تتقاطع جميع ارتفاعات المثلث عند نقطتين. العناصر الأساسية للمثلث abc. مشكلة تطبيق نظرية فيثاغورس

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز اختبار الرياضيات بنجاح في 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من امتحان الملف الشخصي الموحد في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاختبار الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بنسبة 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من اختبار الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في الامتحان ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا لطالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل ما تحتاجه من نظرية. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تفكيك جميع المهام ذات الصلة من الجزء 1 من بنك مهام FIPI. الدورة تفي تماما بمتطلبات الامتحان 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من البداية وبسيط ومباشر.

مئات من مهام الامتحان. مشاكل الكلمات ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حلول صعبة ، أوراق غش مفيدة ، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والدرجات واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أسس حل المشكلات المعقدة في الجزء الثاني من الامتحان.

عند حل المشكلات الهندسية ، من المفيد اتباع هذه الخوارزمية. عند قراءة بيان المشكلة ، يجب عليك

• جعل الرسم. يجب أن يتوافق الرسم مع حالة المشكلة قدر الإمكان ، لذا فإن مهمته الرئيسية هي المساعدة في إيجاد الحل
• تطبيق جميع البيانات من بيان المشكلة على الرسم
• اكتب كل المفاهيم الهندسية التي تحدث في المشكلة
• تذكر كل النظريات التي تتعلق بهذا المفهوم
• ارسم على الرسم كل العلاقات بين عناصر الشكل الهندسي التي تتبعها هذه النظريات

على سبيل المثال ، إذا حدثت كلمة منصف زاوية المثلث في المشكلة ، فأنت بحاجة إلى تذكر تعريف وخصائص المنصف وتعيين مقاطع وزوايا متساوية أو متناسبة في الرسم.

ستجد في هذه المقالة الخصائص الأساسية للمثلث الذي تحتاج إلى معرفته لحل المشكلات بنجاح.

مثلث.

مساحة المثلث.

1. ,

هنا جانب اعتباطي من المثلث ، هل تم خفض الارتفاع إلى هذا الجانب.

2. ,

وهنا جوانب اعتباطية من المثلث ، هي الزاوية بين هذين الجانبين:

3. صيغة هيرون:

ها هي أطوال أضلاع المثلث ، هل نصف محيط المثلث ،

4. ,

هنا نصف محيط المثلث ، نصف قطر الدائرة المنقوشة.

اسمحوا ان تكون اطوال شرائح الظل.

ثم يمكن كتابة صيغة هيرون على النحو التالي:

5.

6. ,

هنا - أطوال أضلاع المثلث - نصف قطر الدائرة المحصورة.

إذا تم أخذ نقطة في أحد أضلاع المثلث تقسم هذا الجانب في النسبة m: n ، فإن الجزء الذي يربط هذه النقطة برأس الزاوية المقابلة يقسم المثلث إلى مثلثين ، مساحتهما مرتبطة بـ m : ن:

نسبة مساحات المثلثات المتشابهة تساوي مربع معامل التشابه.

متوسط ​​المثلث

هذا هو الجزء المستقيم الذي يربط قمة المثلث بمنتصف الضلع المقابل.

متوسطات المثلثتتقاطع عند نقطة واحدة وتنقسم على نقطة التقاطع بنسبة 2: 1 ، العد من الرأس.

تقسم نقطة تقاطع متوسطات المثلث العادي الوسيط إلى جزأين ، أصغرهما يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة ، والأكبر يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة.

نصف قطر الدائرة المنقوشة ضعف نصف قطر الدائرة المنقوشة: R = 2r

متوسط ​​الطولمثلث تعسفي

,

هنا - الوسيط المرسوم على الجانب - أطوال أضلاع المثلث.

منصف المثلث

هذا جزء من منصف أي ركن من أركان المثلث ، يربط رأس هذه الزاوية بالجانب المقابل.

منصف المثلثيقسم الجانب إلى مقاطع تتناسب مع الجوانب المجاورة:

منصفات المثلثتتقاطع عند نقطة واحدة ، وهي مركز الدائرة المنقوشة.

