Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti formos plotą. Rasti kreivinės trapecijos plotą

Krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui

Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje sakiau, kad tam tikras integrumas yra numeris. Ir dabar atėjo laikas nurodyti kitą naudingą faktą. Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis.

T.y, konkretus neatsiejamas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kai kurių paveikslų plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų neatsiejamą. "Integrand" funkcija nustato kai kuriuos plokštumos kreivę (jis visada gali būti sudarytas, jei pageidaujama), o tam tikras neatsiejamas pats vientisas yra lygus atitinkamo kreivinės trapecijos ploto.

1 pavyzdys.

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo taškas - brėžinio kūrimas. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Čia taip pat galite rasti labai naudingą medžiagą, susijusią su mūsų pamoka medžiaga - kaip greitai sukurti parabolą.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti taip.
Atlikite brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis nustato ašį):

Aš nežudysiu kreivilinijos trapecijos, tai yra akivaizdu čia apie tai, kuri teritorija yra kalba. Sprendimas tebėra toks:

Segmento grafiko funkcija yra virš ašies, taip:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų skaičiuojant tam tikrą neatskiriamą ir Niuton-Leibnia formulės naudojimą , kreipkitės į paskaitą Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Užbaigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į brėžinį ir įvertinimą, tai yra tikras. Šiuo atveju "ant akių" skaičiuojame ląstelių skaičių brėžinyje - gerai, maždaug 9 bus skrendama, atrodo tiesa. Labai aišku, kad jei mes turėjome, tarkim, atsakykite: 20 kvadratinių vienetų, akivaizdu, kad kažkur padaryta klaida - 20 ląstelių paveiksle, jis yra aiškiai neįrengtas nuo tuzino stiprumo. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, užduotis taip pat nuspręsta neteisingai.

2 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir ašį

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi?

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir koordinatės ašis sritį.

Sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei kreivai trapecija visiškai įsikūręs po ašimi, tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

DĖMESIO! Negalima supainioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plokščios figūros sritį, ribotas linijas.

Sprendimas: Pirmiausia reikia atkreipti piešinį. Apskritai kalbant, kuriant užduotis užduotis, mes esame labiausiai domisi linijų sankirtos taškais. Rasti Parabolos ir tiesioginės sankirtos taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Tokiu būdu yra geresnis, jei įmanoma, nenaudokite.

Tai yra daug pelningesnis ir greičiau statyti linijos linijas, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Įvairių grafikų nutraukimo technika yra išsamiai vertinama pagalba Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės. Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Ir toks pavyzdys, mes taip pat apsvarstyti.

Grįžtame prie mūsų užduoties: racionalesnis pirmasis statyti tiesią liniją ir tik tada parabola. Atlikite brėžinį:

Kartoju, kad dabartinėje konstrukcijoje integracijos ribos dažniausiai pasitaiko "automatiniu".

Ir dabar darbo formulė: Jei ant segmento yra nuolatinė funkcija daugiau arba lygus Kai kurios nuolatinės funkcijos, atitinkamo figūros plotas gali būti nustatytas pagal formulę:

Čia nebereikia manyti, kur yra figūra - per ašį arba po ašimi, ir, apytiksliai kalbant, sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad dėl parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl būtina atimti

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola iš viršaus ir tiesioginio dugno.
Pagal segmentą pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos ploto apatinėje pusėje plokštumoje (žr. Paprastą pavyzdį Nr. 3) - ypatingą formulės atvejį . Kadangi ašis yra apibrėžta pagal lygtį, o funkcijų grafikas yra žemiau ašies,

Ir dabar yra keletas pavyzdžių už nepriklausomą sprendimą

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

Rasti figūros ribotas linijas ,.

Siekiant išspręsti užduotis apskaičiuojant teritoriją su konkrečiu neatsiejama, kartais yra juokingas atvejis. Brėžinys baigtas teisingai, skaičiavimai - dešinėje, bet intensyvinti ... nustatyta, kad ši sritis nėra figūraTai yra tai, kaip jūsų nuolankus tarnas buvo supakuotas. Čia yra tikras gyvenimas:

7 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,,,.

