Todas las alturas del triángulo se cruzan en dos puntos. Elementos básicos del triángulo abc. El problema de aplicar el teorema de Pitágoras

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Al resolver problemas geométricos, es útil seguir este algoritmo. Al leer el enunciado del problema, debe

Haz un dibujo. El dibujo debe corresponder a la condición del problema tanto como sea posible, por lo que su tarea principal es ayudar a encontrar la solución.
Aplicar todos los datos del enunciado del problema al dibujo.
Escribe todos los conceptos geométricos que ocurren en el problema.
Recuerde todos los teoremas relacionados con este concepto.
Dibujar en el dibujo todas las relaciones entre los elementos de una figura geométrica que se derivan de estos teoremas.

Por ejemplo, si la palabra bisectriz del ángulo de un triángulo aparece en el problema, debe recordar la definición y las propiedades de la bisectriz y designar segmentos y ángulos iguales o proporcionales en el dibujo.

En este artículo, encontrará las propiedades básicas de un triángulo que necesita conocer para resolver problemas con éxito.

TRIÁNGULO.

Área de un triángulo.

1. ,

aquí hay un lado arbitrario del triángulo, es la altura bajada a este lado.

2. ,

aquí y son lados arbitrarios del triángulo, es el ángulo entre estos lados:

3. Fórmula de Heron:

Aquí están las longitudes de los lados del triángulo, es el semiperímetro del triángulo,

4. ,

aquí está el semiperímetro del triángulo, es el radio del círculo inscrito.

Sean las longitudes de los segmentos de las tangentes.

Entonces la fórmula de Heron se puede escribir de la siguiente manera:

6. ,

aquí - las longitudes de los lados del triángulo, - el radio del círculo circunscrito.

Si se toma un punto en un lado de un triángulo que divide este lado en la proporción m: n, entonces el segmento que conecta este punto con el vértice del ángulo opuesto divide el triángulo en dos triángulos, cuyas áreas están relacionadas como m : n:

La razón de las áreas de triángulos similares es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.

Mediana de un triángulo

Este es el segmento de línea que conecta el vértice del triángulo con la mitad del lado opuesto.

Medianas triangulares se intersecan en un punto y se dividen por el punto de intersección en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice.

El punto de intersección de las medianas de un triángulo regular divide la mediana en dos segmentos, el más pequeño de los cuales es igual al radio del círculo inscrito y el más grande es igual al radio del círculo inscrito.

El radio del círculo inscrito es el doble del radio del círculo inscrito: R = 2r

Longitud mediana triángulo arbitrario

aquí - la mediana dibujada hacia el lado, - las longitudes de los lados del triángulo.

Bisectriz de un triángulo

Este es un segmento de la bisectriz de cualquier esquina del triángulo, que conecta el vértice de este ángulo con el lado opuesto.

Bisectriz de un triángulo divide el lado en segmentos proporcionales a los lados adyacentes:

Bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto, que es el centro del círculo inscrito.

Todos los puntos de la bisectriz de un ángulo son equidistantes de los lados del ángulo.

Altura del triangulo

Este es un segmento de la perpendicular que cae desde el vértice del triángulo al lado opuesto, o su continuación. En un triángulo obtuso, la altura dibujada desde el vértice del ángulo agudo se encuentra fuera del triángulo.

Las alturas del triángulo se cruzan en un punto, que se llama el ortocentro del triángulo.

Para encontrar la altura de un triángulo dibujado a un lado, debe encontrar su área de cualquier manera disponible y luego usar la fórmula:

Centro de un círculo circunscrito a un triángulo, se encuentra en el punto de intersección de las perpendiculares a los lados del triángulo.

El radio del círculo circunscrito de un triángulo. se puede encontrar mediante las siguientes fórmulas:

Aquí están las longitudes de los lados del triángulo, es el área del triángulo.

donde es la longitud del lado del triángulo, es el ángulo opuesto. (Esta fórmula se deriva del teorema del seno).

Desigualdad triangular

Cada lado de un triángulo es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos.

La suma de las longitudes de dos lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado:

Frente al lado más grande está el ángulo más grande; opuesto a la esquina más grande se encuentra el lado más grande:

Si, entonces viceversa.

Teorema del seno:

los lados del triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

Teorema del coseno:

el cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados sin el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos:

Triángulo rectángulo

- es un triángulo, uno de cuyos ángulos es de 90 °.

