Rešitev diferencialnih enačb. Zahvaljujoč naši spletni storitvi lahko rešujete diferencialne enačbe vseh vrst in zahtevnosti: nehomogene, homogene, nelinearne, linearne, prvega, drugega reda, z ali brez ločljivih spremenljivk itd. Rešitev diferencialnih enačb dobite v analitični obliki s podrobnim opisom. Mnoge zanima: zakaj je treba diferencialne enačbe reševati na spletu? Ta vrsta enačb je zelo pogosta v matematiki in fiziki, kjer bo nemogoče rešiti veliko problemov brez izračuna diferencialne enačbe. Tudi diferencialne enačbe so pogoste v ekonomiji, medicini, biologiji, kemiji in drugih znanostih. Reševanje takšne enačbe na spletu vam močno olajša naloge, omogoči boljše razumevanje snovi in ​​se preizkusite. Prednosti reševanja diferencialnih enačb na spletu. Sodobno spletno mesto za matematične storitve vam omogoča reševanje diferencialnih enačb na spletu katere koli zapletenosti. Kot veste, obstaja veliko število vrst diferencialnih enačb in vsaka od njih ima svoje rešitve. Na naši storitvi lahko na spletu najdete rešitve diferencialnih enačb poljubnega vrstnega reda in vrste. Za pridobitev rešitve predlagamo, da vnesete začetne podatke in kliknete gumb "Rešitev". Napake pri delovanju storitve so izključene, tako da ste lahko 100% prepričani, da ste prejeli pravilen odgovor. Rešite diferencialne enačbe z našo storitvijo. Rešite diferencialne enačbe na spletu. Privzeto je v takšni enačbi funkcija y funkcija spremenljivke x. Lahko pa nastavite tudi lastno oznako spremenljivke. Če na primer podate y(t) v diferencialni enačbi, bo naša storitev samodejno ugotovila, da je y funkcija spremenljivke t. Vrstni red celotne diferencialne enačbe bo odvisen od največjega reda odvoda funkcije, ki je prisotna v enačbi. Rešiti takšno enačbo pomeni najti zahtevano funkcijo. Naša storitev vam bo pomagala pri reševanju diferencialnih enačb na spletu. Za rešitev enačbe z vaše strani ni potrebno veliko truda. Le levi in ​​desni del svoje enačbe morate vnesti v zahtevana polja in klikniti gumb "Rešitev". Pri vnosu izpeljanke funkcije jo je treba označiti z apostrofom. V nekaj sekundah boste imeli pripravljeno podrobno rešitev diferencialne enačbe. Naša storitev je popolnoma brezplačna. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami. Če je v diferencialni enačbi na levi strani izraz, ki je odvisen od y, in na desni strani izraz, ki je odvisen od x, potem se taka diferencialna enačba imenuje z ločljivimi spremenljivkami. Na levi strani je lahko izpeljanka od y, rešitev tovrstnih diferencialnih enačb bo v obliki funkcije y, izražene z integralom desne strani enačbe. Če je na levi strani diferencial funkcije od y, sta oba dela enačbe integrirana. Če spremenljivke v diferencialni enačbi niso ločene, jih bo treba razdeliti, da dobimo ločeno diferencialno enačbo. Linearna diferencialna enačba. Diferencialna enačba se imenuje linearna, če so funkcija in vsi njeni derivati ​​v prvi stopnji. Splošna oblika enačbe: y'+a1(x)y=f(x). f(x) in a1(x) sta neprekinjeni funkciji od x. Rešitev tovrstnih diferencialnih enačb je reducirana na integracijo dveh diferencialnih enačb z ločenimi spremenljivkami. Vrstni red diferencialne enačbe. Diferencialna enačba je lahko prvega, drugega, n-tega reda. Vrstni red diferencialne enačbe določa vrstni red najvišjega izvoda, ki ga vsebuje. V naši storitvi lahko na spletu rešujete diferencialne enačbe prve, druge, tretje itd. naročilo. Rešitev enačbe bo katera koli funkcija y=f(x), če jo nadomestite v enačbo, boste dobili identiteto. Postopek iskanja rešitve diferencialne enačbe se imenuje integracija. Cauchyjev problem. Če je poleg same diferencialne enačbe določen začetni pogoj y(x0)=y0, se to imenuje Cauchyjev problem. Rešitvi enačbe se dodata indikatorja y0 in x0 in določi se vrednost poljubne konstante C, nato pa določena rešitev enačbe za to vrednost C. To je rešitev Cauchyjevega problema. Cauchyjevemu problemu pravimo tudi problem z robnimi pogoji, ki je v fiziki in mehaniki zelo pogost. Prav tako imate možnost postaviti Cauchyjev problem, torej izmed vseh možnih rešitev enačbe izbrati tisto, ki izpolnjuje dane začetne pogoje.

I. Navadne diferencialne enačbe

1.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko x, želeno funkcijo y in njegove izpeljanke ali diferenciale.

Simbolično je diferencialna enačba zapisana takole:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferencialna enačba se imenuje navadna, če je želena funkcija odvisna od ene neodvisne spremenljivke.

Z reševanjem diferencialne enačbe imenujemo taka funkcija, ki to enačbo spremeni v identiteto.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišje izpeljanke v tej enačbi

Primeri.

1. Razmislite o diferencialni enačbi prvega reda

Rešitev te enačbe je funkcija y = 5 ln x. Pravzaprav z zamenjavo y" v enačbo dobimo - identiteto.

