Numerele Fibonacci: în căutarea secretului universului. Numerele Fibonacci și raportul de aur: relație

Există încă multe mistere nerezolvate în univers, dintre care unele oamenii de știință au reușit deja să le identifice și să le descrie. numerele Fibonacci și raportul de aur formează baza pentru înțelegerea lumii înconjurătoare, construirea formei acesteia și a percepției vizuale optime de către o persoană, cu ajutorul căreia poate simți frumusețea și armonia.

Raportul de aur

Principiul determinării dimensiunilor raportului de aur stă la baza perfecțiunii întregii lumi și a părților sale în structura și funcțiile sale, manifestarea ei putând fi văzută în natură, artă și tehnologie. Doctrina proporției de aur a fost fondată ca rezultat al cercetărilor efectuate de oamenii de știință antici asupra naturii numerelor.

Se bazează pe teoria proporțiilor și a raporturilor diviziunilor segmentelor, care a fost făcută de filosoful și matematicianul antic Pitagora. El a demonstrat că atunci când se împarte un segment în două părți: X (mai mic) și Y (mai mare), raportul dintre cel mai mare și cel mai mic va fi egal cu raportul dintre suma lor (întregul segment):

Rezultatul este o ecuație: x 2 - x - 1=0, care se rezolvă ca x=(1±√5)/2.

Dacă luăm în considerare raportul 1/x, atunci este egal cu 1,618…

Dovada utilizării raportului de aur de către gânditorii antici este dată în cartea lui Euclid „Elemente”, scrisă încă din secolul al III-lea. BC, care a aplicat această regulă pentru a construi pentagoane regulate. În rândul pitagoreenilor, această figură este considerată sacră deoarece este atât simetrică, cât și asimetrică. Pentagrama simbolizează viața și sănătatea.

numerele Fibonacci

Celebra carte Liber abaci a matematicianului italian Leonardo din Pisa, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost publicată în 1202. În ea, omul de știință citează pentru prima dată modelul numerelor, într-o serie a cărora fiecare număr este suma 2 cifre anterioare. Secvența numerelor Fibonacci este următoarea:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc.

Omul de știință a citat, de asemenea, o serie de modele:

• Orice număr din serie împărțit la următorul va fi egal cu o valoare care tinde spre 0,618. Mai mult, primele numere Fibonacci nu dau un astfel de număr, dar pe măsură ce trecem de la începutul secvenței, acest raport va deveni din ce în ce mai precis.
• Dacă împărțiți numărul din serie la cel precedent, rezultatul se va grăbi la 1,618.
• Un număr împărțit la următorul la unu va arăta o valoare care tinde spre 0,382.

Aplicarea conexiunii și modelelor secțiunii de aur, numărul Fibonacci (0,618) poate fi găsită nu numai în matematică, ci și în natură, istorie, arhitectură și construcție și în multe alte științe.

Arhimede spirală și dreptunghi auriu

Spiralele, foarte comune în natură, au fost studiate de Arhimede, care a derivat chiar și ecuația acesteia. Forma spiralei se bazează pe legile raportului de aur. La desfășurarea acestuia se obține o lungime căreia i se pot aplica proporții și numere Fibonacci, pasul crește uniform.

Paralela dintre numerele Fibonacci și raportul de aur poate fi văzută prin construirea unui „dreptunghi de aur” ale cărui laturi sunt proporționale ca 1,618:1. Se construiește prin trecerea de la un dreptunghi mai mare la unul mai mic, astfel încât lungimile laturilor să fie egale cu numerele din serie. Poate fi construit și în ordine inversă, începând cu pătratul „1”. Când colțurile acestui dreptunghi sunt conectate prin linii în centrul intersecției lor, se obține o spirală Fibonacci sau logaritmică.

Istoria utilizării proporțiilor de aur

Multe monumente arhitecturale antice ale Egiptului au fost construite folosind proporții de aur: faimoasele piramide ale lui Keops și alții Grecia antică au fost utilizate pe scară largă în construcție obiecte de arhitectură precum temple, amfiteatre, stadioane. De exemplu, astfel de proporții au fost folosite în construcția templului antic al Partenonului, (Atena) și a altor obiecte care au devenit capodopere ale arhitecturii antice, demonstrând armonie bazată pe modele matematice.

În secolele următoare, interesul pentru raportul de aur a scăzut, iar modelele au fost uitate, dar a reluat din nou în Renaștere cu cartea călugărului franciscan L. Pacioli di Borgo „Proporția divină” (1509). Conținea ilustrații ale lui Leonardo da Vinci, care a stabilit noul nume „rația de aur”. 12 proprietăți ale proporției de aur au fost, de asemenea, dovedite științific, iar autorul a vorbit despre modul în care se manifestă în natură, în artă și a numit-o „principiul construirii lumii și naturii”.

Omul Vitruvian Leonardo

Desenul, pe care Leonardo da Vinci l-a folosit pentru a ilustra cartea lui Vitruvius în 1492, înfățișează o figură umană în 2 poziții cu brațele întinse în lateral. Figura este înscrisă într-un cerc și un pătrat. Acest desen este considerat a fi proporțiile canonice ale corpului uman (mascul), descrise de Leonardo pe baza studierii lor în tratatele arhitectului roman Vitruvius.

Buricul este considerat centrul corpului ca un punct echidistant de la capătul brațelor și picioarelor, lungimea brațelor este egală cu înălțimea persoanei, latime maxima umerii = 1/8 din înălțime, distanța de la vârful pieptului la păr = 1/7, de la vârful pieptului până la vârful capului = 1/6 etc.

De atunci, desenul a fost folosit ca simbol care arată simetria internă a corpului uman.

Leonardo a folosit termenul „Rația de Aur” pentru a desemna relațiile proporționale din figura umană. De exemplu, distanța de la talie la picioare este legată de aceeași distanță de la buric până la vârful capului, la fel ca înălțimea la prima lungime (de la talie în jos). Acest calcul se face similar cu raportul segmentelor atunci când se calculează proporția de aur și tinde la 1,618.

Toate aceste proporții armonioase sunt adesea folosite de artiști pentru a crea lucrări frumoase și impresionante.

Cercetări privind raportul de aur în secolele XVI-XIX

Folosind raportul de aur și numerele Fibonacci, cercetările privind problema proporțiilor se desfășoară de secole. În paralel cu Leonardo da Vinci, și artistul german Albrecht Durer a dezvoltat teoria proporții corecte corpul uman. În acest scop, a creat chiar și o busolă specială.

În secolul al XVI-lea Problema conexiunii dintre numărul Fibonacci și raportul de aur a fost dedicată lucrării astronomului I. Kepler, care a aplicat pentru prima dată aceste reguli botanicii.

O nouă „descoperire” aștepta raportul de aur în secolul al XIX-lea. odată cu publicarea „Investigației estetice” a savantului german profesor Zeisig. El a ridicat aceste proporții la absolute și a declarat că sunt universale pentru toată lumea fenomene naturale. Ei au efectuat cercetări cantitate uriașă oameni, sau mai degrabă proporțiile lor corporale (aproximativ 2 mii), pe baza rezultatelor cărora s-au tras concluzii despre modele confirmate statistic în raporturile diferitelor părți ale corpului: lungimea umerilor, antebrațelor, mâinilor, degetelor etc.

Au fost studiate și obiectele de artă (vaze, structuri arhitecturale), tonurile muzicale și dimensiunile când scriu poezii - Zeisig a afișat toate acestea prin lungimile segmentelor și numerelor și a introdus, de asemenea, termenul de „estetică matematică”. După primirea rezultatelor, s-a dovedit că seria Fibonacci a fost obținută.

Numărul Fibonacci și raportul de aur în natură

În lumea vegetală și animală există o tendință către morfologie sub formă de simetrie, care se observă în direcția creșterii și mișcării. Împărțirea în părți simetrice în care se observă proporții de aur - acest model este inerent multor plante și animale.

Natura din jurul nostru poate fi descrisă folosind numerele Fibonacci, de exemplu:

• locația frunzelor sau ramurilor oricăror plante, precum și distanțele, sunt corelate cu o serie de numere date 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 și așa mai departe;
• seminte de floarea soarelui (solzi pe conuri, celule de ananas), dispuse in doua randuri de-a lungul spiralelor rasucite in directii diferite;
• raportul dintre lungimea cozii și întregul corp al șopârlei;
• forma unui ou, dacă tragi o linie prin partea sa largă;
• raportul dintre dimensiunile degetelor de pe mâna unei persoane.

Și, desigur, cele mai interesante forme includ cochilii de melci în spirală, modele pe pânze de păianjen, mișcarea vântului în interiorul unui uragan, dublul helix din ADN și structura galaxiilor - toate acestea implicând secvența Fibonacci.

Utilizarea raportului de aur în art

Cercetătorii care caută exemple de utilizare a raportului de aur în artă studiază în detaliu diverse obiecte de arhitectură și opere de artă. Există lucrări sculpturale celebre, ai căror creatori au aderat la proporții de aur - statui ale lui Zeus Olimpian, Apollo Belvedere și

Una dintre creațiile lui Leonardo da Vinci, „Portretul Mona Lisei”, a fost subiectul cercetărilor oamenilor de știință de mulți ani. Ei au descoperit că compoziția lucrării constă în întregime din „triunghiuri de aur” unite împreună într-o stea pentagon obișnuită. Toate lucrările lui da Vinci sunt dovada cât de profunde erau cunoștințele sale în structura și proporțiile corpului uman, datorită cărora a reușit să surprindă zâmbetul incredibil de misterios al Monei Lisei.