Pirmiausia vykdykite brėžinį:

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva(Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktikoje dėl nesenės, dažnai būtina rasti figūros plotą, kuris yra tamsintas su žalia!

Šis pavyzdys taip pat yra naudingas, nes manoma, kad jis yra dviejų konkrečių integralų dydis. Tikrai:

1) tiesus tvarkaraštis yra ant ašies segmente;

2) ant ašies segmento yra hiperbolių grafikas.

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Atsakymas:

8 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas,
Įsivaizduokite lygtį "Mokyklos" formoje ir atlikite dabartinį brėžinį:

Iš piešinio aišku, kad viršutinė riba mes turime "gerą" :.
Bet kas yra apatinė riba?! Akivaizdu, kad tai nėra sveikas skaičius, bet kas? Gal būt ? Bet kur yra garantija, kad brėžinys yra pagamintas su tobulu tikslumu, tai gali būti taip. Arba šaknis. Ir jei mes paprastai netinkamai pastatytume tvarkaraštį?

Tokiais atvejais turite praleisti papildomą laiką ir nurodykite analizės ribas analitiškai.

Raskite tiesioginio ir parabolos sankirtos taškus.
Norėdami tai padaryti, išspręskite lygtį:

Taigi,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, pagrindinis dalykas nėra supainioti pakeitimais ir požymiais, skaičiavimai čia nėra paprasčiausias.

Dėl supjaustymo Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, ir pamokos išvadoje apsvarstykite dvi užduotis sunkiau.

9 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,

Sprendimas: parodyti šią formą brėžinyje.

Dėl dabartinės statybos brėžinio, būtina žinoti sinusoidų išvaizdą (ir paprastai yra naudinga žinoti visų elementarių funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusų reikšmes, jie gali būti rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiame), leidžiama statyti scheminį piešinį, kuriuo diagramos ir integracijos ribos turi būti atspindėtos iš esmės.

Su integracijos ribomis čia nėra jokių problemų, jie tiesiogiai seka nuo būklės: - "x" skiriasi nuo nulio iki "Pi". Mes parengiame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, taip:

(1) Kaip integruoti sinusų ir kosmes nelygiais laipsniais galima peržiūrėti pamokoje Integralai iš trigonometrinių funkcijų. Tai yra tipiškas priėmimas, paspaudus vieną sinusą.

(2) Mes naudojame pagrindinį trigonometrinį tapatybę

(3) Mes pakeisime kintamąjį, tada:

Nauja pakeitimo integracija:

Kas turi labai blogus dalykus su pakeitimais, eikite į pamoką Pakaitinis metodas neribotame integrale. Kas nėra labai aiškus pakaitinio algoritmo konkrečiame integrale, apsilankykite puslapyje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Eikite į neatsiejamų taikymo programų svarstymą. Šioje pamokoje analizuojame tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. - kaip apskaičiuoti plokštumos formą su konkrečiu neatsiejama. Galiausiai, matydamas reikšmę aukštesnėje matematikoje - tai ras. Mažai. Turėsime atnešti šalies teritoriją gyvenime su elementarinėmis funkcijomis ir rasti savo teritoriją naudojant konkretų integralą.

Sėkmingam materialinei plėtrai būtina:

1) Suprasti neapibrėžtą integrumą bent vidutinį lygį. Taigi, arbaščiai turėtų būti susipažinę su pamoka Ne.

2) Gebėti taikyti Niutono Labninės formulę ir apskaičiuoti konkretų integralą. Nustatyti šiltus draugystes su tam tikrais integruotais puslapyje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

Tiesą sakant, norint rasti figūros sritį, tokių žinių apie neaiškią ir apibrėžtą integralą. Užduotis "Apskaičiuokite sritį su konkrečiu integruotais" visada reiškia piešimo konstrukcijąTodėl daug svarbesnis klausimas bus jūsų žinios ir įgūdžiai statybos brėžiniai. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementarių funkcijų grafikos atmintį ir bent jau sugebėti statyti tiesią, parabolą ir hiperbolą. Tai gali būti padaryta (reikalinga), naudojant metodinę medžiagą ir gaminius apie geometrinių diagramos transformacijas.

