Cómo derivar la fórmula para el volumen de una pirámide truncada. Fórmulas para el volumen de una pirámide completa y truncada. El volumen de la pirámide de Keops. Para la pirámide correcta, las fórmulas son correctas.

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El HA13118 es un amplificador de clase AB, contiene un número mínimo de elementos externos y tiene una alta potencia a un voltaje de suministro relativamente bajo, y el amplificador también tiene una gran ganancia de 55 dB, lo que elimina la necesidad de una amplificación preliminar de la señal. Principales características técnicas: Potencia de salida 18 W (máxima) en una carga de 4 Ohm 10 W ...

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05.10.2014

El circuito de suministro de energía regulado controlado digitalmente consta de un regulador de voltaje positivo en KM317, KPOM de un contador de décadas CD4017, temporizador NE555 y un regulador de voltaje negativo en LM7912. La tensión de red se reduce mediante un transformador a una tensión de +/- 12V a una corriente de 1A en el devanado secundario, luego se rectifica. Filtro capacitivo de voltaje constante C1-C5. LED1 Señales LED ...

19.08.2018

La figura muestra un diagrama de un relé de tiempo de 8 canales, el relé de tiempo usa un Arduino Nano, un reloj en tiempo real DS3231 (módulo), un indicador de cuatro dígitos de siete segmentos basado en el controlador TM1637 (módulo TM1637) y cuatro botones de control. En cada canal, puede configurar los tiempos de encendido y apagado del relé, todos los valores de los tiempos de encendido y apagado del relé se almacenan en ...

20.09.2014

Un motor asíncrono trifásico de diseño normal puede crear un par sin tomar medidas especiales cuando se alimenta desde una red de corriente monofásica. Suponga que el circuito de uno de los cables de un motor en funcionamiento conectado a una red trifásica está abierto (por ejemplo, debido a un fusible quemado). La máquina se encontró en modo monofásico con conexión serial o serial-paralelo de los devanados del estator ...

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todos los bordes son iguales se llama tetraedro .

Costilla lateral pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide se llama la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todos los bordes laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todos los bordes laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular dibujada desde la parte superior se llama apotema . Sección diagonal la sección de la pirámide se llama plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Superficie lateral pirámide se llama la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total llamado la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

Teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito alrededor de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la siguiente fórmula es correcta:

donde V- volumen;

S principal- área de la base;

H- la altura de la pirámide.

Para la pirámide correcta, las fórmulas son correctas:

donde pags- perímetro de la base;

h a- apotema;

H- altura;

S lleno

Lado S

S principal- área de la base;

V- el volumen de la pirámide correcta.

Pirámide truncada llamada la parte de la pirámide, encerrada entre la base y el plano secante paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular se llama la parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y el plano secante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámides truncadas - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada se llama segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. Sección diagonal una sección de una pirámide truncada se denomina plano que pasa por dos bordes laterales que no pertenecen a una cara.

Para una pirámide truncada, las siguientes fórmulas son válidas:

(4)

donde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno- superficie total;

Lado S- área de superficie lateral;

H- altura;

V- el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada correcta, la fórmula es correcta:

donde pags 1 , pags 2 - perímetros de las bases;

h a- la apotema de la pirámide truncada regular.

Ejemplo 1. En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Solución. Hagamos un dibujo (fig. 18).

La pirámide es regular, por lo que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo a entre dos perpendiculares: y es decir La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro de la circunferencia y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) Es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. Para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD... Para encontrar la tangente, necesitas conocer las piernas. ENTONCES y transmisión exterior... Deje que la longitud del segmento BD es igual a 3 a... Punto O sección BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: De nos encontramos con:

Respuesta:

Ejemplo 2. Encuentre el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm, y la altura es 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de la pirámide truncada, usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases son 2 cm y 8 cm, respectivamente. Entonces las áreas de las bases y Habiendo sustituido todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112 cm 3.

Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesita conocer la base y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Lo encontraremos de donde A 1 mi perpendicular desde el punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D- perpendicular desde A 1 en COMO. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware hagamos un dibujo adicional, que representará una vista superior (fig. 20). Punto O- proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver fig.20) y por otro lado OK Es el radio del círculo inscrito y OM- radio del círculo inscrito:

MK = DE.

Por el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases a y B (a> B). Cada cara lateral forma un ángulo con el plano base de la pirámide igual a j... Calcula el área de superficie total de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.

Usemos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto O- proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CSD en el plano de la base. Por el teorema sobre el área de una proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Por lo tanto, la tarea se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D... Dibuja un trapezoide A B C D por separado (fig.22). Punto O- el centro del círculo inscrito en el trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, ya sea De, por el teorema de Pitágoras, tenemos

La capacidad de calcular el volumen de figuras espaciales es importante al resolver una serie de problemas prácticos en geometría. Una de las formas más comunes es la pirámide. En este artículo, consideraremos pirámides completas y truncadas.

