Problema 12.

Rezolvați în numere întregi 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.

Soluţie.

Dacă încercați să rezolvați această ecuație prin metoda factorizării, atunci aceasta este o muncă destul de laborioasă, astfel încât această ecuație poate fi rezolvată printr-o metodă mai elegantă. Luați în considerare o ecuație ca relativă pătrată O x 5x² + (8u-2 ) x + 5y² + 2y+2=0 , x1,2 = (1 - 4y ± √ (1 - 4y) ² - 5 (5y² + 2y + 2)) / 5 = (1 - 4y ± √ -9 (y + 1) ²) / 5.

Această ecuație are o soluție atunci când discriminantul este zero, adică. –9 (y + 1) = 0, de aici y = -1... Dacă y = -1, atunci x = 1.

Răspuns.

Problema 13.

Rezolvați în numere întregi 3 (x² + xy + y²) = x + 8y

Soluţie.

Considerați ecuația drept pătrat în raport cu x 3x² + (3y - 1) x + 3y² - 8y = 0. Aflați discriminantul ecuației D = = (3y - 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) = 9y² - 6y + 1 - 36y² + 96y = -27y² + 90y + 1.

Acest egalat are rădăcini, dacăD ³ 0, adică –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052) / (-27) £ și £ (-45 -√2052) / (-27)(4)

pentru că y Î Z, atunci condiția (4) este îndeplinită numai de 0, 1, 2, 3 ... Trecând prin aceste valori, constatăm că ecuația în numere întregi are soluții (0; 0) și (1; 1) .

Răspuns.

(0; 0) , (1; 1) .

Problema 14.

Rezolvați ecuația 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0.

Soluţie.

Considerați această ecuație ca fiind pătratică în raport cu X cu coeficienţi în funcţie de y, 5x² - 2 (y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0.

Găsiți un sfert din discriminant D / 4 = (y + 1) ²-5 (2y²-2y + 1) = - (3y-2) ².

De aici rezultă că ecuația are soluție numai dacă - (3y - 2) ² = 0, asta implică y = ⅔, atunci găsim x = ⅓.

Răspuns.

(⅓; ⅔).

Metoda reziduală.

Problema 15.

Rezolvați în numere întregi 3ª = 1 + y²

Soluţie.

Este clar că (0; 0) - soluția acestei ecuații. Să demonstrăm că nu există alte soluții.

Să luăm în considerare cazurile:

1) x Î N, y Î N(5)

Dacă x Î N, atunci 3ª impartit de 3 fără rest, dar y² + 1 când se împarte la 3 dă şi restul 1 sau 2 ... Prin urmare, egalitatea (5) pentru valorile naturale Xși la imposibil.

2) Dacă X- un număr întreg negativ, y Î Z, atunci 0<3ª<1, A 1 + y²³0 iar egalitatea (5) este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singura soluție.

Răspuns.

Sarcina 16 .

Demonstrați că sistemul de ecuații

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

nu are soluții întregi.

Soluţie.

Să presupunem că sistemul este activat. Din a doua ecuație z² = 2y + 1, adică z²– număr impar și z- mijloace ciudate z = 2m + 1... Atunci y² + 2mp + 2m, mijloace, y² - un numar par la- chiar, y = 2n, n Î Z.

x² = 8n³ + 7, adică x² - un număr impar și X - numar impar, x = 2k + 1, k Î Z.

Înlocuiți valorile Xși laîn prima ecuație, obținem 2 (k² + k - 2n³) = 3, ceea ce este imposibil, deoarece partea stângă este divizibilă cu 2 , dar cel potrivit nu este.

Aceasta înseamnă că presupunerea noastră este incorectă, adică sistemul nu are soluții întregi.

Metoda de coborâre fără sfârșit.

Rezolvarea ecuațiilor prin metoda coborârii infinite decurge după următoarea schemă: presupunând că ecuația are soluții, construim un proces infinit, în timp ce prin însuși sensul problemei acest proces trebuie să se termine undeva.

Adesea, metoda coborârii infinite este aplicată într-o formă mai simplă. Presupunând că am ajuns deja la finalul natural, vedem că nu ne putem „opri”.

Problema 17.

Rezolvați în numere întregi 29x + 13y + 56z = 17 (6)

Să exprimăm necunoscuta, coeficientul la care este cel mai mic, în termeni de necunoscute rămase.

y = (17-29x-56z) / 13 = (1-2x-4z) + (4-3x-4z) / 13(7)

Notăm (4-3x-4z) / 13 = t1(8)

Din (7) rezultă că t1 poate lua numai valori întregi. Din (8) avem 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

Obținem o nouă ecuație diofantină, dar cu coeficienți mai mici decât în ​​(6). Aplicăm aceleași considerații pentru (9): x = (4-13t1-4z) / 3 = = (1-4t1-z) + (1-t1-z) / 3

(1-t1-z) / 3 = t2, t2- întreg, 3t2 + t1 + z = 1(10)

În (10) coeficientul la z- necunoscuta ecuației originale este egală cu 1 - acesta este punctul final al „coborârii”. Acum ne exprimăm constant z, X, y peste t1și t2.

ì z = -t1 - 3t2 + 1

í x = 1 - 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 - 8t2 + 4t1 + 12t2 - 4 + t1 = 11t1 + 4t2 - 3

Asa de, ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 - 3t2 + 1

t1, t2- orice numere întregi - toate soluțiile întregi ale ecuației (6)

Problema 18.

Rezolvați în numere întregi x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

Soluţie.

Se poate observa că partea stângă a ecuației (11) nu se pretează la nicio transformare. Prin urmare, examinând natura numerelor întregi x³ = 3 (y³-z³). Număr x³ multipli 3 , de aici și numărul X multipli 3 , adică x = 3x1(12) Înlocuitor (12) în (11) 27х1³-3у³-9z³ = 0,9x1³-y³-3z³ = 0(13)

y³ = 3 (3x1³-z³). Atunci y³ multipli 3 , prin urmare la multipli 3 , adică y = 3y1(14). Înlocuiește (14) în (13) 9x1³ -27у1³ - 3z³ = 0... Din această ecuație rezultă că z³ multipli 3, și, prin urmare z multipli 3 , adică z = 3z1.

Deci, s-a dovedit că numerele care satisfac ecuația (11) sunt multipli de trei și de câte ori nu le-am împărți la 3 , obținem numere care sunt multipli de trei. Singurul întreg care satisface trei. Singurul întreg care satisface această condiție va fi zero, adică soluția acestei ecuații (0; 0; 0)

Henrikh G.N. FMSh №146, Perm

54 ≡ 6 × 5 ≡ 2 (mod 7),

55 ≡ 2 × 5 ≡ 3 (mod 7), 56 ≡ 3 × 5 ≡ 1 (mod 7).

Ridicând puterea k, obținem 56k ≡ 1 (mod 7) pentru orice număr natural k. Prin urmare, 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometric, această egalitate înseamnă că mergem într-un cerc, începând cu 5, nouăzeci și două de cicluri și încă trei numere). Deci 222555 dă un rest de 6 când este împărțit la 7.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Fără îndoială, una dintre subiectele interesante ale matematicii este soluția ecuațiilor diofantine. Acest subiect este studiat în clasele 8, apoi în clasele 10 și 11.

Orice ecuație care trebuie rezolvată în numere întregi se numește ecuație diofantină. Cea mai simplă dintre ele este o ecuație de forma ax + bу = c, unde a, b și cÎ Z. La rezolvarea acestei ecuații se folosește următoarea teoremă.

Teorema. Ecuația diofantină liniară ax + bу = c, unde a, b și cÎZ are o soluție dacă și numai dacă c este divizibil cu mcd a numerelor a și b. Dacă d = mcd (a, b), a = a1 d, b = b1 d, c = c1 d și (x0, y0) este o soluție a ecuației ax + bу = c, atunci toate soluțiile sunt date prin formulele x = x0 + b1 t, y = y0 –a1 t, unde t este un întreg arbitrar.

1. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:

	3x – 6x2 = y – 2x + 4;
	(x – 2) (xy + 4) = 1;		y – x – xy = 2;
	2x2 + xy = x + 7;		3xy + 2x + 3y = 0;
	x2 –xy – x + y = 1;
	x2 –3xy = x – 3y + 2;	10.x2 –xy– y = 4.

2. Au luat în considerare următoarele probleme cu absolvenții în pregătirea examenului de matematică pe această temă.

unu). Rezolvați ecuația cu numere întregi: xy + 3y + 2x + 6 = 13. Anunţ:

Factorizați partea stângă a ecuației. Primim:

y (x + 3) +2 (x + 3) = 13;

(x + 3) (y + 2) = 13.

Deoarece x, уÎ Z, obținem un set de sisteme de ecuații:

Henrikh G.N.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

FMSh №146, Perm

		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Răspuns: (–2; 11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Rezolvați ecuația în numere naturale: 3x + 4y = 5z.

9). Aflați toate perechile de numere naturale m și n pentru care egalitatea 3m + 7 = 2n este adevărată.

10). Aflați toate triplele numerelor naturale k, m și n pentru care egalitatea este adevărată: 2 ∙ k! = M! –2 ∙ n! (1! = 1, 2! = 1 ∙ 2, 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3,… n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙… ∙ n)

unsprezece). Toți membrii șirului final sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, este fie de 14 ori mai mare, fie de 14 ori mai mic decât cel precedent. Suma tuturor membrilor secvenței este 4321.

c) Care este cel mai mare număr de membri pe care îl poate avea o secvență? Soluţie:

a) Fie a1 = x, apoi a2 = 14x sau a1 = 14x, apoi a2 = x. Apoi, prin condiția a1 + a2 = 4321. Se obține: x + 14x = 4321, 15x = 4321, dar 4321 nu este un multiplu al lui 15, ceea ce înseamnă că nu pot exista doi termeni în succesiune.

b) Fie a1 = x, apoi a2 = 14x, a3 = x sau 14x + x + 14x = 4321 sau x + 14x + x = 4321. 29x = 4321, apoi x = 149, 14x = 2086. Aceasta înseamnă că o secvență poate avea trei membri. În al doilea caz, 16x = 4321, dar atunci x nu este un număr natural.

Nici un raspuns; b) da; c) 577.

Henrikh G.N.

FMSh №146, Perm

12). Toți membrii șirului final sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând de la al doilea, sau 10; ori mai mult sau de 10 ori mai puțin decât precedentul. Suma tuturor membrilor secvenței este 1860.

a) Poate o secvență să aibă doi termeni? b) O succesiune poate avea trei termeni?

c) Care este cel mai mare număr de membri pe care îl poate avea o secvență?

Evident, puteți vorbi la nesfârșit despre divizibilitatea numerelor întregi și puteți lua în considerare problemele pe această temă. Am încercat să consider această temă în așa fel încât să-i intereseze într-o măsură mai mare pe elevi, să le arăt și din acest punct de vedere frumusețea matematicii.

Henrikh G.N.

FMSh №146, Perm

Bibliografie:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Cum sunt rezolvate problemele non-standard Moscova MCNME 2001

2. A.V. Spivak. Supliment la revista Kvant # 4/2000 Sărbătoare matematică, Moscova 2000

3. A.V. Spivak. Cercul matematic, „Seeding” 2003

4. St.Petersburg palatul orașului al creativității tineretului. Cercul matematic. Cartea cu probleme pentru primul și al doilea an de studiu. Saint Petersburg. 1993

5. Algebră pentru clasa a 8-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studii avansate de matematică. Editat de N.Ya. Vilenkin. Moscova, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Culegere de probleme în algebră pentru 8-9 clase. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studii avansate de matematică. Moscova, Educație. anul 1994

7. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov. Algebră clasa a 8-a. Un manual pentru școli și clase cu studii avansate de matematică. Moscova, 2001

8. MI Shabunin, AA Prokofiev UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil. Manual pentru clasa a 11-a. Binom din Moscova. Knowledge Lab 2009

9. M.I.Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil Cartea cu probleme pentru clasa a 11-a. Binom din Moscova. Knowledge Lab 2009

10. A.G. Klovo, D.A.Maltsev, L.I. Abzelilova Matematică. Colectarea testelor conform planului EGE 2010

11. EGE-2010. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

12. Examenul de stat unificat UMK „Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Pregătirea pentru Examenul de stat unificat-2011. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2010

13. UMK „Matematică. Examenul de stat unificat-2010”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATICA Pregatire pentru examen-2010. Teste de antrenament. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

14. Examenul de stat unificat FIPI. Materiale universale pentru pregătirea elevilor MATH 2010 Centrul de Intelect 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematică. Unified State Exam-2010 Consultare expresă. Editura Universității din Siberia, 2010

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere.

Obiect de studiu.

Cercetarea se referă la una dintre cele mai interesante domenii ale teoriei numerelor - rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Subiect de studiu.

Rezolvarea în numere întregi a ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi în mai mult de o necunoscută este una dintre cele mai dificile și străvechi probleme de matematică și nu este profund reprezentată în cursul școlar de matematică. În lucrarea mea, voi prezenta o analiză destul de completă a ecuațiilor în numere întregi, clasificarea acestor ecuații prin metode de rezolvare a acestora, o descriere a algoritmilor pentru rezolvarea lor, precum și exemple practice de utilizare a fiecărei metode pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ţintă.

Aflați cum să rezolvați ecuații în numere întregi.

Sarcini:

Studiază literatură educațională și de referință;

Colectați material teoretic despre cum să rezolvați ecuații;

Analizați algoritmi de rezolvare a ecuațiilor de acest tip;

Descrieți soluțiile;

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor folosind aceste metode.

Ipoteză:

În fața ecuațiilor în numere întregi în sarcinile olimpiadei, am presupus că dificultățile în rezolvarea lor se datorează faptului că nu toate metodele de rezolvare a acestora îmi sunt cunoscute.

Relevanţă:

Rezolvând versiunile aproximative ale sarcinilor USE, am observat că există adesea sarcini pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II în numere întregi. În plus, sarcinile olimpiadei de diferite niveluri conțin și ecuații în numere întregi sau probleme care sunt rezolvate folosind abilitățile de a rezolva ecuații în numere întregi. Importanța de a ști cum să rezolv ecuații în numere întregi determină relevanța cercetării mele.

