponento "dx". Kaže, katera spremenljivka se integrira. "Dx" je prirast argumenta. X je lahko kateri koli drug argument, kot je t (čas).

Nedoločen integral

Neomejeni integral nima meja integracije.

Za reševanje nedoločenih integralov je dovolj, da poiščemo antiderivat integranda in mu dodamo "C".

Določen integral

V določenem integralu sta omejitvi "a" in "b" napisani na predznaku integracije. Na spodnjem grafu so prikazani na osi X.

Če želite izračunati določen integral, morate najti antiderivat, vanj nadomestiti vrednosti "a" in "b" in poiskati razliko. V matematiki se temu reče po Newton-Leibnizovi formuli:

Integralna tabela za študente (osnovne formule)

Prenesite formule za integrale, še vedno vam bodo koristne

Kako pravilno izračunati integral

Obstaja več preprostih operacij za preoblikovanje integralov. Tu so glavne:

Odstranitev konstante iz predznaka integrala

Razgradnja integrala vsote v vsoto integralov

Če zamenjate a in b, se bo predznak spremenil

Integral lahko razdelimo na intervale, kot sledi

To so najpreprostejše lastnosti, na podlagi katerih bodo kasneje oblikovani bolj zapleteni izreki in metode računanja.

Primeri izračunavanja integralov

Neomejena celostna rešitev

Rešitev določenega integrala

Osnovni koncepti za razumevanje teme

Da boste razumeli bistvo integracije in ne zaprli strani pred nesporazumom, vam bomo razložili številne osnovne koncepte. Kaj je funkcija, izpeljanka, meja in antiderivat.

Funkcija- pravilo, po katerem so vsi elementi iz enega niza povezani z vsemi elementi iz drugega.

Izpeljanka- funkcija, ki opisuje hitrost spremembe druge funkcije na vsaki določeni točki. Strogo gledano, to je meja razmerja prirastka funkcije in prirastka argumenta. Izračuna se ročno, lažje pa je uporabiti izpeljano tabelo, ki vsebuje večino standardnih funkcij.

Prirast- kvantitativna sprememba funkcije z nekaj spremembe v argumentu.

Omejitev- vrednost, h kateri teži vrednost funkcije, ko argument teži k določeni vrednosti.

Primer omejitve: na primer, ko je X enak 1, bo Y enak 2. Kaj pa, če X ni enak 1, ampak teži k 1, torej ga nikoli ne doseže? V tem primeru y nikoli ne bo dosegel 2, ampak bo težil le k tej vrednosti. V matematičnem jeziku je zapisano takole: limY (X), za X -> 1 = 2. Bere se: meja funkcije Y (X), ko se x nagiba k 1, je 2.

Kot smo že omenili, je izpeljanka funkcija, ki opisuje drugo funkcijo. Prvotna funkcija je lahko izpeljanka neke druge funkcije. Ta druga funkcija se imenuje antiderivat.

Zaključek

Integralov ni težko najti. Če ne razumete, kako to storiti,. Drugič postane bolj jasno. Zapomni si! Rešitev integralov je reducirana na preproste transformacije integranda in njegovo iskanje v.

Če vam besedilna razlaga ne ustreza, si oglejte videoposnetek o pomenu integrala in izpeljanke:

Integrali - kaj je to, kako to rešiti, primeri rešitev in razlaga za lutke posodobil: 22. november 2019 avtor: Znanstveni članki.Ru

Primeri izračunavanja nedoločenih integralov

Izračunavanje integrala nad tabelo

Integracija z zamenjavo:

Primeri izračunavanja integralov

Osnovna Newton-Leibnizova formula

Izračuni zamenjave

Poglavje 4 Diferencialne enačbe.

Diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko NS , zahtevana funkcija pri in njegove izpeljanke ali diferenciale.

Simbolično diferencirana enačba je zapisana takole:

Diferencialna enačba se imenuje vsakdanjiče je zahtevana funkcija odvisna od ene neodvisne spremenljivke.

Ukaz diferencialna enačba se imenuje vrstni red najvišjega odvoda (ali diferenciala), ki vstopi v dano enačbo.

Odločitev(oz integralni) diferencialne enačbe imenujemo funkcija, ki to enačbo pretvori v identiteto.

Po splošni odločitvi(oz skupni integral) diferencialne enačbe je rešitev, ki vsebuje toliko neodvisnih poljubnih konstant, kolikor je vrstni red enačbe. Tako splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda vsebuje eno poljubno konstanto.

Po zasebni odločitvi diferencialna enačba je rešitev, pridobljena iz splošne za različne številčne vrednosti poljubnih konstant. Vrednosti poljubnih konstant najdemo pri določenih začetnih vrednostih argumenta in funkcije.

Imenuje se graf določene rešitve diferencialne enačbe integralna krivulja.

Skupina (družina) vseh integralnih krivulj ustreza splošni rešitvi diferencialne enačbe.

Diferencialna enačba prvega reda imenuje se enačba, ki vključuje izpeljanke (ali diferenciale), ki niso višje od prvega reda.

Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami se imenuje enačba oblike

Če želite rešiti to enačbo, morate najprej ločiti spremenljivke:

in nato integriraj obe strani nastale enakosti:

1. Poiščite splošno rešitev enačbe

o Delimo spremenljivke, ki jih imamo

Integracija obeh strani dobljene enačbe:

Ker je poljubna konstanta Z lahko sprejme poljubne številčne vrednosti, nato zaradi udobja nadaljnjih transformacij namesto C smo zapisali (1/2) ln C. S potenciranjem zadnje enakosti dobimo

To je splošna rešitev te enačbe.

Literatura

V. G. Boltyanskiy, Kaj je diferenciacija, "Priljubljena predavanja iz matematike",

17. številka, Gostekhizdat 1955, 64 strani.

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich "Matematika"

G. M. Fikhtengolts "Tečaj diferencialnega in integralnega računa", zvezek 1

VM Borodikhin, Višja matematika, učbenik. priročnik, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikol'skii SM Poglavje 9. Določen Riemannov integral // Tečaj matematične analize. - 1990 .-- T. 1.

Il'in VA, Poznyak EG Poglavje 6. Nedoločen integral // Osnove matematične analize. - 1998. - T. 1. - (Tečaj visoke matematike in matematične fizike).

Demidovich B.P. Razdelek 3. Nedoločeni integral // Zbirka problemov in vaj iz matematične analize. - 1990. - (Tečaj visoke matematike in matematične fizike).

Valutse I.I., Diligul G.D. Matematika za srednješolske tehnične šole: Učbenik-2. izd. Revidirano. in dodaj. M.6 Znanost. 1989

Koljagin Yu.M. Yakovlev G.N. matematika za tehnične šole. Algebra in začetek analize 1 in 2 del. Založba "Naukka" M., 1981

V.S.Schipachev Naloge iz višje matematike: Učbenik. Priročnik za univerze. višje. Shk. 1997

Bogomolov N.V. Praktični pouk matematike: učbenik. Priročnik za tehnične šole. višje. Šk 1997

Vnesite funkcijo, za katero želite najti integral

Kalkulator nudi PODROBNO rešitev za določene integrale.

Ta kalkulator reši določen integral f (x) z dano zgornjo in spodnjo mejo.

Primeri

Uporaba diplome
(kvadrat in kocka) in ulomki

(x ^ 2 - 1) / (x ^ 3 + 1)

Kvadratni koren

Sqrt (x) / (x + 1)

Kubični koren

Cbrt (x) / (3 * x + 2)

Uporaba sinusa in kosinusa

2 * sin (x) * cos (x)

Arcsinus

X * arcsin (x)

Arkozin

X * arccos (x)

Aplikacija za logaritem

X * dnevnik (x, 10)

Naravni logaritem

Razstavljavec

Tg (x) * sin (x)

Kotangens

Ctg (x) * cos (x)

Iracionalni ulomki

(sqrt (x) - 1) / sqrt (x ^ 2 - x - 1)

Arktangent

X * arctg (x)

Arkotangenta

X * arсctg (x)

Hiberbolični sinus in kosinus

2 * sh (x) * ch (x)

Hiberbolični tangent in kotangens

Ctgh (x) / tgh (x)

Hiberbolični arcsin in arkosinus

X ^ 2 * arcsinh (x) * arccosh (x)

Hiberbolični ločni tangent in kotangens loka

X ^ 2 * arctgh (x) * arcctgh (x)

Pravila za vnos izrazov in funkcij

Izrazi so lahko sestavljeni iz funkcij (oznake so podane po abecednem vrstnem redu): absolutno (x) Absolutna vrednost x
(modul x oz | x |) arccos (x) Funkcija - inverzni kosinus od x arccosh (x) Arkozin hiperbolični iz x arcsin (x) Arcsine of x arcsinh (x) Arksinus hiperbolični od x arctg (x) Funkcija - arktangent od x arctgh (x) Arktangent hiperbolični od x e eštevilo, ki je približno 2,7 exp (x) Funkcija - eksponent iz x(kot e^x) dnevnik (x) oz ln (x) Naravni logaritem od x
(Za pridobitev dnevnik7 (x), morate vnesti dnevnik (x) / dnevnik (7) (ali na primer for dnevnik10 (x)= dnevnik (x) / dnevnik (10)) piŠtevilo je Pi, kar je približno 3,14 greh (x) Funkcija - sinus od x cos (x) Funkcija - kosinus od x sinh (x) Funkcija - Sinus hiperbolični iz x koš (x) Funkcija - kosinus hiperbolični iz x sqrt (x) Funkcija - kvadratni koren x sqr (x) oz x ^ 2 Funkcija - kvadrat x tg (x) Funkcija - Tangent od x tgh (x) Funkcija - Tangenta hiperbolična iz x cbrt (x) Funkcija - kubni koren x

V izrazih je mogoče uporabiti naslednje operacije: Realne številke vnesite v obrazec 7.5 , ne 7,5 2 * x- množenje 3 / x- delitev x ^ 3- eksponentiranje x + 7- dodatek x - 6- odštevanje
Druge funkcije: tla (x) Funkcija - zaokroževanje x navzdol (primer tla (4,5) == 4,0) strop (x) Funkcija - zaokroževanje x navzgor (primer strop (4,5) == 5,0) znak (x) Funkcija - Sign x erf (x) Funkcija napake (ali integral verjetnosti) Laplace (x) Laplaceova funkcija