Raportul de aur în arhitectură

De exemplu, oamenii de știință au examinat capodopere arhitecturale create după regulile „raportului de aur”: piramide egiptene, Panteon, Parthenon, Catedrala Notre Dame de Paris, Catedrala Sf. Vasile etc.

Partenonul - una dintre cele mai frumoase clădiri din Grecia Antică (sec. V î.Hr.) - are 8 coloane și 17 pe laturi diferite, raportul dintre înălțimea sa și lungimea laturilor este de 0,618. Proeminențele de pe fațadele sale sunt realizate conform „raportului de aur” (foto de mai jos).

Unul dintre oamenii de știință care a inventat și aplicat cu succes îmbunătățirea sistem modular proporții pentru obiectele de arhitectură (așa-numitul „modulor”), a fost arhitectul francez Le Corbusier. Modulatorul se bazează pe un sistem de măsurare asociat cu împărțirea condiționată în părți ale corpului uman.

Arhitectul rus M. Kazakov, care a construit mai multe clădiri rezidențiale la Moscova, precum și clădirea Senatului din Kremlin și spitalul Golitsyn (acum Prima Clinică numită după N. I. Pirogov), a fost unul dintre arhitecții care au folosit legile în proiectare și construcție despre raportul de aur.

Aplicarea proporțiilor în proiectare

În designul vestimentar, toți designerii de modă creează noi imagini și modele ținând cont de proporțiile corpului uman și de regulile raportului de aur, deși prin natura lor nu toți oamenii au proporții ideale.

La planificare design peisagisticși realizarea unor compoziții voluminoase de parc cu ajutorul plantelor (arbori și arbuști), fântâni și mici obiecte de arhitectură, se pot aplica și legile „proporțiilor divine”. La urma urmei, compoziția parcului ar trebui să se concentreze pe crearea unei impresii asupra vizitatorului, care va putea să-l navigheze liber și să găsească centrul compozițional.

Toate elementele parcului sunt în asemenea proporții încât să creeze o impresie de armonie și perfecțiune cu ajutorul structurii geometrice, poziției relative, iluminării și luminii.

Aplicarea raportului de aur în cibernetică și tehnologie

Legile secțiunii de aur și numerele Fibonacci apar și în tranzițiile energetice, în procesele care au loc cu particulele elementare care alcătuiesc compușii chimici, în sisteme spațiale, în structura genică a ADN-ului.

Procese similare apar în corpul uman, manifestându-se în bioritmurile vieții sale, în acțiunea organelor, de exemplu, creierul sau vederea.

Algoritmii și modelele de proporții de aur sunt utilizate pe scară largă în cibernetica modernă și în informatică. Una dintre sarcinile simple pe care programatorii începători trebuie să le rezolve este să scrie o formulă și să determine suma numerelor Fibonacci până la un anumit număr folosind limbaje de programare.

Cercetări moderne în teoria raportului de aur

De la mijlocul secolului al XX-lea, interesul pentru problemele și influența legilor proporțiilor de aur asupra vieții umane a crescut brusc și din partea multor oameni de știință de diverse profesii: matematicieni, cercetători etnici, biologi, filozofi, lucrătorii medicali, economiști, muzicieni etc.

În SUA, încă din anii 1970, a început să fie publicată revista The Fibonacci Quarterly, unde au fost publicate lucrări pe această temă. În presă apar lucrări în care sunt folosite regulile generalizate ale raportului de aur și seria Fibonacci diverse industrii cunoştinţe. De exemplu, pentru a codifica informații, cercetare chimică, biologice etc.

Toate acestea confirmă concluziile oamenilor de știință antici și moderni că proporția de aur este legată multilateral de probleme fundamentale ale științei și se manifestă în simetria multor creații și fenomene ale lumii din jurul nostru.

Ați auzit vreodată că matematica este numită „regina tuturor științelor”? Sunteți de acord cu această afirmație? Atâta timp cât matematica rămâne pentru tine un set de probleme plictisitoare într-un manual, cu greu poți experimenta frumusețea, versatilitatea și chiar umorul acestei științe.

Dar există subiecte în matematică care ajută la realizarea de observații interesante despre lucruri și fenomene care ne sunt comune. Și chiar încercați să pătrundeți în vălul misterului creației Universului nostru. Există modele interesante în lume care pot fi descrise folosind matematică.

Prezentarea numerelor Fibonacci

numerele Fibonacci numiți elementele unei secvențe de numere. Fiecare lucru din el următorul numărîntr-o serie se obţine prin însumarea celor două numere anterioare.

Exemplu de secvență: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

O poti scrie asa:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Puteți începe o serie de numere Fibonacci cu valori negative n. În plus, secvența în acest caz este cu două fețe (adică acoperă negativ și numere pozitive) și tinde spre infinit în ambele direcții.

Un exemplu de astfel de secvență: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula în acest caz arată astfel:

F n = F n+1 - F n+2 sau altfel poți face asta: F -n = (-1) n+1 Fn.

Ceea ce cunoaștem acum sub numele de „numerele Fibonacci” era cunoscut de matematicienii indieni antici cu mult înainte să înceapă să fie folosite în Europa. Și acest nume este în general o anecdotă istorică continuă. Să începem cu faptul că Fibonacci însuși nu s-a numit niciodată Fibonacci în timpul vieții sale - acest nume a început să fie aplicat lui Leonardo din Pisa la doar câteva secole după moartea sa. Dar să vorbim despre totul în ordine.

Leonardo din Pisa, alias Fibonacci

Fiul unui comerciant care a devenit matematician și, ulterior, a primit recunoașterea posterității ca primul matematician important al Europei în Evul Mediu. Nu în ultimul rând datorită numerelor Fibonacci (care, să ne amintim, nu se numeau încă așa). Pe care l-a descris la începutul secolului al XIII-lea în lucrarea sa „Liber abaci” („Cartea lui Abacus”, 1202).

Am călătorit cu tatăl meu în Orient, Leonardo a studiat matematica cu profesori arabi (și în acele vremuri erau printre cei mai buni specialiști în această chestiune și în multe alte științe). Lucrări ale matematicienilor din Antichitate și India antică a citit în traduceri arabe.

După ce a înțeles temeinic tot ceea ce a citit și folosind propria sa minte curios, Fibonacci a scris mai multe tratate științifice despre matematică, inclusiv „Cartea Abacusului” menționată mai sus. Pe langa asta am creat:

• „Practica geometriae” („Practica de geometrie”, 1220);
• „Flos” („Floare”, 1225 - un studiu asupra ecuațiilor cubice);
• „Liber quadratorum” („Cartea pătratelor”, 1225 - probleme privind ecuațiile pătratice nedefinite).

Era un mare fan al turneelor ​​de matematică, așa că în tratatele sale a acordat multă atenție analizei diverselor probleme matematice.

Au rămas foarte puține informații biografice despre viața lui Leonardo. În ceea ce privește numele Fibonacci, sub care a intrat în istoria matematicii, acesta i-a fost atribuit abia în secolul al XIX-lea.

Fibonacci și problemele lui

După Fibonacci au rămas un număr mare de probleme care au fost foarte populare în rândul matematicienilor în secolele următoare. Ne vom uita la problema iepurelui, care este rezolvată folosind numerele Fibonacci.

Iepurii nu sunt doar blană valoroasă

Fibonacci a pus următoarele condiții: există o pereche de iepuri nou-născuți (masculi și femele) dintr-o rasă atât de interesantă încât aceștia produc în mod regulat (începând cu luna a doua) descendenți - întotdeauna o nouă pereche de iepuri. De asemenea, după cum ați putea ghici, un bărbat și o femeie.

Acești iepuri condiționati sunt plasați într-un spațiu restrâns și se reproduc cu entuziasm. De asemenea, se stipulează că niciun iepure nu moare din cauza unei boli misterioase a iepurelui.

Trebuie să calculăm câți iepuri vom obține într-un an.

• La începutul unei luni avem 1 pereche de iepuri. La sfârșitul lunii se împerechează.
• A doua luna - avem deja 2 perechi de iepuri (o pereche are parinti + 1 pereche este urmasii lor).
• A treia lună: prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche se împerechează. Total - 3 perechi de iepuri.
• Luna a patra: Prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche nu pierde timpul și, de asemenea, dă naștere unei noi perechi, a treia pereche tocmai se împerechează. Total - 5 perechi de iepuri.

Numărul de iepuri în n a-a luna = numărul de perechi de iepuri din luna precedentă + numărul de perechi de nou-născuți (există același număr de perechi de iepuri ca și perechi de iepuri cu 2 luni înainte). Și toate acestea sunt descrise de formula pe care am dat-o deja mai sus: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Astfel, obținem o recurentă (explicație despre recursiunea– mai jos) succesiunea de numere. În care fiecare număr următor este egal cu suma celor două precedente:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Puteți continua secvența mult timp: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Dar, deoarece am stabilit o anumită perioadă - un an, ne interesează rezultatul obținut în a 12-a „mișcare”. Aceste. Al 13-lea membru al secvenței: 377.

Răspunsul la problemă: se vor obține 377 de iepuri dacă sunt îndeplinite toate condițiile menționate.

Una dintre proprietățile șirului de numere Fibonacci este foarte interesantă. Dacă luați două perechi consecutive dintr-o serie și împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic, rezultatul se va apropia treptat raportul de aur(puteți citi mai multe despre asta mai târziu în articol).

În termeni matematici, „limita relațiilor un n+1 La un n egal cu raportul de aur".

Mai multe probleme de teoria numerelor

1. Găsiți un număr care poate fi împărțit la 7. De asemenea, dacă îl împărțiți la 2, 3, 4, 5, 6, restul va fi unul.
2. Găsi număr pătrat. Se știe că dacă adaugi 5 sau scazi 5, vei obține din nou un număr pătrat.

Vă sugerăm să căutați singuri răspunsuri la aceste probleme. Ne poți lăsa opțiunile tale în comentariile acestui articol. Și apoi vă vom spune dacă calculele dvs. au fost corecte.

Explicația recursiunii

Recursiune– definiția, descrierea, imaginea unui obiect sau proces care conține acest obiect sau proces în sine. Adică, în esență, un obiect sau un proces este o parte din sine.

Recursiunea este utilizată pe scară largă în matematică și informatică, și chiar în artă și cultura populară.

Numerele Fibonacci sunt determinate folosind o relație de recurență. Pentru număr n>2 n- numărul este egal (n – 1) + (n – 2).

Explicația raportului de aur

Raportul de aur- împărțirea unui întreg (de exemplu, un segment) în părți care sunt legate după următorul principiu: partea mai mare este legată de cea mai mică în același mod în care este întreaga valoare (de exemplu, suma a două segmente) spre cea mai mare parte.

Prima mențiune despre raportul de aur poate fi găsită la Euclid în tratatul său „Elemente” (aproximativ 300 î.Hr.). În contextul construirii unui dreptunghi regulat.

Termenul care ne este familiar a fost introdus în circulație în 1835 de către matematicianul german Martin Ohm.

Dacă descriem proporția de aur aproximativ, aceasta reprezintă împărțirea proporționalăîn două părți inegale: aproximativ 62% și 38%. ÎN numeric Raportul de aur reprezintă un număr 1,6180339887 .

Raportul de aur își găsește aplicare practică în arte plastice (picturi ale lui Leonardo da Vinci și alți pictori renascentiste), arhitectură, cinema („Cuirasatul Potemkin” de S. Esenstein) și alte domenii. Multă vreme s-a crezut că proporția de aur este cea mai estetică proporție. Această opinie este populară și astăzi. Deși, conform rezultatelor cercetării, vizual majoritatea oamenilor nu percep această proporție ca fiind cea mai mare o opțiune bunăși este considerat prea alungit (disproporționat).

• Lungimea secțiunii Cu = 1, O = 0,618, b = 0,382.
• Atitudine Cu La O = 1, 618.
• Atitudine Cu La b = 2,618

Acum să revenim la numerele Fibonacci. Să luăm doi termeni consecutivi din succesiunea sa. Împărțiți numărul mai mare la numărul mai mic și obțineți aproximativ 1,618. Și acum folosim același număr mai mare și următorul membru al seriei (adică un număr și mai mare) - raportul lor este devreme 0,618.

Iată un exemplu: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 și 233/377 = 0,618

Apropo, dacă încercați să faceți același experiment cu numerele de la începutul secvenței (de exemplu, 2, 3, 5), nimic nu va funcționa. Ei bine, aproape. Regula proporției de aur este cu greu respectată la începutul secvenței. Dar pe măsură ce vă deplasați de-a lungul seriei și numerele cresc, funcționează grozav.

Și pentru a calcula întreaga serie de numere Fibonacci, este suficient să cunoaștem trei termeni ai șirului, care vin unul după altul. Puteți vedea asta pentru dvs.!

Dreptunghiul de aur și spirala Fibonacci

O altă paralelă interesantă între numerele Fibonacci și raportul de aur este așa-numitul „dreptunghi de aur”: laturile sale sunt în proporție de 1,618 la 1. Dar știm deja ce este numărul 1,618, nu?

De exemplu, să luăm doi termeni consecutivi din seria Fibonacci - 8 și 13 - și să construim un dreptunghi cu următorii parametri: latime = 8, lungime = 13.

Și apoi o vom sparge dreptunghi mare la cele mai mici. Condiție obligatorie: Lungimile laturilor dreptunghiurilor trebuie să corespundă numerelor Fibonacci. Aceste. Lungimea laturii dreptunghiului mai mare trebuie să fie egală cu suma laturilor celor două dreptunghiuri mai mici.

Modul în care se face în această figură (pentru comoditate, cifrele sunt semnate cu litere latine).

Apropo, puteți construi dreptunghiuri în ordine inversă. Aceste. începeți să construiți cu pătrate cu latura de 1. La care, ghidându-se după principiul enunțat mai sus, se completează figuri cu laturile egale cu numerele Fibonacci. Teoretic, acest lucru poate fi continuat la infinit - la urma urmei, seria Fibonacci este formal infinită.

Dacă conectăm colțurile dreptunghiurilor obținute în figură cu o linie netedă, obținem o spirală logaritmică. Sau mai bine zis, ea caz special– spirala Fibonacci. Se caracterizează, în special, prin faptul că nu are granițe și nu își schimbă forma.

O spirală similară se găsește adesea în natură. Cojile de scoici sunt unul dintre cele mai izbitoare exemple. Mai mult, unele galaxii care pot fi văzute de pe Pământ au formă de spirală. Dacă acordați atenție prognozelor meteo de la televizor, este posibil să fi observat că ciclonii au o formă similară în spirală atunci când sunt fotografiați de pe sateliți.

Este curios că helixul ADN respectă și regula secțiunii de aur - modelul corespunzător poate fi văzut în intervalele curbelor sale.

Asemenea „coincidențe” uimitoare nu pot decât să excite mințile și să dea naștere să se vorbească despre un anumit algoritm unic căruia se supun toate fenomenele din viața Universului. Acum înțelegi de ce acest articol se numește astfel? Și ce uși lumi uimitoare Matematica vă poate deschide lucruri?

Numerele Fibonacci în natură

Legătura dintre numerele Fibonacci și raportul de aur sugerează modele interesante. Atât de curios încât este tentant să încerci să găsești secvențe similare numerelor Fibonacci în natură și chiar în timpul evenimente istorice. Și natura chiar dă naștere unor astfel de presupuneri. Dar orice lucru din viața noastră poate fi explicat și descris folosind matematica?

Exemple de viețuitoare care pot fi descrise folosind șirul Fibonacci:

• dispunerea frunzelor (și a ramurilor) în plante - distanțele dintre ele sunt corelate cu numerele Fibonacci (filotaxie);

• aranjarea semințelor de floarea soarelui (semințele sunt aranjate în două rânduri de spirale răsucite în directii diferite: un rând în sensul acelor de ceasornic, celălalt în sens invers acelor de ceasornic);

• aranjarea solzilor de conuri de pin;
• petale de flori;
• celule de ananas;
• raportul dintre lungimile falangelor degetelor de pe mâna omului (aproximativ), etc.

Probleme de combinatorie

Numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de combinatorie.

Combinatorică este o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul unui eșantion al cuiva număr dat elemente din setul desemnat, enumerare etc.

Să ne uităm la exemple de probleme de combinatorie concepute pentru nivel de liceu (sursa - http://www.problems.ru/).

Sarcina #1:

Lesha urcă o scară de 10 trepte. La un moment dat sare în sus fie o treaptă, fie două trepte. În câte moduri poate Lesha să urce scările?

Numărul de moduri prin care Lesha poate urca scările n pași, să notăm și n. Rezultă că a 1 = 1, a 2= 2 (la urma urmei, Lesha sare unul sau doi pași).

De asemenea, este de acord că Lesha sare pe scări de la n> 2 trepte. Să presupunem că a sărit doi pași prima dată. Aceasta înseamnă că, în funcție de condițiile problemei, trebuie să sară altul n – 2 trepte. Apoi numărul de moduri de a finaliza urcarea este descris ca a n–2. Și dacă presupunem că prima dată când Lesha a sărit doar un pas, atunci vom descrie numărul de moduri de a termina urcarea ca un n–1.

De aici obținem următoarea egalitate: a n = a n–1 + a n–2(pare cunoscut, nu-i așa?).

Din moment ce știm a 1Şi a 2și amintiți-vă că, în funcție de condițiile problemei, există 10 pași, calculați toți în ordine un n: a 3 = 3, a 4 = 5, un 5 = 8, a 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.

Răspuns: 89 de moduri.

Sarcina #2:

Trebuie să găsiți numărul de cuvinte de 10 litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu trebuie să conțină două litere „b” la rând.

Să notăm prin un n numărul de lungime a cuvintelor n litere care constau numai din literele „a” și „b” și nu conțin două litere „b” la rând. Mijloace, a 1= 2, a 2= 3.

În succesiune a 1, a 2, <…>, un n ne vom exprima pe fiecare dintre membrii săi următori prin cei anteriori. Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este n literele care, de asemenea, nu conțin o literă dublă „b” și încep cu litera „a” sunt un n–1. Și dacă cuvântul este lung n literele încep cu litera „b”, este logic ca următoarea literă dintr-un astfel de cuvânt să fie „a” (la urma urmei, nu pot exista doi „b” în funcție de condițiile problemei). Prin urmare, numărul de cuvinte de lungime este nîn acest caz notăm literele ca a n–2. Atât în ​​primul cât și în al doilea caz, orice cuvânt (lungimea de n – 1Şi n – 2 respectiv litere) fără „b” dublu.

Am putut justifica de ce a n = a n–1 + a n–2.

Să calculăm acum a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Și obținem succesiunea familiară Fibonacci.

Raspuns: 144.

Sarcina #3:

Imaginați-vă că există o bandă împărțită în celule. Merge spre dreapta și durează la infinit. Puneți o lăcustă pe primul pătrat al benzii. Indiferent de celula pe care se află, el se poate deplasa doar la dreapta: fie o celulă, fie două. Câte moduri există în care o lăcustă poate sări de la începutul benzii la n-a celulele?

Să notăm numărul de moduri de a muta o lăcustă de-a lungul centurii către n-lea celule ca un n. În acest caz a 1 = a 2= 1. Tot în n+1 Lăcusta poate intra în celula -a fie din n-a celula, sau sărind peste ea. De aici a n + 1 = a n – 1 + un n. Unde un n = Fn – 1.

Răspuns: Fn – 1.

Poți să creezi singur probleme similare și să încerci să le rezolvi la lecțiile de matematică cu colegii tăi.

Numerele Fibonacci în cultura populară

Desigur că este fenomen neobișnuit, ca și numerele Fibonacci, nu pot decât să atragă atenția. Există încă ceva atractiv și chiar misterios în acest model strict verificat. Nu este surprinzător că secvența Fibonacci s-a „aprins” cumva în multe lucrări ale culturii populare moderne de diferite genuri.

Vă vom spune despre unele dintre ele. Și încerci să te cauți din nou. Dacă îl găsiți, împărtășiți-l cu noi în comentarii – și noi suntem curioși!

• Numerele Fibonacci sunt menționate în bestsellerul lui Dan Brown Codul Da Vinci: secvența Fibonacci servește drept cod folosit de personajele principale ale cărții pentru a deschide un seif.
• În filmul american din 2009 Mr. Nobody, într-un episod adresa unei case face parte din secvența Fibonacci - 12358. În plus, într-un alt episod personajul principal trebuie să apeleze un număr de telefon, care este în esență același, dar ușor distorsionat (cifra suplimentară după 5) secvență: 123-581-1321.
• În serialul din 2012 Connection, personajul principal, un băiat care suferă de autism, este capabil să discearnă tipare în evenimentele care au loc în lume. Inclusiv prin numerele Fibonacci. Și gestionați aceste evenimente și prin numere.
• Dezvoltatorii jocului java pentru telefoane mobile Doom RPG au plasat o ușă secretă pe unul dintre niveluri. Codul care îl deschide este șirul Fibonacci.
• În 2012, trupa rusă de rock Splin a lansat albumul concept „Optical Deception”. A opta piesă se numește „Fibonacci”. Versurile liderului grupului Alexander Vasiliev joacă pe succesiunea numerelor Fibonacci. Pentru fiecare dintre cei nouă termeni consecutivi există un număr corespunzător de linii (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Trenul a pornit

1 O articulație s-a rupt

1 O mânecă tremura

2 Asta e, ia lucrurile

Asta e, ia lucrurile

3 Cerere de apă clocotită

Trenul merge spre râu

Trenul trece prin taiga<…>.

• limerick ( poezie scurtă o anumită formă - de obicei cinci rânduri, cu o anumită schemă de rimă, umoristică în conținut, în care primul și ultimul rând se repetă sau se dublează parțial unul pe celălalt) James Lyndon folosește, de asemenea, o referire la secvența Fibonacci ca motiv umoristic:

Mâncarea densă a soțiilor lui Fibonacci

Era doar în folosul lor, nimic altceva.

Soțiile cântăreau, potrivit zvonurilor,

Fiecare este ca și precedentele două.

Să rezumam

Sperăm că am putut să vă spunem o mulțime de lucruri interesante și utile astăzi. De exemplu, acum poți căuta spirala Fibonacci în natura din jurul tău. Poate că tu vei fi cel care va putea dezvălui „secretul vieții, al Universului și în general”.

Utilizați formula numerelor Fibonacci atunci când rezolvați probleme de combinatorie. Vă puteți baza pe exemplele descrise în acest articol.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiune completă munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

SCOPUL CEL MAI ÎNALT AL MATEMATICII ESTE GĂSIREA ORDINEI ASCUNSĂ ÎN HAOSUL CARE NE ÎNCONJORĂ.

Viner N.

O persoană se străduiește pentru cunoaștere toată viața, încercând să studieze lumea din jurul său. Și în procesul de observații, el are întrebări la care trebuie să li se răspundă. Se găsesc răspunsurile, dar apar noi întrebări. În descoperirile arheologice, în urmele civilizației, îndepărtate unele de altele în timp și spațiu, se găsește unul și același element - un model sub formă de spirală. Unii îl consideră un simbol al soarelui și îl asociază cu legendara Atlantida, dar adevăratul său sens este necunoscut. Ce au în comun formele unei galaxii și ale unui ciclon atmosferic, dispunerea frunzelor pe o tulpină și aranjarea semințelor într-o floarea soarelui? Aceste modele se reduc la așa-numita spirală „de aur”, uimitoarea secvență Fibonacci descoperită de marele matematician italian al secolului al XIII-lea.

Istoria numerelor Fibonacci

Pentru prima dată am auzit despre ce sunt numerele Fibonacci de la un profesor de matematică. Dar, în plus, nu știam cum s-a reunit succesiunea acestor numere. Pentru asta este de fapt faimoasă această secvență, cum afectează o persoană, vreau să vă spun. Se știu puține lucruri despre Leonardo Fibonacci. Nici măcar data exacta nașterea lui. Se știe că s-a născut în 1170 într-o familie de negustori din orașul Pisa din Italia. Tatăl lui Fibonacci a vizitat adesea Algeria pentru chestiuni comerciale, iar Leonardo a studiat acolo matematica cu profesori arabi. Ulterior, el a scris mai multe lucrări de matematică, dintre care cea mai faimoasă este „Cartea lui Abacus”, care conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii. 2

Numerele Fibonacci sunt o succesiune de numere care au o serie de proprietăți. Fibonacci a descoperit această secvență de numere din întâmplare când încerca să rezolve o problemă practică despre iepuri în 1202. „Cineva a așezat o pereche de iepuri într-un anumit loc, îngrădiți pe toate părțile de un zid, pentru a afla câte perechi de iepuri ar fi născut în cursul anului, dacă natura iepurilor este de așa natură încât după o lună o pereche. de iepuri naște o altă pereche, iar iepurii nasc din a doua luni după nașterea ta”. La rezolvarea problemei, a ținut cont de faptul că fiecare pereche de iepuri dă naștere încă două perechi de-a lungul vieții, apoi moare. Așa a apărut șirul numerelor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... În această secvență, fiecare număr următor este egal cu suma celor două anterioare. A fost numită șirul lui Fibonacci. Proprietățile matematice ale șirului

Am vrut să explorez această secvență și am descoperit câteva dintre proprietățile ei. Acest model este de mare importanță. Secvența se apropie încet de un anumit raport constant de aproximativ 1,618, iar raportul dintre orice număr la următorul este de aproximativ 0,618.

Puteți observa o serie de proprietăți interesante ale numerelor Fibonacci: două numere învecinate sunt relativ prime; fiecare al treilea număr este par; fiecare cincisprezece se termină cu zero; fiecare al patrulea este multiplu de trei. Dacă alegeți orice 10 numere adiacente din șirul lui Fibonacci și le adunați împreună, veți obține întotdeauna un număr care este un multiplu al lui 11. Dar asta nu este tot. Fiecare sumă este egală cu numărul 11 ​​înmulțit cu al șaptelea termen al secvenței luate. Iată o altă caracteristică interesantă. Pentru orice n, suma primilor n termeni ai secvenței va fi întotdeauna egală cu diferența dintre (n+ 2) al doilea și primul termen al șirului. Acest fapt poate fi exprimat prin formula: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Acum avem la dispoziție următorul truc: să găsim suma tuturor termenilor

succesiune între doi termeni dați, este suficient să găsim diferența termenilor corespunzători (n+2)-x. De exemplu, a 26 +...+a 40 = a 42 - a 27. Acum să căutăm legătura dintre Fibonacci, Pitagora și „rația de aur”. Cea mai faimoasă dovadă a geniului matematic al omenirii este teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor sale: c 2 =b 2 +a 2. Din punct de vedere geometric putem considera toate laturile triunghi dreptunghic, ca laturile a trei pătrate construite pe ele. Teorema lui Pitagora spune că suprafata totala pătratele construite pe laturile unui triunghi dreptunghic este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză. Dacă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt numere întregi, atunci ele formează un grup de trei numere numite triplete pitagoreene. Folosind șirul Fibonacci puteți găsi astfel de tripleți. Să luăm oricare patru numere consecutive din șir, de exemplu, 2, 3, 5 și 8 și să construim încă trei numere după cum urmează: 1) produsul celor două numere extreme: 2*8=16; a celor două numere din mijloc: 2* (3*5)=30;3) suma pătratelor a două numere medii: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Această metodă funcționează pentru oricare patru numere Fibonacci consecutive. Oricare trei numere consecutive din seria Fibonacci se comportă într-un mod previzibil. Dacă înmulțiți cele două extreme și comparați rezultatul cu pătratul numărului mediu, rezultatul va diferi întotdeauna cu unu. De exemplu, pentru numerele 5, 8 și 13 obținem: 5*13=8 2 +1. Dacă priviți această proprietate din punct de vedere geometric, veți observa ceva ciudat. Împărțiți pătratul

Dimensiunea 8x8 (64 de pătrate în total) în patru părți, lungimile laturilor fiind egale cu numerele Fibonacci. Acum din aceste părți vom construi un dreptunghi care măsoară 5x13. Suprafața sa este de 65 de pătrate mici. De unde vine pătratul în plus? Chestia este că nu se formează un dreptunghi ideal, dar rămân mici goluri, care dau în total această unitate suplimentară de suprafață. Triunghiul lui Pascal are și o legătură cu șirul lui Fibonacci. Trebuie doar să scrieți liniile triunghiului lui Pascal una sub alta și apoi să adăugați elementele în diagonală. Rezultatul este șirul lui Fibonacci.

Acum luați în considerare un dreptunghi auriu, a cărui latură este de 1,618 ori mai lungă decât cealaltă. La prima vedere, ni se poate părea un dreptunghi obișnuit. Totuși, să facem un experiment simplu cu două obișnuite carduri bancare. Să așezăm unul dintre ele orizontal și celălalt vertical, astfel încât părțile lor inferioare să fie pe aceeași linie. Dacă trasăm o linie diagonală într-o hartă orizontală și o extindem, vom vedea că va trece exact prin colțul din dreapta sus al hărții verticale – o surpriză plăcută. Poate că acesta este un accident, sau poate că aceste dreptunghiuri și alte forme geometrice care folosesc „proporția de aur” sunt deosebit de plăcute ochiului. S-a gândit Leonardo da Vinci la proporția de aur în timp ce lucra la capodopera sa? Acest lucru pare puțin probabil. Cu toate acestea, se poate susține că el a acordat o mare importanță conexiunii dintre estetică și matematică.

Numerele Fibonacci în natură

Legătura dintre raportul de aur cu frumusețea nu este doar o chestiune de percepție umană. Se pare că natura însăși i-a alocat un rol special lui F. Dacă înscrieți pătrate succesiv într-un dreptunghi „de aur”, apoi desenați un arc în fiecare pătrat, veți obține o curbă elegantă numită spirală logaritmică. Nu este deloc o curiozitate matematică. 5

Dimpotrivă, această linie remarcabilă se găsește adesea în lumea fizică: de la coaja unui nautilus la brațele galaxiilor și în spirala elegantă a petalelor unui trandafir înflorit. Legăturile dintre raportul de aur și numerele Fibonacci sunt numeroase și surprinzătoare. Să luăm în considerare o floare care arată foarte diferit de un trandafir - o floarea soarelui cu semințe. Primul lucru pe care îl vedem este că semințele sunt dispuse în două tipuri de spirale: în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic. Dacă numărăm spiralele în sensul acelor de ceasornic, obținem două numere aparent obișnuite: 21 și 34. Acesta nu este singurul exemplu în care numerele Fibonacci pot fi găsite în structura plantelor.

Natura ne oferă numeroase exemple de aranjare a obiectelor omogene descrise de numerele Fibonacci. În diferitele aranjamente spiralate ale părților mici ale plantelor, pot fi de obicei identificate două familii de spirale. Într-una dintre aceste familii spiralele se îndoaie în sensul acelor de ceasornic, în timp ce în cealaltă se ondula în sens invers acelor de ceasornic. Numerele spiralelor de unul sau altul se dovedesc adesea a fi numere Fibonacci adiacente. Deci, luând o crenguță tânără de pin, este ușor de observat că acele formează două spirale, mergând din stânga jos în dreapta sus. Pe multe conuri, semințele sunt aranjate în trei spirale, înfășurându-se ușor în jurul tulpinii conului. Ele sunt situate în cinci spirale, întorcându-se abrupt în direcția opusă. În conurile mari se pot observa 5 și 8 și chiar 8 și 13 spirale. Spiralele Fibonacci sunt, de asemenea, clar vizibile pe un ananas: de obicei sunt 8 și 13 dintre ele.

Lăstarul de cicoare face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar de data aceasta este mai scurtă decât prima, iarăși face o ejectare în spațiu, dar cu mai puțină forță, eliberează o frunză de dimensiuni și mai mici și este aruncată din nou. . Impulsurile creșterii sale scad treptat proporțional cu secțiunea „de aur”. Pentru a aprecia rolul enorm al numerelor Fibonacci, trebuie doar să priviți frumusețea naturii din jurul nostru. Numerele Fibonacci pot fi găsite în cantități

ramuri pe tulpina fiecărei plante în creștere și în numărul de petale.

Să numărăm petalele unor flori - iris cu cele 3 petale ale sale, primula cu 5 petale, ambrozia cu 13 petale, floarea de colț cu 34 petale, aster cu 55 petale etc. Este aceasta o coincidență sau este o lege a naturii? Uită-te la tulpinile și florile de șoricelă. Astfel, secvența totală a lui Fibonacci poate interpreta cu ușurință modelul manifestărilor numerelor „de aur” găsite în natură. Aceste legi operează indiferent de conștiința noastră și de dorința noastră de a le accepta sau nu. Legile simetriei „de aur” se manifestă în tranzițiile energetice ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și cosmice, în structurile genice ale organismelor vii, în structura organelor umane individuale și a corpului în ansamblu și, de asemenea, se manifestă în bioritmuri și funcționarea creierului și percepția vizuală.

Numerele Fibonacci în arhitectură

„Proporția de aur” este, de asemenea, evidentă în multe creații arhitecturale remarcabile de-a lungul istoriei omenirii. Se pare că matematicienii greci antici și egiptenii antici cunoșteau acești coeficienți cu mult înainte de Fibonacci și i-au numit „rația de aur”. Grecii au folosit principiul „raportului de aur” în construcția Partenonului, iar egiptenii au folosit Marea Piramidă din Giza. Realizări în domeniu utilaje de constructii iar dezvoltarea de noi materiale a deschis noi posibilități pentru arhitecții secolului al XX-lea. Americanul Frank Lloyd Wright a fost unul dintre principalii susținători ai arhitecturii organice. Cu puțin timp înainte de moartea sa, el a proiectat Muzeul Solomon Guggenheim din New York, care este o spirală inversată, iar interiorul muzeului seamănă cu o coajă de nautilus. Arhitectul polono-israelian Zvi Hecker a folosit și el desene spiralateîn proiectul școlii Heinz Galinski din Berlin, construit în 1995. Hecker a început cu ideea unei floarea soarelui cu un cerc central, de unde

toată lumea se împrăștie elemente arhitecturale. Clădirea este o combinație

spirale ortogonale și concentrice, simbolizând interacțiunea cunoștințelor umane limitate și haosul controlat al naturii. Arhitectura sa imită o plantă care urmărește mișcarea Soarelui, astfel încât sălile de clasă sunt iluminate pe tot parcursul zilei.

În Quincy Park, situat în Cambridge, Massachusetts (SUA), spirala „aurită” poate fi găsită adesea. Parcul a fost proiectat în 1997 de artistul David Phillips și este situat lângă Institutul de Matematică Clay. Această instituție este un centru renumit de cercetare matematică. În Quincy Park te poți plimba printre spiralele „aurie” și curbele metalice, reliefuri a două scoici și o stâncă cu simbol rădăcină pătrată. Semnul conține informații despre raportul „de aur”. Chiar și parcarea pentru biciclete folosește simbolul F.

Numerele Fibonacci în psihologie

În psihologie, s-au observat puncte de cotitură, crize și revoluții care marchează transformări în structura și funcțiile sufletului în calea vieții unei persoane. Dacă o persoană depășește cu succes aceste crize, atunci devine capabilă să rezolve probleme dintr-o nouă clasă la care nici măcar nu se gândise înainte.

Prezența schimbărilor fundamentale dă motive să se considere timpul de viață ca factor decisiv dezvoltarea calităților spirituale. La urma urmei, natura nu măsoară timpul cu generozitate pentru noi, „indiferent cât de mult va fi, atât de mult va fi”, ci doar suficient timp pentru ca procesul de dezvoltare să se materializeze:

în structurile corpului;

în sentimente, gândire și psihomotorie – până când acestea dobândesc armonie necesare pentru apariția și lansarea mecanismului

creativitate;

în structura potenţialului energetic uman.

Dezvoltarea corpului nu poate fi oprită: copilul devine adult. Cu mecanismul creativității, totul nu este atât de simplu. Dezvoltarea sa poate fi oprită și direcția sa schimbată.

Există vreo șansă de a ajunge din urmă cu timpul? Fără îndoială. Dar pentru asta trebuie să lucrezi mult pe tine. Ceea ce se dezvoltă liber, în mod natural, nu necesită eforturi deosebite: copilul se dezvoltă liber și nu observă această muncă enormă, deoarece procesul de dezvoltare liberă este creat fără violență împotriva sa.

Cum se înțelege sensul? calea viețiiîn conștiința de zi cu zi? Omul obișnuit vede acest lucru: în partea de jos este nașterea, în partea de sus este floarea vieții și apoi totul merge la vale.

Înțeleptul va spune: totul este mult mai complicat. El împarte ascensiunea în etape: copilărie, adolescență, tinerețe... De ce este așa? Puțini sunt capabili să răspundă, deși toată lumea este sigură că acestea sunt etape închise, integrale ale vieții.

Pentru a afla cum se dezvoltă mecanismul creativității, V.V. Klimenko a folosit matematica, și anume legile numerelor Fibonacci și proporția „secțiunii de aur” - legile naturii și ale vieții umane.

Numerele Fibonacci ne împart viața în etape în funcție de numărul de ani trăiți: 0 - începutul numărătorii inverse - copilul se naște. Încă îi lipsesc nu doar abilitățile psihomotorii, gândirea, sentimentele, imaginația, ci și potențialul energetic operațional. El este începutul unei noi vieți, al unei noi armonii;

1 - copilul a stăpânit mersul și își stăpânește mediul imediat;

2 - înțelege vorbirea și acționează folosind instrucțiuni verbale;

3 - actioneaza prin cuvinte, pune intrebari;

5 - „vârsta grației” - armonie psihomotorie, memorie, imaginație și sentimente, care permit deja copilului să îmbrățișeze lumea în toată integritatea ei;

8 - pornit prim plan sentimentele ies la iveală. Ele sunt servite de imaginație, iar gândirea, prin criticitatea ei, vizează susținerea armoniei interioare și externe a vieții;

13 - începe să funcționeze mecanismul talentului, care urmărește transformarea materialului dobândit în procesul de moștenire, dezvoltarea talentului propriu;

21 - mecanismul creativității s-a apropiat de o stare de armonie și se încearcă realizarea unei munci talentate;

34—armonie de gândire, sentimente, imaginație și psihomotorie: se naște capacitatea de a lucra ingenios;

55 - la această vârstă, cu condiția păstrării armoniei sufletului și trupului, o persoană este gata să devină un creator. Și așa mai departe…

Care sunt serifurile numerelor Fibonacci? Ele pot fi comparate cu barajele de-a lungul drumului vieții. Aceste baraje ne așteaptă pe fiecare dintre noi. În primul rând, trebuie să depășești fiecare dintre ele și apoi să-ți ridici cu răbdare nivelul de dezvoltare până când într-o zi bună se destramă, deschizând calea către următoarea fluxului liber.

Acum că înțelegem semnificația acestor puncte cheie ale dezvoltării legate de vârstă, să încercăm să descifrăm cum se întâmplă totul.

B1 an copilul stapaneste mersul. Înainte de aceasta, a experimentat lumea cu partea din față a capului. Acum ajunge să cunoască lumea cu mâinile sale – un privilegiu uman excepțional. Animalul se mișcă în spațiu, iar el, prin învățare, stăpânește spațiul și stăpânește teritoriul în care trăiește.

2 ani- înțelege cuvântul și acționează în conformitate cu acesta. Aceasta înseamnă că:

copilul invata cantitate minima cuvinte - semnificații și moduri de acțiune;

încă nu s-a separat de mediuși se îmbină în integritate cu mediul înconjurător,

prin urmare el acţionează conform instrucţiunilor altcuiva. La această vârstă este cel mai ascultător și mai plăcut cu părinții săi. Dintr-o persoană senzuală, un copil se transformă într-o persoană cognitivă.

3 ani- utilizarea acţiunii propriul cuvânt. Separarea acestei persoane de mediu a avut loc deja - și el învață să fie o persoană care acționează independent. De aici el:

se opune conștient mediului și părinților, educatorilor în grădiniţă etc.;

își realizează suveranitatea și luptă pentru independență;

încearcă să subjugă voinței sale oameni apropiați și cunoscuți.

Acum, pentru un copil, un cuvânt este o acțiune. Aici începe persoana activă.

5 ani- „Vârsta grației”. El este personificarea armoniei. Jocuri, dans, mișcări abile - totul este saturat de armonie, pe care o persoană încearcă să o stăpânească cu propriile forțe. Comportamentul psihomotric armonios ajută la apariția unei noi stări. Prin urmare, copilul este concentrat pe activitatea psihomotorie și se străduiește pentru cele mai active acțiuni.

Materializarea produselor muncii de sensibilitate se realizează prin:

capacitatea de a ne afișa mediul și pe noi înșine ca parte a acestei lumi (auzim, vedem, atingem, mirosim etc. - toate simțurile lucrează pentru acest proces);

capacitatea de a proiecta lumea exterioară, inclusiv pe sine

(crearea unei a doua naturi, ipoteze - fă asta și asta mâine, construiește o nouă mașină, rezolvă o problemă), prin forțele gândirii critice, sentimentelor și imaginației;

capacitatea de a crea o a doua natură, creată de om, produse ale activității (realizarea planurilor, acțiuni mentale sau psihomotorii specifice cu obiecte și procese specifice).

După 5 ani, mecanismul imaginației iese în față și începe să domine pe restul. Copilul lucrează enorm, creând imagini fantastice și trăiește în lumea basmelor și a miturilor. Imaginația hipertrofiată a unui copil provoacă surprindere la adulți, deoarece imaginația nu corespunde realității.

8 ani— sentimentele ies în prim-plan și propriile standarde de sentimente (cognitive, morale, estetice) apar atunci când copilul în mod inconfundabil:

evaluează cunoscutul și necunoscutul;

distinge moral de imoral, moral de imoral;

frumusețea din ceea ce amenință viața, armonia din haos.

13 ani— mecanismul creativității începe să funcționeze. Dar asta nu înseamnă că funcționează la capacitate maximă. Unul dintre elementele mecanismului iese în prim-plan, iar toate celelalte contribuie la funcționarea acestuia. Dacă în această perioadă de dezvoltare se menține armonia, care aproape constant își reconstruiește structura, atunci tânărul va ajunge fără durere la următorul baraj, neobservat de el însuși îl va depăși și va trăi la vârsta unui revoluționar. La vârsta unui revoluționar, un tânăr trebuie să facă un nou pas înainte: să se separe de cea mai apropiată societate și să trăiască o viață și o activitate armonioasă în ea. Nu toată lumea poate rezolva această problemă care se pune în fața fiecăruia dintre noi.

21 de ani. Dacă un revoluționar a depășit cu succes primul vârf armonios al vieții, atunci mecanismul său de talent este capabil să performeze talentat.

lucru. Sentimentele (cognitive, morale sau estetice) eclipsează uneori gândirea, dar în general toate elementele funcționează armonios: sentimentele sunt deschise către lume și gândire logică capabil să numească și să găsească măsuri ale lucrurilor din acest vârf.

Mecanismul creativității, dezvoltându-se normal, ajunge într-o stare care îi permite să primească anumite fructe. Începe să lucreze. La această vârstă, mecanismul sentimentelor apare. Pe măsură ce imaginația și produsele sale sunt evaluate de simțuri și de minte, între ele apare antagonismul. Sentimentele înving. Această abilitate capătă treptat putere, iar băiatul începe să o folosească.

34 de ani- echilibru si armonie, eficienta productiva a talentului. Armonia gândirii, sentimentelor și imaginației, abilitățile psihomotorii, care sunt completate cu potențial energetic optim, și mecanismul în ansamblu - se naște oportunitatea de a efectua o muncă genială.

55 de ani- o persoană poate deveni un creator. Al treilea vârf armonios al vieții: gândirea subjugă puterea sentimentelor.

Numerele Fibonacci se referă la etapele dezvoltării umane. Dacă o persoană va trece pe această cale fără oprire, depinde de părinți și profesori, de sistemul educațional și apoi - de sine și de modul în care o persoană va învăța și se va depăși.

Pe calea vieții, o persoană descoperă 7 obiecte de relație:

De la ziua de nastere pana la 2 ani - descoperirea lumii fizice si obiective a mediului imediat.

De la 2 la 3 ani - auto-descoperire: „Eu sunt eu însumi”.

De la 3 la 5 ani - vorbire, lumea activă a cuvintelor, armonie și sistemul „Eu - Tu”.

De la 5 la 8 ani - descoperirea lumii a gândurilor, sentimentelor și imaginilor altora - sistemul „Eu - Noi”.

De la 8 la 13 ani - descoperirea lumii sarcinilor și problemelor rezolvate de geniile și talentele umanității - sistemul „Eu - Spiritualitate”.

De la 13 la 21 de ani - descoperirea capacității de a rezolva în mod independent probleme binecunoscute, când gândurile, sentimentele și imaginația încep să funcționeze activ, apare sistemul „I - Noosferă”.

De la 21 la 34 de ani - descoperirea capacității de a crea o lume nouă sau fragmentele ei - conștientizarea conceptului de sine „Eu sunt Creatorul”.

Calea vieții are o structură spațio-temporală. Constă din vârstă și faze individuale, determinate de mulți parametri de viață. O persoană stăpânește, într-o anumită măsură, circumstanțele vieții sale, devine creatorul istoriei sale și creatorul istoriei societății. O atitudine cu adevărat creativă față de viață, însă, nu apare imediat și nici măcar în fiecare persoană. Există conexiuni genetice între fazele căii vieții, iar acest lucru determină caracterul său natural. Rezultă că, în principiu, este posibil să se prezică dezvoltarea viitoare pe baza cunoștințelor despre fazele sale incipiente.

Numerele Fibonacci în astronomie

Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, folosind seria Fibonacci, a găsit un model și o ordine în distanțele dintre planetele sistemului solar. Dar un caz părea să contrazică legea: nu exista nicio planetă între Marte și Jupiter. Dar după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea. observarea concentrată a acestei părți a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi.

Concluzie

În timpul cercetării, am aflat că numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în analiza tehnică a prețurilor acțiunilor. Una dintre cele mai simple moduri de a folosi numerele Fibonacci în practică este de a determina intervalele de timp după care va avea loc un anumit eveniment, de exemplu, o schimbare a prețului. Analistul numără un anumit număr de zile sau săptămâni Fibonacci (13,21,34,55 etc.) de la evenimentul similar anterior și face o prognoză. Dar acest lucru este încă prea greu pentru mine să-mi dau seama. Deși Fibonacci a fost cel mai mare matematician al Evului Mediu, singurele monumente ale lui Fibonacci sunt o statuie în fața Turnului Înclinat din Pisa și două străzi care îi poartă numele: una din Pisa și cealaltă din Florența. Și totuși, în legătură cu tot ce am văzut și citit, apar întrebări destul de firești. De unde au venit aceste cifre? Cine este acest arhitect al universului care a încercat să-l facă ideal? Ce se va întâmpla în continuare? După ce ați găsit răspunsul la o întrebare, veți primi următoarea. Dacă o rezolvi, vei primi două noi. Odată ce ai de-a face cu ele, vor apărea încă trei. După ce le-ați rezolvat și pe acestea, veți avea cinci nerezolvate. Apoi opt, treisprezece etc. Nu uitați că două mâini au cinci degete, dintre care două constau din două falange și opt din trei.

Literatură:

Voloshinov A.V. „Matematică și Artă”, M., Educație, 1992.

Vorobyov N.N. „Numerele Fibonacci”, M., Nauka, 1984.

Stahov A.P. „Codul lui Da Vinci și seria Fibonacci”, format Sankt Petersburg, 2006

F. Corvalan „Rația de aur. Limbajul matematic al frumosului”, M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. „Perioadele sensibile ale vieții și codurile lor”.

„Numerele Fibonacci”. Wikipedia

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Numerele Fibonacci și raportul de aur formează baza pentru înțelegerea lumii înconjurătoare, construirea formei acesteia și a percepției vizuale optime de către o persoană, cu ajutorul căreia poate simți frumusețea și armonia.

Principiul determinării dimensiunilor raportului de aur stă la baza perfecțiunii întregii lumi și a părților sale în structura și funcțiile sale, manifestarea ei putând fi văzută în natură, artă și tehnologie. Doctrina proporției de aur a fost fondată ca rezultat al cercetărilor efectuate de oamenii de știință antici asupra naturii numerelor.

Dovada utilizării raportului de aur de către gânditorii antici este dată în cartea lui Euclid „Elemente”, scrisă încă din secolul al III-lea. BC, care a aplicat această regulă pentru a construi pentagoane regulate. În rândul pitagoreenilor, această figură este considerată sacră deoarece este atât simetrică, cât și asimetrică. Pentagrama simbolizează viața și sănătatea.

numerele Fibonacci

Celebra carte Liber abaci a matematicianului italian Leonardo din Pisa, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost publicată în 1202. În ea, omul de știință citează pentru prima dată modelul numerelor, într-o serie a cărora fiecare număr este suma 2 cifre anterioare. Secvența numerelor Fibonacci este următoarea:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc.

Omul de știință a citat, de asemenea, o serie de modele:

Orice număr din serie împărțit la următorul va fi egal cu o valoare care tinde spre 0,618. Mai mult, primele numere Fibonacci nu dau un astfel de număr, dar pe măsură ce trecem de la începutul secvenței, acest raport va deveni din ce în ce mai precis.

Dacă împărțiți numărul din serie la cel precedent, rezultatul se va grăbi la 1,618.

Un număr împărțit la următorul la unu va arăta o valoare care tinde spre 0,382.

Aplicarea conexiunii și modelelor secțiunii de aur, numărul Fibonacci (0,618) poate fi găsită nu numai în matematică, ci și în natură, istorie, arhitectură și construcție și în multe alte științe.

În scopuri practice, acestea sunt limitate la valoarea aproximativă a Φ = 1,618 sau Φ = 1,62. Într-o valoare procentuală rotunjită, raportul de aur este împărțirea oricărei valori în raport de 62% și 38%.

Din punct de vedere istoric, secțiunea de aur a fost numită inițial împărțirea segmentului AB prin punctul C în două părți (segmentul mai mic AC și segmentul mai mare BC), astfel încât pentru lungimile segmentelor AC/BC = BC/AB era adevărată. Vorbitor în cuvinte simple, prin raportul de aur, un segment este tăiat în două părți inegale, astfel încât partea mai mică este legată de cea mai mare, așa cum cea mai mare este de întregul segment. Ulterior, acest concept a fost extins la cantități arbitrare.

Se mai numește și numărul Φ număr de aur.

Raportul de aur are multe proprietăți remarcabile, dar, în plus, îi sunt atribuite multe proprietăți fictive.

Acum detaliile:

Definiția GS este împărțirea unui segment în două părți într-un astfel de raport în care partea mai mare este legată de cea mai mică, întrucât suma lor (întregul segment) este la cea mai mare.

Adică, dacă luăm întregul segment c ca 1, atunci segmentul a va fi egal cu 0,618, segmentul b - 0,382. Astfel, dacă luăm o clădire, de exemplu, un templu construit conform principiului 3S, atunci cu înălțimea sa, de exemplu, 10 metri, înălțimea tamburului cu domul va fi egală cu 3,82 cm, iar înălțimea baza structurii va fi de 6,18 cm (este clar că numerele luate plat pentru claritate)

Care este legătura dintre numerele ZS și Fibonacci?

Numerele de ordine Fibonacci sunt:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Modelul numerelor este că fiecare număr următor este egal cu suma celor două numere anterioare.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 etc.,

iar raportul numerelor adiacente se apropie de raportul lui ZS.
Deci, 21: 34 = 0,617 și 34: 55 = 0,618.

Adică, GS se bazează pe numerele șirului Fibonacci.

Se crede că termenul „Proporția de Aur” a fost introdus de Leonardo Da Vinci, care a spus: „Nimeni care nu este matematician să nu îndrăznească să-mi citească lucrările” și a arătat proporțiile corpului uman în faimosul său desen „Omul Vitruvian”. ”. „Dacă legăm o figură umană - cea mai perfectă creație a Universului - cu o centură și apoi măsurăm distanța de la centură la picioare, atunci această valoare se va raporta la distanța de la aceeași centură până la vârful capului, la fel cum întreaga înălțime a unei persoane se raportează la lungimea de la talie până la picioare.”

Seria de numere Fibonacci este modelată vizual (materializată) sub forma unei spirale.

Și în natură, spirala GS arată astfel:

În același timp, spirala este observată peste tot (în natură și nu numai):

Semințele de la majoritatea plantelor sunt aranjate în spirală
- Păianjenul țese o pânză în spirală
- Un uragan se învârte ca o spirală
- O turmă speriată de reni se împrăștie în spirală.
- Molecula de ADN este răsucită într-o dublă spirală. Molecula de ADN este alcătuită din două elice împletite vertical, lungi de 34 de angstromi și lățime de 21 de angstromi. Numerele 21 și 34 se succed în succesiunea lui Fibonacci.
- Embrionul se dezvoltă în formă de spirală
- Spirala cohleara in urechea interna
- Apa coboară prin scurgere în spirală
- Dinamica spirală arată dezvoltarea personalității unei persoane și a valorilor sale într-o spirală.
- Și, desigur, Galaxia în sine are forma unei spirale

Astfel, se poate susține că natura însăși este construită după principiul Secțiunii de Aur, motiv pentru care această proporție este mai armonios percepută de ochiul uman. Nu necesită „corecție” sau adăugare la imaginea rezultată a lumii.

Film. numărul lui Dumnezeu. Dovada de necontestat a lui Dumnezeu; Numărul lui Dumnezeu. Dovada incontestabilă a lui Dumnezeu.

Proporții de aur în structura moleculei de ADN

Toate informatiile despre caracteristici fiziologice ființele vii sunt stocate într-o moleculă de ADN microscopică, a cărei structură conține și legea proporției de aur. Molecula de ADN este formată din două elice împletite vertical. Lungimea fiecăreia dintre aceste spirale este de 34 de angstromi, iar lățimea este de 21 de angstromi. (1 angstrom este o sută de milioane de centimetru).

21 și 34 sunt numere care se succed în succesiunea numerelor Fibonacci, adică raportul dintre lungimea și lățimea spiralei logaritmice a moleculei de ADN poartă formula raportului de aur 1:1.618

Raportul de aur în structura microcosmosului

Formele geometrice nu se limitează doar la un triunghi, pătrat, pentagon sau hexagon. Dacă conectăm aceste figuri în moduri diferite între ele, obținem noi tridimensionale forme geometrice. Exemple în acest sens sunt figuri precum un cub sau o piramidă. Totuși, pe lângă ele, există și alte figuri tridimensionale pe care nu le-am întâlnit în viața de zi cu zi și ale căror nume le auzim, poate pentru prima dată. Printre astfel de figuri tridimensionale se numără tetraedrul (figura obișnuită cu patru fețe), octaedrul, dodecaedrul, icosaedrul etc. Dodecaedrul este format din 13 pentagoane, icosaedrul din 20 de triunghiuri. Matematicienii notează că aceste cifre se transformă matematic foarte ușor, iar transformarea lor are loc în conformitate cu formula spiralei logaritmice a raportului de aur.

În microcosmos, formele logaritmice tridimensionale construite după proporții de aur sunt omniprezente. De exemplu, mulți viruși au forma geometrică tridimensională a unui icosaedru. Poate cel mai faimos dintre acești virusuri este virusul Adeno. Învelișul proteic al virusului Adeno este format din 252 de unități de celule proteice aranjate într-o secvență specifică. La fiecare colț al icosaedrului există 12 unități de celule proteice în formă de prismă pentagonală și din aceste colțuri se extind structuri în formă de vârfuri.

Raportul de aur în structura virușilor a fost descoperit pentru prima dată în anii 1950. oameni de știință de la Birkbeck College din Londra A. Klug și D. Kaspar. 13 Virusul Polyo a fost primul care a afișat o formă logaritmică. Forma acestui virus s-a dovedit a fi similară cu forma virusului Rhino 14.

Se pune întrebarea, cum formează virușii forme tridimensionale atât de complexe, a căror structură conține proporția de aur, care sunt destul de greu de construit chiar și cu mintea noastră umană? Descoperitorul acestor forme de virusuri, virologul A. Klug, dă următorul comentariu:

„Dr. Kaspar și cu mine am arătat că pentru învelișul sferic al virusului, cea mai optimă formă este simetria, cum ar fi forma icosaedrului. Această comandă minimizează numărul de elemente de legătură... Cele mai multe Cuburile semisferice geodezice ale lui Buckminster Fuller sunt construite pe un principiu geometric similar. 14 Instalarea unor astfel de cuburi necesită o diagramă explicativă extrem de precisă și detaliată. În timp ce virușii inconștienți înșiși construiesc o înveliș atât de complex din unități celulare de proteine ​​elastice și flexibile.”

algoritmi,

Matematică

• Traducere

Introducere

Programatorii ar trebui să fie sătui de numerele Fibonacci până acum. Exemple de calcul ale acestora sunt folosite pe tot parcursul. Totul depinde de ceea ce oferă aceste numere cel mai simplu exemplu recursiunea. Și sunt de asemenea bun exemplu programare dinamică. Dar este necesar să le calculăm așa? proiect real? Nu este nevoie. Nici recursiunea, nici programarea dinamică nu sunt opțiuni ideale. Și nu o formulă închisă folosind numere în virgulă mobilă. Acum vă voi spune cum să o faceți corect. Dar mai întâi, să trecem prin toate opțiunile de soluție cunoscute.

Codul este destinat pentru Python 3, deși ar trebui să funcționeze și cu Python 2.

Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc definiția:

Fn = Fn-1 + Fn-2

Și F 1 = F 2 = 1.

Formula închisă

Vom sări peste detalii, dar cei interesați se pot familiariza cu derivarea formulei. Ideea este să presupunem că există un x pentru care F n = x n și apoi să găsim x.

Ce înseamnă

Reduceți x n-2

Rezolvarea ecuației pătratice:

Aici crește „proporția de aur” ϕ=(1+√5)/2. Înlocuind valorile originale și făcând mai multe calcule, obținem:

Care este ceea ce folosim pentru a calcula Fn.

Din __future__ import diviziune import matematică def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Bun:
Rapid și ușor pentru mici n
De rău:
Sunt necesare operațiuni cu virgulă mobilă. N mare va necesita o precizie mai mare.
Rău:
Folosirea numerelor complexe pentru a calcula F n este frumoasă din punct de vedere matematic, dar urâtă din punct de vedere informatic.

Recursiune

Cea mai evidentă soluție este una pe care ați văzut-o de multe ori înainte, cel mai probabil ca exemplu a ceea ce este recursiunea. O voi repeta din nou pentru a fi complet. În Python poate fi scris într-o singură linie:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) dacă n > 2 altfel 1

Bun:
Foarte implementare simplă, repetând definiția matematică
De rău:
Timp de execuție exponențial. Pentru n mare este foarte lent
Rău:
Depășirea stivei

Memorare

Soluția recursiunii are mare problema: calcule care se intersectează. Când fib(n) este numit, fib(n-1) și fib(n-2) sunt numărate. Dar când fib(n-1) este numărat, va număra din nou fib(n-2) independent - adică fib(n-2) este numărat de două ori. Dacă continuăm argumentul, vom vedea că fib(n-3) va fi numărat de trei ori etc. Prea multe intersecții.

Prin urmare, trebuie doar să vă amintiți rezultatele pentru a nu le număra din nou. Această soluție consumă timp și memorie într-o manieră liniară. Folosesc un dicționar în soluția mea, dar ar putea fi folosită și o matrice simplă.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): dacă n în M: returnează M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) return M[n]

(În Python, acest lucru se poate face și folosind decoratorul, functools.lru_cache.)

Bun:
Doar transforma recursiunea într-o soluție de memorie. Convertește timpul de execuție exponențial în execuție liniară, ceea ce consumă mai multă memorie.
De rău:
Risipește multă memorie
Rău:
Posibil depășire a stivei, la fel ca recursiunea

Programare dinamică

După rezolvarea cu memorare, devine clar că nu avem nevoie de toate rezultatele anterioare, ci doar de ultimele două. De asemenea, în loc să începeți de la fib(n) și să mergeți înapoi, puteți începe de la fib(0) și să mergeți înainte. Următorul cod are un timp de execuție liniar și o utilizare fixă ​​a memoriei. În practică, viteza soluției va fi și mai mare, deoarece nu există apeluri de funcții recursive și lucrări asociate. Și codul pare mai simplu.

Această soluție este adesea citată ca exemplu de programare dinamică.

Def fib(n): a = 0 b = 1 pentru __ în intervalul (n): a, b = b, a + b return a

Bun:
Funcționează rapid pentru cod n mic, simplu
De rău:
Timp de execuție încă liniar
Rău:
Nimic special.

Algebră matriceală

Și în sfârșit, cel mai puțin luminat, dar cel mai mult decizia corectă, folosind cu înțelepciune atât timpul, cât și memoria. De asemenea, poate fi extins la orice secvență liniară omogenă. Ideea este de a folosi matrice. Este suficient doar să vezi asta

Și o generalizare a acestui lucru spune că

Cele două valori pentru x pe care le-am obținut mai devreme, dintre care una a fost raportul de aur, sunt valori proprii matrici. Prin urmare, o altă modalitate de a deriva o formulă închisă este utilizarea unei ecuații matriceale și algebră liniară.

Deci, de ce este utilă această formulare? Deoarece exponentiarea se poate face in timp logaritmic. Acest lucru se face prin pătrat. Ideea este că

Acolo unde prima expresie este folosită pentru A par, a doua pentru impar. Mai rămâne doar să organizăm înmulțirile matriceale și totul este gata. Se dovedește următorul cod. Am creat o implementare recursivă a pow pentru că este mai ușor de înțeles. Vezi versiunea iterativă aici.

Def pow(x, n, I, mult): """ Returnează x la puterea lui n. Presupune că I este matricea de identitate înmulțită cu mult și n este un întreg pozitiv """ dacă n == 0: returnează I elif n == 1: returnează x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identity_matrix (n): """Returnează o matrice de identitate n cu n""" r = list(interval(n)) return [ pentru j în r] def matrix_multiply(A, B): BT = list(zip(*B) ) return [ pentru rândul_a în A] def fib(n): F = pow([, ], n, identity_matrix(2), matrix_multiply) return F

Bun:
Dimensiunea memoriei fixe, timp logaritmic
De rău:
Codul este mai complicat
Rău:
Trebuie să lucrezi cu matrici, deși nu sunt chiar atât de rele

Comparație de performanță

Merită să comparăm doar varianta de programare dinamică și matricea. Dacă le comparăm după numărul de caractere din numărul n, rezultă că soluția matriceală este liniară, iar soluția cu programare dinamică este exponențială. Studiu de caz– calculul fib(10 ** 6), un număr care va avea mai mult de două sute de mii de caractere.

N=10**6
Calcularea fib_matrix: fib(n) are doar 208988 de cifre, calculul a durat 0,24993 secunde.
Calcularea fib_dynamic: fib(n) are doar 208988 de cifre, calculul a durat 11,83377 secunde.

Note teoretice

Deși nu are legătură directă cu codul de mai sus, această remarcă are totuși un oarecare interes. Luați în considerare următorul grafic:

Să numărăm numărul de căi de lungime n de la A la B. De exemplu, pentru n = 1 avem o cale, 1. Pentru n = 2 avem din nou o cale, 01. Pentru n = 3 avem două căi, 001 și 101 Se poate arăta destul de simplu că numărul de căi de lungime n de la A la B este exact egal cu F n. După ce am scris matricea de adiacență pentru grafic, obținem aceeași matrice care a fost descrisă mai sus. Este un rezultat binecunoscut din teoria grafurilor că, având în vedere o matrice de adiacență A, aparițiile în A n sunt numărul de căi de lungime n din grafic (una dintre problemele menționate în filmul Good Will Hunting).

De ce există astfel de semne pe coaste? Se dovedește că atunci când luați în considerare o succesiune infinită de simboluri pe o secvență infinită de căi dus-întors pe un grafic, obțineți ceva numit „subshifts de tip finit”, care este un tip de sistem de dinamică simbolică. Această subschimbare specială de tip finit este cunoscută sub numele de „schimbarea raportului de aur” și este specificată de un set de „cuvinte interzise” (11). Cu alte cuvinte, vom obține secvențe binare care sunt infinite în ambele direcții și nicio pereche dintre ele nu va fi adiacentă. Entropia topologică a acestui sistem dinamic este egală cu raportul de aur ϕ. Este interesant cum apare periodic acest număr în zone diferite matematică.