جميع نقاط منصف الزاوية على مسافة متساوية من جانبي الزاوية.

ارتفاع المثلث

هذا جزء من العمود العمودي يتم إسقاطه من قمة المثلث إلى الجانب المقابل ، أو استمراره. في مثلث منفرج ، يقع الارتفاع المرسوم من قمة الزاوية الحادة خارج المثلث.

ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى مركز تقويم المثلث.

لإيجاد ارتفاع المثلثمرسومًا على الجانب ، فأنت بحاجة إلى العثور على مساحته بأي طريقة متاحة ، ثم استخدم الصيغة:

مركز دائرة محاط بمثلث، تقع عند نقطة تقاطع الخطوط العمودية على جانبي المثلث.

نصف قطر الدائرة المحددة للمثلث يمكن العثور عليها من خلال الصيغ التالية:

ها هي أطوال أضلاع المثلث ، هي مساحة المثلث.

,

أين طول ضلع المثلث ، هل هي الزاوية المقابلة. (هذه الصيغة تتبع نظرية الجيب).

متباينة المثلث

كل جانب من أضلاع المثلث أصغر من المجموع وأكبر من الفرق بين الضلعين الآخرين.

دائمًا ما يكون مجموع أطوال أي جانبين أكبر من طول الضلع الثالث:

مقابل الضلع الأكبر هي الزاوية الأكبر ؛ مقابل الزاوية الأكبر يقع الجانب الأكبر:

إذا ، ثم العكس بالعكس.

نظرية الجيب:

تتناسب جوانب المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة:

نظرية جيب التمام:

مربع ضلع المثلث يساوي مجموع مربعات الضلعين الآخرين دون ضعف حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب الزاوية بينهما:

مثلث قائم

- إنه مثلث ، إحدى زواياه 90 درجة.

مجموع الزوايا الحادة لمثلث قائم الزاوية يصل إلى 90 درجة.

الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل زاوية 90 درجة. الوتر هو الضلع الأكبر.

نظرية فيثاغورس:

مربع الوتر يساوي مجموع مربعات الساقين:

نصف قطر الدائرة المدرجة في مثلث قائم الزاوية هو

,

هنا نصف قطر الدائرة المنقوشة ، - الأرجل ، - الوتر:

مركز دائرة محصور حول مثلث قائم الزاوية تقع في منتصف الوتر:

متوسط ​​مثلث قائم الزاوية مرسوم على الوتر، يساوي نصف طول الوتر.

تحديد الجيب وجيب التمام والظل والظل لمثلث قائم الزاويةنظرة

نسبة العناصر في مثلث قائم الزاوية:

مربع ارتفاع المثلث القائم الزاوية ، المرسوم من رأس الزاوية القائمة ، يساوي حاصل ضرب نتوءات الساقين والوتر:

يساوي مربع الساق حاصل ضرب الوتر وإسقاط الساق على الوتر:

ساق الكذب المقابل للزاوية يساوي نصف الوتر:

مثلث متساوي الساقين.

منصف المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو الوسيط والارتفاع.

في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية.

زاوية القمة.

و- الجوانب ،

و- زوايا القاعدة.

الطول والمنصف والمتوسط.

الانتباه!الارتفاع والمنصف والمتوسط ​​المرسوم على الجانب غير متطابقين.

مثلث عادي

(أو مثلث متساوي الاضلاع ) مثلث ، جميع جوانبه وزواياه متساوية.

مساحة المثلث العاديمساوي ل

أين طول ضلع المثلث.

مركز دائرة منقوشة في مثلث منتظم، يتزامن مع مركز دائرة محصورة حول مثلث عادي وتقع عند نقطة تقاطع المتوسطات.

نقطة تقاطع متوسطات مثلث عادييقسم الوسيط إلى جزأين ، أصغرهما يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة ، والأكبر يساوي نصف قطر الدائرة المنقوشة.

إذا كانت إحدى زوايا المثلث متساوي الساقين 60 درجة ، فهذا المثلث منتظم.

الخط الأوسط لمثلث

هذا هو الجزء المستقيم الذي يربط بين نقطتي المنتصف على الجانبين.

في الشكل ، DE هو الخط الأوسط للمثلث ABC.

الخط الأوسط للمثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه: DE || AC ، AC = 2DE

الزاوية الخارجية للمثلث

هذا هو الركن المجاور لأي ركن من أركان المثلث.

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين غير متجاورتين.

الدوال المثلثية للزاوية الخارجية:

علامات تساوي المثلثات:

1 ... إذا كان الضلعان والزاوية بينهما في مثلث واحد متساويين على التوالي مع الضلعين والزاوية بينهما لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متساوية.

2 ... إذا كان أحد الأضلاع وزاويتان متجاورتان لمثلث واحد متساويين على التوالي مع الضلع وزاويتين متجاورتين لمثلث آخر ، فإن هذين المثلثين متساويين.

3 إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات تكون متساوية.

الأهمية:حيث أن زاويتين في مثلث قائم الزاوية متساويتان بالتأكيد ، إذن المساواة بين مثلثين صحيحينيتطلب مساواة بين عنصرين فقط: جانبان ، أو جانب وزاوية حادة.

علامات تشابه المثلثات:

1 ... إذا كان ضلعا أحد المثلث متناسبين مع ضلعي المثلث الآخر ، وكانت الزوايا بين هذين الضلعين متساوية ، فإن هذين الضلعين متشابهان.

2 ... إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد متناسبة مع ثلاثة جوانب لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متشابهة.

3 ... إذا كانت زاويتان لمثلث واحد تساوي زاويتين لمثلث آخر ، فإن هذين المثلثين متشابهان.

الأهمية:في مثلثات متشابهة ، تكون الأضلاع المتشابهة متقابلة مع زوايا متساوية.

نظرية مينيلوس

دع خطًا مستقيمًا يتقاطع مع مثلث ، و- نقطة تقاطعه مع الجانب ، - نقطة تقاطعه مع الجانب ، و- نقطة تقاطعه مع امتداد الجانب. ثم

مثلثات.

مفاهيم أساسية.

مثلثهو شكل يتكون من ثلاثة مقاطع خطية وثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد.

يتم استدعاء الأجزاء حفلات، والنقاط - القمم.

مجموع الزوايامثلث يساوي 180.

ارتفاع المثلث.

ارتفاع المثلثهو عمودي مرسوم من أعلى إلى الجانب المقابل.

في المثلث ذي الزاوية الحادة ، يتم احتواء الارتفاع داخل المثلث (الشكل 1).

في المثلث القائم الزاوية ، تكون الأرجل هي ارتفاعات المثلث (الشكل 2).

في مثلث منفرج ، يكون الارتفاع خارج المثلث (الشكل 3).

خصائص ارتفاع المثلث:

منصف المثلث.

منصف المثلثهي قطعة مستقيمة تقسم زاوية الرأس إلى نصفين وتربط الرأس بنقطة على الجانب المقابل (الشكل 5).

خصائص المنصف:

وسيط المثلث.

متوسط ​​المثلثهي قطعة مستقيمة تربط الرأس بمنتصف الضلع المقابل (الشكل 9 أ).

يمكن حساب طول الوسيط باستخدام الصيغة: 2ب 2 + 2ج 2 - أ 2 م أ 2 = —————— 4 أين م أهو الوسيط المرسوم إلى الجانب أ. في المثلث القائم الزاوية ، يكون الوسيط المرسوم على الوتر هو نصف الوتر: ج م ج = — 2 أين م ج- الوسيط المرسوم على الوتر ج(الشكل 9 ج) تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة (في مركز كتلة المثلث) ويتم تقسيمها على هذه النقطة بنسبة 2: 1 ، بدءًا من الرأس. أي أن المقطع من الرأس إلى المركز أكبر بمرتين من المقطع من المركز إلى جانب المثلث (الشكل 9 ج). ثلاثة متوسطات لمثلث نقسمه إلى ستة مثلثات متساوية.

الخط الأوسط للمثلث.

الخط الأوسط لمثلثهو جزء يربط بين نقطتي المنتصف على جانبيها (الشكل 10).

الخط الأوسط للمثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه

الزاوية الخارجية للمثلث.

الزاوية الخارجيةالمثلث يساوي مجموع زاويتين داخليتين غير متجاورتين (الشكل 11).

الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من أي زاوية غير مجاورة.

مثلث قائم.

مثلث قائمهو مثلث بزاوية قائمة (شكل 12).

يسمى ضلع المثلث القائم الزاوية المقابل للزاوية القائمة وتر.

يتم استدعاء الطرفين الآخرين أرجل.

مقاطع الخط المتناسب في مثلث قائم الزاوية.

1) في المثلث القائم الزاوية ، يشكل الارتفاع المرسوم من الزاوية اليمنى ثلاثة مثلثات متشابهة: ABC و ACH و HCB (الشكل 14 أ). وفقًا لذلك ، فإن الزوايا المكونة من الارتفاع تساوي الزاويتين A و B.

الشكل 14 أ

مثلث متساوي الساقين.

مثلث متساوي الساقينمثلث ضلعين متساويين (الشكل 13).

تسمى هذه الجوانب المتساوية الجوانب الجانبيةوالثالث هو أساسمثلث.

في مثلث متساوي الساقين ، زوايا القاعدة متساوية. (في المثلث ، الزاوية أ تساوي الزاوية ج).

في مثلث متساوي الساقين ، يكون الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف وارتفاع المثلث.

مثلث متساوي الاضلاع.

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع الأضلاع (الشكل 14).

خصائص المثلث متساوي الأضلاع:

خصائص رائعة للمثلثات.

تتمتع المثلثات بخصائص أصلية ستساعدك في حل المشكلات المتعلقة بهذه الأشكال بنجاح. بعض هذه الخصائص موضحة أعلاه. لكننا نكررها مرة أخرى ، ونضيف إليها بعض الميزات الرائعة الأخرى:

1) في مثلث قائم الزاوية بزاوية 90 درجة و 30 درجة و 60 درجة من الأرجل بالتي تقع مقابل زاوية قياسها 30º ، تساوي نصف الوتر. والساقأ المزيد من الساقب√3 مرات (الشكل 15 أ). على سبيل المثال ، إذا كانت الضلع b تساوي 5 ، فإن الوتر جبالضرورة يساوي 10 ، والساق أيساوي 5√3. 2) في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين بزوايا قياسها 90 درجة و 45 درجة و 45 درجة ، يكون الوتر يساوي 2 ضعف الساق (الشكل 15) ب). على سبيل المثال ، إذا كانت الأرجل 5 ، فإن الوتر هو 5√2. 3) الخط الأوسط للمثلث يساوي نصف الضلع الموازي (الشكل 15 مع). على سبيل المثال ، إذا كان ضلع المثلث هو 10 ، فإن خط الوسط الموازي هو 5. 4) في المثلث القائم الزاوية ، يكون الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصف طول الوتر (الشكل 9 ج): م ج= ق / 2. 5) متوسطات المثلث ، المتقاطعة عند نقطة واحدة ، مقسومة على هذه النقطة بنسبة 2: 1. أي أن المقطع من الرأس إلى نقطة تقاطع المتوسطات أكبر بمرتين من القطعة من نقطة تقاطع المتوسطات إلى جانب المثلث (الشكل 9 ج) 6) في المثلث القائم الزاوية ، يكون منتصف الوتر هو مركز الدائرة المُحددة (الشكل 15). د).

اختبارات المساواة للمثلثات.

أول علامة على المساواة: إذا كان الضلعان والزاوية بينهما في أحد المثلث متساويين مع ضلعين والزاوية بينهما لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متساوية.

العلامة الثانية للمساواة: إذا كان ضلع المثلث والزوايا المجاورة له مساوية للضلع والزوايا المجاورة له في المثلث الآخر ، فإن هذه المثلثات متساوية.

العلامة الثالثة للمساواة: إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر ، فإن هذه المثلثات متساوية.

متباينة المثلث.

في أي مثلث ، يكون كل ضلع أقل من مجموع ضلعين آخرين.

نظرية فيثاغورس.

في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع الوتر مساويًا لمجموع مربعات الساقين:

ج 2 = أ 2 + ب 2 .

مساحة المثلث.

1) مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب جانبه بالارتفاع المرسوم على هذا الجانب:

آه
س = ——
2

2) مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب أي ضلعين بجيب الزاوية بينهما:

1
س = — AB تيار متردد · الخطيئة أ
2

مثلث محاط بدائرة.

تسمى الدائرة المنقوشة في مثلث إذا لامست جميع جوانبها (الشكل 16 أ).

مثلث منقوش في دائرة.

يسمى المثلث المنقوش في دائرة إذا لامسه بكل رءوسه (الشكل 17 أ).

الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، ظل التمام لزاوية حادة لمثلث قائم (الشكل 18).

التجويفزاوية حادة x معارضةالساق إلى الوتر.
ويشار إليه على النحو التالي: الخطيئةx.

جيب التمامزاوية حادة xالمثلث الأيمن هو النسبة المجاورالساق إلى الوتر.
يتم الإشارة إليه على النحو التالي: cos x.

الظلزاوية حادة xهي نسبة الساق المقابلة للساق المجاورة.
يتم الإشارة إليه على النحو التالي: tgx.

ظل التمامزاوية حادة x- هذه هي نسبة الضلع المجاورة إلى الأخرى.
يتم الإشارة إليه على النحو التالي: ctgx.

قواعد:

الساق المقابلة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الوتر والخطيئة x:

ب = جالخطيئة x

الساق المجاورة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الوتر وجيب التمام x:

أ = جكوس x

الساق المقابلة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الجزء الثاني و tg x:

ب = أتيراغرام x

الساق المجاورة للزاوية x، يساوي حاصل ضرب الضلع الثاني و ctg x:

أ = ب Ctg x.

لأي زاوية حادة x:

الخطيئة (90 درجة - x) = كوس x

كوس (90 درجة - x) = الخطيئة x

مثلث) أو مر خارج المثلث عند مثلث منفرج.

كليات يوتيوب

1 / 5

✪ ارتفاع البسكريتان الوسيط لمثلث ، الصف 7

✪ المنصف ، الوسيط ، ارتفاع المثلث. الهندسة الصف 7

✪ الصف السابع ، الدرس 17 ، المتوسطات والمنصفات وارتفاعات المثلث

✪ الوسيط ، المنصف ، ارتفاع المثلث | الهندسة

كيف تجد طول المنصف والمتوسط ​​والارتفاعات؟ | بوتاي معي # 031 | بوريس تروشين

ترجمات

خصائص نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة (orthocenter)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(لإثبات الهوية ، يجب على المرء استخدام الصيغ

AB → = EB → - EA →، BC → = EC → - EB →، CA → = EA → - EC → (displaystyle (overrightarrow (AB)) = (overrightarrow (EB)) - (overrightarrow (EA )) ، \ ، (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)) ، \ ، (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (EC)))

بالنسبة للنقطة E ، يجب أن تأخذ تقاطع ارتفاعين في المثلث.)