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90 °.

La hipotenusa es el lado opuesto a un ángulo de 90 °. La hipotenusa es el lado más grande.

Teorema de pitágoras:

el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

El radio de un círculo inscrito en un triángulo rectángulo es

aquí está el radio del círculo inscrito, - piernas, - hipotenusa:

Centro de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo se encuentra en el medio de la hipotenusa:

Mediana de un triángulo rectángulo dibujado a la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa.

Determinación del seno, coseno, tangente y cotangente de un triángulo rectángulo Mira

Relación de elementos en un triángulo rectángulo:

El cuadrado de la altura de un triángulo rectángulo, extraído del vértice del ángulo recto, es igual al producto de las proyecciones de los catetos y la hipotenusa:

El cuadrado del cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto a la hipotenusa:

Pierna opuesta a la esquina igual a la mitad de la hipotenusa:

Triángulo isósceles.

La bisectriz de un triángulo isósceles dibujado en la base es la mediana y la altura.

En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.

Ángulo de vértice.

Y - los lados,

Y - ángulos en la base.

Altura, bisectriz y mediana.

¡Atención! La altura, la bisectriz y la mediana dibujadas a un lado no coinciden.

Triángulo regular

(o triángulo equilátero ) es un triángulo, cuyos lados y ángulos son iguales entre sí.

Área de un triángulo regular es igual a

donde es la longitud del lado del triángulo.

Centro de un círculo inscrito en un triángulo regular, coincide con el centro de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo regular y se encuentra en el punto de intersección de las medianas.

Punto de intersección de las medianas de un triángulo regular divide la mediana en dos segmentos, el más pequeño de los cuales es igual al radio del círculo inscrito, y el más grande es igual al radio del círculo inscrito.

Si uno de los ángulos de un triángulo isósceles mide 60 °, entonces este triángulo es regular.

Línea media de un triángulo

Este es el segmento de línea que conecta los puntos medios de los dos lados.

En la figura, DE es la línea media del triángulo ABC.

La línea media del triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad: DE || AC, AC = 2DE

Esquina exterior de un triángulo

Esta es la esquina adyacente a cualquier esquina del triángulo.

El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos que no son adyacentes a él.

Funciones trigonométricas de ángulos externos:

Signos de igualdad de triángulos:

1 ... Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a los dos lados y al ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces tales triángulos son iguales.

2 ... Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes de otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales.

3 Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces esos triángulos son iguales.

Importante: dado que dos ángulos en un triángulo rectángulo son ciertamente iguales, entonces para igualdad de dos triángulos rectángulos requiere la igualdad de solo dos elementos: dos lados, o un lado y un ángulo agudo.

Signos de similitud de triángulos:

1 ... Si los dos lados de un triángulo son proporcionales a los dos lados del otro triángulo, y los ángulos entre estos lados son iguales, entonces estos triángulos son similares.

2 ... Si tres lados de un triángulo son proporcionales a tres lados de otro triángulo, entonces estos triángulos son similares.

3 ... Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces estos triángulos son similares.

Importante: en triángulos semejantes, lados semejantes se encuentran opuestos a ángulos iguales.

Teorema de menelao

Supongamos que una línea recta interseca un triángulo, y - el punto de su intersección con el lado, - el punto de su intersección con el lado, y - el punto de su intersección con la extensión del lado. Entonces

Triangulos.

Conceptos básicos.

Triángulo es una figura que consta de tres segmentos de línea y tres puntos que no se encuentran en una línea recta.

Los segmentos se llaman fiestas, y puntos - picos.

Suma de ángulos un triángulo es igual a 180º.

La altura del triángulo.

Altura del triangulo es una perpendicular trazada desde la parte superior hasta el lado opuesto.

En un triángulo de ángulo agudo, la altura está contenida dentro del triángulo (Fig. 1).

En un triángulo rectángulo, los catetos son las alturas del triángulo (Fig. 2).

En un triángulo obtuso, la altura está fuera del triángulo (Figura 3).

Propiedades de la altura del triángulo:

La bisectriz de un triángulo.

Bisectriz de un triángulo es un segmento de línea que divide la esquina del vértice por la mitad y conecta el vértice con un punto en el lado opuesto (Fig. 5).

