Kako pronaći najmanju vrijednost funkcije. Primjena derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti neprekidne funkcije na intervalu

S praktične tačke gledišta, najzanimljivija je upotreba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Šta je razlog tome? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim sferama života treba riješiti problem optimizacije bilo kojeg parametra. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na nekom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene. Interval X sam po sebi može biti segment linije, otvoreni interval , beskrajni interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno zadane funkcije jedne varijable y = f (x).

Navigacija po stranici.

Najviša i najniža vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Hajde da se ukratko zadržimo na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koje nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koje nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost u razmatranom intervalu na apscisi.

Stacionarne tačke Jesu li vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može uzeti najveću i najmanju vrijednost u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije na beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu uzeti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvišoj i najnižoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednosti u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6; 6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u. U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća - u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične točke segmenta [-3; 2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6; 6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x = 1, a najmanju vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y = 3.

Na intervalu funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kada se teži x = 2 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x = 2 je vertikalna asimptota), a kada apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski pristupiti y = 3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronađite domenu funkcije i provjerite sadrži li cijeli segment.
Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačnim racionalnim eksponentom). Ako nema takvih tačaka, idite na sljedeću stavku.
Odrediti sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo je sa nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i biramo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, idite na sljedeću stavku.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i za x = a i x = b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti željena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam prilikom rješavanja primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4; -1].

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u područje definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4; -1].

Stacionarne tačke se određuju iz jednačine. Jedini važeći korijen je x = 2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x = 1, x = 2 i x = 4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x = 1, a najmanja vrijednost - za x = 2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4; -1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

Ponekad problemi B15 nailaze na "loše" funkcije za koje je teško naći derivat. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ovi zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti u pripremi za pravi ispit.

U ovom slučaju rade drugi trikovi, od kojih je jedan - monotono.

Funkcija f (x) naziva se monotono rastućom na segmentu ako je za bilo koje točke x 1 i x 2 ovog segmenta istinito sljedeće:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funkcija f (x) naziva se monotono opadajućom na segmentu ako je za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta istinito:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).

Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je i f (x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: veći je x manji f (x).

Na primjer, logaritam se monotono povećava ako je baza a> 1, a monotono se smanjuje ako je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

Aritmetički kvadratni (i ne samo kvadratni) korijen monotono raste u cijelom domenu definicije:

Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste za a> 1 i smanjuje se za 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a> 0)

Konačno, stepeni sa negativnim eksponentom. Možete ih napisati kao razlomak. Imati tačku diskontinuiteta u kojoj je monotonija prekinuta.

Sve ove funkcije se nikada ne nalaze u svom čistom obliku. Sabiraju polinome, razlomke i druge gluposti, zbog kojih postaje teško prebrojati izvod. Šta se dešava u ovom slučaju - sada ćemo analizirati.

Koordinate vrha parabole

Najčešće se argument funkcije zamjenjuje sa kvadratni trinom oblika y = ax 2 + bx + c. Njegov graf je standardna parabola za koju nas zanima:

Grane parabole - mogu ići gore (za a> 0) ili dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Vrh parabole je tačka ekstrema kvadratne funkcije u kojoj ova funkcija zauzima najmanju (za a> 0) ili najveću (a< 0) значение.

Od najvećeg interesa je upravo vrh parabole, čija se apscisa izračunava po formuli:

Dakle, pronašli smo tačku ekstrema kvadratne funkcije. Ali ako je originalna funkcija monotona, za nju će tačka x 0 također biti tačka ekstrema. Stoga ćemo formulirati ključno pravilo:

Ekstremne tačke kvadratnog trinoma i kompleksne funkcije u koju ulazi poklapaju se. Stoga, možete tražiti x 0 za kvadratni trinom i rezultat na funkciji.

Iz gornjeg obrazloženja ostaje nejasno koju tačku dobijamo: maksimum ili minimum. Međutim, zadaci su posebno osmišljeni tako da to nije bitno. Procijenite sami:

Ne postoji segment u iskazu problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f (a) i f (b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema;
Ali postoji samo jedna takva tačka - ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješenje problema je uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka:

Napišite jednačinu parabole y = ax 2 + bx + c i pronađite njen vrh po formuli: x 0 = −b / 2a;
Pronađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako nema dodatnih uslova, ovo će biti odgovor.

