كيفية اشتقاق صيغة حجم الهرم المقطوع. صيغ حجم الهرم الكامل والمبتور. حجم هرم خوفو. الهرم الصحيح ، الصيغ صحيحة
HA13118 هو مكبر للصوت من الفئة AB ، ويحتوي على الحد الأدنى من عدد العناصر الخارجية ولديه طاقة عالية بجهد إمداد منخفض نسبيًا ، كما يتمتع مكبر الصوت أيضًا بمكاسب كبيرة تبلغ 55 ديسيبل ، مما يلغي الحاجة إلى تضخيم الإشارة الأولي. الخصائص التقنية الرئيسية: طاقة الإخراج 18 وات (كحد أقصى) في حمولة 4 أوم 10 وات ...
جميع الدوائر المصغرة المدرجة مصنوعة في حزمة SIP1 مع 11 دبابيس ومكبرات صوت استريو LF ثنائية القناة ولها نفس توصيل العناصر الخارجية. * تم تصميم TDA2005 خصيصًا لاستخدام دائرة الجسر. المعلمات: TDA2004A (TDA2004S) جهد الإمداد 8 ... تيار هادئ 18 فولت 65 مللي أمبير نطاق التردد 40 ... 20000 هرتز Rn -2 أوم طاقة الإخراج 10 واط ك ...
تتكون دائرة إمداد الطاقة المنظمة التي يتم التحكم فيها رقميًا من منظم جهد إيجابي على KM317 و KPOM لعداد عقد CD4017 ومؤقت NE555 ومنظم جهد سالب على LM7912. يتم تقليل جهد التيار الكهربائي بواسطة محول إلى جهد +/- 12V عند تيار 1A في الملف الثانوي ، ثم يتم تصحيحه. مرشح الجهد الثابت بالسعة C1-C5. إشارات LED1 ...
يوضح الشكل رسمًا تخطيطيًا لترحيل زمني ذي 8 قنوات ، ويستخدم مرحل الوقت Arduino Nano وساعة DS3231 في الوقت الفعلي (وحدة نمطية) ومؤشر مكون من سبعة أجزاء مكون من أربعة أرقام استنادًا إلى محرك TM1637 (وحدة TM1637) وأربعة أزرار التحكم. في كل قناة ، يمكنك ضبط أوقات تشغيل وإيقاف الترحيل ، ويتم تخزين جميع قيم أوقات تشغيل وإيقاف الترحيل في ...
يمكن لمحرك غير متزامن ثلاثي الطور من التصميم العادي أن يخلق عزمًا دون اتخاذ تدابير خاصة عند تشغيله من شبكة تيار أحادية الطور. افترض أن دائرة أحد أسلاك محرك قيد التشغيل متصلة بشبكة ثلاثية الطور مفتوحة (على سبيل المثال ، بسبب وصلة فيوز منفجرة). وجدت الآلة نفسها في وضع أحادي الطور مع اتصال تسلسلي أو تسلسلي متوازي لملفات الجزء الثابت ...
هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( قاعدة ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( الوجوه الجانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صيح ، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وكان الجزء العلوي من الهرم مسقطًا على مركز القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .
ضلع جانبيالهرم هو جانب الوجه الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم يسمى المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الأضلاع الجانبية للهرم المنتظم متساوية مع بعضها البعض ، جميع الأضلاع الجانبية متساوية في مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم عادي مرسوم من الأعلى صيدلة . قسم قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى وجه واحد.
مساحة السطح الجانبيالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة يسمى مجموع مناطق جميع الوجوه الجانبية والقاعدة.
نظريات
1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة حول القاعدة.
2. إذا كانت جميع حواف الهرم متساوية في الطول ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المحصورة حول القاعدة.
3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة.
لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة التالية صحيحة:
أين الخامس- الصوت؛
S الرئيسي- منطقة قاعدة؛
ح- ارتفاع الهرم.
الهرم الصحيح الصيغ صحيحة:
أين ص- محيط القاعدة
ح أ- صيدلانية
ح- ارتفاع؛
S ممتلئ
الجانب S.
S الرئيسي- منطقة قاعدة؛
الخامس- حجم الهرم الصحيح.
الهرم المقطوعيسمى جزء الهرم ، المحاط بين القاعدة والمستوى القاطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع المنتظم يسمى جزء الهرم المنتظم ، المحصور بين القاعدة والمستوى القاطع الموازي لقاعدة الهرم.
أسسالأهرامات المقطوعة - المضلعات المتشابهة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع هو المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع يسمى الجزء الذي يربط بين رؤوسه التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري يسمى جزء من الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى وجه واحد.
بالنسبة للهرم المقطوع ، فإن الصيغ التالية صالحة:
(4)
أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛
S ممتلئ- المساحة الإجمالية؛
الجانب S.- مساحة السطح الجانبية ؛
ح- ارتفاع؛
الخامس- حجم الهرم المقطوع.
الهرم المبتور الصحيح الصيغة صحيحة:
أين ص 1 , ص 2 - محيط القواعد ؛
ح أ- عائدة الهرم المقطوع المنتظم.
مثال 1.في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.
المحلول.لنقم برسم (شكل 18).
 |
الهرم منتظم ، لذلك يوجد في القاعدة مثلث متساوي الأضلاع وجميع أوجه الأضلاع متساوية في مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية الأضلاع في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: و أي يتم إسقاط قمة الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD... للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB... دع طول المقطع BDيساوي 3 أ... نقطة االجزء BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: 
من نجد: 
إجابه:
مثال 2.أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كانت أقطار قاعدته سم و سم وكان الارتفاع 4 سم.
المحلول.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحة القواعد ، عليك إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، لذا فمساحات القواعد وبعد استبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:
إجابه: 112 سم 3.
مثال 3.أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع ، طول ضلعي قاعدتهما 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.
المحلول.لنقم برسم (شكل 19).
الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القاعدة والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، يبقى الارتفاع فقط غير معروف. سنجدها من حيث أ 1 هعمودي من النقطة أ 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من أ 1 في كما. أ 1 ه= 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد DEلنقم برسم إضافي يصور منظر علوي (شكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى موافقهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و 
أوم- نصف قطر الدائرة المنقوشة:
MK = DE.
بواسطة نظرية فيثاغورس من
منطقة الوجه الجانبية: 
إجابه:
مثال 4.في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مع المستوى الأساسي للهرم ي... أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.
المحلول.لنقم برسم (شكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مناطق ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.
دعونا نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن القمة تُسقط على مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDعلى مستوى القاعدة. من خلال نظرية منطقة الإسقاط المتعامد لشكل مستو ، نحصل على:
وبالمثل ، فهذا يعني 
وهكذا ، تم اختزال المهمة لإيجاد منطقة شبه منحرف ا ب ت ث... ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة ا- مركز الدائرة المنقوشة في شبه المنحرف.
نظرًا لأنه يمكن نقش دائرة في شبه منحرف ، إما من ، بواسطة نظرية فيثاغورس ، لدينا
تعد القدرة على حساب حجم الأشكال المكانية مهمة عند حل عدد من المشكلات العملية في الهندسة. أحد الأشكال الأكثر شيوعًا هو الهرم. في هذه المقالة ، سننظر في كل من الأهرامات الكاملة والمقطوعة.
الهرم شكل ثلاثي الأبعاد
يعلم الجميع عن الأهرامات المصرية ، لذلك لديهم فكرة جيدة عن الشكل الذي سيتم مناقشته. ومع ذلك ، فإن الهياكل الحجرية المصرية ليست سوى حالة خاصة لفئة ضخمة من الأهرامات.
الكائن الهندسي المدروس في الحالة العامة هو قاعدة متعددة الأضلاع ، كل رأس منها متصل بنقطة ما في الفضاء لا تنتمي إلى مستوى القاعدة. يؤدي هذا التعريف إلى شكل يتكون من مثلثين n-gon و n.
يتكون أي هرم من n + 1 وجه ، و 2 * n من الحواف ، و n + 1 رءوس. نظرًا لأن الشكل قيد النظر هو متعدد الوجوه المثالي ، فإن أعداد العناصر المحددة تخضع لمساواة أويلر:
2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.
يعطي المضلع الموجود في القاعدة اسمًا للهرم ، على سبيل المثال ، مثلث وخماسي وما إلى ذلك. تظهر مجموعة من الأهرامات بقواعد مختلفة في الصورة أدناه.
النقطة التي ترتبط عندها المثلثات n بالشكل تسمى قمة الهرم. إذا تم خفض عمودي منه إلى القاعدة وتقاطعها في المركز الهندسي ، فسيتم تسمية هذا الشكل بالخط المستقيم. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فسيحدث هرم مائل.
يسمى الشكل المستقيم ، الذي يتكون قاعدته من n-gon متساوي الأضلاع (مطابق) ، منتظم.
صيغة حجم الهرم
لحساب حجم الهرم ، سنستخدم حساب التفاضل والتكامل. للقيام بذلك ، نقسم الشكل بمستويات قطع موازية للقاعدة إلى عدد لا حصر له من الطبقات الرقيقة. يوضح الشكل أدناه هرمًا رباعي الزوايا بارتفاع h وطول جانبه L ، حيث يتم تمييز طبقة مقطع رفيع برباعي الزوايا.
يمكن حساب مساحة كل طبقة باستخدام الصيغة:
أ (ض) = أ 0 * (ح- ض) 2 / س 2.
هنا A 0 هي منطقة القاعدة ، z هي قيمة الإحداثي الرأسي. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z = 0 ، فإن الصيغة تعطي القيمة A 0.
للحصول على صيغة حجم الهرم ، يجب أن تحسب التكامل على ارتفاع الشكل بالكامل ، أي:
V = ∫ h 0 (A (z) * dz).
باستبدال الاعتماد A (z) وحساب المشتق العكسي ، نصل إلى التعبير:
V = -A 0 * (ح ض) 3 / (3 * س 2) | ح 0 = 1/3 * أ 0 * ح.
حصلنا على صيغة حجم الهرم. لإيجاد قيمة V ، يكفي ضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة ، ثم قسمة الناتج على ثلاثة.
لاحظ أن التعبير الناتج يكون صالحًا لحساب حجم هرم من نوع عشوائي. وهذا يعني أنه يمكن أن يكون مائلاً ، ويمكن أن تكون قاعدته عبارة عن n-gon تعسفي.
وحجمه
يمكن توضيح الصيغة العامة للحجم التي تم الحصول عليها في الفقرة أعلاه في حالة الهرم ذي القاعدة العادية. يتم حساب مساحة هذه القاعدة باستخدام الصيغة التالية:
A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).
هنا L هو طول ضلع مضلع منتظم برؤوس n. رمز باي هو باي.
بالتعويض عن التعبير عن A 0 في الصيغة العامة ، نحصل على حجم الهرم المنتظم:
V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).
على سبيل المثال ، بالنسبة للهرم الثلاثي ، تؤدي هذه الصيغة إلى التعبير التالي:
V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.
بالنسبة للهرم رباعي الزوايا العادي ، تأخذ صيغة الحجم الشكل:
V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * L 2 * h.
يتطلب تحديد أحجام الأهرامات المنتظمة معرفة جانب قاعدتها وارتفاع الشكل.
الهرم المقطوع
لنفترض أننا أخذنا هرمًا اعتباطيًا وقطعناه جزءًا من السطح الجانبي الذي يحتوي على الرأس. الشكل المتبقي يسمى الهرم المقطوع. يتكون بالفعل من قاعدتين n-gonal و n شبه منحرف يربط بينهما. إذا كان مستوى القطع موازيًا لقاعدة الشكل ، فسيتم تشكيل هرم مقطوع له قواعد مماثلة متوازية. أي ، يمكن الحصول على أطوال جانبي أحدهما بضرب أطوال الآخر في بعض المعامل k.
يوضح الشكل أعلاه شكلًا منتظمًا مبتورًا ، ويمكن ملاحظة أن قاعدته العلوية ، مثل القاعدة السفلية ، تتكون من شكل سداسي منتظم.
الصيغة التي يمكن اشتقاقها باستخدام حساب تكامل مماثل هي:
الخامس = 1/3 * ح * (أ 0 + أ 1 + √ (أ 0 * أ 1)).
حيث A 0 و A 1 هي مناطق القاعدة (الكبيرة) والسفلية (الصغيرة) ، على التوالي. يشير المتغير h إلى ارتفاع الهرم المقطوع.
حجم هرم خوفو
من الغريب حل مشكلة تحديد الحجم الذي يحتويه أكبر هرم مصري داخل نفسه.
في عام 1984 ، حدد عالما المصريات البريطانيان مارك لينر وجون جودمان الأبعاد الدقيقة لهرم خوفو. كان ارتفاعه الأصلي 146.50 مترًا (حاليًا حوالي 137 مترًا). كان متوسط طول كل جانب من الجوانب الأربعة للهيكل 230.363 مترًا. قاعدة الهرم مربعة بدقة عالية.
سنستخدم الأشكال أعلاه لتحديد حجم هذا الحجر العملاق. نظرًا لأن الهرم رباعي الزوايا منتظم ، فإن الصيغة صالحة له:
نستبدل الأرقام ، نحصل على:
ع 4 = 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 2591444 م 3.
يبلغ حجم هرم خوفو ما يقرب من 2.6 مليون م 3. للمقارنة ، نلاحظ أن المسبح الأولمبي يبلغ حجمه 2.5 ألف م 3. أي لملء هرم خوفو بأكمله ، ستكون هناك حاجة إلى أكثر من 1000 تجمع من هذا القبيل!
ومستوى القطع الموازي لقاعدته.
أو بعبارة أخرى: هرم مبتور- هذا متعدد السطوح ، يتكون من هرم وقسمه موازٍ للقاعدة.
قسم موازٍ لقاعدة الهرم يقسم الهرم إلى جزأين. الجزء الواقع بين قاعدته وقسم الهرم هو هرم مبتور.
تبين أن هذا القسم الخاص بالهرم المقطوع هو أحد قواعد هذا الهرم.
المسافة بين قواعد الهرم المقطوع هي ارتفاع الهرم المقطوع.
سوف الهرم المقطوع صيحعندما كان الهرم الذي تم الحصول عليه منه صحيحًا أيضًا.
ارتفاع شبه المنحرف للوجه الجانبي للهرم المقطوع المنتظم هو صيدلةالهرم المقطوع الصحيح.
خصائص الهرم المقطوعة.
1. كل وجه جانبي لهرم مبتور منتظم هو شبه منحرف متساوي الساقين من نفس الحجم.
2. إن قواعد الهرم المقطوع هي مضلعات متشابهة.
3. تكون الحواف الجانبية للهرم العادي المقطوع متساوية في الحجم وواحد مائل بالنسبة لقاعدة الهرم.
4. الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف.
5. تكون الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف الجانبية للهرم المبتور المنتظم متساوية في الحجم.
6. نسبة مساحات القواعد: ق 2 / ق 1 = ك 2.
الصيغ الهرمية المقطوعة.
للهرم التعسفي:
حجم الهرم المقطوع يساوي ثلث ناتج الارتفاع ح (نظام التشغيل) لمجموع مناطق القاعدة العلوية ق 1 (abcde) ، القاعدة السفلية للهرم المقطوع ق 2 (ABCDE) ومتوسط التناسب بينهما.
حجم الهرم:
أين ق 1, ق 2- مساحة القواعد ،
ح- ارتفاع الهرم المقطوع.
مساحة السطح الجانبي 
يساوي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للهرم المقطوع.
للحصول على هرم مبتور صحيح:
الهرم المقطوع الصحيح- متعدد الوجوه ، يتكون من هرم منتظم وقسمه الموازي للقاعدة.
مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم المقطوع هي من حاصل ضرب مجموع محيطي قواعده وقطره.
أين ق 1, ق 2- مساحة القواعد ،
φ - زاوية ثنائية الأضلاع عند قاعدة الهرم.
CHهو ارتفاع الهرم المقطوع ، ص 1و ص 2- محيط القواعد ، ق 1و ق 2- مناطق القواعد ، الجانب S.- مساحة السطح الجانبية ، S ممتلئ- المساحة الإجمالية:
قسم من الهرم بمستوى موازٍ للقاعدة.
قسم الهرم بمستوى موازٍ لقاعدته (عمودي على الارتفاع) يقسم الارتفاع والحواف الجانبية للهرم إلى أجزاء متناسبة.
قسم الهرم بمستوى موازٍ لقاعدته (عمودي على الارتفاع) هو مضلع مشابه لقاعدة الهرم ، بينما يتوافق معامل التشابه بين هذه المضلعات مع نسبة مسافاتها من قمة الهرم.
ترتبط مناطق المقاطع الموازية لقاعدة الهرم كمربعات مسافاتها من أعلى الهرم.
الهرم المقطوعيسمى متعدد السطوح التي تكون رءوسها رؤوس القاعدة ورؤوس قسمها بمستوى موازٍ للقاعدة.
خصائص الهرم المقطوع:
- قواعد الهرم المقطوعة هي مضلعات متشابهة.
- الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف.
- تكون الحواف الجانبية لهرم مبتور منتظم متساوية وتميل بشكل متساوٍ نحو قاعدة الهرم.
- الوجوه الجانبية للهرم المنتظم المقطوع هي شبه منحرف متساوية الساقين وتميل بالتساوي نحو قاعدة الهرم.
- الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف الجانبية لهرم مبتور منتظم متساوية.
مساحة سطح الهرم المقطوع وحجمه
دعونا - ارتفاع الهرم المقطوع ، و - محيط قواعد الهرم المقطوع ، و - مساحة قواعد الهرم المقطوع ، - مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع ، - المساحة الكلية للهرم المقطوع - حجم الهرم المقطوع. ثم العلاقات التالية:
.
إذا كانت جميع الزوايا ثنائية الأضلاع في قاعدة الهرم المقطوع متساوية ، وكانت ارتفاعات جميع أوجه الهرم متساوية ، إذن
جار التحميل ...