La pirámide como figura tridimensional

Todos conocen las pirámides de Egipto, por lo que tienen una buena idea de qué figura se discutirá. Sin embargo, las estructuras de piedra egipcias son solo un caso especial de una enorme clase de pirámides.

El objeto geométrico considerado en el caso general es una base poligonal, cada vértice de la cual está conectado a algún punto en el espacio que no pertenece al plano de la base. Esta definición conduce a una figura que consta de un n-gon y n triángulos.

Cualquier pirámide consta de n + 1 caras, 2 * n aristas y n + 1 vértices. Dado que la figura en consideración es un poliedro perfecto, el número de elementos marcados obedece a la igualdad de Euler:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

El polígono en la base da el nombre a la pirámide, por ejemplo, triangular, pentagonal, etc. En la foto de abajo se muestra un conjunto de pirámides con diferentes bases.

El punto en el que se conectan los n triángulos de la figura se llama la parte superior de la pirámide. Si se baja una perpendicular desde ella hasta la base y la cruza en el centro geométrico, entonces dicha figura se llamará línea recta. Si no se cumple esta condición, se forma una pirámide inclinada.

Una figura recta, cuya base está formada por un n-gon equilátero (conforme), se llama regular.

La fórmula del volumen de una pirámide.

Para calcular el volumen de la pirámide, usaremos el cálculo integral. Para ello, dividimos la figura con planos de corte paralelos a la base en un número infinito de capas delgadas. La siguiente figura muestra una pirámide cuadrangular con altura hy longitud lateral L, en la que una capa de sección delgada está marcada con un cuadrilátero.

El área de cada una de estas capas se puede calcular mediante la fórmula:

Una (z) = UNA 0 * (h-z) 2 / h 2.

Aquí A 0 es el área base, z es el valor de la coordenada vertical. Se puede ver que si z = 0, entonces la fórmula da el valor A 0.

Para obtener la fórmula del volumen de la pirámide, debes calcular la integral sobre toda la altura de la figura, es decir:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Sustituyendo la dependencia A (z) y calculando la antiderivada, llegamos a la expresión:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Obtuvimos la fórmula del volumen de la pirámide. Para encontrar el valor de V, basta con multiplicar la altura de la figura por el área de la base y luego dividir el resultado por tres.

Tenga en cuenta que la expresión resultante es válida para calcular el volumen de una pirámide de un tipo arbitrario. Es decir, puede estar inclinado y su base puede ser un n-gon arbitrario.

y su volumen

La fórmula general de volumen obtenida en el párrafo anterior se puede aclarar en el caso de una pirámide de base regular. El área de dicha base se calcula utilizando la siguiente fórmula:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Aquí L es la longitud del lado de un polígono regular con n vértices. El símbolo pi es pi.

Sustituyendo la expresión de A 0 en la fórmula general, obtenemos el volumen de la pirámide regular:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Por ejemplo, para una pirámide triangular, esta fórmula conduce a la siguiente expresión:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * L 2 * h.

Para una pirámide cuadrangular regular, la fórmula del volumen toma la forma:

V 4 = 4/12 * L 2 * h * ctg (45 °) = 1/3 * L 2 * h.

Determinar los volúmenes de pirámides regulares requiere conocer el lado de su base y la altura de la figura.

Pirámide truncada

Supongamos que tomamos una pirámide arbitraria y cortamos de ella una parte de la superficie lateral que contiene el vértice. La forma restante se llama pirámide truncada. Ya consta de dos bases n-gonales y n trapezoides que las conectan. Si el plano de corte era paralelo a la base de la figura, entonces se forma una pirámide truncada con bases similares paralelas. Es decir, las longitudes de los lados de uno de ellos se pueden obtener multiplicando las longitudes del otro por algún coeficiente k.

La figura de arriba muestra una regular truncada, se puede observar que su base superior, como la inferior, está formada por un hexágono regular.

La fórmula que se puede derivar usando un cálculo integral similar es:

V = 1/3 * h * (UNA 0 + UNA 1 + √ (UNA 0 * UNA 1)).

Donde A 0 y A 1 son las áreas de las bases inferior (grande) y superior (pequeña), respectivamente. La variable h denota la altura de la pirámide truncada.

El volumen de la pirámide de Keops.

Es curioso resolver el problema de determinar el volumen que contiene en su interior la pirámide egipcia más grande.

En 1984, los egiptólogos británicos Mark Lehner y Jon Goodman establecieron las dimensiones exactas de la pirámide de Keops. Su altura original era de 146,50 metros (actualmente unos 137 metros). La longitud promedio de cada uno de los cuatro lados de la estructura fue de 230,363 metros. La base de la pirámide es cuadrada con alta precisión.

Usaremos las cifras anteriores para determinar el volumen de este gigante de piedra. Dado que la pirámide es cuadrangular regular, entonces la fórmula es válida para ella:

Sustituimos los números, obtenemos:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

El volumen de la pirámide de Keops es de casi 2,6 millones de m 3. A modo de comparación, observamos que la piscina olímpica tiene un volumen de 2,5 mil m 3. Es decir, para llenar toda la pirámide de Keops, ¡se necesitarán más de 1000 grupos de este tipo!

y un plano de corte paralelo a su base.

O en otras palabras: pirámide truncada- este es un poliedro, que está formado por una pirámide y su sección paralela a la base.

Una sección paralela a la base de la pirámide divide la pirámide en 2 partes. La parte de la pirámide entre su base y sección es pirámide truncada.

Esta sección de la pirámide truncada resulta ser una de las bases de esta pirámide.

La distancia entre las bases de la pirámide truncada es altura de la pirámide truncada.

La pirámide truncada correcto cuando la pirámide de la que se obtuvo también era correcta.

La altura del trapezoide de la cara lateral de una pirámide truncada regular es apotema la pirámide truncada correcta.

Propiedades de pirámide truncada.

1. Cada cara lateral de una pirámide truncada regular son trapezoides isósceles del mismo tamaño.

2. Las bases de la pirámide truncada son polígonos similares.

3. Los bordes laterales de una pirámide truncada regular son del mismo tamaño y uno está inclinado en relación con la base de la pirámide.

4. Las caras laterales de la pirámide truncada son trapecios.

5. Los ángulos diedros en los bordes laterales de una pirámide truncada regular son de igual magnitud.

6. La relación de las áreas de las bases: S 2 / S 1 = k 2.

Fórmulas piramidales truncadas.

Para una pirámide arbitraria:

El volumen de la pirámide truncada es igual a 1/3 del producto de la altura. h (SO) para la suma de las áreas de la base superior S 1 (a B C D e), la base inferior de la pirámide truncada S 2 (A B C D E) y el promedio proporcional entre ellos.

Volumen de la pirámide:

donde S 1, S 2- el área de las bases,

h- la altura de la pirámide truncada.

Superficie lateral igual a la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada correcta:

Pirámide truncada correcta- un poliedro, que está formado por una pirámide regular y su sección, que es paralela a la base.

El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular es la mitad del producto de la suma de los perímetros de sus bases y la apotema.

donde S 1, S 2- el área de las bases,

φ - ángulo diedro en la base de la pirámide.

CH es la altura de la pirámide truncada, P 1 y P 2- perímetros de las bases, S 1 y S 2- las áreas de las bases, Lado S- superficie lateral, S lleno- superficie total:

Sección de la pirámide con un plano paralelo a la base.

La sección de la pirámide por un plano paralelo a su base (perpendicular a la altura) divide la altura y los bordes laterales de la pirámide en segmentos proporcionales.

La sección de la pirámide por un plano que es paralelo a su base (perpendicular a la altura) es un polígono que es similar a la base de la pirámide, mientras que el coeficiente de similitud de estos polígonos corresponde a la razón de sus distancias desde el cima de la pirámide.

Las áreas de las secciones que son paralelas a la base de la pirámide están relacionadas como los cuadrados de sus distancias desde la parte superior de la pirámide.

Pirámide truncada Se llama poliedro cuyos vértices son los vértices de la base y los vértices de su sección por un plano paralelo a la base.

Propiedades de la pirámide truncada:

• Las bases de la pirámide truncada son polígonos similares.
• Las caras laterales de la pirámide truncada son trapecios.
• Los bordes laterales de una pirámide truncada regular son iguales e igualmente inclinados hacia la base de la pirámide.
• Las caras laterales de una pirámide truncada regular son trapezoides isósceles iguales y están igualmente inclinadas hacia la base de la pirámide.
• Los ángulos diedros en los bordes laterales de una pirámide truncada regular son iguales.

Superficie y volumen de la pirámide truncada

Sea - la altura de la pirámide truncada, y - los perímetros de las bases de la pirámide truncada, y - el área de las bases de la pirámide truncada, - el área de la superficie lateral de la pirámide truncada, - la superficie total de la pirámide truncada, - el volumen de la pirámide truncada. Entonces se mantienen las siguientes relaciones:

.

Si todos los ángulos diedros en la base de la pirámide truncada son iguales y las alturas de todas las caras laterales de la pirámide son iguales, entonces