Tiesą sakant, su užduotimi rasti sritį su konkrečiu neatsiejama, visi yra susipažinę iš mokyklos, ir mes valgysime mažai į priekį nuo mokyklos programos. Šis straipsnis negali būti netgi, tačiau faktas yra tas, kad užduotis yra 99 atvejais iš 100, kai studentas kenčia nuo neapykantos bokšto su entuziazmu išvykstančiu didesnės matematikos kursu.

Šio seminaro medžiagos pateikiamos tiesiog išsamiai ir su minimalia teorija.

Pradėkime nuo kreivinės trapios.

Curvilinear Trapezija Plokščias skaičius vadinamas ribota ašimi, tiesia ir nuolatiniu funkcijos segmente, kuris nekeičia ženklo šiuo intervalu. Leiskite šiam skaičiui ne mažiau Abscisos ašis:

Tada krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui. Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai. Sakiau, kad tam tikras neatsiejamas skaičius yra numeris. Ir dabar atėjo laikas nurodyti kitą naudingą faktą. Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis.

T.y, konkretus neatsiejamas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kai kurių paveikslų plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų neatsiejamą. "Integrand" funkcija nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (kuri nori piešimo), o pats specifinis neatsiejamas yra skaitmeninis lygus atitinkamo kreivinės trapios ploto.

1 pavyzdys.

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo taškas - brėžinio kūrimas. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Pastatant brėžinį, aš rekomenduoju šią eilutę: pirmas Geriau statyti visus tiesius (jei jie yra) ir tik vėliau - Parabolas, hiperbolai, kitų funkcijų tvarkaraščiai. Funkcijų grafikai yra pelningesni statyti potashochoe.Su registruočio konstrukcijos technika galima rasti etaloninėje medžiagoje. Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės. Čia taip pat galite rasti labai naudingą medžiagą, susijusią su mūsų pamoka medžiaga - kaip greitai sukurti parabolą.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti taip.
Atlikite brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis nustato ašį):

Aš nežudysiu kreivilinijos trapecijos, tai yra akivaizdu čia apie tai, kuri teritorija yra kalba. Sprendimas tebėra toks:

Segmento grafiko funkcija yra virš ašies, taip:

Atsakymas:

Kas turi sunkumų skaičiuojant tam tikrą neatskiriamą ir Niuton-Leibnia formulės naudojimą , kreipkitės į paskaitą Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai..

2 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir ašį

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi?

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir koordinatės ašis sritį.

Sprendimas Šis sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi (arba bent jau ne didesnis Ši ašis), tada jo plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

DĖMESIO! Nesupainiokite dviejų užduočių tipų:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plokščios figūros sritį, ribotas linijas.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia jums reikia atkreipti piešinį. Apskritai kalbant, kuriant užduotis užduotis, mes esame labiausiai domisi linijų sankirtos taškais. Rasti Parabolos ir tiesioginės sankirtos taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Tokiu būdu yra geresnis, jei įmanoma, nenaudokite.

Tai yra daug pelningesnis ir greičiau statyti linijos linijas, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Įvairių grafikų nutraukimo technika yra išsamiai vertinama pagalba Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės . Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Ir toks pavyzdys, mes taip pat apsvarstyti.

Ir dabar darbo formulė: Jei ant segmento yra nuolatinė funkcija daugiau arba lygus Kai kurios nuolatinės funkcijos, figūros plotas, ribotas šių funkcijų grafikai ir tiesiogiai, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia manyti, kur yra figūra - per ašį arba po ašimi, ir, apytiksliai kalbant, sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad dėl parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl būtina atimti

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola iš viršaus ir tiesioginio dugno.
Pagal segmentą pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Ir dabar yra keletas pavyzdžių už nepriklausomą sprendimą

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

Rasti figūros ribotas linijas ,.

7 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,,,.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia padarykite brėžinį:

... O, Khrenovynskio brėžinys išėjo, bet viskas atrodo pakilusi.

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva (Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktikoje "glitch" dažnai kyla dėmesio, kurį reikia rasti figūros plotą, kuris yra tamsesnis su žalia!

Šis pavyzdys vis dar naudingas ir tai, kad jame figūros plotas yra laikomas naudojant du konkrečius integralus. Tikrai:

1) tiesus tvarkaraštis yra ant ašies segmente;

2) ant ašies segmento yra hiperbolių grafikas.

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Atsakymas:

Eikite į kitą esminę užduotį.

8 pavyzdys.

Tokiais atvejais turite praleisti papildomą laiką ir nurodykite analizės ribas analitiškai.

Raskite tiesioginio ir parabolos sankirtos taškus.
Norėdami tai padaryti, išspręskite lygtį:

,

Iš tikrųjų.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, pagrindinis dalykas nėra supainioti pakeitimais ir požymiais, skaičiavimai čia nėra paprasčiausias.

Dėl supjaustymo Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, ir pamokos išvadoje apsvarstykite dvi užduotis sunkiau.

9 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,

Sprendimas Šis sprendimas: Parodykite šią formą brėžinyje.

Damn, pamiršote pasirašyti tvarkaraštį, bet pakartoti paveikslėlį, atsiprašau, ne karšto. Ne paveldima, trumpesnė, diena šiandien \u003d)

Dėl dabartinės konstrukcijos turite žinoti sinusoidų išvaizdą (ir paprastai yra naudinga žinoti visų elementarių funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusų reikšmes, jie gali būti rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiame), leidžiama statyti scheminį piešinį, kuriuo diagramos ir integracijos ribos turi būti atspindėtos iš esmės.

Su integracijos ribomis čia nėra jokių problemų, jie tiesiogiai seka nuo būklės: - "x" skiriasi nuo nulio iki "Pi". Mes parengiame tolesnį sprendimą:

Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, taip:

Tema: Plokščiojo skaičiaus apskaičiavimas su konkrečiu neatsiejama

Užduotys: išmokti apibrėžimą ir formulę surasti kreivinės trapecijos srityje;

apsvarstykite įvairius atvejus, kaip rasti kreivinės trapecijos teritoriją;

Galėsite apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą.

Planas:

Curvilinear Trapezija.

Curbiliinijos trapecijos ploto apskaičiavimo formulės.

Curvilinear Trapezija Šis skaičius vadinamas nepertraukiamo, ne neigiamo funkcijos f (x) diagramoje intervale, tiesiai X \u003d A ir X \u003d B segmentai, taip pat Abscisos ašies sekcija tarp A ir B taškų.

"Curvilinear" gaudyklės vaizdai:

Dabar pasukame į galimas figūrų, kurių plotas turėtų būti apskaičiuojamas koordinačių plokštumoje, vietos.

Pirmas Bus lengviausia galimybė (pirmasis brėžinys), paprastas krivolynaya Trapezijakaip apibrėžime. Čia niekas neturėtų būti išradingas tiesiog neatskiriama a. anksčiau b. nuo funkcijos f (x). Mes surasime neatsiejamą - mes žinosime šio trapecijos sritį.

Į antra Pasirinkimas Mūsų skaičius bus apribotas ne abscissa ašies, bet kita funkcija g (x). Taigi, ką rasti teritoriją CEFD.Turime pirmiausia surasti teritoriją AEFB. (naudojant integrumą iš f (x)), tada suraskite sritį ACDB. (naudojant integrumą iš g (x)). Ir norimą figūros sritį CEFD.Bus skirtumas tarp pirmojo ir antrojo kvadratų kreivinės trapecijos. Kadangi integracijos ribos yra tokios pačios, tada visa tai gali būti įrašyta pagal vieną integruotą (žr. Formules pagal figūrą), tai priklauso nuo funkcijų sudėtingumo, tokiu atveju bus lengviau rasti integrumą.

