Ejemplos de cabeceo. Divisor común y múltiplo. Que es GCD

El dividendo, que es divisible por el divisor dado sin resto, también se denomina múltiple... Por ejemplo, 48 es un múltiplo de 8, 48 es un múltiplo y 8 es un divisor.

El número puede ser un múltiplo no de uno, sino de varios números a la vez, tal número se llama múltiplo común... Por ejemplo, 77 es un múltiplo común de 1, 7, 11, 77.

Otro ejemplo. El número 3 es múltiplo de 12, 15, 24, 27, 30, etc. El número 5 es múltiplo de 10, 15, 25, 30, 35, etc. Los números 3 y 5 tienen múltiplos comunes de 15 y 30.

Encontrar el múltiplo común de varios números es bastante simple, simplemente puede multiplicar estos números, como resultado, el producto de estos números será su múltiplo común.

NOC

De todos los múltiplos comunes de estos números, el mínimo común múltiplo es de particular interés.

Minimo común multiplo(LCM abreviado) de varios números dados es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los números dados.

Por ejemplo, para tres números: 3, 5 y 12, el mínimo común múltiplo es 60, ya que ningún otro número menor que 60 es divisible por 3, 5 o 12.

Por lo general, el mínimo común múltiplo se escribe de la siguiente manera: LCM ( a, B, ...) = X.

Según esto, anotamos el mínimo común múltiplo de los números 3, 5 y 12:

MCM (3, 5, 12) = 60.

Calculadora LCM

Esta calculadora te ayudará a encontrar el mínimo común múltiplo de números. Simplemente ingrese números separados por espacios o comas y haga clic en el botón Calcular LCM.

El máximo común divisor es otro indicador que puede ayudarte a trabajar con fracciones más fácilmente. Muy a menudo, los cálculos dan como resultado fracciones con valores muy grandes del numerador y denominador. Es posible reducir tales números en etapas, pero es extremadamente largo, por lo que es más fácil encontrar inmediatamente el GCD y reducirlo. Entendamos el tema con más detalle.

¿Qué es GCD?

El máximo común divisor (MCD) de una serie de números es el número más grande por el cual cada uno de los números de la serie se puede dividir sin un residuo.

¿Cómo encontrar GCD?

Para encontrar el MCD, es necesario descomponer cada uno de los números en factores primos y seleccionar la parte común.

No se les ocurrió una fórmula especial para esto, pero hay un algoritmo de cálculo.

Démos un ejemplo de cómo encontrar el máximo común divisor de dos números naturales: 540 y 252. Descompongamos 640 en factores primos. La secuencia de acciones es la siguiente:

• Divida el número por el número primo más pequeño posible. Es decir, si un número se puede dividir entre 2, 3 o 5, primero debe dividir entre 5. Para no confundirse.
• Divida el resultado por el número primo más pequeño posible.
• Repetimos dividiendo cada resultado obtenido hasta obtener un número primo.

Ahora llevemos a cabo el mismo procedimiento en la práctica.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Escribamos el resultado en forma de igualdad 540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5. Para escribir el resultado, debe multiplicar el último número resultante por todos los divisores.

Hagamos lo mismo con el número 252:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Anotemos el resultado: 252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7.

Cada expansión contiene los mismos números. Encontremos, estos son dos números 2 y dos números 3. Solo 7 y 3 * 5 difieren.

Para encontrar el GCD, debes multiplicar los factores comunes. Es decir, habrá dos dos y dos tres en el trabajo.

MCD = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

¿Cómo puedes utilizarlo?

Tarea: reducir la fracción $$ 252 \ over540 $$.

Ya hemos encontrado el GCD para estos dos números, ahora simplemente usaremos el valor ya calculado.

Reduce el numerador y el denominador de la fracción por 36 para obtener la respuesta.

$$ (252 \ over540) = (7 \ over15) $$ - para acortar rápidamente, solo mire la descomposición de números.

Si 540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 y MCD = 36 = 2 * 2 * 3 * 3, entonces 540 = 36 * 3 * 5. Y si dividimos 540 entre 36, obtenemos 3 * 5 = 15.

Sin GCD, tendríamos que escribir abreviaturas en una línea larga. Además, hay ocasiones en las que no está claro si es posible cancelar una fracción. Para tales situaciones, en matemáticas, se les ocurrió la descomposición de números en factores primos y MCD.

¿Qué hemos aprendido?

Aprendimos cuál es el máximo común divisor de un par de números, descubrimos cómo se puede usar el indicador en la práctica, resolvimos el problema de encontrar el MCD y usar el MCD para reducir fracciones. Nos dimos cuenta de que al usar GCD es posible reducir las fracciones engorrosas de manera más fácil y rápida al encontrar GCD para el numerador y el denominador.

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Común divisor de varios números se llama el número por el cual cada uno de los números dados es divisible. Por ejemplo, dados dos números: 6 y 9. El número 6 tiene factores de 1, 2, 3, 6. El número 9 tiene factores de 1, 3, 9. Vemos que los números 6 y 9 tienen factores comunes de 1 y 3.