Na prvi pogled, ovaj algoritam i njegovo obrazloženje mogu izgledati zastrašujuće. Namjerno ne postavljam shemu "golog" rješenja, jer je nepromišljena primjena takvih pravila prepuna grešaka.

Razmotrite stvarne probleme sa probnog ispita iz matematike - tu se ova tehnika najčešće susreće. Istovremeno ćemo se pobrinuti da na ovaj način mnogi problemi s B15 postanu gotovo verbalni.

Ispod korijena je kvadratna funkcija y = x 2 + 6x + 13. Grafikon ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1> 0.

Tem parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

Kako su grane parabole usmjerene prema gore, u tački x 0 = −3 funkcija y = x 2 + 6x + 13 ima najmanju vrijednost.

Korijen se monotono povećava, pa je x 0 minimalna tačka cijele funkcije. Imamo:

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom, opet postoji kvadratna funkcija: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola sa granama prema gore, jer a = 1> 0.

Tem parabole:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

Dakle, u tački x 0 = −1, kvadratna funkcija ima najmanju vrijednost. Ali funkcija y = log 2 x je monotona, dakle:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponent sadrži kvadratnu funkciju y = 1 - 4x - x 2. Prepišimo to u normalnom obliku: y = −x 2 - 4x + 1.

Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2

Originalna funkcija je eksponencijalna, monotona je, tako da će najveća vrijednost biti u pronađenoj tački x 0 = −2:

Pažljivi čitalac će vjerovatno primijetiti da nismo ispisali raspon dopuštenih vrijednosti korijena i logaritma. Ali to nije bilo potrebno: unutra se nalaze funkcije čije su vrijednosti uvijek pozitivne.

Posljedice iz domene funkcije

Ponekad pronalaženje vrha parabole nije dovoljno za rješavanje problema B15. Željena vrijednost može lagati na kraju segmenta, ali ne u tački ekstrema. Ako u problemu uopće nije naveden segment, gledamo raspon važećih vrijednosti originalnu funkciju. naime:

Napomena: nula može biti ispod korijena, ali nikada u logaritmu ili nazivniku razlomka. Pogledajmo kako to funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite najveću vrijednost funkcije:

Ispod korijena je opet kvadratna funkcija: y = 3 - 2x - x 2. Njegov graf je parabola, ali se grana prema dolje, jer je a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Zapisujemo raspon dozvoljenih vrijednosti (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Sada pronađimo vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = - (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1

Tačka x 0 = −1 pripada segmentu ODZ - i to je dobro. Sada izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a:

y (−3) = y (1) = 0

Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći - ovo je broj 2.

Zadatak. Pronađite najmanju vrijednost funkcije:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Unutar logaritma nalazi se kvadratna funkcija y = 6x - x 2 - 5. Ovo je parabola sa granama nadole, ali u logaritmu ne može biti negativnih brojeva, pa zapisujemo ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Po tome se logaritam razlikuje od korijena, gdje su nam krajevi segmenta sasvim prikladni.

Tražimo vrh parabole:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3

Vrh parabole je pogodan za ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ali pošto nas ne zanimaju krajevi segmenta, razmatramo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2

Šta je ekstrem funkcije i koji je neophodan uslov za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Neophodan uslov za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sledeći: ako funkcija f (x) ima ekstrem u tački x = a, tada je u ovoj tački izvod ili nula, ili beskonačan, ili ima ne postoji.

Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Derivat u tački x = a može nestati do beskonačnosti ili ne postojati bez da funkcija ima ekstrem u ovoj tački.

Koji je dovoljan uslov za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uslov:

Ako je u dovoljnoj blizini tačke x = a derivacija f? (X) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj tački x = a funkcija f (x) ima maksimum

Ako je u dovoljnoj blizini tačke x = a derivacija f? (X) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj tački x = a funkcija f (x) ima minimum pod uslovom da je funkcija f (x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstremum funkcije:

Neka u tački x = a prvi izvod f?(X) nestane; ako je u ovom slučaju drugi izvod f ?? (a) negativan, tada funkcija f (x) ima maksimum u tački x = a, ako je pozitivna, onda minimum.

Koja je tačka preokreta funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije na kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronađite izvod funkcija f? (x) i, izjednačavajući je sa nulom, riješiti jednačinu f? (x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one tačke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije, su kritične tačke, odnosno vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstrem. Lako se mogu prepoznati gledanjem izvedenica: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije prelazi os apscise (os Ox) i one na kojima se graf lomi.

Na primjer, hajde da pronađemo ekstremum parabole.

Funkcija y (x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivat funkcije: y? (X) = 6x + 2

Rješavanje jednačine: y? (X) = 0

6x + 2 = 0,6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

U ovom slučaju, kritična tačka je x0 = -1 / 3. Funkcija ima za ovu vrijednost argumenta ekstrem... Tako da je naći, zamijenite pronađeni broj u izraz za funkciju umjesto "x":

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku x0 promijeni iz "plus" u "minus", tada je x0 maksimalni poen; ako se predznak derivacije promijeni iz minusa u plus, tada je x0 minimalna tačka; ako se predznak ne mijenja, tada u tački x0 nema maksimuma ili minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične tačke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost izvoda će biti y? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (to jest, znak je "minus").

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične tačke: x = 1

Kada je x = 1, vrijednost izvoda će biti y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (to jest, znak je "plus").

Kao što vidite, derivacija je promijenila svoj predznak iz minusa u plus pri prolasku kroz kritičnu tačku. To znači da na kritičnoj vrijednosti x0 imamo minimalnu tačku.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) se pronalaze istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da, možda, neće sve kritične tačke ležati unutar navedenog intervala. One kritične tačke koje su izvan intervala treba isključiti iz razmatranja. Ako postoji samo jedna kritična tačka unutar intervala, ona će sadržavati ili maksimum ili minimum. U ovom slučaju, da bismo odredili najveću i najmanju vrijednost funkcije, uzimamo u obzir i vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, derivacija funkcije je

y?(x) = 3cos (x) - 0,5

Rješavanje jednačine 3cos (x) - 0,5 = 0

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arccos (0,16667) + 2πk.

Pronađite kritične tačke na intervalu [-9; devet]:

x = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (nije uključeno u interval)

x = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687

x = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88

x = -arccos (0,16667) + 2π * 0 = -1,403

x = arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x = -arccos (0,16667) + 2π * 1 = 4,88

x = arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x = -arccos (0,16667) + 2π * 2 = 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885

y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398

y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256

y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256

y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398

y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da na intervalu [-9; 9], funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu tačku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 jednaka je y = 5,398.

Pronađite vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 pri x = -3

Kako pronaći prevojne tačke grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve tačke pregiba prave y = f (x), morate pronaći drugi izvod, izjednačiti ga sa nulom (riješiti jednačinu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je drugi izvod nula , beskonačan ili ne postoji. Ako, pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti, drugi izvod promijeni predznak, tada graf funkcije u ovoj tački ima fleksiju. Ako se ne promijeni, onda nema fleksije.

Korijeni jednačine f? (x) = 0, kao i moguće tačke diskontinuiteta funkcije i drugog izvoda, dijele domenu funkcije na više intervala. Konveksnost u svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u tački na ispitivanom intervalu pozitivna, tada je prava y = f (x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dvije varijable?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f (x, y), diferencibilne u području njene dodjele, trebate:

1) pronaći kritične tačke, a za to - rešiti sistem jednačina

fx? (x, y) = 0, fu? (x, y) = 0

2) za svaku kritičnu tačku R0 (a; b) istražiti da li predznak razlike ostaje nepromijenjen

za sve tačke (x; y) dovoljno blizu Po. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u tački P0 imamo minimum, ako je negativan onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, onda nema ekstremuma u tački P0.

Ekstremi funkcije se određuju na sličan način za veći broj argumenata.

Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu nalikuje fascinantnom preletu objekta (graf funkcija) u helikopteru, pucajući u određene točke iz dalekometnog topa i birajući od tih tačaka vrlo posebne točke za kontrolu shots. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. koja su pravila? O tome ćemo dalje razgovarati.

Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na segmentu [ a, b], zatim dopire do ovog segmenta najmanji i najviše vrijednosti ... Ovo se može dogoditi bilo u ekstremne tačke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanji i maksimalne vrijednosti funkcije kontinuirano na segmentu [ a, b], potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

Kritična tačka naziva se tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat je ili nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije na kritičnim tačkama. I, na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b)). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju sa nulom () i dobijemo dvije kritične tačke: i. Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2]. Vrijednosti ove funkcije su sljedeće:,,. Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(na grafikonu ispod je označeno crvenom bojom), jednako -7, dostiže se na desnom kraju segmenta - u tački, i najveći(takođe crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, a granica tačke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na] -∞, + ∞ [i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan), sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija vrijedi.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

Derivat izjednačavamo sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku:. Pripada segmentu [-1, 3]. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Upoređujemo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački.

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima da rješavaju složenije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničavati na takve primjere, jer među nastavnicima ima i onih koji vole natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite derivaciju ove funkcije kao derivativni rad :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku:. Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih radnji: funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost jednako 0 u tački i u tački i najveća vrijednost jednak e², u tački.

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije:

Izjednačavanje derivacije sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu linije. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Izlaz: funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost jednako u tački i najveća vrijednost, jednako, u tački.

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije, u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima se oni dostižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 8. Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom osnovom i otvoren na vrhu, mora biti izvučen limom. Koliki bi rezervoar trebao biti da pokrije najmanju količinu materijala?

Rješenje. Neka bude x- strana baze, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez poklopca, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristićemo činjenicu da, odakle. Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan svuda u] 0, + ∞ [, i

Izjednačite derivaciju sa nulom () i pronađite kritičnu tačku. Osim toga, za izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstrema koristeći drugi dovoljan kriterij. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). Dakle, na, funkcija doseže minimum ... Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je ujedno i njena najmanja vrijednost... Dakle, strana osnove rezervoara treba da bude jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9. Iz paragrafa A nalazi se na željezničkoj pruzi do tačke WITH na udaljenosti od nje l, teret mora biti transportovan. Cijena transporta jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom je jednaka, a autocestom jednaka. Do koje tačke Mželjezničku prugu treba povući autoputem tako da se prevoz robe iz A v WITH bio najekonomičniji (odjeljak AB pretpostavlja se da je pruga ravna)?

Ponekad problemi B14 nailaze na "loše" funkcije za koje je teško pronaći derivat. Ranije je to bilo samo na sondama, ali sada su ovi zadaci toliko uobičajeni da se više ne mogu zanemariti u pripremi za pravi ispit. U ovom slučaju rade druge tehnike, od kojih je jedna monotonija. Definicija Funkcija f (x) se naziva monotono rastućom na segmentu ako je za bilo koju tačku x 1 i x 2 ovog segmenta tačno sljedeće: x 1

Definicija. Funkcija f (x) se naziva monotono opadajućom na segmentu ako je za bilo koje tačke x 1 i x 2 ovog segmenta tačno: x 1 f (x 2). Drugim riječima, za rastuću funkciju, što je veći x, veći je i f (x). Za opadajuću funkciju vrijedi suprotno: što je veći x, to je manji f (x).

Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a> 1, a monotono se smanjuje ako je 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0) 1, i monotono opada ako je 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0) "> 1, a monotono se smanjuje ako je 0 0.f (x) = log ax (a > 0 ; a 1; x> 0) "> 1, i monotono se smanjuje ako je 0 0. f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)" title = "(! LANG: Primjeri . Logaritam monotono raste ako je baza a> 1, a monotono opada ako je 0 0.f (x) = log ax (a> 0; a 1; x> 0)"> title="Primjeri. Logaritam se monotono povećava ako je baza a> 1, a monotono se smanjuje ako je 0 0.f (x) = log a x (a> 0; a 1; x> 0)"> !}

Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste za a> 1 i smanjuje se za 0 0: 1 i smanjuje se na 0 0: "> 1 i smanjuje se na 0 0:"> 1 i smanjuje se na 0 0: "title =" (! LANG: Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste na a> 1 i opada na 0 0:"> title="Primjeri. Eksponencijalna funkcija se ponaša slično logaritmu: raste za a> 1 i smanjuje se za 0 0:"> !}

0) ili dolje (a 0) ili dolje (a 9 Koordinate vrha parabole Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a> 0) ili dolje (a 0) ili najveći (a 0) ili dole (a 0) ili dole (a 0) ili najveći (a 0) ili dole (a 0) ili dole (naslov = "(! LANG: Koordinate vrha parabole) Najčešće se argument funkcije zamjenjuje kvadratnim trinomom oblika. Njegov graf je standardna parabola u kojoj nas zanimaju grane: Grane parabole mogu ići gore (za a> 0) ili dolje (a

Ne postoji segment u iskazu problema. Stoga, nema potrebe za izračunavanjem f (a) i f (b). Ostaje da razmotrimo samo tačke ekstrema; Ali postoji samo jedna takva tačka, ovo je vrh parabole x 0, čije se koordinate izračunavaju doslovno usmeno i bez ikakvih izvoda.

Dakle, rješenje problema je uvelike pojednostavljeno i svodi se na samo dva koraka: Napišite jednadžbu parabole i pronađite njen vrh po formuli: Nađite vrijednost originalne funkcije u ovoj tački: f (x 0). Ako nema dodatnih uslova, ovo će biti odgovor.

0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "title =" (! LANG: Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Postoji kvadratna funkcija ispod korena Grafikon ove funkcije parabole sa granama nagore, pošto je koeficijent a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena je kvadratna funkcija Graf ove funkcije je parabola sa granama nagore, budući da je koeficijent a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3" title = "(! LANG: Pronađite najmanja vrijednost funkcije: Rješenje: Kvadratna funkcija je ispod korijena.Graf ove funkcije je parabola sa granama prema gore, budući da je koeficijent a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje: Ispod korijena je kvadratna funkcija Graf ove funkcije je parabola sa granama nagore, budući da je koeficijent a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet. a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1 "> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1" title = "(! LANG: Pronađite najmanja vrijednost funkcije: Rješenje Pod Logaritam je opet kvadratna funkcija.Graf parabole se grana prema gore, budući da je a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> title="Pronađite najmanju vrijednost funkcije: Rješenje Pod logaritmom, kvadratna funkcija je opet. a = 1> 0. Vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 2 / (2 1) = 2/2 = 1"> !}

Pronađite najveću vrijednost funkcije: Rješenje: Eksponent sadrži kvadratnu funkciju. Prepišimo je u normalnom obliku: Očigledno, graf ove funkcije je parabola, grana se prema dolje (a = 1

Posljedice iz domene funkcije Ponekad za rješavanje zadatka B14 nije dovoljno samo pronaći vrh parabole. Tražena vrijednost može ležati na kraju segmenta, a nikako na tački ekstrema. Ako problem uopće ne navodi segment, gledamo raspon dopuštenih vrijednosti izvorne funkcije. naime:

0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula: "title =" (! LANG: 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log af (x ) f (x)> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti nula:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula: 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti nula: "> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka razlomak ne smije biti jednak nuli:"> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula: "title =" (! LANG: 1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log af (x) f (x)> 0 2. Aritmetički kvadrat korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Imenilac razlomka ne smije biti nula:"> title="1. Argument logaritma mora biti pozitivan: y = log a f (x) f (x)> 0 2. Aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnih brojeva: 3. Nazivnik razlomka ne smije biti nula:"> !}

Rješenje Pod korijenom je opet kvadratna funkcija. Njegov graf je parabola, ali su grane usmjerene prema dolje, jer je a = 1
Sada nalazimo vrh parabole: x 0 = b / (2a) = (2) / (2 Sada izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0, kao i na krajevima ODZ-a: y (3) = y (1) = 0 Dakle, dobili smo brojeve 2 i 0. Od nas se traži da pronađemo najveći broj 2. Odgovor: 2

Imajte na umu: nejednakost je stroga, tako da krajevi ne pripadaju ODZ-u. Po tome se logaritam razlikuje od korijena, gdje su nam krajevi segmenta sasvim prikladni. Tražimo vrh parabole: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 Ali pošto nas ne zanimaju krajevi segmenta, razmatramo vrijednost funkcije samo u tački x 0:

Y min = y (3) = log 0,5 (6) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Odgovor: -2