Trečioji labai panašus į pirmąjį, bet tik mūsų trapecija yra dedama, ne daugiau abscissos ašisir po juo. Todėl būtina priimti tą patį neatskiriamą čia, tik su minuso ženklu, nes neatsiejama vertė bus neigiama, o teritorijos vertė turėtų būti teigiama. Jei vietoj funkcijos f (x) Paimkite funkciją -F (x)Grafikas bus toks pats tiesiog simetriškai rodomas, palyginti su abscissa ašimi.

Ir. \\ T ketvirta Galimybė, kai mūsų figūros dalis yra virš abscisos ašies ir jo dalis. Todėl turime pirmiausia surasti figūros sritį AEFB., kaip ir pirmojoje versijoje, o tada figūros sritis Abcd.Kaip trečioje versijoje ir tada sulenkite juos. Kaip rezultatas, mes gauname figūros plotą Defc.. Kadangi integracijos ribos yra tokios pačios, tada visa tai gali būti įrašyta pagal vieną integruotą (žr. Formules pagal figūrą), tai priklauso nuo funkcijų sudėtingumo, tokiu atveju bus lengviau rasti integrumą.

Klausimai dėl savikontrolės:

Koks skaičius vadinamas "Curvilinear" trapecijos?

Kaip rasti Creilyline Trapecijos sritį?

Tarkime, kad funkcija yra ne neigiama ir nuolatinė segmente. Tada, atsižvelgiant į konkretaus integralo geometrinę reikšmę, kreivinės trapecijos plotas, ribotas nuo šios funkcijos grafiko viršaus, nuo apačios - ašies, kairėje ir dešinėje - tiesioginiu ir (žr. Fig. 2) apskaičiuojamas pagal formulę

9 pavyzdys. Rasti figūrų ribotos linijos sritį ir kirvis.

Sprendimas Šis sprendimas. Grafiko grafikas Tai parabola, kurios filialai yra nukreipti. Mes ją statyti (3 pav.). Norėdami nustatyti integracijos ribas, suraskite eilutės sankryžą (parabola) su ašimi (tiesiai). Tai padaryti, išspręskite lygčių sistemą

Mes gauname: Kur; taigi,.

Fig. 3.

Paveikslo srities formulė (5):

Jei funkcija yra ne teigiamas ir nepertraukiamas segmente, tada kreivinės trapios plotas, ribotas į apačią su šios funkcijos grafiką, viršutinėje ašyje, kairėje ir dešinėje - tiesioginiu ir, apskaičiuotas pagal formulė. \\ T

. (6)

Jei funkcija yra nuolatinė segmente ir pakeičia ženklą galutiniame taškų skaičiui, tada tamsesniam figūros plotas (4 pav.) Yra lygus aligebai atitinkamų konkrečių integralų sumai: \\ t

Fig. Keturi

10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros sritį, ribotą ašį ir funkcijos grafiką.

Fig. Penki

Sprendimas Šis sprendimas. Leiskite piešti brėžinį (5 pav.). Norima sritis yra kvadrato suma ir. Mes surasime kiekvieną iš šių sričių. Pirma, mes apibrėžiame integracijos ribas, sprendžiant sistemą Mes gauname ,. Taigi:

;

Taigi, tamsesnio figūros plotas yra lygus

(kv. ed.).

Fig. 6.

Galiausiai, Curvilinijos trapezija yra ribota nuo viršaus ir žemiau nuolatinių funkcijų segmento diagramos ir, \\ t
Ir kairėje ir dešinėje - tiesiai ir (6 pav.). Tada jos plotas apskaičiuojamas pagal formulę

. (8)

11 pavyzdys. Raskite figūros ribotas linijas ir.

Sprendimas. Šis skaičius pavaizduotas Fig. 7. Plotas apskaičiuojamas pagal formulę (8). Sprendžiant lygtis mes randame sistemą; taigi,. Apie segmentą mes turime :. Tai reiškia, kad formulė (8) kaip x., ir kaip -. Mes gauname:

(kv. ed.).

Daugiau sudėtingų užduočių apskaičiuojant plotus yra išspręstos padalijant vaizdą ant atvirkštinių dalių ir apskaičiuojant viso skaičiaus plotą kaip šių dalių sričių sumą.

Fig. 7.

12 pavyzdys. Raskite figūros ribotas linijas.

Sprendimas Šis sprendimas. Leiskite piešti brėžinį (8 pav.). Šis skaičius gali būti laikomas kreivinės trapecijos, ribotas iki ašies viršaus, kairėje ir dešinėje - tiesioginiu ir, ant funkcijų grafikų ir. Kadangi skaičius yra ribojamas nuo dviejų funkcijų grafikų viršaus, tada apskaičiuojant savo teritoriją, mes nutraukiame šį skaičių į dvi dalis (1 yra abscissa sankirtos linijų ir). Kiekvienos iš šių dalių plotas randamas pagal formulę (4):

(kv. ed.); (kv. ed.). Taigi:

(kv. ed.).

Fig. aštuoni

h. \u003d j ( w.)

Fig. Devyni

Aprašome, mes atkreipiame dėmesį, kad jei kreivės trapezija apsiriboja tiesia ir, ašį ir nuolat ant kreivės (pav.), Jos plotas yra pagal formulę

Rotacijos tūris

Leiskite treniruotės trapecijos ribojančiam funkcijai, ašies, tiesiai ir sukasi aplink ašį (10 pav.). Tada gauto sukimosi kūno tūris apskaičiuojamas pagal formulę

. (9)

13 pavyzdys. Apskaičiuokite kėbulo tūrį, gaunamą sukimosi aplink Curvilinijos trapecijos ašį, ribotą hiperbolu, tiesiai ir ašimi.

Sprendimas Šis sprendimas. Padarykime brėžinį (11 pav.).

Iš užduoties sąlygų tai reiškia. Pagal formulę (9) mes gauname

Fig. 10.

Fig. vienuolika

Kūno tūris, gaunamas sukant aplink ašį Ou. Curvilinear Trapezium Limited y \u003d S. ir. \\ T y \u003d D., ašis. Ou. ir nuolatinis funkcijos segmento tvarkaraštis (12 pav.) Nustatomas pagal formulę

. (10)

h. \u003d j ( w.)

Fig. 12.

14 pavyzdys.. Apskaičiuoti kūno garsumą, gaunamą sukimosi aplink ašį Ou. Curvilinear Trapezio ribotos linijos h. 2 = 4w., y \u003d. 4, x \u003d. 0 (13 pav.).

Sprendimas Šis sprendimas. Pagal užduoties sąlygą randame integracijos ribas :. Pagal formulę (10) mes gauname:

Fig. 13.

Lanko plokščios kreivės ilgis

Leiskite kreivė pagal lygtį, kur yra plokštumoje (14 pav.).

Fig. keturiolika

Apibrėžimas. Pagal lanko sluoksnį suprantama kaip riba, su kuria įkvėpė šiame lankelyje, įkvėptas šiame lankelyje, kai "Loloral Links" skaičius linkęs į begalybę, o didžiausios nuorodos trukmė siekia nulio.

Jei funkcija ir jo darinys yra nuolatinis segmente, kreivės lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę

. (11)

15 pavyzdys.. Apskaičiuoti lanko kreivės ilgį tarp taškų .

Sprendimas Šis sprendimas. Nuo užduoties, kurią turime . Pagal formulę (11) mes gauname:

4. Gaunami integralai
su begalinės integracijos ribomis

Pristatant konkretaus neatsiejamojo sąvokos, ji turėtų būti, kad šios dvi sąlygos yra atliekamos:

a) integracijos ribos bet ir yra baigtiniai;

b) Integruota funkcija apsiriboja segmentu.

Jei bent viena iš šių sąlygų nėra įvykdyta, yra neatskiriama neteisingas.

Apsvarstykite iš pradžių nesuderinamų integralų su begalinės integracijos ribomis.

Apibrėžimas. Tarkime, kad funkcija yra apibrėžta ir tęsiama intervale, tada ir neribota teisė (15 pav.).

Jei sutrikusi sudėtinė konverguojanti, tada ši sritis yra galutinė; Jei nesuderinami neatskiriami skirtingi, ši sritis yra begalinė.

Fig. penkiolika. \\ t

Panašiai nustatomas įvesties integracija su begaliniu mažesne integracijos riba:

. (13)

Ši neatskiriama konverguojanti, jei yra ribota riba lygybės (13) egzistuoja ir yra baigtinis; Priešingu atveju neatsiejama yra skirtingas.

Nepilna neatsiejama su dviem begalinėmis integracijos ribomis apibrėžiama taip:

, (14)

kur C yra bet koks intervalo taškas. Integruota konverguojanti tik tuo atveju, kai abu integralai yra susilieję į dešinę lygybės dalį (14).

;

d) \u003d [Pažymėkite pilną kvadratą vardiklyje:] \u003d [Pakeitimas:

] =

Tai reiškia, kad netoleruotinos integruotos konvercijos ir jos vertė yra lygi.

Paveikslas, ribotas nuolatinio ne neigiamo segmento segmente "$$" funkcijos $ f (x) $ ir tiesioginis $ y \u003d 0, x \u003d A $ ir $ X \u003d B $, vadinamas "Curvilinear Trapezum".

Atitinkamo kreivės trapezijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

$ S \u003d \\ t "ribos_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Užduotys, kaip rasti Curvilinijos trapezijos plotą, mes būsime suskirstyti pagal $ 4 $ tipą. Apsvarstykite kiekvieno skaitymo daugiau tipo.

I tipas: Curvilinear Trapezija yra aiškiai nustatyta. Tada nedelsiant taikyti formulę (*).

Pavyzdžiui, suraskite Curvilinear Trapezio plotą, ribotą funkcijos grafiką $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) $ ir tiesioginis $ y \u003d 0, x \u003d 1 $ ir $ x \u003d $ 3.

Nubraižykite šį kreivinę trapeciją.

Naudojant formulę (*), mes rasime šio kreivinės trapecijos sritį.

$ S \u003d "Int" ribos_ (1) ^ (3) (kairė (4- (x-2) ^ (2)) DX) \u003d \\ inn \\ t "ribos_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ t "Ribits_" (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - lieka ((x-2) ^ (3) ) (3) teisinga | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - frac (1) (3) ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) teisinga) \u003d 4 cdot 2 - frac (1) (3) liko ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) į dešinę) \u003d 8 - frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- frac (2) (3) \u003d 7 frac (1) (3) $ (Unit $ ^ (2) $).

II Tipas: Curvilinear Trapezoid yra netiesiogiai. Šis atvejis paprastai nenurodo arba nenurodo dalinai tiesiai $ x \u003d a, x \u003d b $. Šiuo atveju jums reikia rasti funkcijų sankirtos taškus $ y \u003d f (x) $ ir $ y \u003d 0 $. Šie taškai bus taškai $ A $ ir $ B $.

Pavyzdžiui, suraskite figūros sritį ribotas funkcijų grafikai $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ir $ y \u003d 0 $.

Raskite sankirtos taškus. Norėdami tai padaryti, prilyginkite tinkamas funkcijų dalis.

Taigi, $ a \u003d -1 $ ir $ B \u003d 1 $. Nubraižykite šį kreivinę trapeciją.

Raskite šios kreivinės trapecijos sritį.

$ S \u003d "Int" ribos _ (- 1) ^ (1) (kairė (1-x ^ (2) į dešinę) DX) \u003d \\ int _ (- 1) ^ (1) (1) (1dx) - "Int" ribos _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - kairė (x ^ (3)) (3) \\ t Teisė | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (1)) - frac (1) (3) (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3)) \u003d 2 - frac (1) (3) (1 + 1 į dešinę) \u003d 2 - frac (2) (3) \u003d 1 frac (1) (3) $ (vienetai $ ^ (2) $).