• تقويم العظاممترافق بشكل متساوي مع المركز دائرة مقيدة .
• تقويم العظامتقع على خط مستقيم واحد مع النقطه الوسطى ، المركز دائرة مقيدةومركز دائرة من تسع نقاط (انظر خط أويلر).
• تقويم العظامالمثلث حاد الزاوية هو مركز دائرة منقوشة في مثلثها القائم.
• مركز المثلث محاط بالمركز العمودي مع وجود رءوس عند نقاط المنتصف على جانبي هذا المثلث. يسمى المثلث الأخير بالمثلث التكميلي بالنسبة للمثلث الأول.
• يمكن صياغة الخاصية الأخيرة على النحو التالي: يخدم مركز دائرة مقيد حول مثلث تقويم العظاممثلث إضافي.
• نقاط متناظرة تقويم العظامبالنسبة للمثلث فيما يتعلق بجوانبه ، توضع على الدائرة المحددة.
• نقاط متناظرة تقويم العظاملمثلث فيما يتعلق بنقاط المنتصف من الجانبين ، تقع أيضًا على الدائرة وتتزامن مع النقاط المقابلة تمامًا للرؤوس المقابلة.
• إذا كان O هو مركز الدائرة المحصورة ΔABC ، ​​إذن O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
• المسافة من قمة المثلث إلى المركز العمودي هي ضعف المسافة من مركز الدائرة إلى الجانب المقابل.
• أي جزء مأخوذ من تقويم العظامقبل عبور الدائرة ، يتم دائمًا تقسيمها إلى النصف بواسطة دائرة أويلر. تقويم العظامهي مركز تماثل هاتين الدائرتين.
• نظرية هاملتون... ثلاثة مقاطع خطية تربط المركز العمودي برؤوس مثلث حاد الزاوية تقسمه إلى ثلاثة مثلثات لها نفس دائرة أويلر (دائرة من تسع نقاط) مثل المثلث الأصلي ذي الزاوية الحادة.
• عواقب نظرية هاملتون:
  • ثلاثة مقاطع خطية تربط مركز التقويم برؤوس مثلث حاد الزاوية تقسمه إلى ثلاثة مثلث هاملتونلها أنصاف أقطار متساوية من الدوائر المقيدة.
  • أنصاف أقطار الدوائر المقيدة لثلاثة مثلثات هاملتونتساوي نصف قطر الدائرة المحصورة حول المثلث الأصلي ذي الزاوية الحادة.
• في المثلث ذي الزاوية الحادة ، يقع مركز التقويم داخل المثلث ؛ في منفرجة - خارج المثلث ؛ في شكل مستطيل - عند قمة الزاوية القائمة.

خصائص ارتفاع مثلث متساوي الساقين

• إذا تساوى ارتفاعان في المثلث ، يكون المثلث متساوي الساقين (Steiner - Lemus theorem) ، والارتفاع الثالث هو في نفس الوقت متوسط ​​ومنصف الزاوية التي يخرج منها.
• والعكس صحيح أيضًا: في مثلث متساوي الساقين ، ارتفاعان متساويان ، والارتفاع الثالث هو الوسيط والمنصف.
• في مثلث متساوي الأضلاع ، جميع الارتفاعات الثلاثة متساوية.

خصائص الارتفاع الأساسية للمثلث

• أسسالارتفاعات تشكل ما يسمى orthotriangle ، والتي لها خصائصها الخاصة.
• الدائرة المحددة حول المثلث التقويمي هي دائرة أويلر. تحتوي هذه الدائرة أيضًا على ثلاث نقاط منتصف لجوانب المثلث وثلاث نقاط وسط من ثلاثة أجزاء تربط المركز العمودي برؤوس المثلث.
• صياغة أخرى للممتلكات الأخيرة:
  • نظرية أويلر لدائرة من تسع نقاط. أسسثلاثة مرتفعاتمثلث اعتباطي وسط أضلاعه الثلاثة ( أسسها الداخليةالمتوسطات) ونقاط المنتصف لثلاثة أجزاء تربط رؤوسها بالمركز العمودي ، كلها تقع على نفس الدائرة (على دائرة من تسع نقاط).
• نظرية... في أي مثلث ، قطعة متصلة أسساثنين مرتفعاتمثلث يقطع مثل هذا المثلث.
• نظرية... في المثلث ، قطعة متصلة أسساثنين مرتفعاتمثلثات ملقاة على الجانبين ، مضادطرف ثالث ليس لديه نقاط مشتركة معه. من خلال طرفيه ، وكذلك من خلال رأسي الضلع الثالث المذكور ، يمكنك دائمًا رسم دائرة.

