Visi trikampio aukščiai susikerta dviejuose taškuose. Pagrindiniai trikampio abc elementai. Pitagoro teoremos taikymo problema

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti matematikos pagrindų egzaminą. Norint išlaikyti egzaminą 90-100 balų, 1 dalį reikia išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo egzaminui kursas 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti 1 matematikos egzamino dalį (pirmos 12 uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų per egzaminą, ir be jų neapsieina nei šimtabalsis, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa teorija, kurios jums reikia. Greiti sprendimai, spąstai ir egzamino paslaptys. Iš FIPI užduočių banko išardytos visos atitinkamos 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka egzamino-2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprasta ir nesudėtinga.

Šimtai egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų tipų USE užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi lapeliai, lavinanti erdvinę vaizduotę. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus sudėtingų sąvokų paaiškinimas. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų II egzamino dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Sprendžiant geometrinius uždavinius, pravartu vadovautis šiuo algoritmu. Skaitydami problemos teiginį, turite

Padarykite piešinį. Brėžinys turi kuo labiau atitikti problemos būklę, todėl pagrindinė jo užduotis yra padėti rasti sprendimą
Taikykite visus duomenis iš problemos teiginio brėžinyje
Užrašykite visas užduotyje pasitaikančias geometrines sąvokas
Prisiminkite visas teoremas, susijusias su šia sąvoka
Brėžinyje nupieškite visus ryšius tarp geometrinės figūros elementų, kurie išplaukia iš šių teoremų

Pavyzdžiui, jei užduotyje yra žodis trikampio kampo pusiausvyra, turite prisiminti bisektoriaus apibrėžimą ir savybes bei brėžinyje nurodyti lygius arba proporcingus segmentus ir kampus.

Šiame straipsnyje rasite pagrindines trikampio savybes, kurias reikia žinoti norint sėkmingai išspręsti problemas.

TRIKAMPIS.

Trikampio plotas.

1. ,

čia yra savavališka trikampio kraštinė, aukštis nuleistas į šią pusę.

2. ,

čia ir yra savavališkos trikampio kraštinės, yra kampas tarp šių kraštinių:

3. Garnio formulė:

Čia yra trikampio kraštinių ilgiai, yra trikampio pusperimetras,

4. ,

čia yra trikampio pusiau perimetras, yra įbrėžto apskritimo spindulys.

Leisti būti liestinių segmentų ilgiai.

Tada Herono formulę galima parašyti taip:

6. ,

čia - trikampio kraštinių ilgiai, - apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Jei trikampio kraštinėje imamas taškas, dalijantis šią kraštinę santykiu m:n, tai atkarpa, jungianti šį tašką su priešingo kampo viršūne, padalija trikampį į du trikampius, kurių plotai yra susieti kaip m : n:

Panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.

Trikampio mediana

Tai linijos atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu.

Trikampio medianos susikerta viename taške ir yra padalinti iš susikirtimo taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės.

Taisyklingo trikampio medianų susikirtimo taškas padalija medianą į dvi atkarpas, iš kurių mažesnė lygi įbrėžtojo apskritimo spinduliui, o didesnė – įbrėžtojo apskritimo spinduliui.

Įbrėžto apskritimo spindulys yra du kartus didesnis už įbrėžto apskritimo spindulį: R = 2r

Vidutinis ilgis savavališkas trikampis

čia - į šoną nubrėžta mediana, - trikampio kraštinių ilgiai.

Trikampio bisektorius

Tai yra bet kurio trikampio kampo bisektoriaus segmentas, jungiantis šio kampo viršūnę su priešinga kraštine.

Trikampio bisektorius padalija kraštą į segmentus, proporcingus gretimoms kraštinėms:

Trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, kuris yra įbrėžto apskritimo centras.

Visi kampo bisektoriaus taškai yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių.

Trikampio aukštis

Tai statmens atkarpa, nuleista nuo trikampio viršūnės į priešingą kraštą, arba jos tęsinys. Bukajame trikampyje aukštis, nubrėžtas nuo smailiojo kampo viršūnės, yra už trikampio ribų.

Trikampio aukščiai susikerta viename taške, kuris vadinamas trikampio stačiakampis.

Norėdami rasti trikampio aukštį nubrėžtas į šoną, reikia bet kokiu būdu surasti jo plotą ir naudoti formulę:

Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, centras, yra statmenų susikirtimo taške su trikampio kraštinėmis.

Trikampio apibrėžtojo apskritimo spindulys galima rasti pagal šias formules:

Čia yra trikampio kraštinių ilgiai, yra trikampio plotas.

kur yra trikampio kraštinės ilgis, yra priešingas kampas. (Ši formulė išplaukia iš sinuso teoremos).

Trikampio nelygybė

Kiekviena trikampio kraštinė yra mažesnė už sumą ir didesnė už kitų dviejų skirtumą.

Bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma visada yra didesnė už trečiosios kraštinės ilgį:

Priešinga didesnei pusei yra didesnis kampas; priešais didesnį kampą yra didesnė pusė:

Jei, tai atvirkščiai.

Sinuso teorema:

trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams:

Kosinuso teorema:

trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai be šių kraštinių dvigubos sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso:

Taisyklingas trikampis

- tai trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90°.

Stačiakampio trikampio smailieji kampai sudaro 90 °.

Hipotenuzė yra pusė, esanti priešais 90 ° kampą. Hipotenuzė yra didžiausia pusė.

Pitagoro teorema:

hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:

Į stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys yra

čia yra įbrėžto apskritimo spindulys, - kojos, - hipotenuzė:

Apskritimo, apibrėžto apie stačiakampį trikampį, centras yra hipotenuzės viduryje:

Stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, mediana, yra lygus pusei hipotenuzės.

Stačiojo trikampio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymasžiūrėk

Stačiakampio trikampio elementų santykis:

Stačiakampio trikampio aukščio kvadratas, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, yra lygus kojų ir hipotenuzės projekcijų sandaugai:

Kojos kvadratas lygus hipotenuzės ir kojos projekcijos į hipotenuzą sandaugai:

Koja guli priešais kampą lygi pusei hipotenuzės:

Lygiašonis trikampis.

Lygiašonio trikampio, nubrėžto į pagrindą, pusė yra mediana ir aukštis.

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs.

Viršūnės kampas.

Ir - šonai,

Ir - kampai prie pagrindo.

Aukštis, pusiausvyra ir mediana.

Dėmesio! Aukštis, pusiausvyra ir mediana, nubrėžta į šoną, nesutampa.

Taisyklingas trikampis

(arba lygiakraštis trikampis ) yra trikampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs vienas kitam.

Taisyklingo trikampio plotas yra lygus

kur yra trikampio kraštinės ilgis.

Į taisyklingąjį trikampį įbrėžto apskritimo centras, sutampa su apskritimo, apibrėžto apie taisyklingąjį trikampį, centru ir yra medianų susikirtimo taške.

Taisyklingo trikampio medianų susikirtimo taškas padalija medianą į dvi atkarpas, iš kurių mažesnioji lygi įbrėžto apskritimo spinduliui, o didesnė – įbrėžto apskritimo spinduliui.

Jei vienas iš lygiašonio trikampio kampų yra 60 °, tai šis trikampis yra taisyklingas.

Vidurinė trikampio linija

Tai yra linijos atkarpa, jungianti abiejų kraštinių vidurio taškus.

Paveiksle DE yra trikampio ABC vidurinė linija.

Vidurinė trikampio linija lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei: DE || AC, AC = 2DE

Išorinis trikampio kampas

Tai kampas, esantis greta bet kurio trikampio kampo.

Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų kampų, kurie nėra šalia jo, sumai.

Išorinio kampo trigonometrinės funkcijos:

Trikampių lygybės ženklai:

1 ... Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampui tarp jų, tai tokie trikampiai yra lygūs.

2 ... Jei vieno trikampio kraštinė ir du gretimi kampai yra atitinkamai lygūs kito trikampio kraštinei ir dviem gretimiems kampams, tai tokie trikampiai yra lygūs.

3 Jei vieno trikampio trys kraštinės atitinkamai lygios trims kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Svarbu: kadangi du stačiakampio trikampio kampai tikrai yra lygūs, tada už dviejų stačiųjų trikampių lygybė reikalaujama tik dviejų elementų lygybės: dviejų kraštinių arba šoninio ir smailiojo kampo.

Trikampių panašumo ženklai:

1 ... Jei dvi vieno trikampio kraštinės yra proporcingos dviem kito trikampio kraštinėms, o kampai tarp šių kraštinių yra lygūs, tai šie trikampiai yra panašūs.

2 ... Jei trys vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio trims kraštinėms, tai šie trikampiai yra panašūs.

3 ... Jei du vieno trikampio kampai yra lygūs dviem kito trikampio kampams, tai šie trikampiai yra panašūs.

Svarbu: panašiuose trikampiuose panašios kraštinės yra priešais vienodus kampus.

Menelaus teorema

Tegul tiesė kerta trikampį ir - jos susikirtimo su kraštine tašką, - jos susikirtimo su kraštine tašką ir - jos susikirtimo su kraštinės tęsiniu tašką. Tada

Trikampiai.

Pagrindinės sąvokos.

Trikampis yra figūra, susidedanti iš trijų tiesių atkarpų ir trijų taškų, kurie nėra vienoje tiesėje.

Segmentai vadinami vakarėliams, ir taškai - viršūnės.

Kampų suma trikampis lygus 180º.

Trikampio aukštis.

Trikampio aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš viršaus į priešingą pusę.

Smailiame trikampyje aukštis yra trikampyje (1 pav.).

Stačiakampiame trikampyje kojos yra trikampio aukščiai (2 pav.).

Bukajame trikampyje aukštis yra už trikampio ribų (3 pav.).

Trikampio aukščio savybės:

Trikampio pusiausvyra.

Trikampio bisektorius yra linijos atkarpa, dalijanti viršūnės kampą pusiau ir jungianti viršūnę su tašku priešingoje pusėje (5 pav.).

Bisektoriaus savybės:

Trikampio mediana.

Trikampio mediana yra linijos atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos pusės viduriu (9a pav.).

Medianos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kur m a yra mediana, nubrėžta į šoną a.

Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra pusė hipotenuzės:

c
m c = —
2

kur m c- mediana, nubrėžta iki hipotenuzės c(9c pav.)

Trikampio medianos susikerta viename taške (trikampio masės centre) ir yra padalintos iš šio taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki centro yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo centro iki trikampio kraštinės (9c pav.).

Trys trikampio medianos padalija jį į šešis vienodus trikampius.

Vidurinė trikampio linija.

Vidurinė trikampio linija yra atkarpa, jungianti jos dviejų kraštinių vidurio taškus (10 pav.).

Vidurinė trikampio linija lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei

Išorinis trikampio kampas.

Išorinis kampas trikampis lygus dviejų negretimų vidinių kampų sumai (11 pav.).

Išorinis trikampio kampas yra didesnis už bet kurį ne gretimą kampą.

Taisyklingas trikampis.

Taisyklingas trikampis yra trikampis su stačiu kampu (12 pav.).

Stačiakampio trikampio kraštinė, priešinga stačiajam kampui, vadinama hipotenuzė.

Kitos dvi partijos yra vadinamos kojos.

Proporcingos tiesės atkarpos stačiakampiame trikampyje.

1) Stačiakampiame trikampyje stačiu kampu nubrėžtas aukštis sudaro tris panašius trikampius: ABC, ACH ir HCB (14a pav.). Atitinkamai, kampai, sudaryti iš aukščio, yra lygūs kampams A ir B.

14a pav

Lygiašonis trikampis.

Lygiašonis trikampis yra trikampis, kurio dvi kraštinės lygios (13 pav.).

Šios lygios pusės vadinamos šoninės pusės o trečiasis yra pagrindu trikampis.

Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo yra lygūs. (Mūsų trikampyje kampas A lygus kampui C).

Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta į pagrindą, yra ir trikampio pusiausvyra, ir aukštis.

Lygiakraštis trikampis.

Lygiakraščiu trikampiu vadinamas trikampis, kurio visos kraštinės lygios (14 pav.).

Lygiakraščio trikampio savybės:

Nuostabios trikampių savybės.

Trikampiai turi originalių savybių, kurios padės sėkmingai išspręsti su šiomis formomis susijusias problemas. Kai kurios iš šių savybių aprašytos aukščiau. Tačiau pakartojame jas dar kartą, pridėdami keletą kitų puikių funkcijų:

1) Stačiakampiame trikampyje su 90º, 30º ir 60º kampais b, kuris yra priešais 30º kampą, yra lygus pusė hipotenuzės. Ir kojaa daugiau kojosb√3 kartus (15 pav a). Pavyzdžiui, jei koja b yra 5, tada hipotenuzė c būtinai lygus 10, o koja a yra lygus 5√3.

2) Stačiakampio lygiašonio trikampio, kurio kampai yra 90º, 45º ir 45º, hipotenuzė yra √2 kartus didesnė už koją (15 pav. b). Pavyzdžiui, jei kojos yra 5, tada hipotenuzė yra 5√2.

3) Trikampio vidurio linija lygi pusei lygiagrečios kraštinės (15 pav.). Su). Pavyzdžiui, jei trikampio kraštinė yra 10, tada lygiagreti vidurio linija yra 5.

4) Stačiakampiame trikampyje mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės (9c pav.): m c= s / 2.

5) Trikampio medianos, susikertančios viename taške, padalytos iš šio taško santykiu 2:1. Tai reiškia, kad atkarpa nuo viršūnės iki medianų susikirtimo taško yra dvigubai didesnė už atkarpą nuo medianų susikirtimo taško iki trikampio kraštinės (9c pav.)

6) Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės vidurys yra apibrėžtojo apskritimo centras (15 pav. d).

Trikampių lygybės testai.

Pirmasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Antrasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio kraštinė ir prie jos esantys kampai yra lygūs kito trikampio kraštinei ir prie jos esantys kampai, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Trečiasis lygybės ženklas: jei vieno trikampio trys kraštinės lygios trims kito trikampio kraštinėms, tai tokie trikampiai yra lygūs.

Trikampio nelygybė.

Bet kuriame trikampyje kiekviena kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą.

Pitagoro teorema.

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trikampio plotas.

1) Trikampio plotas yra lygus pusei jo kraštinės sandaugos iš aukščio, nubrėžto į šią kraštinę:

ai
S = ——
2

2) Trikampio plotas yra lygus pusei bet kurių dviejų jo kraštinių sandaugos iš kampo tarp jų sinuso:

1
S = — AB AC · nuodėmė A
2

Aplink apskritimą apibrėžtas trikampis.

Apskritimas vadinamas įbrėžtu į trikampį, jeigu jis liečia visas jo kraštines (16 pav.). a).

Į apskritimą įbrėžtas trikampis.

Trikampis vadinamas įbrėžtu į apskritimą, jei jis liečia jį visomis savo viršūnėmis (17 pav. a).

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas (18 pav.).

Sinusas aštrus kampas x prieštaraujantys koja iki hipotenuzės.
Ji žymima taip: nuodėmėx.

Kosinusas aštrus kampas x stačiakampis yra santykis gretimas koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: cos x.

Tangentas aštrus kampas x yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Jis žymimas taip: tgx.

Kotangentas aštrus kampas x- Tai yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Jis žymimas taip: ctgx.

Taisyklės:

Koja priešais kampą x, yra lygus hipotenuzės ir nuodėmės sandaugai x:

b = c Nuodėmė x

Koja greta kampo x, yra lygus hipotenuzės ir cos sandaugai x:

a = c Cos x

Koja priešais kampą x, yra lygus antrosios kojos ir tg sandaugai x:

b = a Tg x

Koja greta kampo x, yra lygus antrosios kojos ir ctg sandaugai x:

a = b Ctg x.

Bet kokiam aštriam kampui x:

nuodėmė (90 ° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = nuodėmė x

Trikampis) arba išeikite už trikampio ribų ties buku trikampiu.

Kolegialus „YouTube“.

1 / 5

✪ 7 laipsnio trikampio VIDURIO BISKTRIKO AUKŠTIS

✪ pusiausvyra, mediana, trikampio aukštis. Geometrija 7 klasė

✪ 7 klasė, 17 pamoka, trikampio medianos, pusiausvyros ir aukščiai

✪ Mediana, pusiaukampė, trikampio aukštis | Geometrija

✪ Kaip rasti pusiausvyros ilgį, medianą ir aukščius? | Botai su manimi # 031 | Borisas Trušinas

Subtitrai

Trikampio trijų aukščių (ortocentro) susikirtimo taško savybės

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ rodyklė virš dešinės (CA)) + (\ rodyklė ant dešinės (EC)) \ cdot (\ rodyklė virš dešinės (AB)) = 0)

(Norint įrodyti tapatybę, reikia naudoti formules

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (EB) (EB)))

Taške E turėtumėte paimti dviejų trikampio aukščių sankirtą.)

Ortocentras izogoniškai susijungę su centru apibrėžtas ratas .
Ortocentras yra vienoje tiesioje linijoje su centroidu, centru apibrėžtas ratas o devynių taškų apskritimo centras (žr. Eulerio liniją).
Ortocentras smailaus kampo trikampis yra apskritimo, įbrėžto į jo stačiakampį, centras.
Trikampio centras, kurį riboja stačiakampis, kurio viršūnės yra šio trikampio kraštinių vidurio taškuose. Paskutinis trikampis vadinamas papildomu trikampiu pirmojo trikampio atžvilgiu.
Paskutinę savybę galima suformuluoti taip: Apskritimo, apibrėžto apie trikampį, centras tarnauja ortocentras papildomas trikampis.
Taškai simetriški ortocentras trikampio kraštinių atžvilgiu, guli ant apibrėžtojo apskritimo.
Taškai simetriški ortocentras trikampio kraštinių vidurio taškų atžvilgiu, taip pat yra ant apskritimo ir sutampa su taškais, kurie yra diametraliai priešingi atitinkamoms viršūnėms.
Jei O yra apibrėžtojo apskritimo ΔABC centras, tai O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
Atstumas nuo trikampio viršūnės iki ortocentro yra du kartus didesnis už atstumą nuo apskritimo centro iki priešingos kraštinės.
Bet kuris segmentas, sudarytas iš ortocentras prieš kertant apskritimą, jis visada padalijamas per pusę Eulerio apskritimo. Ortocentras yra šių dviejų apskritimų homotetiškumo centras.
Hamiltono teorema... Trys tiesių atkarpos, jungiančios stačiakampį su smailaus kampo trikampio viršūnėmis, padalija jį į tris trikampius, turinčius tokį patį Eulerio apskritimą (devynių taškų apskritimą), kaip ir pradinis smailaus kampo trikampis.
Hamiltono teoremos pasekmės:
- Trys linijos atkarpos, jungiančios stačiakampį su smailaus kampo trikampio viršūnėmis, padalija jį į tris Hamiltono trikampis turintys vienodus apibrėžtųjų apskritimų spindulius.
- Trijų apibrėžtųjų apskritimų spinduliai Hamiltono trikampiai yra lygūs apskritimo, apibrėžto apie pradinį smailųjį trikampį, spinduliui.
Smagiojo kampo trikampyje ortocentras yra trikampio viduje; buku - už trikampio ribų; stačiakampėje - stačiojo kampo viršūnėje.

Lygiašonio trikampio aukščio savybės

Jei du trikampio aukščiai yra lygūs, tai trikampis yra lygiašonis (Steinerio – Lemuso teorema), o trečiasis aukštis kartu yra kampo, iš kurio jis išeina, mediana ir pusiaukraštis.
Taip pat yra atvirkščiai: lygiašoniame trikampyje du aukščiai yra vienodi, o trečiasis aukštis yra ir mediana, ir pusiausvyra.
Lygiakraščio trikampio visi trys aukščiai yra lygūs.

Trikampio pagrindo aukščio savybės

Pamatai aukščiai sudaro vadinamąjį stačiakampį, kuris turi savo savybių.
Apskritimas apie stačiakampį yra Eulerio apskritimas. Šiame apskritime taip pat yra trys trikampio kraštinių vidurio taškai ir trys trijų atkarpų, jungiančių ortocentrą su trikampio viršūnėmis, vidurio taškai.
Kita paskutinės savybės formuluotė:
- Eulerio teorema devynių taškų apskritimui. Pamatai trys aukščių savavališkas trikampis, jo trijų kraštinių vidurys ( jos vidaus pagrindai medianos) ir trijų atkarpų, jungiančių jos viršūnes su ortocentru, vidurio taškai yra tame pačiame apskritime (ant devynių taškų apskritimas).
Teorema... Bet kuriame trikampyje atkarpa jungiasi pamatai du aukščių trikampis, nupjauna tokį trikampį kaip šis.
Teorema... Trikampyje atkarpa jungiasi pamatai du aukščių trikampiai guli iš dviejų pusių, antilygiagretus trečioji šalis, su kuria neturi bendrų dalykų. Per du jo galus, taip pat per dvi trečiosios minėtos pusės viršūnes visada galima nubrėžti apskritimą.

Kitos trikampio aukščio savybės

Jei trikampis universalus (skalenas), tada jos vidinis iš bet kurios viršūnės nubrėžtas bisektorius yra tarp vidinis mediana ir aukštis, paimti iš tos pačios viršūnės.
Trikampio aukštis lygiai konjuguotas su skersmeniu (spinduliu) apibrėžtas ratas nubrėžtas iš tos pačios viršūnės.
Smailiame trikampyje jos dvi aukščių nupjaukite nuo jo tokius trikampius.
Stačiakampiame trikampyje aukščio nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, padalija jį į du trikampius, panašius į pradinį.

Trikampio aukščių minimumo savybės

Mažiausias trikampio aukštis turi daug ekstremalių savybių. Pavyzdžiui:

Minimali stačiakampio trikampio projekcija į tieses, esančias trikampio plokštumoje, ilgis yra lygus mažiausiam iš jo aukščių.
Mažiausios tiesios atkarpos plokštumoje, per kurią galima ištraukti nelenkiamą trikampę plokštę, ilgis turi būti lygus mažiausiam iš šios plokštės aukščių.
Nepertraukiamai judant dviem taškams išilgai trikampio perimetro vienas kito link, didžiausias atstumas tarp jų judant nuo pirmojo susitikimo iki antrojo negali būti mažesnis už mažiausio trikampio aukščių ilgį.
Mažiausias trikampio aukštis visada yra tame trikampyje.

Pagrindiniai santykiai

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) kur S (\ displaystyle S)- trikampio plotas, a (\ rodymo stilius a)- trikampio kraštinės ilgis, iki kurio nuleidžiamas aukštis.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) kur b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- šonų produktas, R – (\ displaystyle R-) apibrėžtojo apskritimo spindulys
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ rodymo stilius h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), kur r (\ displaystyle r) yra įbrėžto apskritimo spindulys.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hb - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1)) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c) )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a)))))))), kur S (\ displaystyle S)- trikampio plotas.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hb - 1 ha) (\ rodymo stilius a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1)) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), a (\ rodymo stilius a)- trikampio kraštinė, į kurią krenta aukštis h a (\ displaystyle h_ (a)).
Lygiašonio trikampio aukštis, nuleistas iki pagrindo: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ))

kur c (\ displaystyle c)- bazė, a (\ rodymo stilius a)- pusė.

Stačiojo trikampio aukščio teorema

Jei stačiakampio trikampio aukštis yra ABC su ilgiu h (\ displaystyle h) nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės dalija hipotenuzą su ilgiu c (\ displaystyle c) segmentams m (\ displaystyle m) ir n (\ displaystyle n) atitinkančias kojas b (\ displaystyle b) ir a (\ rodymo stilius a), tada yra teisingos šios lygybės.