III Tipas: figūrų plotas, ribotas dviejų nuolatinių ne neigiamų funkcijų sankirtos. Šis skaičius nebus "Curvilinear Trapezis", todėl su formulės pagalba (*), jos plotas neskaičiuoja. Kaip būti?Pasirodo, kad šio skaičiaus sritis gali būti nustatyta kaip skirtumas tarp kreivių trapezų, ribojamų viršutinės funkcijos ir $ y \u003d 0 $ ($ S_ (UF) $), ir mažesnę funkciją ir $ y \u003d 0 $ ($ S_ (LF) $), kur yra $ x \u003d a, x \u003d b $, koordinatės yra koordinatės šių funkcijų sankirtos, t.y.

$ S \u003d S_ (UF) -S_ (LF) $. (**)

Svarbiausias dalykas apskaičiuojant tokias sritis nėra "praleisti" su viršutinės ir apatinės funkcijos pasirinkimu.

Pavyzdžiui, suraskite figūros plotą pagal funkcijas $ y \u003d x ^ (2) $ ir $ y \u003d x + $ 6.

Raskite šių grafikų sankirtos taškus:

Vietos teoreme,

$ x_ (1) \u003d - 2, x_ (2) \u003d 3. $

Tai yra, $ a \u003d -2, b \u003d $ 3. Aš parodysiu figūrą:

Taigi, viršutinė funkcija yra $ y \u003d x + $ 6, o apatinė yra $ y \u003d x ^ (2) $. Be to, mes randame $ S_ (UF) $ ir $ S_ (LF) $ formulė (*).

$ S_ (UF) \u003d "INT" ribos _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) DX) \u003d \\ inn \\ t "ribos _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \\ t (- 2) ^ (3) (6dx) \u003d liko. Frac (x ^ (2)) (2) teisinga | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) ) \u003d 32, $ 5 ($ ^ (2) $).

$ S_ (LF) \u003d "INT" ribos _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) DX) \u003d liko. FRAC (x ^ (3)) (3) teisinga | _ (- 2 ) ^ (3) \u003d frac (35) (3) $ (Unit $ ^ (2) $).

Mes pakeitame (**) ir mes gauname:

$ S \u003d 32,5- (35) (3) \u003d frac (125) (6) $ (Unit $ ^ (2) $).

IV tipas: figūrų plotas, ribotas funkcija (-os), nesilaikoma (-ų) ne negatyvumo sąlyga. Norint rasti tokio skaičiaus sritį, kuriam reikia simetriškai, palyginti su $ OX $ AXIS ( kitaip tariant, Įdėkite "minusus" prieš funkcijas), kad būtų rodomas plotas ir naudojant I - III tipų metodus, suraskite rodomos srities plotą. Ši sritis bus norima sritis. Anksčiau jums gali tekti rasti funkcijų grafikų sankirtos taškus.

Pavyzdžiui, suraskite figūros sritį ribotą funkcijų grafikai $ y \u003d x ^ (2) -1 $ ir $ y \u003d 0 $.

Raskite funkcijų grafikų sankirtos taškus:

tie. $ a \u003d -1 $ ir $ B \u003d 1 $. Liuko plotą.

Simetriškai rodyti plotą:

$ y \u003d 0 \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

Pasirodo Curvilinear Trapecija, ribota funkcija $ y \u003d 1-x ^ (2) $ ir $ y \u003d 0 $. Tai yra užduotis surasti antrojo tipo kreivinės trapecijos trapeciją. Mes jau išsprendėme. Atsakymas buvo toks: $ S \u003d 1 FRAC (1) (3) $ (Unit $ ^ (2) $). Tai reiškia, kad norimo kreivės trapecijos plotas yra lygus:

$ S \u003d 1 FRAC (1) (3) $ (Unit $ ^ (2) $).

Taip pat rekomenduojama

Įkeliama ...

Pagrindinis > Langas

Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti formos plotą. Rasti kreivinės trapecijos plotą

Krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui

Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą

Taip pat rekomenduojama