Propiedades de la bisectriz:

Mediana del triángulo.

Mediana de un triángulo es un segmento de línea que conecta el vértice con la mitad del lado opuesto (Fig. 9a).

La longitud de la mediana se puede calcular mediante la fórmula:

2B 2 + 2C 2 - a 2
soy un 2 = ——————
4

donde soy un es la mediana dibujada hacia un lado a.

En un triángulo rectángulo, la mediana de la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa:

C
m c = —
2

donde m c- la mediana extraída de la hipotenusa C(Figura 9c)

Las medianas de un triángulo se cruzan en un punto (en el centro de masa del triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice. Es decir, el segmento del vértice al centro es dos veces más grande que el segmento del centro al lado del triángulo (Figura 9c).

Tres medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos iguales.

La línea media del triángulo.

Línea media de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de sus dos lados (Fig. 10).

La línea media del triángulo es paralela al tercer lado y es igual a la mitad.

La esquina exterior del triángulo.

Esquina exterior triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes (Fig. 11).

La esquina exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo no adyacente.

Triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto (fig. 12).

El lado de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo recto se llama hipotenusa.

Las otras dos partes se llaman piernas.

Segmentos de recta proporcionales en un triángulo rectángulo.

1) En un triángulo rectángulo, la altura dibujada desde un ángulo recto forma tres triángulos similares: ABC, ACH y HCB (fig. 14a). En consecuencia, los ángulos formados por la altura son iguales a los ángulos A y B.

Figura 14a

Triángulo isósceles.

Triángulo isósceles es un triángulo con dos lados iguales (Fig. 13).

Estos lados iguales se llaman lados laterales y el tercero es base triángulo.

En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales. (En nuestro triángulo, el ángulo A es igual al ángulo C).

En un triángulo isósceles, la mediana dibujada en la base es tanto la bisectriz como la altura del triángulo.

Triángulo equilátero.

Un triángulo equilátero es un triángulo en el que todos los lados son iguales (Fig. 14).

Propiedades del triángulo equilátero:

Maravillosas propiedades de los triángulos.

Los triángulos tienen propiedades originales que te ayudarán a resolver con éxito problemas con estas formas. Algunas de estas propiedades se describen arriba. Pero los repetimos una vez más y les agregamos algunas otras características excelentes:

1) En un triángulo rectángulo con ángulos de 90º, 30º y 60º catetos B, que se encuentra frente a un ángulo de 30º, es igual a la mitad de la hipotenusa. Y la piernaa más piernaB√3 veces (Fig.15 a). Por ejemplo, si el cateto b es 5, entonces la hipotenusa C necesariamente igual a 10, y la pierna a es igual a 5√3.

2) En un triángulo isósceles rectángulo con ángulos de 90º, 45º y 45º, la hipotenusa es √2 veces el cateto (Fig. 15 B). Por ejemplo, si los catetos son 5, entonces la hipotenusa es 5√2.

3) La línea media del triángulo es igual a la mitad del lado paralelo (Fig.15 Con). Por ejemplo, si el lado de un triángulo es 10, entonces la línea media paralela es 5.

4) En un triángulo rectángulo, la mediana dibujada en la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa (Figura 9c): m c= s / 2.

5) Las medianas de un triángulo, que se cruzan en un punto, se dividen por este punto en una proporción de 2: 1. Es decir, el segmento desde el vértice hasta el punto de intersección de las medianas es dos veces más grande que el segmento desde el punto de intersección de las medianas hasta el lado del triángulo (Figura 9c)

6) En un triángulo rectángulo, la mitad de la hipotenusa es el centro del círculo circunscrito (Fig.15 D).

Pruebas de igualdad para triángulos.

El primer signo de igualdad: si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales.

El segundo signo de igualdad: si el lado y los ángulos adyacentes a él de un triángulo son iguales al lado y los ángulos adyacentes a él del otro triángulo, entonces dichos triángulos son iguales.

El tercer signo de igualdad: si tres lados de un triángulo son iguales a tres lados de otro triángulo, entonces esos triángulos son iguales.

Desigualdad triangular.

En cualquier triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.

Teorema de pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

C 2 = a 2 + B 2 .

Área de un triángulo.

1) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su lado por la altura dibujada en este lado:

ah
S = ——
2

2) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo entre ellos:

1
S = — AB C.A. · pecado A
2

Un triángulo circunscrito alrededor de un círculo.

Un círculo se llama inscrito en un triángulo si toca todos sus lados (Fig.16 a).

Un triángulo inscrito en un círculo.

Un triángulo se llama inscrito en un círculo si lo toca con todos sus vértices (Fig.17 a).

Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo (Fig. 18).

Senoángulo agudo X oponiéndose pierna a la hipotenusa.
Se denota así: pecadoX.

Cosenoángulo agudo X triángulo rectángulo es la razón adyacente pierna a la hipotenusa.
Se denota así: cos X.

Tangenteángulo agudo X es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Se denota así: tgX.

Cotangenteángulo agudo X- Esta es la relación entre la pierna adyacente y la opuesta.
Se denota así: ctgX.

Reglas:

Pierna opuesta a la esquina X, es igual al producto de la hipotenusa y el pecado X:

b = c Pecado X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto de la hipotenusa y cos X:

a = c Porque X

Pierna opuesta a la esquina X, es igual al producto del segundo tramo y tg X:

b = a Tg X

Pierna adyacente a la esquina X, es igual al producto del segundo tramo y ctg X:

a = b Ctg X.

Para cualquier ángulo agudo X:

pecado (90 ° - X) = cos X

cos (90 ° - X) = pecado X

Triángulo) o pase fuera del triángulo en un triángulo obtuso.

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✪ ALTURA DEL BISECTRICIO MEDIANO de un triángulo, grado 7

✪ bisectriz, mediana, altura del triángulo. Grado de geometría 7

✪ Grado 7, Lección 17, Medianas, bisectrices y alturas del triángulo

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✪ ¿Cómo encontrar la longitud de la bisectriz, la mediana y las alturas? | Botai conmigo # 031 | Boris Trushin

Subtítulos

Propiedades del punto de intersección de las tres alturas del triángulo (ortocentro)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(Para probar la identidad, se deben usar las fórmulas

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (CE)))

Para el punto E, debes tomar la intersección de las dos alturas del triángulo).

Ortocentro conjugar isogonalmente al centro círculo circunscrito .
Ortocentro se encuentra en una línea recta con el centroide, centro círculo circunscrito y el centro de un círculo de nueve puntos (ver la línea de Euler).
Ortocentro un triángulo de ángulo agudo es el centro de un círculo inscrito en su ortotriángulo.
El centro de un triángulo circunscrito por el ortocentro con vértices en los puntos medios de los lados de este triángulo. El último triángulo se llama triángulo complementario en relación con el primer triángulo.
La última propiedad se puede formular de la siguiente manera: el centro de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo sirve ortocentro triángulo adicional.
Puntos simétricos ortocentro de un triángulo con respecto a sus lados, se encuentran en el círculo circunscrito.
Puntos simétricos ortocentro de un triángulo con respecto a los puntos medios de los lados, también se encuentran en la circunferencia y coinciden con puntos diametralmente opuestos a los vértices correspondientes.
Si O es el centro del círculo circunscrito ΔABC, entonces O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
La distancia desde el vértice del triángulo hasta el ortocentro es el doble de la distancia desde el centro del círculo circunscrito al lado opuesto.
Cualquier segmento extraído de ortocentro antes de cruzar la circunferencia, siempre se divide a la mitad por el círculo de Euler. Ortocentro es el centro de la homotecia de estos dos círculos.
Teorema de Hamilton... Tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo de ángulo agudo lo dividen en tres triángulos que tienen el mismo círculo de Euler (un círculo de nueve puntos) que el triángulo de ángulo agudo original.
Consecuencias del teorema de Hamilton:
- Tres segmentos de recta que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo de ángulo agudo lo dividen en tres Triángulo de Hamilton tener radios iguales de los círculos circunscritos.
- Los radios de los círculos circunscritos de tres Triángulos de Hamilton son iguales al radio del círculo circunscrito al triángulo agudo original.
En un triángulo de ángulo agudo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo; en obtuso — fuera del triángulo; en uno rectangular, en el vértice de un ángulo recto.

Propiedades de elevación del triángulo isósceles

Si dos alturas en un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles (teorema de Steiner-Lemus), y la tercera altura es simultáneamente la mediana y la bisectriz del ángulo del que sale.
Lo contrario también es cierto: en un triángulo isósceles, dos alturas son iguales y la tercera altura es tanto la mediana como la bisectriz.
En un triángulo equilátero, las tres alturas son iguales.

Propiedades de elevación base de un triángulo

Cimientos las alturas forman el llamado ortotriángulo, que tiene sus propias propiedades.
El círculo circunscrito al ortotriángulo es el círculo de Euler. Este círculo también contiene tres puntos medios de los lados del triángulo y tres puntos medios de tres segmentos que conectan el ortocentro con los vértices del triángulo.
Otra formulación de la última propiedad:
- Teorema de Euler para un círculo de nueve puntos. Cimientos Tres alturas un triángulo arbitrario, el medio de sus tres lados ( fundamentos de su interior medianas) y los puntos medios de tres segmentos que conectan sus vértices con el ortocentro, todos se encuentran en el mismo círculo (en círculo de nueve puntos).
Teorema... En cualquier triángulo, un segmento que conecta cimientos dos alturas triángulo, corta un triángulo como éste.
Teorema... En un triángulo, un segmento que conecta cimientos dos alturas triángulos a dos lados, antiparalelo un tercero con el que no tiene puntos en común. Por sus dos extremos, así como por dos vértices del tercer lado mencionado, siempre se puede dibujar un círculo.

Otras propiedades de elevación de triángulos

Si el triangulo versátil (escaleno), Entonces es interno la bisectriz extraída de cualquier vértice se encuentra entre interno mediana y altura extraídas del mismo pico.
La altura del triángulo se conjuga isogonalmente con el diámetro (radio) círculo circunscrito extraído del mismo vértice.
En un triángulo de ángulo agudo, sus dos alturas córtale esos triángulos.
En un triangulo rectángulo altura dibujado desde el vértice de un ángulo recto lo divide en dos triángulos similares al original.

Propiedades de las alturas mínimas de los triángulos

La más pequeña de las alturas de los triángulos tiene muchas propiedades extremas. Por ejemplo:

La proyección ortogonal mínima de un triángulo sobre líneas rectas que se encuentran en el plano del triángulo tiene una longitud igual a la más pequeña de sus alturas.
La sección recta mínima en el plano a través del cual se puede tirar de una placa triangular inflexible debe tener una longitud igual a la menor de las alturas de esta placa.
Con el movimiento continuo de dos puntos a lo largo del perímetro del triángulo uno hacia el otro, la distancia máxima entre ellos durante el movimiento desde el primer encuentro al segundo no puede ser menor que la longitud de la más pequeña de las alturas del triángulo.
La altura mínima en un triángulo siempre se encuentra dentro de ese triángulo.

Relaciones basicas

h a = segundo ⋅ sin ⁡ γ = do ⋅ sin ⁡ β, (\ Displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h una = 2 ⋅ S una, (\ Displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) donde S (\ Displaystyle S)- área de un triángulo, a (\ Displaystyle a)- la longitud del lado del triángulo, al que se baja la altura.
h una = segundo ⋅ do 2 ⋅ R, (\ Displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) donde segundo ⋅ c (\ Displaystyle b (\ cdot) c)- el producto de los lados, R - (\ Displaystyle R-) radio del círculo circunscrito
h a: h segundo: h c = 1 a: 1 segundo: 1 c = (segundo ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ segundo). (\ Displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), donde r (\ Displaystyle r) es el radio del círculo inscrito.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), donde S (\ Displaystyle S)- área de un triángulo.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ estilo de visualización a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), a (\ Displaystyle a)- el lado del triángulo al que cae la altura h a (\ Displaystyle h_ (a)).
Altura de un triángulo isósceles, rebajado hasta la base: hc = 1 2 ⋅ 4 una 2 - do 2, (\ Displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ),)

donde c (\ Displaystyle c)- base, a (\ Displaystyle a)- lado.

Teorema de la altura para un triángulo rectángulo

Si la altura en un triángulo rectángulo es ABC con una longitud h (\ Displaystyle h) dibujado desde el vértice del ángulo recto divide la hipotenusa con la longitud c (\ Displaystyle c) para segmentos m (\ Displaystyle m) y n (\ Displaystyle n) correspondiente a las piernas b (\ Displaystyle b) y a (\ Displaystyle a), entonces las siguientes igualdades son verdaderas.