Máximo común divisor(abreviado como mcd) de varios números se llama el más grande de los divisores comunes, por el cual cada uno de estos números es divisible sin un residuo.

Por lo tanto, de todos los divisores comunes de 6 y 9, el máximo común divisor es 3.

Por lo general, el máximo común divisor se escribe de la siguiente manera: MCD ( a, B, ...) = X.

Según esto, anotamos el máximo común divisor de los números 6 y 9:

MCD (6, 9) = 3.

Los números cuyo MCD es igual a uno se llaman números coprime... Por ejemplo, los números 14 y 15 son primos mutuamente: MCD (14, 15) = 1.

Calculadora GCD

Esta calculadora te ayudará a encontrar el máximo común divisor de números. Simplemente ingrese números separados por espacios o comas y haga clic en el botón Calcular GCD.

Palabras clave abstractas:Enteros. Operaciones aritméticas sobre números naturales. Divisibilidad de números naturales. Números primos y compuestos. Descomposición de un número natural en factores primos. Divisibilidad entre 2, 3, 5, 9, 4, 25, 10, 11. Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). División con resto.

Enteros¿Son los números que se utilizan para contar elementos? 1, 2, 3, 4 , ... Pero el numero 0 no es natural!

El conjunto de números naturales denota norte... Grabación "3 ∈ N" significa que el número tres pertenece al conjunto de números naturales, y la notación "0 ∉ N" significa que el número cero no pertenece a este conjunto.

Sistema de numeración decimal- base posicional 10 .

Operaciones aritméticas con números naturales

Para los números naturales, se definen las siguientes acciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, extracción de raíces. Los primeros cuatro pasos son aritmética.

Sean a, byc números naturales, entonces

1. ADICION. Término + Término = Suma

Propiedades de plegado
1. Viajando a + b = b + a.
2. Combinación a + (b + c) = (a + b) + c.
3.a + 0 = 0 + a = a.

2. RESTA. Disminuido - Restado = Diferencia

Propiedades de la resta
1. Restar la suma del número a - (b + c) = a - b - c.
2. Restar un número de la suma (a + b) - c = a + (b - c); (a + b) - c = (a - c) + b.
3.a - 0 = a.
4.a - a = 0.

3. MULTIPLICACIÓN. Multiplicador * Multiplicador = Producto

Propiedades de multiplicación
1. Viajando a * b = b * a.
2. Combinación a * (b * c) = (a * b) * c.
3.1 * a = a * 1 = a.
4.0 * a = a * 0 = 0.
5. Distribución (a + b) * c = ac + bc; (a - b) * c = ac - bc.

4. DIVISIÓN. Divisor: Divisor = Privado

Propiedades de división
1.a: 1 = a.
2.a: a = 1. ¡No se puede dividir por cero!
3,0: ​​a = 0.

Procedimiento

1. En primer lugar, las acciones entre paréntesis.
2. Luego multiplicación, división.
3. Y solo al final la suma, resta.

Divisibilidad de números naturales. Números primos y compuestos.

El divisor de un número natural. a es un número natural por el cual a divisible sin resto. Número 1 es un divisor de cualquier número natural.

El número natural se llama sencillo si solo tiene dos divisor: uno y el número en sí. Por ejemplo, los números 2, 3, 11, 23 son números primos.

Un número con más de dos divisores se llama compuesto... Por ejemplo, los números 4, 8, 15, 27 son números compuestos.

Criterio de divisibilidad obras varios números: si al menos uno de los factores es divisible por algún número, entonces el producto también es divisible por este número. Trabaja 24 15 77 dividido por 12 ya que el factor de este número es 24 dividido por 12 .

Divisibilidad de la suma (diferencia) números: si cada término es divisible por algún número, entonces la suma total es divisible por este número. Si a: b y c: b, luego (a + c): b... Y si a: b, a C no divisible por B, luego a + c no divisible por número B.

Si a: c y c: b, luego a: b... Basándonos en el hecho de que 72:24 y 24:12, llegamos a la conclusión de que 72:12.

La representación de un número como producto de potencias de números primos se llama factorizar un número en factores primos.

Teorema básico de aritmética: cualquier número natural (excepto 1 ) o es sencillo, o se puede descomponer en factores primos de una sola manera.

Al descomponer un número en factores primos, se utilizan los signos de divisibilidad y se utiliza la notación de "columna", en este caso, el divisor se ubica a la derecha de la línea vertical y el cociente se escribe debajo del dividendo.

Por ejemplo, la tarea: factorizar el número en factores primos 330 ... Solución:

Criterios de divisibilidad por 2, 5, 3, 9, 10, 4, 25 y 11.

Hay criterios de divisibilidad por 6, 15, 45 y así sucesivamente, es decir, en números, cuyo producto se puede factorizar 2, 3, 5, 9 y 10 .

Máximo común divisor

El número natural más grande por el cual cada uno de los dos números naturales dados es divisible uniformemente se llama máximo común divisor estos números ( Gcd). Por ejemplo, MCD (10; 25) = 5; y MCD (18; 24) = 6; MCD (7; 21) = 1.

Si el máximo común divisor de dos números naturales es 1 , entonces estos números se llaman mutuamente simple.

Algoritmo para encontrar el máximo común divisor(Gcd)

GCD se usa a menudo en tareas. Por ejemplo, 155 cuadernos y 62 bolígrafos se dividieron equitativamente entre los estudiantes de una clase. ¿Cuántos estudiantes hay en esta clase?

Solución: Encontrar el número de estudiantes en esta clase se reduce a encontrar el máximo común divisor de 155 y 62, ya que los cuadernos y bolígrafos se dividieron por igual. 155 = 5 31; 62 = 2 31. MCD (155; 62) = 31.

Respuesta: 31 estudiantes en la clase.

Minimo común multiplo

Un múltiplo de un número natural a se llama un número natural que es divisible por a sin un resto. Por ejemplo, el número 8 tiene múltiplos: 8, 16, 24, 32 , ... Cualquier número natural tiene infinitos múltiplos.

Minimo común multiplo(LCM) es el número natural más pequeño que es un múltiplo de estos números.

Un algoritmo para encontrar el mínimo común múltiplo ( NOC):

LCM también se usa a menudo en tareas. Por ejemplo, dos ciclistas comenzaron simultáneamente en una pista para bicicletas en la misma dirección. Uno hace un círculo en 1 minuto y el otro en 45 segundos. ¿Cuál es la menor cantidad de minutos después del comienzo del movimiento que se encontrarán al comienzo?

Solución: La cantidad de minutos después de los cuales se volverán a encontrar al inicio debe dividirse entre 1 minuto así como en 45 s... En 1 minuto = 60 segundos. Es decir, es necesario encontrar el LCM (45; 60).
45 = 3 2 5;
60 = 2 2 3 5.
MCM (45; 60)= 2 2 3 2 5 = 4 9 5 = 180 .
Como resultado, resulta que los ciclistas se encontrarán al inicio después de 180 s = 3 minutos.

Respuesta: 3 min.

División con resto

Si un numero natural a no divisible por un número natural B, entonces puedes ejecutar división del resto... En este caso, el cociente resultante se llama incompleto... La igualdad es válida:

a = b n + r,

dónde a- dividendo, B- divisor, norte- cociente incompleto, r- recordatorio. Por ejemplo, deja que el dividendo sea 243 , divisor - 4 , luego 243: 4 = 60 (resto 3)... Es decir, a = 243, b = 4, n = 60, r = 3, entonces 243 = 60 4 + 3 .

Números que son divisibles por 2 sin un resto, se llaman incluso: a = 2n, n ∈ NORTE.

El resto de los números se llaman impar: b = 2n + 1, n ∈ NORTE.

Esta es una sinopsis sobre el tema. "Enteros. Criterios de divisibilidad "... Seleccione más acciones para continuar:

• Vaya a la siguiente sinopsis:

Encontrar minimo común multiplo(NOC) y máximo común divisor(Gcd) dos números, use nuestra calculadora en línea:

Ingrese números: y
NOC:
GCD:

Definir

Simplemente ingrese los números y obtenga el resultado.

Cómo encontrar el mcm de dos números

Mínimo común múltiplo (LCM) dos o más números: este es el número más pequeño que se puede dividir entre cada uno de estos números sin dejar resto.

Para encontrar el mínimo común múltiplo (LCM) de dos números, puede utilizar el siguiente algoritmo (grado 5):

1. Ambos números (primero el número más alto).
2. Comparemos los factores del número mayor con los factores del menor. Seleccionemos todos los factores del número menor, que no están presentes en el mayor.
3. Agreguemos los factores distinguidos del número menor a los factores del mayor.
4. Encuentre el MCM multiplicando una cantidad de factores obtenidos en el paso 3.

Ejemplo

Por ejemplo, definamos el MCM de números 8 y 22 .

1) Descomponemos en factores primos:

2) Seleccionemos los 8 factores que 22 no tienen:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Agreguemos los factores seleccionados de 8 a los factores de 22:

MCM (8; 22) = 2 11 2 · 2

4) Calculamos el LCM:

MCM (8; 22)= 2 11 2 2 = 88

Cómo encontrar el mcd de dos números

Máximo común divisor (MCD) dos o más números: este es el entero natural más grande por el cual estos números se pueden dividir sin un resto.

Para encontrar el máximo común denominador (MCD) de dos números, primero debes factorizarlos en factores primos. Luego, debe seleccionar los factores comunes que están disponibles tanto para el primer número como para el segundo. Los multiplicamos, este será el GCD. Para comprender mejor el algoritmo, considere un ejemplo:

Ejemplo

Por ejemplo, defina el GCD de números 20 y 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

MCD (20,30) = 2⋅5 = 10