In to pomeni, da je funkcija y = 5 ln x– rešitev te diferencialne enačbe.

2. Razmislite o diferencialni enačbi drugega reda y" - 5y" + 6y = 0. Funkcija je rešitev te enačbe.

Resnično,.

Če te izraze nadomestimo v enačbo, dobimo: , - identiteto.

In to pomeni, da je funkcija rešitev te diferencialne enačbe.

Integracija diferencialnih enačb je proces iskanja rešitev diferencialnih enačb.

Splošna rešitev diferencialne enačbe se imenuje funkcija oblike , ki vključuje toliko neodvisnih poljubnih konstant, kolikor je vrstni red enačbe.

Delna rešitev diferencialne enačbe se imenuje rešitev, pridobljena iz splošne rešitve za različne številčne vrednosti poljubnih konstant. Vrednosti poljubnih konstant najdemo pri določenih začetnih vrednostih argumenta in funkcije.

Imenuje se graf določene rešitve diferencialne enačbe integralna krivulja.

Primeri

1. Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe prvega reda

xdx + ydy = 0, če y= 4 at x = 3.

Rešitev. Če integriramo obe strani enačbe, dobimo

Komentar. Poljubno konstanto C, pridobljeno kot rezultat integracije, lahko predstavimo v kateri koli obliki, ki je primerna za nadaljnje transformacije. V tem primeru je ob upoštevanju kanonske enačbe kroga primerno predstaviti poljubno konstanto С v obliki .

je splošna rešitev diferencialne enačbe.

Posebna rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y = 4 at x = 3 najdemo iz splošnega tako, da začetne pogoje nadomestimo v splošno rešitev: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Če v splošno rešitev nadomestimo C=5, dobimo x2+y2 = 5 2 .

To je posebna rešitev diferencialne enačbe, dobljena iz splošne rešitve pod danimi začetnimi pogoji.

2. Poišči splošno rešitev diferencialne enačbe

Rešitev te enačbe je katera koli funkcija v obliki , kjer je C poljubna konstanta. Dejansko z zamenjavo v enačbe dobimo: , .

Zato ima ta diferencialna enačba neskončno število rešitev, saj za različne vrednosti konstante C enakost določa različne rešitve enačbe.

Na primer, z neposredno zamenjavo lahko preverimo, ali so funkcije so rešitve enačbe.

Problem, pri katerem je treba najti določeno rešitev enačbe y" = f(x, y) ki izpolnjuje začetni pogoj y(x0) = y0, se imenuje Cauchyjev problem.

Rešitev enačbe y" = f(x, y), ki izpolnjuje začetni pogoj, y(x0) = y0, se imenuje rešitev Cauchyjevega problema.

Rešitev Cauchyjevega problema ima preprost geometrijski pomen. Dejansko v skladu s temi definicijami rešiti Cauchyjev problem y" = f(x, y) zagotovljeno y(x0) = y0, pomeni najti integralno krivuljo enačbe y" = f(x, y) ki gre skozi dano točko M0 (x0,y 0).

II. Diferencialne enačbe prvega reda

2.1. Osnovni koncepti

Diferencialna enačba prvega reda je enačba v obliki F(x,y,y") = 0.

Diferencialna enačba prvega reda vključuje prvi izvod in ne vključuje izpeljank višjega reda.

Enačba y" = f(x, y) se imenuje enačba prvega reda, rešena glede na izvod.

Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda je funkcija oblike , ki vsebuje eno poljubno konstanto.

Primer. Razmislite o diferencialni enačbi prvega reda.

Rešitev te enačbe je funkcija .

Dejansko z zamenjavo v tej enačbi z njeno vrednostjo dobimo

to je 3x=3x

Zato je funkcija splošna rešitev enačbe za katero koli konstanto C.

Poiščite določeno rešitev te enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y(1)=1 Zamenjava začetnih pogojev x=1, y=1 v splošno rešitev enačbe , dobimo od koder C=0.

Tako dobimo določeno rešitev iz splošne tako, da v to enačbo nadomestimo dobljeno vrednost C=0 je zasebna odločitev.

2.2. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami

Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami je enačba v obliki: y"=f(x)g(y) ali prek diferencialov, kjer f(x) in g(y) so dodeljene funkcije.

Za tiste y, za kar , enačba y"=f(x)g(y) je enakovredna enačbi v katerem je spremenljivka y je prisotna samo na levi strani, spremenljivka x pa le na desni strani. Pravijo: "V enačbi y"=f(x)g(y ločevanje spremenljivk.

Tipska enačba se imenuje enačba ločene spremenljivke.

Po integraciji obeh delov enačbe na x, dobimo G(y) = F(x) + C je splošna rešitev enačbe, kjer je G(y) in F(x) so nekateri antiderivati ​​funkcij in f(x), C poljubna konstanta.

Algoritem za reševanje diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Primer 1

reši enačbo y" = xy

Rešitev. Izpeljanka funkcije y" zamenjaj z

ločimo spremenljivke

Integrirajmo oba dela enakosti:

Primer 2

2yy" = 1- 3x 2, če y 0 = 3 pri x0 = 1

To je enačba ločene spremenljivke. Predstavimo ga v diferencialah. Če želite to narediti, to enačbo prepišemo v obliki Od tod

Če integriramo oba dela zadnje enakosti, ugotovimo

Zamenjava začetnih vrednosti x 0 = 1, y 0 = 3 najti Z 9=1-1+C, tj. C = 9.

Zato bo želeni delni integral oz

Primer 3

Napišite enačbo za krivuljo, ki poteka skozi točko M(2;-3) in ima tangento z naklonom

Rešitev. Glede na stanje

To je ločljiva spremenljivka enačba. Če delimo spremenljivke, dobimo:

Če integriramo oba dela enačbe, dobimo:

Z uporabo začetnih pogojev, x=2 in y=-3 najti C:

Zato ima želena enačba obliko

2.3. Linearne diferencialne enačbe prvega reda

Linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba v obliki y" = f(x)y + g(x)

kje f(x) in g(x)- nekatere dane funkcije.

Če g(x)=0 potem se linearna diferencialna enačba imenuje homogena in ima obliko: y" = f(x)y

Če potem enačba y" = f(x)y + g(x) imenujemo heterogena.

Splošna rešitev linearne homogene diferencialne enačbe y" = f(x)y podano s formulo: kje Z je poljubna konstanta.

Še posebej, če C \u003d 0, potem je rešitev y=0Če ima linearna homogena enačba obliko y" = ky kje k je neka konstanta, potem ima njena splošna rešitev obliko: .

Splošna rešitev linearne nehomogene diferencialne enačbe y" = f(x)y + g(x) podana s formulo ,

tiste. je enak vsoti splošne rešitve ustrezne linearne homogene enačbe in posamezne rešitve te enačbe.

Za linearno nehomogeno enačbo oblike y" = kx + b,

kje k in b- nekatera števila in določena rešitev bodo konstantna funkcija. Zato ima splošna rešitev obliko.

Primer. reši enačbo y" + 2y +3 = 0

Rešitev. Enačbo predstavimo v obliki y" = -2y - 3 kje k=-2, b=-3 Splošna rešitev je podana s formulo.

Torej, kjer je C poljubna konstanta.

2.4. Rešitev linearnih diferencialnih enačb prvega reda po Bernoullijevi metodi

Iskanje splošne rešitve linearne diferencialne enačbe prvega reda y" = f(x)y + g(x) reducira na reševanje dveh diferencialnih enačb z ločenimi spremenljivkami z uporabo substitucije y=uv, kje u in v- neznane funkcije iz x. Ta metoda rešitve se imenuje Bernoullijeva metoda.

Algoritem za reševanje linearne diferencialne enačbe prvega reda

y" = f(x)y + g(x)

1. Vnesite zamenjavo y=uv.

2. Razlikujte to enakost y"=u"v + uv"

3. Nadomestek y in y" v to enačbo: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) oz u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Združi člene enačbe tako, da u vzemi iz oklepajev:

5. Iz oklepaja in ga izenačimo z nič, poiščite funkcijo

To je ločljiva enačba:

Razdelite spremenljivke in dobite:

Kje . .

6. Zamenjajte prejeto vrednost v v enačbo (iz točke 4):

in poiščite funkcijo To je ločljiva enačba:

7. Splošno rešitev zapišite v obliki: , tj. .

Primer 1

Poiščite določeno rešitev enačbe y" = -2y +3 = 0če y=1 pri x=0

Rešitev. Rešimo ga z zamenjavo y=uv,.y"=u"v + uv"

Zamenjava y in y" v to enačbo dobimo

Če združimo drugi in tretji člen na levi strani enačbe, vzamemo skupni faktor u iz oklepajev

Izraz v oklepaju enačimo z nič in po rešitvi nastale enačbe najdemo funkcijo v = v(x)

Dobili smo enačbo z ločenimi spremenljivkami. Integriramo oba dela te enačbe: Poiščite funkcijo v:

Zamenjajte dobljeno vrednost v v enačbo dobimo:

To je enačba ločene spremenljivke. Integriramo oba dela enačbe: Poiščimo funkcijo u = u(x,c) Poiščimo splošno rešitev: Poiščimo določeno rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y=1 pri x=0:

III. Diferencialne enačbe višjega reda

3.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba drugega reda je enačba, ki vsebuje izpeljanke, ki niso višje od drugega reda. V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana kot: F(x,y,y",y") = 0

Splošna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je funkcija oblike , ki vključuje dve poljubni konstanti C1 in C2.

Posebna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je rešitev, pridobljena iz splošne za nekatere vrednosti poljubnih konstant C1 in C2.

3.2. Linearne homogene diferencialne enačbe drugega reda z stalna razmerja.

Linearna homogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti se imenuje enačba oblike y" + py" + qy = 0, kje str in q so konstantne vrednosti.

Algoritem za reševanje homogenih diferencialnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti

1. Zapiši diferencialno enačbo v obliki: y" + py" + qy = 0.

2. Sestavi njeno karakteristično enačbo, ki označuje y"čez r2, y"čez r, y v 1: r2 + pr +q = 0

Ali so že rešeni glede na izpeljanko, ali pa jih je mogoče rešiti glede na izpeljanko .

Splošna rešitev diferencialnih enačb tipa na intervalu X, ki je podana, lahko najdemo tako, da vzamemo integral obeh strani te enakosti.

Pridobite .

Če pogledamo lastnosti nedoločenega integrala, najdemo želeno splošno rešitev:

y = F(x) + C,

kje F(x)- eden od antiderivov funkcije f(x) vmes X, a Z je poljubna konstanta.

Upoštevajte, da pri večini nalog interval X ne navedite. To pomeni, da je treba najti rešitev za vse. x, za katero in želeno funkcijo y, in prvotna enačba je smiselna.

Če morate izračunati določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y(x0) = y0, nato po izračunu splošnega integrala y = F(x) + C, še vedno je treba določiti vrednost konstante C=C0 z uporabo začetnega pogoja. Se pravi konstanta C=C0 določeno iz enačbe F(x 0) + C = y 0, in želena posebna rešitev diferencialne enačbe bo imela obliko:

y = F(x) + C0.

Razmislite o primeru:

Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe, preverite pravilnost rezultata. Poiščimo določeno rešitev te enačbe, ki bi izpolnjevala začetni pogoj.

rešitev:

Ko integriramo dano diferencialno enačbo, dobimo:

.

Ta integral vzamemo po metodi integracije po delih:

to., je splošna rešitev diferencialne enačbe.

Preverimo, ali je rezultat pravilen. Da bi to naredili, nadomestimo rešitev, ki smo jo našli, v dano enačbo:

.

To je pri prvotna enačba se spremeni v identiteto:

zato je bila splošna rešitev diferencialne enačbe pravilno določena.

Rešitev, ki smo jo našli, je splošna rešitev diferencialne enačbe za vsako realno vrednost argumenta x.

Ostaja še izračunati določeno rešitev ODE, ki bi izpolnjevala začetni pogoj. Z drugimi besedami, treba je izračunati vrednost konstante Z, pri kateri bo enakost resnična:

.

.

Nato zamenjava C = 2 v splošno rešitev ODE dobimo posebno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj:

.

Navadna diferencialna enačba je mogoče rešiti glede na izvod tako, da delimo 2 dela enačbe z f(x). Ta preobrazba bo enakovredna, če f(x) ne gre za nič x iz intervala integracije diferencialne enačbe X.

Situacije so verjetne, ko za nekatere vrednosti argumenta x ∈ X funkcije f(x) in g(x) hkrati obrne na nič. Za podobne vrednosti x splošna rešitev diferencialne enačbe je katera koli funkcija y, kar je v njih opredeljeno, ker .

Če za nekatere vrednosti argumenta x ∈ X pogoj je izpolnjen, kar pomeni, da v tem primeru ODE nima rešitev.

Za vse ostale x iz intervala X splošna rešitev diferencialne enačbe je določena iz transformirane enačbe.

Poglejmo si primere:

Primer 1

Poiščimo splošno rešitev ODE: .

Rešitev.

Iz lastnosti osnovnih elementarnih funkcij je jasno, da je funkcija naravnega logaritma definirana za nenegativne vrednosti argumenta, torej domena izraza dnevnik (x+3) obstaja interval x > -3 . Zato je podana diferencialna enačba smiselna x > -3 . S temi vrednostmi argumenta, izraz x + 3 ne izgine, zato lahko rešimo ODE glede na izpeljanko tako, da 2 dela delimo z x + 3.

Dobimo .

Nato integriramo nastalo diferencialno enačbo, rešeno glede na izvod: . Da vzamemo ta integral, uporabimo metodo sumiranja pod predznak diferenciala.

Diferencialne enačbe prvega reda. Primeri rešitev.
Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami

Diferencialne enačbe (DE). Ti dve besedi navadno prestrašita povprečnega laika. Zdi se, da so diferencialne enačbe za mnoge študente nekaj nezaslišanega in težko obvladljivega. Uuuuuu... diferencialne enačbe, kako bi vse to preživel?!

Takšno mnenje in tak odnos sta v osnovi napačna, saj v resnici DIFERENCIALNE ENAČBE SO ENOSTAVNE IN CELO ZABAVNE. Kaj morate vedeti in se znati naučiti reševati diferencialne enačbe? Če želite uspešno preučevati diffure, morate biti dobri v integraciji in razlikovanju. Bolje so teme preučene Izpeljanka funkcije ene spremenljivke in Nedoločen integral, lažje bo razumeti diferencialne enačbe. Povedal bom več, če imate bolj ali manj spodobne integracijske sposobnosti, potem je tema praktično obvladana! Več integralov različnih vrst lahko rešite, tem bolje. zakaj? Veliko moraš integrirati. In razlikovati. Tudi zelo priporočam nauči se najti.

V 95 % primerov so v testnih listih 3 vrste diferencialnih enačb prvega reda: ločljive enačbe, ki ga bomo obravnavali v tej lekciji; homogene enačbe in linearne nehomogene enačbe. Začetnikom pri študiju difuzorjev svetujem, da lekcije preberete v tem zaporedju, po preučevanju prvih dveh člankov pa vam ne bo škodilo, če svoje veščine utrdite na dodatni delavnici - enačbe, ki reducirajo na homogene.

Obstajajo še redkejše vrste diferencialnih enačb: enačbe v totalnih diferencialnih enačbah, Bernoullijeve enačbe in nekatere druge. Od zadnjih dveh vrst so najpomembnejše enačbe v totalnih diferencialah, ker poleg tega DE razmišljam o novem materialu - delna integracija.

Če vam ostane le še dan ali dva, potem za izjemno hitro pripravo tukaj je blitz tečaj v pdf formatu.

Torej, mejniki so postavljeni - gremo:

Najprej se spomnimo običajnih algebraičnih enačb. Vsebujejo spremenljivke in številke. Najpreprostejši primer: . Kaj pomeni rešiti navadno enačbo? To pomeni najti nabor številk ki izpolnjujejo to enačbo. Zlahka je videti, da ima otroška enačba en sam koren: . Za zabavo naredimo preverjanje, nadomestimo najdeni koren v našo enačbo:

- dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da je rešitev pravilno najdena.

Difuzije so razporejene na približno enak način!

Diferencialna enačba prvo naročilo na splošno vsebuje:
1) neodvisna spremenljivka ;
2) odvisna spremenljivka (funkcija);
3) prva izpeljanka funkcije: .

V nekaterih enačbah 1. reda morda ni "x" ali (in) "y", vendar to ni bistveno - pomembno tako da v DU je bil prva izpeljanka in niso imeli izpeljanke višjih vrst - , itd.

Kaj pomeni ? Rešiti diferencialno enačbo pomeni najti nabor vseh funkcij ki izpolnjujejo to enačbo. Tak nabor funkcij ima pogosto obliko ( je poljubna konstanta), ki se imenuje splošna rešitev diferencialne enačbe.

Primer 1

Reši diferencialno enačbo

Polno strelivo. Kje začeti rešitev?

Najprej morate izpeljanko prepisati v nekoliko drugačni obliki. Spomnimo se okornega zapisa, ki se je verjetno mnogim od vas zdel smešen in nepotreben. To je tisto, kar vlada v difuzorjih!

V drugem koraku poglejmo, ali je to mogoče razdeljene spremenljivke? Kaj pomeni ločiti spremenljivke? Grobo rečeno, na levi strani moramo oditi samo "igre", a na desni strani organizirati samo x-ji. Ločevanje spremenljivk se izvaja s pomočjo "šolskih" manipulacij: oklepajev, prenosa izrazov iz dela v del s spremembo predznaka, prenosa faktorjev iz dela v del po pravilu sorazmerja itd.

Razliki in so polni množitelji in aktivni udeleženci sovražnosti. V tem primeru se spremenljivke zlahka ločijo z obračanjem faktorjev v skladu s pravilom sorazmerja:

Spremenljivke so ločene. Na levi strani - samo "Igra", na desni strani - samo "X".

Naslednja faza - integracija diferencialne enačbe. Preprosto je, na oba dela obesimo integrale:

Seveda je treba vzeti integrale. V tem primeru so tabela:

Kot se spomnimo, je vsakemu antiderivatu dodeljena konstanta. Tukaj sta dva integrala, vendar je dovolj, da konstanto zapišemo enkrat (ker je konstanta + konstanta še vedno enaka drugi konstanti). V večini primerov je nameščen na desni strani.

Strogo gledano, potem ko se vzamejo integrali, se šteje, da je diferencialna enačba rešena. Edina stvar je, da naš "y" ni izražen skozi "x", torej je predstavljena rešitev v implicitnem oblika. Implicitna rešitev diferencialne enačbe se imenuje splošni integral diferencialne enačbe. To pomeni, da je splošni integral.

Odgovor v tej obliki je povsem sprejemljiv, a obstaja boljša možnost? Poskusimo dobiti skupna odločitev.

Ni za kaj, spomnite se prve tehnike, je zelo pogost in se pogosto uporablja pri praktičnih nalogah: če se po integraciji na desni strani pojavi logaritem, je v mnogih primerih (a nikakor ne vedno!) priporočljivo zapisati tudi konstanto pod logaritmom.

to je, NAMESTO zapisi so običajno napisani .

Zakaj je to potrebno? In za lažje izražanje "y". Uporabljamo lastnost logaritmov . V tem primeru:

Zdaj je mogoče odstraniti logaritme in module:

Funkcija je predstavljena eksplicitno. To je splošna rešitev.

Odgovori: skupna odločitev: .

Odgovore na številne diferencialne enačbe je dokaj enostavno preveriti. V našem primeru se to naredi precej preprosto, najdeno rešitev vzamemo in jo razlikujemo:

Nato izpeljanko nadomestimo v prvotno enačbo:

- dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da splošna rešitev izpolnjuje enačbo , ki jo je bilo potrebno preveriti.

Če podate konstanto različnih vrednosti, lahko dobite neskončno število zasebne odločitve diferencialna enačba. Jasno je, da katera od funkcij, itd. izpolnjuje diferencialno enačbo.

Včasih se imenuje splošna rešitev družina funkcij. V tem primeru je splošna rešitev je družina linearnih funkcij, ali bolje rečeno, družina neposrednih sorazmernosti.

Po podrobni razpravi o prvem primeru je primerno odgovoriti na nekaj naivnih vprašanj o diferencialnih enačbah:

1)V tem primeru nam je uspelo ločiti spremenljivke. Ali je to vedno mogoče storiti? Ne ne vedno. Še pogosteje pa spremenljivk ni mogoče ločiti. Na primer, v homogene enačbe prvega reda je treba najprej zamenjati. Pri drugih vrstah enačb, na primer v linearni nehomogeni enačbi prvega reda, morate uporabiti različne trike in metode, da najdete splošno rešitev. Enačbe ločljivih spremenljivk, ki jih obravnavamo v prvi lekciji, so najpreprostejša vrsta diferencialnih enačb.

2) Ali je vedno mogoče integrirati diferencialno enačbo? Ne ne vedno. Zelo enostavno je pripraviti "fancy" enačbo, ki je ni mogoče integrirati, poleg tega pa obstajajo integrali, ki jih ni mogoče vzeti. Toda takšne DE je mogoče približno rešiti s posebnimi metodami. D'Alembert in Cauchy garantirata... ...uf, lurkmore.to sem zdaj veliko prebral, skoraj sem dodal "z drugega sveta."

3) V tem primeru smo dobili rešitev v obliki splošnega integrala . Ali je iz splošnega integrala vedno mogoče najti splošno rešitev, torej izraziti "y" v eksplicitni obliki? Ne ne vedno. Na primer: . No, kako naj tukaj izrazim "y"?! V takih primerih je treba odgovor zapisati kot splošni integral. Poleg tega je včasih mogoče najti splošno rešitev, vendar je napisana tako okorno in okorno, da je bolje pustiti odgovor v obliki splošnega integrala

4) ...zaenkrat morda dovolj. V prvem primeru sva se srečala še ena pomembna točka, a da ne bom "lubak" zasul s plazom novih informacij, bom pustil do naslednje lekcije.

Naj se ne mudi. Še en preprost daljinski upravljalnik in še ena tipična rešitev:

Primer 2

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj

Rešitev: glede na pogoj, ki ga je treba najti zasebna rešitev DE, ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Tovrstno spraševanje se imenuje tudi Cauchyjev problem.

Najprej najdemo splošno rešitev. V enačbi ni spremenljivke "x", vendar to ne bi smelo biti neprijetno, glavna stvar je, da ima prvi izvod.

Izpeljanko prepišemo v zahtevani obliki:

Očitno je spremenljivke mogoče razdeliti, fantje na levo, dekleta na desno:

Integriramo enačbo:

Dobljen je splošni integral. Tukaj sem narisal konstanto z naglasno zvezdo, dejstvo je, da se bo zelo kmalu spremenila v drugo konstanto.

Zdaj poskušamo pretvoriti splošni integral v splošno rešitev (izrazite "y" eksplicitno). Spomnimo se stare, dobre šole: . V tem primeru:

Konstanta v indikatorju izgleda nekako ne košer, zato je običajno spuščena z neba na zemljo. V podrobnostih se dogaja takole. Z uporabo lastnosti stopinj prepišemo funkcijo na naslednji način:

Če je konstanta, potem je tudi neka konstanta, jo ponovno označite s črko:

Ne pozabite, da je "rušitev" konstante druga tehnika, ki se pogosto uporablja pri reševanju diferencialnih enačb.

Torej je splošna rešitev: Tako lepa družina eksponentnih funkcij.

Na zadnji stopnji morate najti določeno rešitev, ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Tudi to je preprosto.

Kakšna je naloga? Treba je pobrati takšen vrednost konstante za izpolnitev pogoja.

Lahko ga uredite na različne načine, a najbolj razumljivo bo morda tako. V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "y" pa dve:



to je,

Standardna različica dizajna:

Zdaj najdeno vrednost konstante nadomestimo v splošno rešitev:
– to je posebna rešitev, ki jo potrebujemo.

Odgovori: zasebna rešitev:

Naredimo pregled. Preverjanje določene rešitve vključuje dve stopnji:

Najprej je treba preveriti, ali najdena določena rešitev res izpolnjuje začetni pogoj? Namesto "x" nadomestimo nič in vidimo, kaj se zgodi:
- da, res je bila pridobljena dvojka, kar pomeni, da je začetni pogoj izpolnjen.

Druga faza je že znana. Vzamemo nastalo določeno rešitev in poiščemo izpeljanko:

Zamenjaj v prvotni enačbi:

- dobi se pravilna enakost.

Zaključek: določena rešitev je najdena pravilno.

Pojdimo na bolj smiselne primere.

Primer 3

Reši diferencialno enačbo

rešitev: Izpeljanko prepišemo v obliki, ki jo potrebujemo:

Ocenjevanje, ali je spremenljivke mogoče ločiti? Lahko. Drugi člen prenesemo na desno stran s spremembo predznaka:

In faktorje obrnemo po pravilu sorazmerja:

Spremenljivke so ločene, integrirajmo oba dela:

Moram vas opozoriti, sodni dan prihaja. Če se niste dobro naučili nedoločeni integrali, rešil nekaj primerov, potem ni kam - zdaj jih moraš obvladati.

Integral leve strani je enostavno najti, z integralom kotangensa se ukvarjamo s standardno tehniko, ki smo jo obravnavali v lekciji Integracija trigonometričnih funkcij V preteklem letu:

Na desni strani imamo logaritem, po mojem prvem tehničnem priporočilu pa je treba konstanto zapisati tudi pod logaritem.

Zdaj poskušamo poenostaviti splošni integral. Ker imamo samo logaritme, se jih je povsem mogoče (in nujno) znebiti. Preko znane lastnosti maksimalno "zapakirajte" logaritme. Napisal bom zelo podrobno:

Embalaža je popolna, da je barbarsko raztrgana:

Ali je mogoče izraziti "y"? Lahko. Oba dela morata biti kvadratna.

Ampak ti ni treba.

Tretji tehnični nasvet:če se morate za pridobitev splošne rešitve dvigniti na moč ali zakoreniniti, potem V večini primerov teh dejanj se morate vzdržati in pustiti odgovor v obliki splošnega integrala. Dejstvo je, da bo splošna rešitev videti prav grozno - z velikimi koreninami, znaki in drugimi smeti.

Zato zapišemo odgovor kot splošni integral. Za dobro obliko se šteje, da ga predstavimo v obliki, torej na desni strani, če je mogoče, pustimo samo konstanto. Tega ni nujno, je pa vedno koristno ugajati profesorju ;-)

odgovor: splošni integral:

! Opomba: splošni integral katere koli enačbe je mogoče zapisati na več načinov. Torej, če vaš rezultat ni sovpadal s predhodno znanim odgovorom, potem to ne pomeni, da ste enačbo rešili napačno.

Splošni integral se tudi preveri precej enostavno, glavna stvar je, da ga lahko najdete izpeljanka funkcije, definirane implicitno. Razločimo odgovor:

Oba izraza pomnožimo z:

In delimo na:

Prvotna diferencialna enačba je bila pridobljena natančno, kar pomeni, da je bil splošni integral pravilno najden.

Primer 4

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj. Izvedite ček.

To je primer "naredi sam".

Naj vas spomnim, da je algoritem sestavljen iz dveh stopenj:
1) iskanje splošne rešitve;
2) iskanje zahtevane posebne rešitve.

Preverjanje poteka tudi v dveh korakih (glejte vzorec v primeru št. 2), potrebujete:
1) zagotoviti, da določena najdena rešitev izpolnjuje začetni pogoj;
2) preverimo, ali določena rešitev na splošno izpolnjuje diferencialno enačbo.

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Primer 5

Poišči določeno rešitev diferencialne enačbe , ki izpolnjuje začetni pogoj. Izvedite ček.

rešitev: Najprej poiščimo splošno rešitev Ta enačba že vsebuje že pripravljene diferenciale in , kar pomeni, da je rešitev poenostavljena. Ločevanje spremenljivk:

Integriramo enačbo:

Integral na levi je tabelarni, integral na desni je vzet metoda seštevanja funkcije pod predznakom diferenciala:

Splošni integral je pridobljen, ali je mogoče uspešno izraziti splošno rešitev? Lahko. Na obe strani obesimo logariteme. Ker so pozitivni, so modulo znaki odveč:

(Upam, da vsi razumejo preobrazbo, takšne stvari bi morale biti že znane)

Torej je splošna rešitev:

Poiščimo določeno rešitev, ki ustreza danemu začetnemu pogoju.
V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "y" pa logaritem dveh:

Bolj znan dizajn:

Najdeno vrednost konstante nadomestimo v splošno rešitev.

odgovor: zasebna rešitev:

Preverite: Najprej preverite, ali je izpolnjen začetni pogoj:
- vse je dobro.

Zdaj pa preverimo, ali najdena določena rešitev sploh izpolnjuje diferencialno enačbo. Najdemo izpeljanko:

Poglejmo prvotno enačbo: – predstavljena je v diferencialah. Obstajata dva načina za preverjanje. Diferencial iz najdene izpeljanke je mogoče izraziti:

V izvirno enačbo nadomestimo najdeno partikularno rešitev in nastalo diferencial :

Uporabljamo osnovno logaritemsko identiteto:

Dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da je določena rešitev pravilno najdena.

Drugi način preverjanja je zrcaljen in bolj znan: iz enačbe izrazite izpeljanko, za to vse dele razdelimo z:

In v transformirani DE nadomestimo dobljeno partikularno rešitev in najdeno izpeljanko. Zaradi poenostavitev je treba doseči tudi pravilno enakost.

Primer 6

Rešite diferencialno enačbo. Odgovor izrazite kot splošni integral.

To je primer samoreševanja, popolne rešitve in odgovora na koncu lekcije.

Kakšne težave čakajo pri reševanju diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami?

1) Ni vedno očitno (zlasti čajniku), da je spremenljivke mogoče ločiti. Razmislite o pogojnem primeru: . Tukaj morate faktorje vzeti iz oklepajev: in ločiti korenine:. Kako naprej je jasno.

2) Težave pri sami integraciji. Integrali pogosto ne nastanejo najpreprostejši in če obstajajo pomanjkljivosti v spretnostih iskanja nedoločen integral, potem bo s številnimi difuzorji težko. Poleg tega so prevajalci zbirk in priročnikov priljubljeni z logiko "ker je diferencialna enačba preprosta, potem bodo vsaj integrali bolj zapleteni."

3) Transformacije s konstanto. Kot so vsi opazili, je s konstanto v diferencialnih enačbah mogoče ravnati precej svobodno, nekatere transformacije pa začetniku niso vedno jasne. Poglejmo si še en hipotetični primer: . V njem je priporočljivo vse izraze pomnožiti z 2: . Nastala konstanta je tudi nekakšna konstanta, ki jo lahko označimo z: . Da, in ker je na desni strani logaritem, je priporočljivo, da konstanto prepišete kot drugo konstanto: .

Težava je v tem, da se pogosto ne obremenjujejo z indeksi in uporabljajo isto črko. Posledično ima zapis o odločitvi naslednjo obliko:

Kakšna herezija? Tukaj so napake! Strogo gledano, da. Vendar vsebinsko gledano ni napak, saj se zaradi transformacije spremenljivke konstante še vedno dobi spremenljivka konstanta.

Ali drug primer, recimo, da med reševanjem enačbe dobimo splošni integral. Ta odgovor je videti grdo, zato je priporočljivo spremeniti predznak vsakega izraza: . Formalno je spet napaka - na desni naj bi bilo napisano . Toda neuradno se namiguje, da je "minus ce" še vedno konstanta ( ki enako dobro prevzame vse vrednosti!), zato vstavljanje "minus" ni smiselno in lahko uporabite isto črko.

Poskušal se bom izogniti neprevidnemu pristopu in pri pretvorbi še vedno zapisal različne indekse za konstante.

Primer 7

Rešite diferencialno enačbo. Izvedite ček.

rešitev: Ta enačba dovoljuje ločevanje spremenljivk. Ločevanje spremenljivk:

Integriramo:

Konstante tukaj ni treba definirati pod logaritmom, saj iz tega ne bo nič dobrega.

odgovor: splošni integral:

Preveri: Razloči odgovor (implicitna funkcija):

Znebimo se ulomkov, za to oba izraza pomnožimo z:

Dobljena je izvirna diferencialna enačba, kar pomeni, da je bil splošni integral pravilno najden.

Primer 8

Poiščite določeno rešitev DE.
,

To je primer "naredi sam". Edini namig je, da tukaj dobite splošni integral in, bolj pravilno, se morate potruditi, da ne najdete določene rešitve, ampak zasebni integral. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Navadna diferencialna enačba imenujemo enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo te spremenljivke in njene derivate (ali diferenciale) različnih vrstnih redov.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišje izpeljanke, ki jo vsebuje.

Poleg navadnih se preučujejo tudi delne diferencialne enačbe. To so enačbe, ki se nanašajo na neodvisne spremenljivke, neznano funkcijo teh spremenljivk in njene delne izpeljanke glede na iste spremenljivke. Toda upoštevali bomo le navadne diferencialne enačbe zato bomo zaradi kratkosti izpustili besedo »navadno«.

Primeri diferencialnih enačb:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Enačba (1) je četrtega reda, enačba (2) je tretjega reda, enačbi (3) in (4) sta drugega reda, enačba (5) je prvega reda.

Diferencialna enačba n vrstni red ni nujno, da izrecno vsebuje funkcijo, vse njene izpeljanke od prvega do n th reda in neodvisna spremenljivka. Ne sme izrecno vsebovati izpeljank nekaterih vrstnih redov, funkcije, neodvisne spremenljivke.

Na primer, v enačbi (1) očitno ni izpeljank tretjega in drugega reda, pa tudi funkcij; v enačbi (2) - odvod in funkcija drugega reda; v enačbi (4) - neodvisna spremenljivka; v enačbi (5) - funkcije. Samo enačba (3) eksplicitno vsebuje vse odvodke, funkcijo in neodvisno spremenljivko.

Z reševanjem diferencialne enačbe se kliče katera koli funkcija y = f(x), ki ga nadomestimo v enačbo, se spremeni v identiteto.

Postopek iskanja rešitve diferencialne enačbe se imenuje njegov integracijo.

Primer 1 Poiščite rešitev diferencialne enačbe.

Rešitev. To enačbo zapišemo v obliki . Rešitev je poiskati funkcijo po njenem izvodu. Izvirna funkcija, kot je znano iz integralnega računa, je protiizvod za, t.j.

To je tisto, kar je rešitev dane diferencialne enačbe . spreminjanje v njem C, bomo dobili različne rešitve. Ugotovili smo, da obstaja neskončno število rešitev za diferencialno enačbo prvega reda.

Splošna rešitev diferencialne enačbe n th red je njegova rešitev, izražena eksplicitno glede na neznano funkcijo in vsebuje n neodvisne poljubne konstante, t.j.

Rešitev diferencialne enačbe v primeru 1 je splošna.

Delna rešitev diferencialne enačbe se imenuje njena rešitev, v kateri so določene številčne vrednosti dodeljene poljubnim konstantam.

Primer 2 Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe in posebno rešitev za .

Rešitev. Oba dela enačbe integriramo tolikokrat, da je vrstni red diferencialne enačbe enak.

,

.

Kot rezultat, smo dobili splošno rešitev -

podana diferencialna enačba tretjega reda.

Zdaj pa poiščimo določeno rešitev pod določenimi pogoji. Da bi to naredili, nadomestimo njihove vrednosti namesto poljubnih koeficientov in dobimo

.

Če je poleg diferencialne enačbe podan začetni pogoj v obliki , potem se tak problem imenuje Cauchyjev problem . Vrednosti in se nadomestijo v splošno rešitev enačbe in najde se vrednost poljubne konstante C, nato pa še določeno rešitev enačbe za najdeno vrednost C. To je rešitev problema Cauchy.

Primer 3 Rešite Cauchyjev problem za diferencialno enačbo iz primera 1 pod pogojem .

Rešitev. V splošno rešitev nadomestimo vrednosti iz začetnega pogoja y = 3, x= 1. Dobimo

Rešitev Cauchyjevega problema zapišemo za dano diferencialno enačbo prvega reda:

Reševanje diferencialnih enačb, tudi najpreprostejših, zahteva dobre spretnosti pri integraciji in jemanju izpeljank, vključno s kompleksnimi funkcijami. To je razvidno iz naslednjega primera.

Primer 4 Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe.

Rešitev. Enačba je zapisana v takšni obliki, da je mogoče obe strani takoj integrirati.

.

Uporabimo metodo integracije s spremembo spremenljivke (substitucije). Naj potem.

Obvezno vzeti dx in zdaj - pozornost - to naredimo po pravilih diferenciacije kompleksne funkcije, saj x in obstaja kompleksna funkcija ("jabolko" - izvlečenje kvadratnega korena ali, kar je isto - dvig na potenco "ena sekunda", in "mleto meso" - sam izraz pod korenom):

Najdemo integral:

Vrnitev k spremenljivki x, dobimo:

.

To je splošna rešitev te diferencialne enačbe prve stopnje.

Pri reševanju diferencialnih enačb bodo potrebne ne le spretnosti iz prejšnjih oddelkov višje matematike, temveč tudi znanja iz osnovne, torej šolske matematike. Kot že omenjeno, v diferencialni enačbi katerega koli reda morda ni neodvisne spremenljivke, to je spremenljivke x. Pri reševanju tega problema bo pomagalo znanje o razmerjih, ki ni bilo pozabljeno (pa ga ima kdor koli) iz šolske klopi. To je naslednji primer.