خصائص ارتفاع المثلث الأخرى

• إذا كان المثلث متعدد الجوانب والاستعمالات (مختلف الأضلاع)، ثم انها داخليالمنصف المرسوم من أي رأس يقع بينهما داخليمتوسط ​​الارتفاع والارتفاع مستمدين من نفس القمة.
• ارتفاع المثلث مترافق بشكل متساوي مع القطر (نصف القطر) دائرة مقيدةمستمدة من نفس الرأس.
• في المثلث حاد الزاوية ، اثنان مرتفعاتاقطعوا مثل هذه المثلثات منه.
• في مثلث قائم الزاوية ارتفاعالمرسومة من رأس الزاوية اليمنى تقسمها إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

خصائص الحد الأدنى لارتفاعات المثلث

أصغر ارتفاعات المثلث له العديد من الخصائص المتطرفة. على سبيل المثال:

• الحد الأدنى للإسقاط المتعامد لمثلث على خطوط مستقيمة تقع في مستوى المثلث له طول يساوي أصغر ارتفاعاته.
• يجب أن يكون الحد الأدنى للمقطع المستقيم في المستوى الذي يمكن من خلاله سحب صفيحة مثلثة غير قابلة للانحناء بطول يساوي أصغر ارتفاعات هذه اللوحة.
• مع الحركة المستمرة لنقطتين على طول محيط المثلث تجاه بعضهما البعض ، لا يمكن أن تكون المسافة القصوى بينهما أثناء الحركة من الاجتماع الأول إلى الثاني أقل من طول أصغر ارتفاعات المثلث.
• يقع الحد الأدنى للارتفاع في المثلث دائمًا داخل هذا المثلث.

العلاقات الأساسية

• ح أ = ب ⋅ الخطيئة ⁡ γ = ج ⋅ الخطيئة ⁡ β، (displaystyle h_ (a) = b (cdot) sin gamma = c (cdot) sin beta)
• ح أ = 2 ⋅ ث أ ، (displaystyle h_ (a) = (frac (2 (cdot) S) (a)) ،)أين ث (displaystyle S)- مساحة المثلث ، أ (displaystyle a)- طول ضلع المثلث الذي ينزل ارتفاعه.
• ح أ = ب ⋅ ص 2 ⋅ R، (displaystyle h_ (a) = (frac (b (cdot) c) (2 (cdot) R)) ،)أين ب ⋅ ج (displaystyle b (cdot) c)- نتاج الجوانب ، م - (displaystyle R-)نصف قطر الدائرة المقيدة
• ح أ: ح ب: ح ج = 1 أ: 1 ب: 1 ج = (ب ⋅ ج): (أ ⋅ ج): (أ ⋅ ب). (displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (frac (1) (a)): (frac (1) (b)): (frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) ب).)
• 1 هكتار + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (ج))) = (\ frac (1) (r)))، أين r (displaystyle r)هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.
• S = 1 (1 هكتار + 1 هب + 1 هكتار) ⋅ (1 هكتار + 1 هب - 1 س. = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c ))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))، أين ث (displaystyle S)- مساحة المثلث.
• أ = 2 هكتار ⋅ (1 هكتار + 1 هكتار + 1 هكتار) ⋅ (1 هكتار + 1 هكتار - 1 هكتار) ⋅ (1 هكتار + 1 هكتار - 1 هكتار) ⋅ (1 هكتار + 1 هكتار - 1 هكتار) (\ displaystyle a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (أ))))))))), أ (displaystyle a)- ضلع المثلث الذي يقع عليه الارتفاع ح أ (displaystyle h_ (a)).
• ارتفاع المثلث متساوي الساقين عند إنزاله إلى القاعدة: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2، (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ) ،)

أين ج (displaystyle c)- قاعدة، أ (displaystyle a)- الجانب.

نظرية الارتفاع لمثلث قائم الزاوية

إذا كان الارتفاع في مثلث قائم الزاوية هو ABC بطول ح (displaystyle h)المرسومة من رأس الزاوية اليمنى تقسم الوتر بالطول ج (displaystyle c)للشرائح م (displaystyle m)و n (displaystyle n)المقابلة للساقين ب (displaystyle b)و أ (displaystyle a)، ثم المساواة التالية صحيحة.