ความสูงทั้งหมดของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดสองจุด องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc ปัญหาการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นเพื่อให้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ได้สำเร็จด้วยคะแนน 60-65 งานทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เสร็จสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือคะแนนสอบมากกว่า 70 คะแนน และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักเรียนด้านมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้โดยปราศจากพวกเขา

ทฤษฎีทั้งหมดที่คุณต้องการ วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว ถอดประกอบงานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากธนาคารงานของ FIPI หลักสูตรตรงตามข้อกำหนดของการสอบปี 2018 อย่างครบถ้วน

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและตรงไปตรงมา

ข้อสอบนับร้อย ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและจำง่ายสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์การมอบหมาย USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่เป็นประโยชน์ พัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติจากศูนย์สู่ปัญหาที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ดีกรี และลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในส่วนที่ 2 ของการสอบ

เมื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิต การปฏิบัติตามอัลกอริธึมนี้จะเป็นประโยชน์ เมื่ออ่านคำชี้แจงปัญหาคุณต้อง

• วาดรูป. การวาดภาพควรสอดคล้องกับสภาพของปัญหาให้มากที่สุด ดังนั้นงานหลักคือการช่วยหาทางแก้ไข
• นำข้อมูลทั้งหมดจากคำชี้แจงปัญหาไปใช้กับรูปวาด
• เขียนแนวคิดทางเรขาคณิตทั้งหมดที่เกิดขึ้นในปัญหา
• จำทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้
• วาดความสัมพันธ์ทั้งหมดระหว่างองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิตที่ตามมาจากทฤษฎีบทเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น หากคำว่า bisector ของมุมของรูปสามเหลี่ยมเกิดขึ้นในปัญหา คุณต้องจำคำจำกัดความและคุณสมบัติของ bisector และกำหนดเซ็กเมนต์และมุมที่เท่ากันหรือเป็นสัดส่วนในรูปวาด

ในบทความนี้ คุณจะพบกับคุณสมบัติพื้นฐานของสามเหลี่ยมที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ปัญหาได้สำเร็จ

สามเหลี่ยม.

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

1. ,

นี่คือด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม คือความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้

2. ,

และนี่คือด้านใดๆ ของสามเหลี่ยม คือมุมระหว่างด้านเหล่านี้:

3. สูตรของนกกระสา:

นี่คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม คือ กึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยม

4. ,

นี่คือกึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

อนุญาต เป็นความยาวของส่วนของแทนเจนต์

จากนั้นสูตรของนกกระสาสามารถเขียนได้ดังนี้:

5.

6. ,

นี่ - ความยาวของด้านของสามเหลี่ยม - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

หากด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมใช้จุดที่หารด้านนี้ในอัตราส่วน m: n แล้วส่วนที่เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดยอดของมุมตรงข้ามจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ที่เกี่ยวข้องกันเป็น m : น:

อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างยอดของสามเหลี่ยมกับกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งและหารด้วยจุดตัดในอัตราส่วน 2: 1 นับจากจุดยอด

จุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมปกติแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่านั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และส่วนที่ใหญ่กว่านั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้เป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้: R = 2r

ความยาวมัธยฐานสามเหลี่ยมโดยพลการ

,

ที่นี่ - ค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง - ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เชื่อมจุดยอดของมุมนี้กับด้านตรงข้าม

แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแบ่งด้านออกเป็นส่วนๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน:

แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ทุกจุดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมจะเท่ากันจากด้านข้างของมุม

สามเหลี่ยมสูง

นี่คือส่วนของเส้นตั้งฉากที่ปล่อยจากปลายสุดของสามเหลี่ยมไปด้านตรงข้าม หรือต่อเนื่องกัน ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ความสูงที่ดึงจากปลายมุมแหลมจะอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่งเรียกว่า orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม

การหาความสูงของสามเหลี่ยมลากไปทางด้านข้างคุณต้องหาพื้นที่ด้วยวิธีที่มีอยู่แล้วใช้สูตร:

ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม, อยู่ที่จุดตัดของฉากตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม สามารถพบได้ตามสูตรต่อไปนี้:

นี่คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

,

โดยที่ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมคือมุมตรงข้าม (สูตรนี้ตามมาจากทฤษฎีบทไซน์)

อสมการสามเหลี่ยม

แต่ละด้านของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมและมากกว่าผลต่างของอีกสองด้าน

ผลรวมของความยาวของสองด้านใด ๆ มากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ:

ตรงข้ามด้านที่ใหญ่กว่าคือมุมที่ใหญ่กว่า ตรงข้ามมุมที่ใหญ่กว่าอยู่ด้านที่ใหญ่กว่า:

ถ้าอย่างนั้นในทางกลับกัน

ทฤษฎีบทไซน์:

ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:

ทฤษฎีบทโคไซน์:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือโดยไม่มีผลคูณของด้านเหล่านี้สองเท่าโดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

สามเหลี่ยมมุมฉาก

- เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมหนึ่งของมุม 90 °

มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากรวมกันได้ 90 °

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศา ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ใหญ่ที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากคือ

,

นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ - ขา - ด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก อยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก, เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

การหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของสามเหลี่ยมมุมฉากดู

อัตราส่วนขององค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

กำลังสองของความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก เท่ากับผลคูณของส่วนยื่นของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ตารางของขาเท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและการฉายภาพของขาไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ขานอนตรงข้ามมุม เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและความสูง

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน

มุมเอเพ็กซ์.

และ - ด้านข้าง

และ - มุมที่ฐาน

ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐาน

ความสนใจ!ส่วนสูง เส้นแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้างไม่ตรงกัน

สามเหลี่ยมปกติ

(หรือ สามเหลี่ยมด้านเท่า ) เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ไหน

ศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมปกติประจวบกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมปกติและอยู่ที่จุดตัดของค่ามัธยฐาน

จุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมปกติแบ่งค่ามัธยฐานออกเป็นสองส่วน โดยส่วนที่เล็กกว่านั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และส่วนที่ใหญ่กว่านั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

หากมุมหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับ 60 ° แสดงว่าสามเหลี่ยมนี้ปกติ

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

นี่คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของทั้งสองข้าง

ในรูป DE คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABC

เส้นกลางของสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง: DE || AC, AC = 2DE

มุมด้านนอกของสามเหลี่ยม

นี่คือมุมที่อยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกของสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่อยู่ประชิดกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมภายนอก:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 ... ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันทั้งสองข้างตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของอีกรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมนั้นก็จะเท่ากัน

2 ... หากด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านและมุมที่อยู่ติดกันสองมุมของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

3 ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

สำคัญ:เนื่องจากมุมสองมุมในสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเท่ากันอย่างแน่นอน ดังนั้นสำหรับ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปต้องการความเท่าเทียมกันเพียงสององค์ประกอบ: สองด้านหรือด้านและมุมแหลม

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

1 ... หากสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสัดส่วนกับสองด้านของอีกรูปหนึ่ง และมุมระหว่างด้านเหล่านี้เท่ากัน สามเหลี่ยมเหล่านี้จะคล้ายกัน

2 ... ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมเหล่านี้ก็จะคล้ายกัน

3 ... หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองมุมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง สามเหลี่ยมเหล่านี้ก็จะคล้ายกัน

สำคัญ:ในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านที่คล้ายคลึงกันจะอยู่ตรงข้ามมุมเท่ากัน

ทฤษฎีบทของเมเนลอส

ให้เส้นตรงตัดกับสามเหลี่ยม และ - จุดตัดกับด้าน - จุดตัดกับด้านข้าง และ - จุดตัดกับส่วนต่อขยายของด้านข้าง แล้ว

สามเหลี่ยม.

แนวคิดพื้นฐาน.

สามเหลี่ยมคือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามส่วนและจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

ส่วนที่เรียกว่า ปาร์ตี้และคะแนน - ยอด.

ผลรวมของมุมสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากับ 180 º

ความสูงของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมสูงเป็นเส้นตั้งฉากจากด้านบนไปด้านตรงข้าม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ความสูงจะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 1)

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาคือความสูงของสามเหลี่ยม (รูปที่ 2)

ในรูปสามเหลี่ยมป้าน ความสูงอยู่นอกสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

คุณสมบัติความสูงของสามเหลี่ยม:

ตัวแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม

แบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่แบ่งมุมของจุดยอดเป็นครึ่งหนึ่งและเชื่อมจุดยอดกับจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม (รูปที่ 5)

คุณสมบัติ Bisector:

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (รูปที่ 9a)

ความยาวของค่ามัธยฐานสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: 2ข 2 + 2ค 2 - เอ 2 ม 2 = —————— 4 ที่ไหน มคือค่ามัธยฐานที่ลากไปด้านข้าง เอ. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก: ค m c = — 2 ที่ไหน m c- ค่ามัธยฐานถูกลากไปที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ค(รูปที่ 9c) ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง (ที่จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม) และหารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 นับจากจุดยอด นั่นคือ ส่วนจากจุดยอดถึงกึ่งกลางมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของส่วนจากจุดศูนย์กลางไปด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 9c) ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมสามตัวแบ่งเป็นสามเหลี่ยมขนาดเท่าๆ กันหกรูป

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

เส้นกลางของสามเหลี่ยมเป็นส่วนเชื่อมจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้าน (รูปที่ 10)

เส้นกลางของสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่ง

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม

มุมด้านนอกสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมภายในที่ไม่ติดกันสองมุม (รูปที่ 11)

มุมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมที่ไม่อยู่ติดกันใดๆ

สามเหลี่ยมมุมฉาก.

สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 12)

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้ามมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก.

อีกสองฝ่ายเรียกว่า ขา.

ส่วนของเส้นสัดส่วนในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

1) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงที่ลากจากมุมฉากจะสร้างสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป: ABC, ACH และ HCB (รูปที่ 14a) ดังนั้น มุมที่เกิดจากความสูงจึงเท่ากับมุม A และ B

รูปที่ 14a

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีสองด้านเท่ากัน (รูปที่ 13)

เรียกว่าด้านเท่ากันนี้ ด้านข้างและอันที่สามคือ พื้นฐานสามเหลี่ยม.

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน (ในรูปสามเหลี่ยมของเรา มุม A เท่ากับมุม C)

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ค่ามัธยฐานที่ลากไปที่ฐานจะเป็นทั้งเส้นแบ่งครึ่งและความสูงของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านเท่ากัน (รูปที่ 14)

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า:

คุณสมบัติมหัศจรรย์ของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมมีคุณสมบัติดั้งเดิมที่จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปร่างเหล่านี้ได้สำเร็จ คุณสมบัติเหล่านี้บางส่วนได้ระบุไว้ข้างต้น แต่เราพูดซ้ำอีกครั้ง โดยเพิ่มคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมอื่นๆ ให้กับพวกเขา:

1) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 90º, 30º และ 60º ขา ขซึ่งอยู่ตรงข้ามมุม 30º เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก และขาเอ ขามากขึ้นข√3 ครั้ง (รูปที่ 15 เอ). ตัวอย่างเช่น ถ้าขา b เป็น 5 แล้วด้านตรงข้ามมุมฉาก คจำเป็นต้องเท่ากับ 10 และขา เอเท่ากับ 5√3 2) ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากที่มีมุม90º, 45º และ 45º ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ √2 คูณขา (รูปที่ 15) ข). ตัวอย่างเช่น หากขาเป็น 5 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 5√2 3) เส้นกลางของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านขนาน (รูปที่ 15 กับ). ตัวอย่างเช่น หากด้านของสามเหลี่ยมคือ 10 เส้นกึ่งกลางคู่ขนานคือ 5 4) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 9c): m c= s / 2. 5) ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ตัดกันที่จุดหนึ่ง หารด้วยจุดนี้ในอัตราส่วน 2: 1 นั่นคือ ส่วนจากจุดยอดถึงจุดตัดของค่ามัธยฐานนั้นใหญ่เป็นสองเท่าของส่วนที่จากจุดตัดของค่ามัธยฐานไปยังด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 9c) 6) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากคือศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ (รูปที่ 15) d).

การทดสอบความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม.

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกัน: หากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านและมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

สัญญาณที่สองของความเท่าเทียมกัน: หากด้านและมุมที่อยู่ประชิดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านและมุมที่อยู่ประชิดกับสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกัน: หากด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่ง สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน

ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ แต่ละด้านจะน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

ค 2 = เอ 2 + ข 2 .

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

1) พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของด้านนั้นโดยความสูงที่ลากมาทางด้านนี้:

อา
ส = ——
2

2) พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านใด ๆ โดยไซน์ของมุมระหว่างพวกเขา:

1
ส = — AB AC · บาป อา
2

สามเหลี่ยมล้อมรอบเป็นวงกลม

วงกลมเรียกว่าจารึกในรูปสามเหลี่ยมหากมันสัมผัสทุกด้านของมัน (รูปที่ 16 เอ).

สามเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม

สามเหลี่ยมจะเรียกว่าจารึกในวงกลมถ้ามันสัมผัสกับจุดยอดทั้งหมดของมัน (รูปที่ 17 เอ).

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 18)

ไซนัสมุมแหลม x ฝ่ายตรงข้ามขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก
มีความหมายดังนี้ บาปx.

โคไซน์มุมแหลม xสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วน ที่อยู่ติดกันขาถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก
มันเขียนแทนดังนี้: cos x.

แทนเจนต์มุมแหลม xคือ อัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาข้างเคียง
มันเขียนแทนดังนี้: tgx.

โคแทนเจนต์มุมแหลม x- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันกับขาตรงข้าม
มันเขียนแทนดังนี้: ctgx.

กฎ:

ขาตรงข้ามกับมุม x, เท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและบาป x:

ข = คบาป x

ขาติดกับมุม x, เท่ากับผลคูณของด้านตรงข้ามมุมฉากและ cos x:

ก = คคอส x

ขาตรงข้ามกับมุม xเท่ากับผลคูณของเลกที่สองและ tg x:

ข = เป็ Tg x

ขาติดกับมุม xเท่ากับผลคูณของขาที่สองและ ctg x:

ก = ข Ctg x.

สำหรับมุมที่คมชัด x:

บาป (90 ° - x) = cos x

คอส (90 ° - x) = บาป x

สามเหลี่ยม) หรือผ่านนอกรูปสามเหลี่ยมที่สามเหลี่ยมป้าน

วิทยาลัย YouTube

1 / 5

✪ ความสูงของ BISECTRICIAN มัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม เกรด 7

✪ แบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน ความสูงสามเหลี่ยม เรขาคณิต เกรด 7

✪ ป.7 บทเรียนที่ 17 ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของสามเหลี่ยม

✪ มัธยฐาน, แบ่งครึ่ง, ความสูงสามเหลี่ยม | เรขาคณิต

✪ จะหาความยาวของเส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน และส่วนสูงได้อย่างไร | โบตั๋นกับฉัน #031 | Boris Trushin

คำบรรยาย

คุณสมบัติของจุดตัดของความสูงทั้งสามของสามเหลี่ยม (ออร์โธเซ็นเตอร์)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(เพื่อพิสูจน์ตัวตนควรใช้สูตร

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (อีซี)))

สำหรับจุด E คุณควรใช้จุดตัดของความสูงทั้งสองของสามเหลี่ยม)