Metode de cercetare

Analiza teoretică și generalizarea datelor din literatura științifică privind ecuațiile în numere întregi.

Clasificarea ecuațiilor în numere întregi prin metode de soluție a acestora.

Analiza și generalizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Rezultatele cercetării

Lucrarea descrie metode de rezolvare a ecuațiilor, are în vedere materialul teoretic al teoremei lui Fermat, teorema lui Pitagora, algoritmul lui Euclid, prezintă exemple de soluții la probleme și ecuații de diferite niveluri de complexitate.

2.Istoria ecuațiilor în numere întregi

Diophantus - om de știință - algebrist al Greciei Antice, conform unor surse a trăit până în 364 d.Hr. e. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. De aici provine denumirea de ecuații diofantine. Cea mai cunoscută, rezolvată de Diophantus, este problema „descompunerii în două pătrate”. Echivalentul său este binecunoscuta teoremă a lui Pitagora. Viața și opera lui Diophantus a continuat în Alexandria, a adunat și a rezolvat binecunoscute și a venit cu noi probleme. Mai târziu le-a combinat într-o mare lucrare numită „Aritmetică”. Din cele treisprezece cărți care făceau parte din „Aritmetică”, doar șase au supraviețuit până în Evul Mediu și au devenit o sursă de inspirație pentru matematicienii Renașterii. „Aritmetica” Diofantul este o colecție de probleme, fiecare include o soluție și explicația necesară. Colecția include o varietate de sarcini, iar soluția lor este adesea extrem de ingenioasă. Diophantus este interesat doar de decizii pozitive întregi și raționale. El numește soluțiile iraționale „imposibile” și selectează cu atenție coeficienții astfel încât să se obțină soluțiile pozitive, raționale dorite.

Teorema lui Fermat se aplică pentru a rezolva ecuații în numere întregi. Istoria a cărei dovezi este destul de interesantă. Mulți matematicieni eminenti au lucrat la o demonstrație completă a Marii Teoreme, iar aceste eforturi au condus la multe rezultate în teoria numerelor moderne. Se crede că teorema este pe primul loc în ceea ce privește numărul de demonstrații false.

Remarcabilul matematician francez Pierre Fermat a afirmat că ecuația pentru întregul n ≥ 3 nu are soluții în numere întregi pozitive x, y, z (xyz = 0 este exclus de pozitivitatea lui x, y, z. Pentru cazul n = 3, aceasta Teorema a fost încercată în secolul al X-lea pentru a demonstra matematicianul din Asia Centrală al-Khojandi, dar demonstrația sa nu a supraviețuit. Ceva mai târziu, Fermat însuși a publicat o demonstrație a unui caz particular pentru n = 4.

Euler în 1770 a demonstrat teorema pentru cazul n = 3, Dirichlet și Legendre în 1825 pentru n = 5, Lamé pentru n = 7. Kummer a arătat că teorema este adevărată pentru toate numerele prime n mai mici de 100, cu posibilele excepții 37, 59, 67.

În anii 1980, a apărut o nouă abordare pentru rezolvarea problemei. Din conjectura Mordell, demonstrată de Faltings în 1983, rezultă că ecuația

pentru n> 3 poate avea doar un număr finit de soluții coprime.

Ultimul, dar cel mai important, pas în demonstrarea teoremei a fost făcut în septembrie 1994 de Wiles. Dovada sa de 130 de pagini a fost publicată în revista Annalsof Mathematics. Dovada se bazează pe presupunerea matematicianului german Gerhard Fry că Ultima Teoremă a lui Fermat este o consecință a conjecturei Taniyama-Shimura (această presupunere a fost dovedită de Ken Ribet cu participarea lui J.-P. Serre.) Wiles a publicat primul versiunea dovezii sale în 1993 (după 7 ani de muncă grea), dar în curând a dezvăluit un decalaj serios; cu ajutorul lui Richard Lawrence Taylor, decalajul a fost rapid închis. În 1995 a fost publicată versiunea finală. Andrew Wiles primește premiul Abel pe 15 martie 2016. Prima este în prezent de 6 milioane NOK, sau aproximativ 50 de milioane RUB. Potrivit lui Wiles, premiul a fost „o surpriză completă” pentru el.

3. Ecuații liniare în numere întregi

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple dintre toate ecuațiile diofante.

O ecuație de forma ax = b, unde a și b sunt niște numere și x este o variabilă necunoscută, se numește ecuație liniară cu o necunoscută. Aici este necesar să se găsească numai soluții întregi ale ecuației. Se poate observa că dacă a ≠ 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă numai dacă b este complet divizibil cu a și această soluție este x = b / f. Dacă a = 0, atunci ecuația va avea o soluție întreagă când b = 0 și în acest caz x este orice număr.

de cand 12 este divizibil cu 4, atunci

pentru că a = o și b = 0, atunci x este orice număr

pentru că 7 nu este divizibil egal cu 10, atunci nu există soluții.

4. Metoda de enumerare a opțiunilor.

În metoda de enumerare a opțiunilor, este necesar să se țină seama de semnele de divizibilitate a numerelor, să se ia în considerare toate opțiunile posibile pentru egalitatea enumerației finite. Această metodă poate fi aplicată la rezolvarea acestor probleme:

№1 Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt o soluție a ecuației 49x + 69y = 602

Exprimăm din ecuația x =,

pentru că x și y sunt numere naturale, atunci x = ≥ 1, înmulțim întreaga ecuație cu 49 pentru a scăpa de numitor:

Mutați 602 în partea stângă:

51y ≤ 553, exprimă y, y = 10

O enumerare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x = 5, y = 7.

Răspuns: (5.7) .-

№2 Rezolvați problema

Din cifrele 2, 4, 7, ar trebui să alcătuiți un număr de trei cifre, în care nicio cifră nu poate fi repetată de mai mult de două ori.

Să găsim numărul tuturor numerelor din trei cifre care încep cu numărul 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - sunt 8.

În mod similar, găsim toate numerele din trei cifre care încep cu numerele 4 și 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - sunt și 8 numere. Sunt doar 24 de numere.

Răspuns: 24 de numere.

5. Fracția continuă și algoritmul lui Euclid

O fracție continuă este o expresie a unei fracții obișnuite sub forma

unde q 1 este un număr întreg și q 2,…, qn sunt numere naturale. O astfel de expresie se numește fracție continuă (finită continuă). Distingeți fracțiile continue finite și infinite.

Pentru numerele raționale, fracția continuă are o formă finită. În plus, șirul a i este exact șirul de câte care se obține prin aplicarea algoritmului euclidian la numărătorul și numitorul unei fracții.

Rezolvând ecuațiile cu o fracție continuă, am realizat un algoritm general de acțiuni pentru această metodă de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.

Algoritm

1) Alcătuiți raportul dintre coeficienții cu necunoscute sub formă de fracție

2) Convertiți o expresie într-o fracție improprie

3) Selectați întreaga parte a fracției improprie

4) Înlocuiți fracția corectă cu o fracție egală

5) Faceți 3.4 cu fracția greșită obținută la numitor

6) Repetați 5 până la rezultatul final

7) În expresia rezultată, aruncați ultima verigă a fracției continuate, transformați noua fracție continuă rezultată într-un prim și scădeți-o din fracția inițială.

Exemplu№1 Rezolvați în numere întregi ecuația 127x- 52y + 1 = 0

Transformăm raportul coeficienților pentru necunoscute.

În primul rând, să selectăm întreaga parte a fracției neregulate; = 2 +

Înlocuiește fracția obișnuită cu o fracție egală.

Unde = 2+

Să facem aceleași transformări cu fracția greșită obținută la numitor.

Acum fracția inițială va lua forma: Repetând același raționament pentru fracție, vom obține Prin izolarea întregii părți a fracției improprie, vom ajunge la rezultatul final:

Am obținut o expresie numită fracție finită continuată sau continuată. Aruncând ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, transformați noua fracție continuă rezultată într-un prim și scădeți-o din fracția inițială:

Să reducem expresia rezultată la un numitor comun și să o aruncăm.

De unde 127 ∙ 9-52 ∙ 22 + 1 = 0. Comparând egalitatea obținută cu ecuația 127x- 52y + 1 = 0, rezultă că atunci x = 9, y = 22 este o soluție a ecuației inițiale, iar conform teoremei, toate soluțiile acesteia vor fi conținute în progresii x = 9+ 52t, y = 22+ 127t , unde t = (0; ± 1; ± 2 ... ..) Rezultatul obținut sugerează că, în cazul general, să se găsească o soluție la ecuația ax + by + c = 0, este necesar să se extindă raportul dintre coeficienții necunoscutelor într-o fracție continuă, să se renunțe la ultima ei legătură și să se efectueze calcule similare celor date mai sus.

Pentru a demonstra această presupunere, avem nevoie de unele proprietăți ale fracțiilor continue.

Luați în considerare o fracție ireductibilă. Notăm cu q 1 câtul și cu r 2 restul împărțirii a la b. Atunci obținem:

Atunci b = q 2 r 2 + r 3,

Similar

r 2 = q 3 r 3 + r 4,;

r 3 = q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Mărimile q 1, q 2, ... se numesc câte incomplete. Procesul de mai sus de educație incomplet privat se numește algoritmul lui Euclid... Resturile diviziunii r 2, r 3, ... satisfac inegalitățile

acestea. formează o serie de numere nenegative descrescătoare.

Exemplul # 2 Rezolvați ecuația 170x + 190y = 3000 în numere întregi

După reducerea cu 10, ecuația arată astfel:

Pentru a găsi o anumită soluție, folosim expansiunea continuă a fracției

Prăbușirea penultima fracție potrivită pentru ea într-o obișnuită

O anumită soluție a acestei ecuații are forma

X 0 = (-1) 4300 ∙ 9 = 2700, y 0 = (- 1) 5300 ∙ 8 = -2400,

iar totalul este dat de formula

x = 2700-19k, y = -2400 + 17k.

de unde obținem condiția asupra parametrului k

Acestea. k = 142, x = 2, y = 14. ...

6. Metoda factoring

Metoda de enumerare a opțiunilor este o modalitate incomodă, deoarece există cazuri în care este imposibil să se găsească soluții complete prin enumerare, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Metoda factorizării este o tehnică foarte interesantă și se regăsește atât în ​​matematica elementară, cât și în matematica superioară.

Esența este transformarea identică. Sensul oricărei transformări identice este de a scrie o expresie într-o formă diferită, păstrându-i în același timp esența. Să luăm în considerare exemple de aplicare a acestei metode.

№1 Rezolvați ecuația în numere întregi y 3 - X 3 = 91.

Folosind formulele de înmulțire abreviate, factorăm partea dreaptă a ecuației:

(y - x) (y 2 + xy + x 2) = 91

Scriem toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Rețineți că pentru orice numere întregi x și y numărul

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2 | y || x | + x 2 = (| y | - | x |) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația originală este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

După ce am rezolvat sistemele, selectăm acele rădăcini care sunt numere întregi.

Obținem soluții pentru ecuația originală: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (- 4; 3).

Răspuns: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4; 3).

№2 Aflați toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația x 2 -y 2 = 69

Factorizați partea stângă a ecuației și scrieți ecuația sub forma

pentru că divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, atunci 69 se poate obține în două moduri: 69 = 1 · 69 și 69 = 3 · 23. Având în vedere că x-y> 0, obținem două sisteme de ecuații, prin rezolvarea cărora putem găsi numerele necesare:

Exprimând o variabilă și substituind-o în a doua ecuație, găsim rădăcinile ecuațiilor Primul sistem are o soluție x = 35; y = 34, iar al doilea sistem are o soluție x = 13, y = 10.

Răspuns: (35; 34), (13; 10).

№3 Rezolvați ecuația x + y = xy în numere întregi:

Scriem ecuația sub forma

Factorizați partea stângă a ecuației. Primim

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

Primul sistem are o soluție x = 2, y = 2, iar al doilea sistem are o soluție x = 0, y = 0. Răspuns: (2; 2), (0; 0).

№4 Demonstrați că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții întregi.

Factorim partea stângă a ecuației în factori și împărțim ambele părți ale ecuației la 3, ca rezultat obținem ecuația:

(x - y) (y - z) (z - x) = 10

Divizorii lui 10 sunt numerele ± 1, ± 2, ± 5, ± 10. Rețineți, de asemenea, că suma factorilor din partea stângă a ecuației este 0. Este ușor de verificat că suma oricăror trei numere din mulțimea divizorilor lui 10 care dau 10 în produs nu va fi egală cu 0. Prin urmare, ecuația originală nu are soluții întregi.

7. Metoda reziduurilor

Sarcina principală a metodei este de a găsi restul împărțirii ambelor părți ale ecuației la un număr întreg, pe baza rezultatelor obținute. Adesea informațiile obținute reduc posibilitățile mulțimilor de soluții ale ecuației. Să luăm în considerare câteva exemple:

№1 Demonstrați că ecuația x 2 = 3y + 2 nu are soluții întregi.

Dovada.

Luați în considerare cazul în care x, y ∈ N. Luați în considerare resturile după împărțirea ambelor părți la 3. Partea dreaptă a ecuației dă restul 2 când este împărțit la 3 pentru orice valoare a lui y. Partea stângă, care este pătratul unui număr natural, atunci când este împărțită la 3, dă întotdeauna un rest de 0 sau 1. Pe baza acestui fapt, constatăm că nu există o soluție pentru această ecuație în numerele naturale.

Luați în considerare cazul în care unul dintre numere este 0. Atunci, evident, nu există soluții întregi.

Cazul în care y este un întreg negativ nu are soluții, deoarece partea dreaptă va fi negativă, iar partea stângă va fi pozitivă.

Cazul în care x este un întreg negativ, de asemenea, nu are soluții, deoarece se încadrează într-unul dintre cazurile considerate anterior datorită faptului că (-x) 2 = (x) 2.

Se dovedește că ecuația indicată nu are soluții în numere întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.

№2 Rezolvați cu numere întregi 3 X = 1 + y 2 .

Este ușor de observat că (0; 0) este o soluție a acestei ecuații. Rămâne de demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini integrale.

Să luăm în considerare cazurile:

1) Dacă x∈N, y∈N, atunci 3 este divizibil cu trei fără rest, iar 1 + y 2 când este împărțit la 3 dă

restul este fie 1, fie 2. În consecință, egalitatea pentru natural

valorile x, y sunt imposibile.

2) Dacă x este un număr întreg negativ, y∈Z, atunci 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

egalitatea este de asemenea imposibilă. Prin urmare, (0; 0) este singurul

Răspuns: (0; 0).

№3 Rezolvați ecuația 2x 2 -2xy + 9x + y = 2 în numere întregi:

Să exprimăm din ecuație necunoscuta care este inclusă în ea doar până la primul grad, adică variabila y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, de unde

Să selectăm întreaga parte a fracției folosind regula împărțirii polinomului la „unghiul” polinomului. Primim:

Evident, diferența 2x-1 poate lua doar valorile -3, -1, 1 și 3.

Rămâne de sortat aceste patru cazuri, în urma cărora obținem soluții: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3)

Răspuns: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (-1; 3)

8 Un exemplu de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile în numere întregi ca pătrate în raport cu una dintre variabile

№1 Rezolvați ecuația 5x în numere întregi 2 + 5 ani 2 + 8xy + 2y-2x + 2 = 0

Această ecuație poate fi rezolvată prin metoda factorizării, dar această metodă în raport cu această ecuație necesită destul de mult timp. Să luăm în considerare un mod mai rațional.

Scriem ecuația sub forma unui pătrat în raport cu variabila x:

5x 2 + (8y-2) x + 5y 2 + 2y + 2 = 0

Îi găsim rădăcinile.

Această ecuație are o soluție dacă și numai dacă discriminantul

din această ecuație este egală cu zero, adică - 9 (y + 1) 2 = 0, deci y = - 1.

Dacă y = -1, atunci x = 1.

Răspuns: (1; - 1).

9. Un exemplu de rezolvare a problemelor folosind ecuații în numere întregi.

№ 1. Rezolvați în numere naturale ecuația : unde n> m

Să exprimăm variabila n în termenii variabilei m:

Aflați divizorii numărului 625: acesta este 1; 5; 25; 125; 625

1) dacă m-25 = 1, atunci m = 26, n = 25 + 625 = 650

2) m-25 = 5, apoi m = 30, n = 150

3) m-25 = 25, apoi m = 50, n = 50

4) m-25 = 125, apoi m = 150, n = 30

5) m-25 = 625, apoi m = 650, n = 26

Răspuns: m = 150, n = 30

№ 2. Rezolvați ecuația în numere naturale: mn +25 = 4m

Rezolvare: mn +25 = 4m

1) exprimați variabila 4m în termeni de n:

2) găsiți divizori naturali ai lui 25: acesta este 1; 5; 25

dacă 4-n = 1, atunci n = 3, m = 25

4-n = 5, atunci n = -1, m = 5; 4-n = 25, apoi n = -21, m = 1 (rădăcini străine)

Răspuns: (25; 3)

Pe lângă sarcinile de rezolvare a ecuației în numere întregi, există sarcini pentru a demonstra faptul că ecuația nu are rădăcini integrale.

Când rezolvați astfel de probleme, este necesar să vă amintiți următoarele proprietăți de divizibilitate:

1) Dacă n Z; n este divizibil cu 2, atunci n = 2k, k ∈ Z.

2) Dacă n ∈ Z; n nu este un multiplu al lui 2, atunci n = 2k + 1, k ∈ Z.

3) Dacă n ∈ Z; n este divizibil cu 3, atunci n = 3k, k ∈ Z.

4) Dacă n ∈ Z; n nu este un multiplu al lui 3, atunci n = 3k ± 1, k ∈ Z.

5) Dacă n ∈ Z; n nu este divizibil cu 4, atunci n = 4k + 1; n = 4k + 2; n = 4k + 3. k ∈ Z.

6) Dacă n ∈ Z; n (n + 1) este divizibil cu 2, apoi n (n + 1) (n + 2) este divizibil cu 2; 3; 6.

7) n; n + 1 sunt coprime.

№3 Demonstrați că ecuația x 2 - 3y = 17 nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie x; y - soluții ale ecuației

x 2 = 3 (y + 6) -1 Deoarece y ∈ Z atunci y + 6 ∈ Z, deci 3 (y + 6) este divizibil cu 3, prin urmare, 3 (y + 6) -1 nu este divizibil cu 3, prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 3, prin urmare, x nu este divizibil cu 3, deci x = 3k ± 1, k ∈ Z.

Să conectăm asta în ecuația originală.

Avem o contradicție. Aceasta înseamnă că ecuația nu are soluții întregi, ceea ce trebuia să fie demonstrat.

10. Alegeți Formula

Formula lui Pick a fost descoperită de matematicianul austriac Georg Pieck în 1899. Formula este legată de ecuații în numere întregi, prin aceea că numai noduri întregi sunt luate din poligoane, ca și numerele întregi din ecuații.

Folosind această formulă, puteți găsi aria unei figuri construite pe o foaie într-o celulă (triunghi, pătrat, trapez, dreptunghi, poligon).

În această formulă, vom găsi puncte întregi în interiorul poligonului și pe marginea acestuia.

În sarcinile care vor fi la examen, există un întreg grup de sarcini în care se dă un poligon construit pe o foaie într-o celulă și întrebarea este despre găsirea zonei. Scara unei celule este de un centimetru pătrat.

Exemplul #1

M - numărul de noduri de pe marginea triunghiului (pe laturi și vârfuri)

N este numărul de noduri din interiorul triunghiului.

* Prin „noduri” ne referim la intersecția liniilor. Să găsim aria triunghiului:

Să marchem nodurile:

M = 15 (marcat cu roșu)

N = 34 (marcat cu albastru)

Exemplul nr. 2

Găsiți aria poligonului: Marcați nodurile:

M = 14 (marcat cu roșu)

N = 43 (marcat cu albastru)

12. Metoda coborârii

Una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi, metoda coborârii, se bazează pe teorema lui Fermat.

Metoda coborârii este o metodă care constă în construirea unei soluții la o succesiune nenumărată de soluții cu un z pozitiv infinit descrescător.

Să luăm în considerare algoritmul acestei metode folosind exemplul de rezolvare a unei anumite ecuații.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația în numere întregi 5x + 8y = 39.

1) Să alegem necunoscuta care are cel mai mic coeficient (în cazul nostru este x) și să o exprimăm în termenii unei alte necunoscute:

2) Selectați partea întreagă: Evident, x va fi întreg dacă expresia se dovedește a fi întreg, care, la rândul său, va avea loc atunci când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

3) Să introducem o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 -3y = 5z. Ca urmare, obținem o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici.

4) O rezolvăm deja în raport cu variabila y, argumentând în același mod ca în itemii 1, 2: Separând partea întreagă, obținem:

5) Raționând similar celui precedent, introducem o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

6) Să exprimăm necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z:. Cerând ca este întreg, obținem: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea s-a încheiat (continuăm procesul până când nu există fracții în expresia pentru următoarea variabilă).

7) Acum trebuie să „mergi în sus”. Exprimăm prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x:

8) Formulele x = 3 + 8v și y = 3 - 5v, unde v este un întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Astfel, metoda coborârii presupune mai întâi o expresie secvenţială a unei modificări printr-o alta până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi, „ascensiune” secvenţială de-a lungul lanţului de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

12.Concluzie

În urma studiului, s-a confirmat ipoteza că dificultățile în rezolvarea ecuațiilor în numere întregi se datorează faptului că nu mi-au fost cunoscute toate metodele de rezolvare a acestora. Pe parcursul cercetărilor, am reușit să găsesc și să descriu modalități puțin cunoscute de a rezolva ecuații în numere întregi, să le ilustrez cu exemple. Rezultatele cercetării mele pot fi utile tuturor studenților interesați de matematică.

13 bibliografie

Resurse de carte:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebră şi analiză matematică / clasa a X-a, clasa a XI-a // M., „Educaţie”, 1998;

2. A. F. Ivanov et al., Matematică. Materiale educaționale și de instruire pentru pregătirea pentru examen // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. AO Gel'fond, Matematică, teoria numerelor // Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi // Casa de carte „LIBROKOM”

Resurse de internet:

4. Opțiuni demonstrative pentru controlul materialelor de măsurare ale examenului de stat unificat la matematică http://fipi.ru/

5. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://reshuege.ru

6. Exemple de soluții ale ecuațiilor în numere întregi http://mat-ege.ru

7.Istoria ecuațiilor diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Istoria lui Diophantus http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1% 81-% D0% B4% D0% B2% D1% 83% D0% BC% D1% 8F-% D0% BD% D0% B5% D0% B8% D0% B7% D0% B2% D0% B5 % D1% 81% D1% 82% D0% BD% D1% 8B% D0% BC% D0% B8-% D0% B2-% D1% 86% D0% B5% D0% BB% D1% 8B% D1% 85 - % D1% 87% D0% B8% D1% 81% D0% BB% D0% B0% D1% 85.htm

9.Istoria ecuațiilor diofantine http://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Istoria lui Diophantus http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Modalități de rezolvare a ecuațiilor

Când se rezolvă ecuații în numere întregi și naturale, se pot distinge în mod convențional următoarele metode:

1. O metodă de enumerare a opțiunilor.

2. Algoritmul lui Euclid.

3. Fracții continuate.

4. Metoda de factorizare.

5. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi ca pătrate în raport cu orice variabilă.

6. Metoda reziduurilor.

7. Metoda coborârii nesfârșite.

Capitolul 2. Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor

1. Exemple de rezolvare a ecuațiilor.

2.1 Algoritmul lui Euclid.

Problema 1 . Rezolvați ecuația în numere întregi 407 X – 2816y = 33.

Să folosim algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul lui Euclid, găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 * 1 + 33;

374 = 33 * 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, iar 33 este divizibil cu 11

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37 X – 256y= 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul lui Euclid, găsim o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Să exprimăm 1 din ultima egalitate, apoi crescând succesiv egalitățile vom exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile obținute în expresia pentru 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

- 83 · 37 - 256 · (–12)

Astfel, 37 · (- 83) - 256 · (–12) = 1, de unde perechea de numere x 0= - 83 și la 0= - 12 este soluția ecuației 37 X – 256y = 3.

4. Să notăm formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale

Unde t- orice număr întreg.

2.2 Metoda de enumerare a opțiunilor.

Obiectivul 2. In cusca sunt iepuri si fazani, au in total 18 picioare. Aflați câți dintre ambele sunt în cușcă?

Soluţie: Se face o ecuație cu două variabile necunoscute, în care x este numărul de iepuri, y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Să ne exprimăm la peste X : y = 9 - 2x.

X	1	2	3	4
la	7	5	3	1

Astfel, problema are patru soluții.

Răspuns: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda de factorizare.

Enumerarea opțiunilor atunci când găsiți soluții naturale pentru o ecuație în două variabile se dovedește a fi foarte laborioasă. Mai mult, dacă ecuația are întreg soluții, este imposibil să le enumerăm, deoarece există un număr infinit de astfel de soluții. Prin urmare, vom arăta încă un truc - metoda factorizării.

Obiectivul 3. Rezolvați o ecuație în numere întregiy 3 - X 3 = 91.

Soluţie. 1) Folosind formulele de înmulțire abreviate, factorăm partea dreaptă a ecuației:

(y - X)(y 2 + X y + X 2) = 91……………………….(1)

2) Să scriem toți divizorii numărului 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Facem cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi Xși y număr

y 2 + yx + X 2 ≥ y 2 - 2|y||X| + X 2 = (|y| - |X|) 2 ≥ 0,

prin urmare, ambii factori din partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitivi. Atunci ecuația (1) este echivalentă cu un set de sisteme de ecuații:

; ; ;

4) După ce am rezolvat sistemele, obținem: primul sistem are soluții (5; 6), (-6; -5); a treia (-3; 4), (- 4; 3); al doilea și al patrulea nu au soluții întregi.

Răspuns: ecuația (1) are patru soluții (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4; 3).

Sarcina 4. Găsiți toate perechile de numere naturale care satisfac ecuația

Soluţie. Factorizați partea stângă a ecuației și scrieți ecuația sub forma

.

pentru că divizorii numărului 69 sunt numerele 1, 3, 23 și 69, atunci 69 se poate obține în două moduri: 69 = 1 · 69 și 69 = 3 · 23. Având în vedere că

, obținem două sisteme de ecuații, rezolvând care putem găsi numerele necesare: sau.

Primul sistem are o soluție

iar cel de-al doilea sistem are o soluție.

Răspuns:

.

Sarcina 5. Rezolvați ecuația în numere întregi:

.

Soluţie. Scriem ecuația sub forma

.

Factorizați partea stângă a ecuației. Primim

.

Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 numai în două cazuri: dacă ambele sunt egale cu 1 sau -1. Obținem două sisteme:

sau .

Primul sistem are o soluție x = 2, y = 2, iar al doilea sistem are o soluție x = 0, y = 0.

Răspuns:

.

Sarcina 6. Rezolvați o ecuație în numere întregi

Soluţie... Scriem această ecuație sub forma

.

Descompunând partea stângă a ecuației în factori prin metoda grupării, obținem

.

Produsul a două numere întregi poate fi 7 în următoarele cazuri:

7 = 1 7 = 7 1 = -1 (-7) = - 7 (-1) Astfel, obținem patru sisteme:

sau, sau, sau.

Soluția primului sistem este o pereche de numere x = - 5, y = - 6. Rezolvând cel de-al doilea sistem, obținem x = 13, y = 6. Pentru al treilea sistem, soluția este numerele x = 5, y = 6. Al patrulea sistem are o soluție x = - 13, y = - 6.

.

Sarcina 7. Demonstrați că ecuația ( X - y) 3 + (y - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nu

Introducere

Există multe probleme matematice la care se poate răspunde cu unul sau mai multe numere întregi. Ca exemplu, putem cita patru probleme clasice rezolvate în numere întregi - problema cântăririi, problema împărțirii unui număr, problema schimbului și problema celor patru pătrate. De remarcat că, în ciuda formulării destul de simple a acestor probleme, ele sunt foarte greu de rezolvat, folosind aparatul de analiză matematică și combinatorică. Ideile pentru rezolvarea primelor două probleme aparțin matematicianului elvețian Leonard Euler (1707–1783). Cu toate acestea, cel mai adesea puteți găsi probleme în care se propune rezolvarea unei ecuații în numere întregi (sau în numere naturale). Unele dintre aceste ecuații se rezolvă destul de ușor prin metoda potrivirii, dar aceasta ridică o problemă serioasă - este necesar să se demonstreze că toate soluțiile acestei ecuații sunt epuizate de cele montate (adică nu există soluții diferite de cele montate ). Acest lucru poate necesita o mare varietate de tehnici, atât standard, cât și artificiale. O analiză a literaturii matematice suplimentare arată că astfel de sarcini sunt destul de des întâlnite în olimpiadele de matematică de diferiți ani și la diferite niveluri, precum și în sarcina 19 din USE în matematică (nivel de profil). În același timp, în cursul școlar de matematică, acest subiect practic nu este luat în considerare, prin urmare, școlarii, care participă la olimpiade de matematică sau care promovează examenul de profil la matematică, se confruntă, de obicei, cu dificultăți semnificative la îndeplinirea unor astfel de sarcini. În acest sens, este recomandabil să se evidențieze un sistem de metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor în numere întregi, mai ales că această problemă nu este specificată în mod explicit în literatura matematică studiată. Problema descrisă a determinat scopul acestei lucrări: evidențierea principalelor metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

1) Analizează materialele olimpiadei, precum și materialele examenului de profil la matematică;

2) Desemnați metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi și evidențiați-le pe cele predominante;

3) Rezultatele obţinute sunt ilustrate cu exemple;

4) Alcătuiește mai multe sarcini de instruire pe această temă;

5) Aplicarea sarcinilor dezvoltate, determinați gradul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a ai școlii gimnaziale MBOU №59 pentru a rezolva astfel de probleme și trage concluzii practice.

Parte principală

Analiza diverselor literaturi matematice arată că dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi se pot distinge ca principale următoarele:

1. Reprezentarea unei ecuații ca produs al mai multor factori egali cu un anumit număr întreg;
2. Reprezentarea unei ecuații ca sumă de pătrate a mai multor termeni, egală cu un anumit număr întreg;
3. Utilizarea proprietăților de divizibilitate, factoriale și pătratele exacte;
4. Utilizarea teoremelor mici și mari ale lui Fermat;
5. Metoda de coborâre fără sfârșit;
6. Exprimarea unui necunoscut prin altul;
7. Rezolvarea unei ecuații ca pătrat în raport cu una dintre necunoscute;
8. Luarea în considerare a resturilor după împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr.

Imediat este necesar să se stipuleze ce înțelegem prin metodele de bază de rezolvare a ecuațiilor. Cele mai frecvent utilizate metode vor fi numite principale, ceea ce, desigur, nu exclude posibilitatea aplicării periodice a unor noi metode „neașteptate”. În plus, și în majoritatea covârșitoare a cazurilor, se folosesc diverse combinații ale acestora, adică sunt combinate mai multe metode.
Ca exemplu de combinație de metode, luați în considerare ecuația propusă pentru examenul de matematică din 2013 (sarcina C6).

Sarcină. Rezolvați o ecuație în numere naturale n! + 5n + 13 = k 2 .

Soluţie. Rețineți că se termină cu zero când n> 4. În plus, pentru orice n ∈ N se termină fie cu cifra 0, fie cu cifra 5. Prin urmare, pentru n> 4 partea stângă a ecuației se termină fie cu numărul 3, fie cu numărul 8. Dar este și egală cu pătratul exact, care nu se poate termina cu aceste numere. Prin urmare, trebuie doar să repetați peste patru opțiuni: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Prin urmare, ecuația are o soluție naturală unică n = 2, k = 5.

În această problemă, s-au folosit proprietățile pătratelor exacte, proprietățile factoriale și restul de la împărțirea ambelor părți ale ecuației la 10.

Obiectivul 1. n 2 - 4y! = 3.

Soluţie. Mai întâi, rescriem ecuația originală ca n 2 = 4y! + 3. Dacă te uiți la acest raport din punctul de vedere al teoremei despre împărțirea cu rest, poți vedea că pătratul exact din partea stângă a ecuației dă restul 3 atunci când este împărțit la 4, ceea ce este imposibil. Într-adevăr, orice număr întreg poate fi reprezentat într-una dintre următoarele patru forme:

Astfel, un pătrat exact atunci când este împărțit la 4 dă restul fie 0, fie 1. Prin urmare, ecuația originală nu are soluții.

Idee cheie- aplicarea proprietăților pătratelor exacte.

Obiectivul 2. 8z 2 = (t!) 2 + 2.

Soluţie. Verificarea directă arată că t= 0 și t= 1 nu sunt soluții ale ecuației. Dacă t> 1, atunci t! este un număr par, adică poate fi reprezentat ca t! = 2s... În acest caz, ecuația poate fi transformată în forma 4 z 2 = 2s 2 + 1. Cu toate acestea, ecuația rezultată cu siguranță nu are soluții, deoarece există un număr par în partea stângă și un număr impar în partea dreaptă.

Idee cheie- aplicarea proprietăţilor factoriale.

Obiectivul 3. Rezolvați întreaga ecuație x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0.

Soluţie. Ecuația originală poate fi rescrisă după cum urmează: ( X – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Din condiția ca ( X – 1), (y+ 3) sunt numere întregi. Prin urmare, această ecuație este echivalentă cu următoarea mulțime:

Acum puteți scrie tot felul de soluții întregi ale ecuației.

Sarcina 4. Rezolvați o ecuație în numere întregi zt + t – 2z = 7.

Soluţie. Ecuația inițială poate fi transformată în forma ( z + 1) (t- 2) = 5. Numere ( z + 1), (t- 2) sunt întregi, deci au loc următoarele opțiuni:

Deci, ecuația are exact patru soluții întregi.

Idee cheie- reprezentarea ecuației ca produs egal cu un număr întreg.

Sarcina 5. Rezolvați o ecuație în numere întregi n(n + 1) = (2k+ 1)‼

Soluţie. Numarul 2 k+ 1)‼ este impar pentru toate valorile nenegative k conform definiției (pentru negativ k nu este definit deloc). Pe de altă parte, este egal cu numărul n(n+ 1), care este par pentru toate valorile întregi k... Contradicţie.

Idee cheie- utilizarea părților pare / impare ale ecuației.

Sarcina 6. Rezolvați o ecuație în numere întregi X y + X + 2y = 1.

Soluţie. Prin transformări, ecuația poate fi redusă la următoarele:

Această transformare nu a schimbat ODV-ul necunoscutelor incluse în ecuație, de la înlocuire y= –1 în ecuația originală duce la egalitatea absurdă –2 = 1. Conform condiției, X- un număr întreg. Cu alte cuvinte, este și un număr întreg. Dar atunci numărul trebuie să fie întreg. O fracție este un număr întreg dacă și numai dacă numărătorul este divizibil cu numitorul. Divizori ai numărului 3: 1,3 –1, –3. Prin urmare, pentru necunoscut, sunt posibile patru cazuri: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. Acum puteți calcula valorile corespunzătoare ale necunoscutului X... Deci, ecuația are exact patru soluții întregi: (–5; 0), (–5; 2), (1; –2), (1; –4).

Idee cheie- expresia unui necunoscut prin altul.

Sarcina 7. m= n 2 + 2.

Soluţie. Dacă m= 0, atunci ecuația ia forma n 2 = -1. Nu are soluții întregi. Dacă m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, nu va fi un număr întreg. Mijloace, m> 0. Atunci partea dreaptă a ecuației (precum și partea stângă) va fi un multiplu de 5. Dar în acest caz n 2 atunci când este împărțit la 5 ar trebui să dea un rest de 3, ceea ce este imposibil (asta se dovedește prin metoda de enumerare a resturilor, care a fost prezentată la rezolvarea problemei 1). Prin urmare, această ecuație nu are soluții întregi.

Idee cheie- găsirea resturilor din împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr natural.

Problema 8. Rezolvați în numere întregi ecuația ( X!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Soluţie. Rețineți că, datorită parității exponenților, ecuația este echivalentă cu următoarea: ( X!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ 1 | 4 . Atunci X!, |y – 1|, |z+ 1 | - numere întregi. Cu toate acestea, conform ultimei teoreme a lui Fermat, aceste numere naturale nu pot satisface ecuația originală. Astfel, ecuația nu este rezolvabilă în numere întregi.

Idee cheie- utilizarea ultimei teoreme a lui Fermat.

Problema 9. Rezolvați o ecuație în numere întregi X 2 + 4y 2 = 16X y.

Soluţie. Din enunţul problemei rezultă că X- număr par. Atunci X 2 = 4X 12 . Ecuația este convertită în formă X 1 2 + y 2 = 8X 1 y... De aici rezultă că numerele X 1 , y au aceeași paritate. Să luăm în considerare două cazuri.

1 caz... Lăsa X 1 , y- numere impare. Atunci X 1 = 2t + 1, y = 2s+ 1. Înlocuind aceste expresii în ecuație, obținem:

Să facem transformările corespunzătoare:

Reducând ambele părți ale ecuației rezultate cu 2, obținem?

Există un număr impar în stânga și un număr par în dreapta. Contradicţie. Prin urmare, 1 caz este imposibil.

2 caz... Lăsa X 1 , y- numere pare. Atunci X 1 = 2X 2 + 1, y = 2y unu . Înlocuind aceste valori în ecuație, obținem:

Astfel, ecuația obținută este exact aceeași ca în pasul precedent. Se studiază într-un mod similar; prin urmare, la pasul următor, obținem ecuația etc. De fapt, efectuând aceste transformări pe baza parității necunoscutelor, obținem următoarele expansiuni:. Dar mărimile nși k nu sunt limitate, deoarece la orice pas (cu un număr arbitrar de mare) vom obține o ecuație echivalentă cu cea anterioară. Adică, acest proces nu se poate opri. Cu alte cuvinte, numerele X, y sunt de nenumărate ori divizibile cu 2. Dar aceasta are loc numai cu condiţia ca X = y= 0. Deci, ecuația are exact o soluție integrală (0; 0).

Idee cheie- folosind metoda coborârii nesfârșite.

Problema 10. Rezolvați ecuația 5 în numere întregi X 2 – 3X y + y 2 = 4.

Soluţie. Rescrie această ecuație ca 5 X 2 – (3X)y + (y 2 - 4) = 0. Poate fi considerat drept pătrat în raport cu necunoscutul X... Calculăm discriminantul acestei ecuații:

Pentru ca ecuația să aibă o soluție, este necesar și suficient ca, adică De aici să avem următoarele posibilități pentru y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.

Deci, ecuația are exact 2 soluții întregi: (0; 2), (0; –2).

Idee cheie- considerarea ecuaţiei ca pătratică în raport cu una dintre necunoscute.

Sarcinile compilate de autor au fost folosite în experiment, care a constat în următoarele. Tuturor elevilor de clasa a IX-a li s-au propus sarcinile dezvoltate pentru a identifica nivelul de pregătire al copiilor pe această temă. Fiecare dintre elevi a trebuit să ofere o metodă de găsire a soluțiilor întregi ale ecuațiilor. La experiment au participat 64 de elevi. Rezultatele sunt prezentate în tabelul 1.

TABELUL 1

Numărul postului	Numărul de studenți care au finalizat sarcina (procent)

Acești indicatori indică faptul că nivelul de pregătire al elevilor de clasa a IX-a pe această temă este foarte scăzut. De aceea, pare oportună organizarea unui curs special „Ecuații în numere întregi”, care va avea ca scop îmbunătățirea cunoștințelor studenților în acest domeniu. În primul rând, aceștia sunt studenți care participă sistematic la concursuri și olimpiade de matematică și, de asemenea, intenționează să susțină examenul de specialitate la matematică.

concluzii

În cursul acestei lucrări:

1) Analizat materialele olimpiadei, precum și materialele examenului la matematică;

2) Se indică metodele de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi și se evidențiază cele predominante;

3) Rezultatele obţinute sunt ilustrate prin exemple;

4) Sarcini de pregătire compilate pentru elevii clasei a IX-a;

5) S-a realizat un experiment pentru a identifica nivelul de pregătire pe această temă a elevilor de clasa a IX-a;

6) Se analizează rezultatele experimentului și se trag concluzii despre oportunitatea studierii ecuațiilor în numere întregi într-un curs special de matematică.

Rezultatele obținute în cadrul acestei cercetări pot fi folosite în pregătirea olimpiadelor de matematică, UTILIZARE în matematică, precum și în conducerea orelor în cerc matematic.

Bibliografie

1. Gelfond A.O. Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. - M .: Nauka, 1983 - 64 p.

2. Alfutova N.B. A.V.Ustinov Algebră și teoria numerelor. Culegere de probleme pentru școlile de matematică - Moscova: MTsNMO, 2009 - 336 p.

3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Olimpiadele de matematică de la Moscova: carte. pentru elevi / Ed. UN. Kolmogorov. - M .: Educaţie, 1986 .-- 303 p., Ill.

4. Dalinger V.A. Probleme în numere întregi - Omsk: Amphora, 2010 - 132 p.

5. Gastev Yu. A., Smolyansky ML Câteva cuvinte despre teorema Marelui Fermat // Kvant, august 1972.

Glosar

Metoda de coborâre fără sfârșit- o metodă elaborată de matematicianul francez P. Ferma (1601–1665), care constă în obţinerea unei contradicţii prin construirea unei succesiuni infinit descrescătoare de numere naturale. O variație a dovezii prin contradicție.

Pătrat exact (plin).- pătratul unui număr întreg.

Factorial al unui număr natural n - produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv.