La serie de artículos sobre criterios de divisibilidad continúa con divisibilidad por 3... En este artículo, en primer lugar, se da la formulación del criterio de divisibilidad por 3, y se dan ejemplos del uso de este criterio al determinar cuáles de los números enteros dados son divisibles por 3 y cuáles no. Además, se da una prueba del criterio de divisibilidad por 3. También se consideran los enfoques para establecer la divisibilidad entre 3 números especificados como el valor de alguna expresión.

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Divisibilidad por 3, ejemplos

Empecemos con formulación del criterio de divisibilidad por 3: un número entero es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es divisible por 3, si la suma de los dígitos de un número dado no es divisible por 3, entonces el número en sí no es divisible por 3.

De la formulación anterior, está claro que la divisibilidad por el signo 3 no se puede usar sin la capacidad de realizar. Además, para la aplicación exitosa del criterio de divisibilidad por 3, necesita saber que de todos los números 3, 6 y 9 son divisibles por 3, y los números 1, 2, 4, 5, 7 y 8 no son divisibles por 3.

Ahora podemos considerar el más simple ejemplos de aplicación del criterio de divisibilidad por 3... Averigüemos si el número −42 es divisible por 3. Para hacer esto, calcule la suma de los dígitos del número −42, es igual a 4 + 2 = 6. Dado que 6 es divisible por 3, en virtud del criterio de divisibilidad por 3, se puede argumentar que el número −42 es divisible por 3. Pero el entero positivo 71 no es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es 7 + 1 = 8, y 8 no es divisible por 3.

¿El número 0 es divisible por 3? Para responder a esta pregunta, no se necesita el criterio de divisibilidad entre 3; aquí necesitamos recordar la propiedad de divisibilidad correspondiente, que establece que cero es divisible por cualquier número entero. Entonces 0 es divisible por 3.

En algunos casos, para mostrar que un número dado tiene o no la capacidad de ser divisible por 3, debe hacer referencia al criterio de divisibilidad por 3 varias veces seguidas. Pongamos un ejemplo.

Ejemplo.

Muestre que 907444 812 es divisible por 3.

Solución.

La suma de los dígitos de 907444812 es 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39. Para saber si 39 es divisible entre 3, calculemos su suma de dígitos: 3 + 9 = 12. Y para saber si 12 es divisible entre 3, encontramos la suma de los dígitos del número 12, tenemos 1 + 2 = 3. Como obtuvimos el número 3, que es divisible por 3, entonces, debido a la divisibilidad por 3, el número 12 es divisible por 3. Por lo tanto, 39 es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es 12 y 12 es divisible por 3. Finalmente, 907333812 es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es 39 y 39 es divisible por 3.

Para consolidar el material, analizaremos la solución de un ejemplo más.

Ejemplo.

¿Es −543205 divisible por 3?

Solución.

Calculemos la suma de los dígitos de este número: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19. A su vez, la suma de los dígitos del número 19 es igual a 1 + 9 = 10, y la suma de los dígitos del número 10 es igual a 1 + 0 = 1. Como obtuvimos el número 1, que no es divisible por 3, de la divisibilidad por 3 se deduce que 10 no es divisible por 3. Por lo tanto, 19 no es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es 10 y 10 no es divisible por 3. Por lo tanto, el número original -543205 no es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos igual a 19 no es divisible por 3.

Respuesta:

No.

Vale la pena señalar que la división directa de este número por 3 también nos permite concluir si este número es uniformemente divisible por 3 o no. Con esto queremos decir que no se debe descuidar la división en favor del criterio de divisibilidad por 3. En el último ejemplo, 543 205 por 3, nos aseguraríamos de que 543 205 no es divisible por 3, de donde podríamos decir que −543 205 no es divisible por 3.

Prueba de divisibilidad por 3

La siguiente representación del número a nos ayudará a demostrar el criterio de divisibilidad por 3. Podemos hacer cualquier número natural a, después de lo cual nos permite obtener una representación de la forma, donde a n, a n - 1,…, a 0 son los dígitos de izquierda a derecha en la notación del número a. Para mayor claridad, daremos un ejemplo de tal representación: 528 = 500 + 20 + 8 = 5100 + 2 10 + 8.

Ahora escribamos un número de igualdades bastante obvias: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1,000 = 999 + 1 = 333 3 + 1, y así sucesivamente.

Sustituyendo en igualdad una = una norte · 10 norte + una norte - 1 · 10 norte - 1 +… + una 2 · 10 2 + una 1 · 10 + una 0 en lugar de 10, 100, 1,000 y así sucesivamente, las expresiones 3 3 + 1, 33 3 + 1, 999 + 1 = 333 3 + 1 y así sucesivamente, obtenemos
.

Y permiten reescribir la igualdad resultante de la siguiente manera:

Expresión es la suma de los dígitos del número a. Denotémoslo por brevedad y conveniencia con la letra A, es decir, lo aceptaremos. Luego obtenemos una representación del número a de la forma, que usaremos en la prueba del criterio de divisibilidad por 3.

Además, para probar el criterio de divisibilidad por 3, necesitamos las siguientes propiedades de divisibilidad:

• para que el número entero a sea divisible por el número entero b, es necesario y suficiente que a sea divisible por el módulo del número b;
• si en la igualdad a = s + t todos los términos, excepto uno, son divisibles por algún número entero b, entonces este término también es divisible por b.

Ahora estamos completamente preparados y listos para realizar prueba de divisibilidad por 3, por conveniencia, formularemos este criterio en forma de condición necesaria y suficiente para la divisibilidad por 3.

Teorema.

Para que un número entero a sea divisible por 3, es necesario y suficiente que la suma de sus dígitos sea divisible por 3.

Prueba.

Para a = 0 el teorema es obvio.

Si a es distinto de cero, entonces el módulo del número a es un número natural, entonces la representación, donde es la suma de los dígitos del número a.

Dado que la suma y el producto de números enteros es un número entero, entonces es un número entero, entonces, según la definición de divisibilidad, el producto es divisible por 3 para cualquier a 0, a 1,…, a n.

Si la suma de los dígitos del número a es divisible por 3, es decir, A es divisible por 3, entonces, en virtud de la propiedad de divisibilidad indicada antes del teorema, es divisible por 3, por lo tanto, a es divisible por 3. Así es como se prueba la suficiencia.

Si a es divisible por 3, luego es divisible por 3, luego, debido a la misma propiedad de divisibilidad, el número A es divisible por 3, es decir, la suma de los dígitos del número a es divisible por 3. Así es como se prueba la necesidad.

Otros casos de divisibilidad por 3

A veces, los números enteros no se especifican explícitamente, sino como el valor de algún valor dado de la variable. Por ejemplo, el valor de una expresión para algún número natural n es un número natural. Está claro que con tal especificación de números, la división directa entre 3 no ayudará a establecer su divisibilidad entre 3, y el criterio de divisibilidad entre 3 no siempre se podrá aplicar. Ahora consideraremos varios enfoques para resolver tales problemas.

La esencia de estos enfoques es representar la expresión original como un producto de varios factores, y si al menos uno de los factores es divisible por 3, entonces, debido a la propiedad de divisibilidad correspondiente, será posible concluir que el producto completo es divisible por 3.

A veces, este enfoque se puede implementar. Consideremos la solución de un ejemplo.

Ejemplo.

¿Es el valor de la expresión divisible por 3 para cualquier n natural?

Solución.

La igualdad es obvia. Usemos la fórmula binomial de Newton:

En la última expresión, podemos sacar 3 fuera de los corchetes y obtenemos. El producto resultante se divide por 3, ya que contiene un factor de 3, y el valor de la expresión entre paréntesis para n natural es un número natural. Por lo tanto, es divisible por 3 para cualquier número natural n.

Respuesta:

Si.

En muchos casos, se puede demostrar la divisibilidad entre 3. Analicemos su aplicación a la hora de resolver un ejemplo.

Ejemplo.

Demuestre que para cualquier número entero positivo n, el valor de la expresión es divisible por 3.

Solución.

Para la prueba, usamos el método de inducción matemática.

A n = 1 el valor de la expresión es igual a, y 6 es divisible por 3.

Suponga que el valor de una expresión es divisible por 3 cuando n = k, es decir, es divisible por 3.

Teniendo en cuenta lo que es divisible por 3, mostraremos que el valor de la expresión para n = k + 1 es divisible por 3, es decir, mostraremos que es divisible por 3.

Hagamos algunas transformaciones:

La expresión es divisible por 3 y la expresión es divisible por 3, por lo que su suma es divisible por 3.

Por tanto, el método de inducción matemática demostró la divisibilidad entre 3 para cualquier número natural n.

Mostremos otro enfoque para demostrar la divisibilidad entre 3. Si mostramos que para n = 3 m, n = 3 m + 1 y n = 3 m + 2, donde m es un entero arbitrario, el valor de alguna expresión (con variable n) es divisible por 3, entonces esto demostrará divisibilidad de la expresión entre 3 para cualquier número entero n. Consideremos este enfoque mientras resolvemos el ejemplo anterior.

Por lo tanto, porque cualquier número natural n es divisible por 3.

Respuesta:

Si.

Bibliografía.

• Vilenkin N. Ya. y otras Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
• Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoría de los números.
• Kulikov L.Ya. y otros Colección de problemas de álgebra y teoría de números: un libro de texto para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de los institutos pedagógicos.

Pruebas de divisibilidad de números- estas son las reglas que permiten, sin hacer división, averiguar con relativa rapidez si este número es divisible por uno dado sin residuo.
Algunos de criterios de divisibilidad bastante simple, algunos más difíciles. En esta página encontrará tanto los criterios de divisibilidad para números primos, como, por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, y los criterios de divisibilidad para números compuestos, como 6 o 12.
Espero que esta información te sea de utilidad.
¡Feliz aprendizaje!

Divisibilidad por 2

Esta es una de las pruebas de divisibilidad más simples. Suena así: si el registro de un número natural termina en un dígito par, entonces es par (divisible por 2 sin resto), y si el registro de un número termina en un dígito impar, entonces este número es impar.
En otras palabras, si el último dígito del número es 2 , 4 , 6 , 8 o 0 - el número es divisible por 2, si no, entonces no es divisible
Por ejemplo, números: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 son divisibles por 2 porque son pares.
Y números: 23 5 , 137 , 2303
no son divisibles por 2 porque son impares.

Divisibilidad por 3

Este criterio de divisibilidad tiene reglas completamente diferentes: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número también es divisible por 3; si la suma de los dígitos de un número no es divisible por 3, entonces el número tampoco es divisible por 3.
Entonces, para entender si un número es divisible por 3, solo necesita sumar los números que lo componen.
Se ve así: 3987 y 141 son divisibles por 3, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 3 = 9 - divisible por 3 sin ostak), y en el segundo 1 + 4 + 1 = 6 (6: 3 = 2 - también divisible por 3 sin ostak).
Pero los números: 235 y 566 no son divisibles por 3, porque 2 + 3 + 5 = 10 y 5 + 6 + 6 = 17 (y sabemos que ni 10 ni 17 son divisibles por 3 sin resto).

Divisibilidad por 4

Este criterio de divisibilidad será más complicado. Si los últimos 2 dígitos del número forman un número que es divisible por 4 o es 00, entonces el número es divisible por 4; de lo contrario, este número no es divisible por 4 sin un resto.
Por ejemplo: 1 00 y 3 64 se dividen por 4, porque en el primer caso el número termina en 00 , y en el segundo en 64 , que a su vez es divisible por 4 sin residuo (64: 4 = 16)
Números 3 57 y 8 86 no son divisibles por 4, porque ni 57 ni 86 no son divisibles por 4, lo que significa que no corresponden al criterio de divisibilidad dado.

Divisibilidad por 5

Y nuevamente tenemos un signo de divisibilidad bastante simple: si el registro de un número natural termina con el dígito 0 o 5, entonces este número es divisible sin un resto por 5. Si el registro de un número termina con otro dígito, entonces el número no es divisible por 5 sin resto.
Esto significa que cualquier número que termine en dígitos 0 y 5 p. ej., 1235 5 y 43 0 , caen bajo la regla y son divisibles por 5.
Y, por ejemplo, 1549 3 y 56 4 no terminan en 5 o 0, lo que significa que no pueden ser divisibles entre 5 sin un resto.

Divisibilidad por 6

Ante nosotros hay un número compuesto 6, que es el producto de los números 2 y 3. Por lo tanto, la divisibilidad por 6 también es compuesta: para que un número sea divisible por 6, debe corresponder a dos características de divisibilidad al mismo tiempo. tiempo: la característica de divisibilidad por 2 y la característica de divisibilidad por 3. Al mismo tiempo, observe que un número compuesto como 4 tiene un signo individual de divisibilidad, porque es el producto del número 2 por sí mismo. Pero volvamos al criterio de divisibilidad por 6.
Los números 138 y 474 son pares y corresponden a los signos de divisibilidad por 3 (1 + 3 + 8 = 12, 12: 3 = 4 y 4 + 7 + 4 = 15, 15: 3 = 5), lo que significa que son divisible por 6. Pero 123 y 447, aunque son divisibles por 3 (1 + 2 + 3 = 6, 6: 3 = 2 y 4 + 4 + 7 = 15, 15: 3 = 5), pero son impares, lo que significa que no corresponden al criterio de divisibilidad por 2 y, por lo tanto, no corresponden al criterio de divisibilidad por 6.

Divisibilidad por 7

Este criterio de divisibilidad es más complejo: un número es divisible por 7 si el resultado de restar el último dígito duplicado de las decenas de este número es divisible por 7 o igual a 0.
Suena bastante confuso, pero sencillo en la práctica. Compruébelo usted mismo: el número 95 9 es divisible entre 7 porque 95 -2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (77 es divisible por 7 sin resto). Además, si surgieran dificultades con el número obtenido durante las transformaciones (debido a su tamaño es difícil entender si es divisible por 7 o no, entonces este procedimiento se puede continuar tantas veces como se estime necesario).
Por ejemplo, 45 5 y 4580 Tengo signos de divisibilidad entre 7. En el primer caso, todo es bastante simple: 45 -2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. En el segundo caso, haremos esto: 4580 -2 * 1 = 4580-2 = 4578. Es difícil para nosotros entender si 457 8 por 7, así que repitamos el proceso: 457 -2 * 8 = 457-16 = 441. Y nuevamente usaremos el criterio de divisibilidad, ya que todavía tenemos un número de tres dígitos 44 1. Entonces, 44 -2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, es decir 42 es divisible por 7 sin resto, lo que significa que 45801 es divisible por 7.
Pero los numeros 11 1 y 34 5 no es divisible por 7 porque 11 -2 * 1 = 11 - 2 = 9 (9 no es divisible por 7) y 34 -2 * 5 = 34-10 = 24 (24 no puede ser divisible por 7).

Divisibilidad por 8

La divisibilidad entre 8 es la siguiente: si los últimos 3 dígitos forman un número que es divisible por 8, o 000, entonces el número dado es divisible por 8.
Números 1 000 o 1 088 divisible por 8: primero termina en 000 , el segundo 88 : 8 = 11 (divisible por 8 sin resto).
Y aquí están los números 1 100 o 4 757 no son divisibles por 8, ya que los números 100 y 757 no son divisibles por 8 de manera uniforme.

Divisibilidad por 9

Este signo de divisibilidad es similar al signo de divisibilidad por 3: si la suma de los dígitos de un número es divisible por 9, entonces el número también es divisible por 9; si la suma de los dígitos de un número no es divisible por 9, entonces el número tampoco es divisible por 9.
Por ejemplo: 3987 y 144 son divisibles entre 9, porque en el primer caso 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 9 = 3 - divisible por 9 sin ostak), y en el segundo 1 + 4 + 4 = 9 (9: 9 = 1 - también divisible por 9 sin ostak).
Pero los números: 235 y 141 no son divisibles por 9, porque 2 + 3 + 5 = 10 y 1 + 4 + 1 = 6 (y sabemos que ni 10 ni 6 son divisibles por 9 sin residuo).

Divisibilidad por 10, 100, 1000 y otras unidades de bits

Combiné estos signos de divisibilidad porque se pueden describir de la misma manera: un número se divide por una unidad de bit si el número de ceros al final del número es mayor o igual que el número de ceros en una unidad de bit dada .
En otras palabras, por ejemplo, tenemos números como este: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... de los cuales todos son divisibles por 1 0 ; 46400 y 867 000 también se dividen por 1 00 ; y solo uno de ellos - 867 000 divisible por 1 000 .
Cualquier número que tenga menos ceros al final que una unidad de bit no es divisible por esa unidad de bit, por ejemplo 600 30 y 7 93 no divisible 1 00 .

Divisibilidad por 11

Para saber si un número es divisible por 11, necesitas obtener la diferencia entre las sumas de los dígitos pares e impares de este número. Si esta diferencia es igual a 0 o es divisible por 11 sin residuo, entonces el número en sí es divisible por 11 sin residuo.
Para que quede más claro, propongo considerar ejemplos: 2 35 4 es divisible por 11 porque ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 también es divisible por 11, ya que ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Pero 1 1 1 o 4 35 4 no es divisible entre 11, ya que en el primer caso obtenemos (1 + 1) - 1 = 1, y en el segundo ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Divisibilidad por 12

El número 12 es compuesto. Su criterio de divisibilidad es la correspondencia con los criterios de divisibilidad por 3 y 4 al mismo tiempo.
Por ejemplo, 300 y 636 corresponden tanto a los signos de divisibilidad por 4 (los últimos 2 dígitos son ceros o son divisibles por 4) como a los signos de divisibilidad por 3 (la suma de los dígitos y el primero y tres veces el número es divisible por 3), y si lo es, son divisibles por 12 sin residuo.
Pero 200 o 630 no son divisibles por 12, porque en el primer caso el número corresponde solo al criterio de divisibilidad por 4, y en el segundo, solo al criterio de divisibilidad por 3. pero no a ambos signos al mismo tiempo. .

Divisibilidad por 13

El signo de divisibilidad por 13 es que si el número de decenas de un número, sumado a las unidades de este número multiplicadas por 4, es un múltiplo de 13 o igual a 0, entonces el número en sí es divisible por 13.
Toma por ejemplo 70 2. Entonces, 70 + 4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (78 es divisible por 13 sin resto), lo que significa 70 2 es divisible por 13 sin resto. Otro ejemplo es un número 114 4. 114 + 4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. El número 130 es divisible por 13 sin resto, lo que significa que el número dado corresponde al criterio de divisibilidad por 13.
Si tomamos los números 12 5 o 21 2, entonces obtenemos 12 + 4 * 5 = 32 y 21 + 4 * 2 = 29, respectivamente, y ni 32 ni 29 son divisibles entre 13 sin un resto, lo que significa que los números dados no son divisibles por 13 de manera uniforme.

Divisibilidad de números

Como se puede ver en lo anterior, podemos suponer que para cualquiera de los números naturales puede elegir su propio criterio de divisibilidad individual o una característica "compuesta" si el número es un múltiplo de varios números diferentes. Pero como muestra la práctica, en general, cuanto mayor es el número, más complejo es su signo. Quizás el tiempo dedicado a verificar el criterio de divisibilidad resulte ser igual o mayor que la división en sí. Por lo tanto, usualmente usamos el más simple de los criterios de divisibilidad.