• Orthocenterคอนจูเกตแบบ isogonally กับศูนย์ วงกลมล้อมรอบ .
• Orthocenterอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกับเซนทรอยด์ ศูนย์กลาง วงกลมล้อมรอบและจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (ดูเส้นออยเลอร์)
• Orthocenterสามเหลี่ยมมุมแหลมเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกอยู่ในมุมฉาก
• จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมที่ล้อมรอบด้วย orthocenter โดยมีจุดยอดที่จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมนี้ สามเหลี่ยมสุดท้ายเรียกว่าสามเหลี่ยมประกอบสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมแรก
• สมบัติสุดท้ายสามารถกำหนดได้ดังนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมทำหน้าที่ orthocenterสามเหลี่ยมเพิ่มเติม
• คะแนนสมมาตร orthocenterของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับด้านข้าง นอนบนวงกลมที่ล้อมรอบ
• คะแนนสมมาตร orthocenterของรูปสามเหลี่ยมเทียบกับจุดกึ่งกลางของด้านข้าง ยังอยู่บนวงกลมและตรงกับจุดที่ตรงข้ามกับจุดยอดที่สอดคล้องกันในแนวทแยง
• ถ้า O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ΔABC แล้ว O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
• ระยะห่างจากปลายยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมรอบวงไปยังด้านตรงข้ามเป็นสองเท่า
• ส่วนใด ๆ ที่ดึงมาจาก orthocenterก่อนข้ามเส้นรอบวง วงกลมของออยเลอร์จะลดลงครึ่งหนึ่งเสมอ Orthocenterเป็นจุดศูนย์กลางของเอกภาพของวงกลมสองวงนี้
• ทฤษฎีบทของแฮมิลตัน... ส่วนของเส้นตรงสามส่วนเชื่อมต่อออร์โธเซ็นเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมแหลม แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูปที่มีวงกลมออยเลอร์เดียวกัน (วงกลมเก้าจุด) เหมือนกับสามเหลี่ยมมุมแหลมดั้งเดิม
• ผลของทฤษฎีบทของแฮมิลตัน:
  • ส่วนของเส้นตรงสามส่วนเชื่อมต่อออร์โธเซ็นเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมแหลม แบ่งออกเป็นสาม สามเหลี่ยมของแฮมิลตันมีรัศมีเท่ากันของวงกลมที่ล้อมรอบ
  • รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสาม สามเหลี่ยมของแฮมิลตันเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมแหลมเดิม
• ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม orthocenter จะอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม ในป้าน - นอกรูปสามเหลี่ยม ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า - ที่จุดสูงสุดของมุมฉาก

คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

• หากความสูงสองค่าในสามเหลี่ยมเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นก็คือหน้าจั่ว (ทฤษฎีบท Steiner - Lemus) และความสูงที่สามจะเป็นค่ามัธยฐานและครึ่งแบ่งครึ่งของมุมที่มันออกมาพร้อมกัน
• การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ความสูงสองส่วนเท่ากัน และความสูงที่สามเป็นทั้งค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่ง
• ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ความสูงทั้งสามเท่ากัน

คุณสมบัติระดับความสูงฐานของรูปสามเหลี่ยม

• ฐานรากความสูงสร้างสิ่งที่เรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีคุณสมบัติเป็นของตัวเอง
• วงกลมที่ล้อมรอบออร์โธสามเหลี่ยมคือวงกลมของออยเลอร์ วงกลมนี้ยังประกอบด้วยจุดกึ่งกลางสามจุดของด้านข้างของสามเหลี่ยมและจุดกึ่งกลางสามจุดของสามส่วนที่เชื่อมระหว่างศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์กับจุดยอดของสามเหลี่ยม
• สูตรอื่นของคุณสมบัติสุดท้าย:
  • ทฤษฎีบทออยเลอร์สำหรับวงกลมเก้าจุด. ฐานรากสาม ความสูงสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ ตรงกลางของทั้งสามด้าน ( รากฐานภายในของมันค่ามัธยฐาน) และจุดกึ่งกลางของสามส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับศูนย์กลางออร์โธเซ็นเตอร์ ทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกัน (บน วงกลมเก้าแต้ม).
• ทฤษฎีบท... ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ส่วนเชื่อมต่อ ฐานรากสอง ความสูงสามเหลี่ยม, ตัดสามเหลี่ยมแบบนี้.
• ทฤษฎีบท... ในรูปสามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อ ฐานรากสอง ความสูงสามเหลี่ยมนอนสองข้าง ขนานกันบุคคลที่สามซึ่งไม่มีจุดร่วม คุณสามารถวาดวงกลมผ่านจุดยอดทั้งสองของด้านที่สามและจุดยอดสองจุดของด้านที่สามที่กล่าวถึงได้

คุณสมบัติระดับความสูงอื่น ๆ ของรูปสามเหลี่ยม

• ถ้ารูปสามเหลี่ยม อเนกประสงค์ (สเกลเน่) แล้วก็ ภายในเส้นแบ่งครึ่งที่ดึงมาจากจุดยอดใดๆ อยู่ระหว่าง ภายในค่ามัธยฐานและความสูงจากยอดเดียวกัน
• ความสูงของสามเหลี่ยมจะคอนจูเกตแบบไอโซกอนกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (รัศมี) วงกลมล้อมรอบดึงมาจากจุดยอดเดียวกัน
• ในรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มีค่าสอง ความสูงตัดสามเหลี่ยมดังกล่าวออกจากมัน
• ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงดึงจากจุดยอดของมุมฉากแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกับอันเดิม

คุณสมบัติของความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยม

ความสูงของสามเหลี่ยมที่เล็กที่สุดมีคุณสมบัติสุดขั้วมากมาย ตัวอย่างเช่น:

• การฉายภาพมุมฉากต่ำสุดของรูปสามเหลี่ยมบนเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบของรูปสามเหลี่ยมนั้นมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุด
• ส่วนตรงขั้นต่ำในระนาบที่สามารถดึงแผ่นสามเหลี่ยมที่ไม่โค้งงอได้จะต้องมีความยาวเท่ากับความสูงที่เล็กที่สุดของจานนี้
• ด้วยการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องของจุดสองจุดตามแนวเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยมเข้าหากัน ระยะห่างสูงสุดระหว่างจุดทั้งสองระหว่างการเคลื่อนที่จากการพบกันครั้งแรกไปยังจุดที่สองต้องไม่น้อยกว่าความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมที่เล็กที่สุด
• ความสูงต่ำสุดของสามเหลี่ยมอยู่ภายในสามเหลี่ยมนั้นเสมอ

ความสัมพันธ์พื้นฐาน

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
• h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),)ที่ไหน S (\ displaystyle S)- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (\ displaystyle a)- ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมซึ่งความสูงจะลดลง
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),)ที่ไหน b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- ผลิตภัณฑ์ด้านข้าง R - (\ displaystyle R-)รัศมีของวงกลมล้อมรอบ
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ displaystyle h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
• 1 ฮ่า + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), ที่ไหน r (\ displaystyle r)คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
• S = 1 (1 ฮ่า + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ฮ่า + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ฮ่า + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a)))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), ที่ไหน S (\ displaystyle S)- พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
• a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1 ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (ก))))))))), (\ displaystyle a)- ด้านของสามเหลี่ยมที่ความสูงตกลงมา h a (\ displaystyle h_ (a)).
• ความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ลดลงถึงฐาน: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ))

ที่ไหน ค (\ displaystyle ค)- ฐาน, (\ displaystyle a)- ด้านข้าง.

ทฤษฎีบทความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าความสูงในสามเหลี่ยมมุมฉากคือ ABC ที่มีความยาว ชั่วโมง (\ displaystyle h)ดึงจากจุดยอดของมุมฉากหารด้านตรงข้ามมุมฉากด้วยความยาว ค (\ displaystyle ค)สำหรับกลุ่ม ม. (\ displaystyle ม.)และ n (\ displaystyle n)สอดคล้องกับขา b (\ displaystyle b)และ (\ displaystyle a)ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง