Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Probleme în teoria probabilității O monedă simetrică este aruncată de 2 ori

Descrierea prezentării pe diapozitive individuale:

1 tobogan

Descrierea diapozitivului:

Rezolvarea problemelor în teoria probabilităților. Profesor de matematică MBOU Nivnyanskaya școala secundară, Nechaeva Tamara Ivanovna

2 tobogan

Descrierea diapozitivului:

Obiectivele lecției: să ia în considerare diferite tipuri de probleme în teoria probabilităților și metode de rezolvare a acestora. Obiectivele lecției: să învețe să recunoască diferite tipuri de probleme în teoria probabilităților și să îmbunătățească gândirea logică a școlarilor.

3 slide

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 1. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 2 ori. Găsiți probabilitatea de a obține același număr de capete și cozi.

4 slide

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 2. O monedă este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca să nu apară niciodată cozi.

5 slide

Descrierea diapozitivului:

Problema 3. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată. Soluție: Pentru a găsi probabilitatea unui eveniment specificat, este necesar să se ia în considerare toate rezultatele posibile ale experimentului și apoi să se aleagă dintre ele rezultate favorabile (rezultatele favorabile sunt rezultatele care îndeplinesc cerințele problemei). În cazul nostru, acele rezultate vor fi favorabile în care, cu două aruncări ale unei monede simetrice, capete vor cădea o singură dată. Probabilitatea unui eveniment este calculată ca raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate. Prin urmare, probabilitatea ca atunci când o monedă simetrică este aruncată de două ori, capetele să cadă o singură dată, este egală cu: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Răspuns: probabilitatea ca, ca urmare a experimentului de mai sus, capetele vor cădea o singură dată este de 50 %. Numărul experimentului 1-a rolă a 2-a rulare Număr de ori capete 1 Capete Capete 2 2 Cozi Cozi 0 3 Capete Cozi 1 4 Cozi Capete 1

6 slide

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 4. Un zar a fost aruncat o dată. Care este probabilitatea ca numărul de puncte aruncate să fie mai mare de 4. Rezolvare: Experiment aleatoriu - aruncarea unui zar. Un eveniment elementar este un număr pe o margine scăzută. Răspuns: 1/3 Total fețe: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evenimente elementare: N=6 N(A)=2

7 slide

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 5. Biatletul trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime. Rezolvare: Probabilitatea de lovire = 0,8 Probabilitate de lipsă = 1 - 0,8 = 0,2 А=(lovitură, lovitura, lovitura, ratarea, ratarea) 0.8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 P (A) \u003d 0.512 ∙ 0.04 ∙ 0.04 ∙ 0.0020d 0,02

8 slide

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 6. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor aruncate să fie 6. Rotunjiți răspunsul dvs. la cea mai apropiată sutime Soluție: Rezultatul elementar din acest experiment este o pereche ordonată de numere. Primul număr va cădea pe primul zar, al doilea pe al doilea. Setul de rezultate elementare este reprezentat convenabil printr-un tabel. Rândurile corespund numărului de puncte de pe primul zar, coloanele corespund celui de-al doilea zar. Sunt n = 36 de evenimente elementare în total. Să scriem în fiecare celulă suma punctelor abandonate și să pictăm peste celule, unde suma este 6. Există 5 astfel de celule. Prin urmare, evenimentul A = (suma punctele abandonate sunt 6) este favorizată de 5 rezultate elementare. Prin urmare, m = 5. Prin urmare, P(A) = 5/36 = 0,14. Răspuns: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

9 slide

Descrierea diapozitivului:

Teorema formulei probabilității Fie aruncată moneda de n ori. Atunci probabilitatea ca capetele să cadă exact de k ori poate fi găsită prin formula: Unde Cnk este numărul de combinații de n elemente prin k, care se calculează prin formula:

10 diapozitive

Descrierea diapozitivului:

Problema 7. O monedă este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de trei ori. Soluție În funcție de starea problemei, au fost n =4 aruncări în total. Numărul necesar de vulturi: k =3. Înlocuiți n și k în formula: Cu același succes, puteți număra numărul de cozi: k = 4 − 3 = 1. Răspunsul va fi același. Răspuns: 0,25

11 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Problema 8. O monedă este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca să nu apară niciodată cozi. Soluție Scriem din nou numerele n și k. Deoarece moneda este aruncată de 3 ori, n = 3. Și din moment ce nu ar trebui să existe cozi, k = 0. Rămâne să înlocuiți numerele n și k în formula: Permiteți-mi să vă reamintesc că 0! = 1 prin definiție. Prin urmare C30 = 1. Răspuns: 0,125

12 slide

Descrierea diapozitivului:

Problema 9. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capul să apară de mai multe ori decât cozile. Soluție: Pentru ca să fie mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să cadă fie de 3 ori (atunci va fi 1 cozi), fie de 4 (atunci nu vor fi cozi deloc). Să aflăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente. Fie p1 probabilitatea de a obține capete de 3 ori. Atunci n = 4, k = 3. Avem: Acum să găsim p2 - probabilitatea ca capetele să cadă de 4 ori. În acest caz, n = 4, k = 4. Avem: Pentru a obține răspunsul, rămâne să adunăm probabilitățile p1 și p2. Amintiți-vă: puteți adăuga probabilități doar pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Răspuns: 0,3125

13 diapozitiv

Descrierea diapozitivului:

Sarcina 10. Înainte de începerea meciului de volei, căpitanii de echipă trag la sorți pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa Stator joacă pe rând cu echipele Rotor, Motor și Starter. Găsiți probabilitatea ca Stator să înceapă doar primul și ultimul joc. Soluţie. Este necesar să se găsească probabilitatea de produs a trei evenimente: „Stator” începe primul joc, nu începe al doilea joc, începe al treilea joc. Probabilitatea de a produce evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente. Probabilitatea fiecăreia dintre ele este egală cu 0,5, de unde găsim: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Răspuns: 0,125.

În teoria probabilității, există un grup de probleme, pentru a căror rezolvare este suficient să cunoaștem definiția clasică a probabilității și să vizualizezi situația propusă. Aceste probleme sunt cele mai multe probleme la aruncarea monedelor și la aruncarea zarurilor. Amintiți-vă definiția clasică a probabilității.

Probabilitatea evenimentului A (posibilitatea obiectivă de apariție a unui eveniment în termeni numerici) este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile: P(A)=m/n, Unde:

• m este numărul de rezultate ale testelor elementare care favorizează apariția evenimentului A;
• n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile ale testului elementar.

Este convenabil să se determine numărul de rezultate elementare posibile ale unui test și numărul de rezultate favorabile în problemele luate în considerare prin enumerarea tuturor opțiunilor posibile (combinații) și calcul direct.

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (vulturul cade 1 dată) corespund opțiunii nr. 2 și nr. 3 a experimentului, există două astfel de opțiuni m=2.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=2/4=0,5

Sarcina 2 . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară niciodată.

Soluţie . Deoarece moneda este aruncată de două ori, atunci, ca în problema 1, numărul de rezultate elementare posibile este n=4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (vulturul nu va cădea nici măcar o dată) corespund variantei nr. 4 a experimentului (vezi tabelul din sarcina 1). Există o singură astfel de opțiune, deci m=1.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=1/4=0,25

Sarcina 3 . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să iasă în cap de exact de 2 ori.

Soluţie . Opțiunile posibile pentru aruncarea a trei monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=8. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capete de 2 ori) corespund opțiunilor nr. 5, 6 și 7 ale experimentului. Există trei astfel de opțiuni, deci m=3.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=3/8=0,375

Sarcina 4 . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să iasă în cap de exact de 3 ori.

Soluţie . Variante posibile de aruncare a patru monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sunt prezentate sub forma unui tabel:

numărul opțiunii	prima aruncare	a doua rolă	a treia rolă	a 4-a rolă	numărul opțiunii	prima aruncare	a doua rolă	a treia rolă	a 4-a rolă
1	Vultur	Vultur	Vultur	Vultur	9	Cozile	Vultur	Cozile	Vultur
2	Vultur	Cozile	Cozile	Cozile	10	Vultur	Cozile	Vultur	Cozile
3	Cozile	Vultur	Cozile	Cozile	11	Vultur	Cozile	Cozile	Vultur
4	Cozile	Cozile	Vultur	Cozile	12	Vultur	Vultur	Vultur	Cozile
5	Cozile	Cozile	Cozile	Vultur	13	Cozile	Vultur	Vultur	Vultur
6	Vultur	Vultur	Cozile	Cozile	14	Vultur	Cozile	Vultur	Vultur
7	Cozile	Vultur	Vultur	Cozile	15	Vultur	Vultur	Cozile	Vultur
8	Cozile	Cozile	Vultur	Vultur	16	Cozile	Cozile	Cozile	Cozile

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=16. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (vulturul cade de 3 ori) corespund opțiunilor nr. 12, 13, 14 și 15 ale experimentului, ceea ce înseamnă m=4.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=4/16=0,25

Determinarea probabilității în problemele cu zarurile

Sarcina 5 . Determinați probabilitatea ca mai mult de 3 puncte să cadă atunci când este aruncat un zar (zarul corect).

Soluţie . Când aruncați un zar (un zar obișnuit), oricare dintre cele șase fețe ale sale poate cădea, de exemplu. a avea loc oricare dintre evenimentele elementare - pierdere de la 1 la 6 puncte (puncte). Deci numărul de rezultate elementare posibile este n=6.
Evenimentul A = (mai mult de 3 puncte au căzut) înseamnă că au căzut 4, 5 sau 6 puncte (puncte). Deci numărul de rezultate favorabile m=3.
Probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=3/6=0,5

Sarcina 6 . Determinați probabilitatea ca atunci când se aruncă un zar, un număr de puncte să nu depășească 4. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată miime.

Soluţie . Când aruncați un zar, oricare dintre cele șase fețe ale sale poate cădea, de exemplu. a avea loc oricare dintre evenimentele elementare - pierdere de la 1 la 6 puncte (puncte). Deci numărul de rezultate elementare posibile este n=6.
Evenimentul A = (nu mai mult de 4 puncte au căzut) înseamnă că au căzut 4, 3, 2 sau 1 puncte (punct). Deci numărul de rezultate favorabile m=4.
Probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Sarcina 7 . Un zar este aruncat de două ori. Aflați probabilitatea ca ambele numere să fie mai mici de 4.

Soluţie . Deoarece un zar (zar) este aruncat de două ori, vom argumenta după cum urmează: dacă un punct a căzut pe primul zar, atunci 1, 2, 3, 4, 5, 6 poate cădea pe al doilea. Obținem perechi (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) și așa mai departe cu fiecare față. Prezentăm toate cazurile sub forma unui tabel de 6 rânduri și 6 coloane:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (de ambele ori a căzut un număr mai mic de 4) (sunt evidențiate cu caractere aldine) și vom obține m=9.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=9/36=0,25

Sarcina 8 . Un zar este aruncat de două ori. Aflați probabilitatea ca cel mai mare dintre cele două numere extrase să fie 5. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată miime.

Soluţie . Toate rezultatele posibile ale a două aruncări ale unui zar sunt prezentate în tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=6*6=36.
Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (cel mai mare dintre cele două numere extrase este 5) (sunt evidențiate cu caractere aldine) sunt calculate și obținem m=8.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Sarcina 9 . Un zar este aruncat de două ori. Aflați probabilitatea ca un număr mai mic de 4 să fie aruncat cel puțin o dată.

Soluţie . Toate rezultatele posibile ale a două aruncări ale unui zar sunt prezentate în tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=6*6=36.
Expresia „cel puțin o dată un număr mai mic de 4 a căzut” înseamnă „un număr mai mic de 4 a căzut o dată sau de două ori”, apoi numărul de rezultate favorabile ale evenimentului A = (cel puțin o dată a căzut un număr mai mic de 4 ) (sunt îngroșate) m=27.
Aflați probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=27/36=0,75

Formularea sarcinii:Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capul (cozile) să nu cadă nici măcar o dată (va cădea exact / de cel puțin 1, 2 ori).

Sarcina este inclusă în USE în matematică a nivelului de bază pentru clasa a 11-a la numărul 10 (Definiția clasică a probabilității).

Să vedem cum se rezolvă astfel de probleme cu exemple.

Exemplu de sarcină 1:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară niciodată.

OO SAU RO RR

Sunt in total 4 astfel de combinatii.Pe noi ne intereseaza doar acelea dintre ele in care nu exista nici un vultur. Există o singură astfel de combinație (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de sarcină 2:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să iasă exact de două ori.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot cădea dacă moneda este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna vulturul cu litera O și cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Sunt in total 4 astfel de combinatii.Pe noi ne intereseaza doar acele combinatii in care capetele apar exact de 2 ori. Există o singură astfel de combinație (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de sarcină 3:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să iasă exact o dată.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot cădea dacă moneda este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna vulturul cu litera O și cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

In total sunt 4 astfel de combinatii.Pe noi ne intereseaza doar acelea dintre ele in care capetele au cazut exact o data. Există doar două astfel de combinații (OP și RO).

Răspuns: 0,5

Exemplu de sarcină 4:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară cel puțin o dată.

Luați în considerare toate combinațiile posibile care pot cădea dacă moneda este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna vulturul cu litera O și cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Sunt in total 4 astfel de combinatii.Pe noi ne intereseaza doar acele combinatii in care capetele cad macar o data. Există doar trei astfel de combinații (OO, OR și RO).

P = 3 / 4 = 0,75

În sarcinile despre teoria probabilității, care sunt prezentate în Examenul de stat unificat cu numărul 4, în plus, există și sarcini pentru aruncarea unei monede și despre aruncarea unui zar. Astăzi le vom analiza.

Probleme cu aruncarea monedelor

Sarcina 1. O monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca acesta să apară cozi exact o dată.

În astfel de probleme, este convenabil să scrieți toate rezultatele posibile, scriindu-le folosind literele P (cozi) și O (capete). Astfel, rezultatul OR înseamnă că prima aruncare a venit cu capul, iar a doua a venit cozi. În problema luată în considerare, sunt posibile 4 rezultate: PP, RO, OR, OO. Favorizați evenimentul „cozile apar exact o dată” 2 rezultate: RO și SAU. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,5.

Sarcina 2. O monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca capete să iasă exact de două ori.

În total, sunt posibile 8 rezultate: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Favorizați evenimentul „cap exact de două ori” 3 rezultate: ROO, ORO, OOR. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,375.

Sarcina 3.Înainte de începerea unui meci de fotbal, arbitrul aruncă o monedă pentru a determina ce echipă va începe mingea. Echipa Emerald joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca în aceste jocuri „Smarald” să câștige lotul exact o dată.

Această sarcină este similară cu cea anterioară. Fie ca de fiecare dată pierderea cozilor înseamnă câștigarea lotului prin „Smarald” (o astfel de presupunere nu afectează calculul probabilităților). Atunci sunt posibile 8 rezultate: PRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, LLC. Există 3 rezultate care favorizează evenimentul „cozile apar exact o dată”: POO, ORO, OOP. Probabilitatea necesară este .

Răspuns: 0,375.

Sarcina 4. O monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul ROO să vină (prima dată când apare cozi, a doua și a treia - capete).

Ca și în sarcinile anterioare, aici există 8 rezultate: PPP, PPO, POP, POO, OPP, ORO, OOP, OOO. Probabilitatea rezultatului ROO este egală cu .

Răspuns: 0,125.

Probleme cu aruncarea zarurilor

Sarcina 5. Zarurile sunt aruncate de două ori. Câte rezultate elementare ale experienței favorizează evenimentul „suma punctelor este 8”?

Sarcina 6. Se aruncă două zaruri în același timp. Aflați probabilitatea ca totalul să fie 4. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

În general, dacă zarurile (zarurile) sunt aruncate, atunci există rezultate la fel de posibile. Același număr de rezultate se obține dacă același zar este aruncat o dată la rând.

Următoarele rezultate favorizează evenimentul „4 în total”: 1 - 3, 2 - 2, 3 - 1. Numărul lor este 3. Probabilitatea dorită este .

Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți împărțirea printr-un colț. Astfel, este aproximativ egal cu 0,083 ..., rotunjit la sutimi, avem 0,08.

Răspuns: 0,08

Sarcina 7. Se aruncă trei zaruri în același timp. Aflați probabilitatea de a obține 5 puncte în total. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Vom considera rezultatul ca un triplu de numere: punctele care au căzut pe primul, al doilea și al treilea zar. În total, există rezultate la fel de posibile. Următoarele rezultate favorizează evenimentul „5 în total”: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1, 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1. Numărul lor este 6. Probabilitatea dorită este . Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei fracții, este convenabil să folosiți împărțirea printr-un colț. Aproximativ obținem 0,027 ..., rotunjit la sutimi, avem 0,03. Sursa „Pregătirea pentru examen. Matematica. Teoria probabilității". Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov