Vse višine trikotnika se sekajo v dveh točkah. Osnovni elementi trikotnika abc. Problem uporabe Pitagorejskega izreka

Video tečaj "Dobijte A" vključuje vse teme, potrebne za uspešno opravljen izpit iz matematike pri 60-65 točkah. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primerno tudi za opravljanje osnovnega izpita iz matematike. Če želite opraviti izpit za 90-100 točk, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razrede, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za reševanje 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na izpitu in brez njih ne morejo niti stotočkovnik niti študent humanistike.

Vsa teorija, ki jo potrebujete. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Razstavljene vse ustrezne naloge 1. dela iz Banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam izpita 2018.

Tečaj vsebuje 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana iz nič, preprosta in jasna.

Na stotine izpitnih nalog. Besedni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti in zapomnljivi algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčna gradiva, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zapletene rešitve, koristne goljufije, razvijanje prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabiranja. Vizualna razlaga kompleksnih konceptov. algebra. Korenine, stopnje in logaritmi, funkcija in izpeljanka. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.

Pri reševanju geometrijskih problemov je koristno upoštevati ta algoritem. Ko berete izjavo o problemu, morate

Naredi risbo. Risba mora čim bolj ustrezati stanju problema, zato je njena glavna naloga pomagati pri iskanju rešitve
Uporabite vse podatke iz izjave o problemu na risbo
Zapiši vse geometrijske pojme, ki se pojavljajo v nalogi
Spomnimo se vseh izrekov, ki se nanašajo na ta koncept
Na risbo nariši vse odnose med elementi geometrijske figure, ki izhajajo iz teh izrekov

Na primer, če se v problemu pojavi beseda simetrala kota trikotnika, se morate spomniti definicije in lastnosti simetrale ter označiti enake ali sorazmerne segmente in kote na risbi.

V tem članku boste našli osnovne lastnosti trikotnika, ki jih morate poznati za uspešno reševanje problemov.

TRIKOTNIK.

Območje trikotnika.

1. ,

tukaj je poljubna stranica trikotnika, je višina spuščena na to stran.

2. ,

tukaj in sta poljubni strani trikotnika, je kot med tema stranicama:

3. Heronova formula:

Tukaj so dolžine stranic trikotnika, je polperimeter trikotnika,

4. ,

tukaj je pol-obod trikotnika, je polmer vpisane kroge.

Naj so dolžine segmentov tangent.

Potem lahko Heronovo formulo zapišemo takole:

6. ,

tukaj - dolžine stranic trikotnika, - polmer opisanega kroga.

Če vzamemo točko na strani trikotnika, ki deli to stran v razmerju m: n, potem segment, ki povezuje to točko z vrhom nasprotnega kota, razdeli trikotnik na dva trikotnika, katerih površine sta povezani kot m : n:

Razmerje med površinami podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

Mediana trikotnika

To je odsek, ki povezuje vrh trikotnika s sredino nasprotne strani.

Trikotne mediane sekajo v eni točki in se delijo s presečiščem v razmerju 2: 1, štetje od vrha.

Točka presečišča median pravilnega trikotnika deli mediano na dva segmenta, od katerih je manjši enak polmeru vpisane krožnice, večji pa polmeru vpisane krožnice.

Polmer vpisanega kroga je dvakrat večji od polmera vpisanega kroga: R = 2r

Srednja dolžina poljuben trikotnik

tukaj - mediana, narisana na stran, - dolžine stranic trikotnika.

Simetrala trikotnika

To je odsek simetrale katerega koli vogala trikotnika, ki povezuje vrh tega kota z nasprotno stranjo.

Simetrala trikotnika deli stran na segmente, sorazmerne s sosednjimi stranicami:

Simetrale trikotnika sekajo v eni točki, ki je središče vpisanega kroga.

Vse točke simetrale kota so enako oddaljene od stranic kota.

Višina trikotnika

To je odsek navpičnice, spuščen z vrha trikotnika na nasprotno stran, ali njegovo nadaljevanje. V tupokotnem trikotniku višina, potegnjena iz vrha ostrega kota, leži zunaj trikotnika.

Višine trikotnika sekajo v eni točki, ki se imenuje ortocenter trikotnika.

Najti višino trikotnika narisano na stran, morate najti njegovo območje na kateri koli razpoložljiv način in nato uporabiti formulo:

Središče kroga, opisanega okoli trikotnika, leži na presečišču pravokotnic na stranice trikotnika.

Polmer opisane kroge trikotnika najdemo po naslednjih formulah:

Tukaj so dolžine stranic trikotnika, je površina trikotnika.

kjer je dolžina stranice trikotnika, je nasprotni kot. (Ta formula izhaja iz sinusnega izreka).

Neenakost trikotnika

Vsaka stranica trikotnika je manjša od vsote in večja od razlike drugih dveh.

Vsota dolžin poljubnih dveh strani je vedno večja od dolžine tretje strani:

Nasproti večji strani je večji kot; nasproti večjega vogala leži večja stran:

Če, potem obratno.

Sinusni izrek:

stranice trikotnika so sorazmerne s sinusi nasprotnih kotov:

Kosinusni izrek:

kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic brez dvakratnega zmnožka teh strani s kosinusom kota med njima:

Pravokotni trikotnik

- je trikotnik, katerega eden od kotov je 90 °.

Ostri koti pravokotnega trikotnika znašajo do 90 °.

Hipotenuza je stran, ki leži nasproti kota 90 °. Hipotenuza je največja stran.

Pitagorov izrek:

kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katete:

Polmer kroga, vpisanega v pravokoten trikotnik, je

tukaj je polmer vpisanega kroga, - krakov, - hipotenuze:

Središče kroga, opisanega okoli pravokotnega trikotnika leži na sredini hipotenuze:

Mediana pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, je enak polovici hipotenuze.

Določanje sinusa, kosinusa, tangenta in kotangensa pravokotnega trikotnika poglej

Razmerje elementov v pravokotnem trikotniku:

Kvadrat višine pravokotnega trikotnika, potegnjen iz vrha pravega kota, je enak zmnožku projekcij katete in hipotenuze:

Kvadrat katete je enak produktu hipotenuze in projekcije katete na hipotenuzo:

Noga leži nasproti vogala enaka polovici hipotenuze:

Enakokraki trikotnik.

Simetrala enakokrakega trikotnika, narisana na osnovo, je mediana in višina.

V enakokrakem trikotniku so koti na osnovi enaki.

Apeksni kot.

In - strani,

In - koti na dnu.

Višina, simetrala in mediana.

Pozor! Višina, simetrala in mediana, narisana na stran, se ne ujemajo.

Pravilni trikotnik

(oz enakostranični trikotnik ) je trikotnik, katerega vse stranice in koti so med seboj enaki.

Površina pravilnega trikotnika je enako

kjer je dolžina stranice trikotnika.

Središče kroga, vpisanega v pravilen trikotnik, sovpada s središčem kroga, opisanega okoli pravilnega trikotnika, in leži na presečišču median.

Presečišče median pravilnega trikotnika deli mediano na dva segmenta, od katerih je manjši enak polmeru vpisane krožnice, večji pa polmeru vpisane krožnice.

Če je eden od kotov enakokrakega trikotnika 60 °, potem je ta trikotnik pravilen.

Srednja črta trikotnika

To je odsek, ki povezuje središča obeh strani.

Na sliki je DE srednja črta trikotnika ABC.

Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici: DE || AC, AC = 2DE

Zunanji vogal trikotnika

To je vogal, ki meji na kateri koli kot trikotnika.

Zunanji kot trikotnika je enak vsoti dveh kotov, ki mu nista sosednja.

Trigonometrične funkcije zunanjega kota:

Znaki enakosti trikotnikov:

1 ... Če sta dve strani in kot med njima enega trikotnika enaka obema stranicama in kotu med njima drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

2 ... Če sta stranica in dva sosednja kota enega trikotnika enaka strani in dvema sosednjima kotoma drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

3 Če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

Pomembno: ker sta dva kota v pravokotnem trikotniku zagotovo enaka, potem za enakost dveh pravokotnih trikotnikov zahteva enakost samo dveh elementov: dveh stranic ali stranice in ostrega kota.

Znaki podobnosti trikotnikov:

1 ... Če sta strani enega trikotnika sorazmerni z dvema stranicama drugega trikotnika in sta kota med tema stranicama enaka, sta si trikotnika podobna.

2 ... Če so tri stranice enega trikotnika sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika, so ti trikotniki podobni.

3 ... Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si trikotnika podobna.

Pomembno: v podobnih trikotnikih so podobne stranice nasproti enakih kotov.

Menelajev izrek

Naj ravna črta seka trikotnik in - točko njenega presečišča s stranico, - točko njenega presečišča s stranico in - točko njenega presečišča s podaljškom stranice. Potem

Trikotniki.

Osnovni koncepti.

trikotnik je figura, sestavljena iz treh odsekov in treh točk, ki ne ležijo na eni ravni črti.

Segmenti se imenujejo stranke in točke - vrhovi.

Vsota kotov trikotnik je enak 180 º.

Višina trikotnika.

Višina trikotnika je pravokotnica, potegnjena z vrha na nasprotno stran.

V ostrokotnem trikotniku je višina znotraj trikotnika (slika 1).

V pravokotnem trikotniku so kraki višine trikotnika (slika 2).

V tupokotnem trikotniku je višina zunaj trikotnika (slika 3).

Lastnosti višine trikotnika:

Simetrala trikotnika.

Simetrala trikotnika je odsek, ki deli kot oglišča na polovico in povezuje točko s točko na nasprotni strani (slika 5).

Lastnosti simetrale:

Mediana trikotnika.

Mediana trikotnika je odsek, ki povezuje oglišče s sredino nasprotne strani (slika 9a).

Dolžino mediane lahko izračunamo s formulo:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

kje m a je mediana, povlečena na stran a.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena proti hipotenuzi, polovica hipotenuze:

c
m c = —
2

kje m c- mediana, narisana na hipotenuzo c(Slika 9c)

Mediane trikotnika se sekajo v eni točki (v središču mase trikotnika) in so deljene s to točko v razmerju 2:1, štetje od vrha. To pomeni, da je odsek od vrha do središča dvakrat večji od segmenta od središča do stranice trikotnika (slika 9c).

Tri mediane trikotnika ga razdelijo na šest enakih trikotnikov.

Srednja črta trikotnika.

Srednja črta trikotnika je segment, ki povezuje središča njegovih dveh stranic (slika 10).

Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranjo in je enaka njeni polovici

Zunanji vogal trikotnika.

Zunanji kot trikotnik je enak vsoti dveh nesosednjih notranjih kotov (slika 11).

Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli nesosednjega kota.

Pravokotni trikotnik.

Pravokotni trikotnik je trikotnik s pravim kotom (slika 12).

Imenuje se stranica pravokotnega trikotnika nasproti pravemu kotu hipotenuza.

Drugi dve stranki sta poklicani noge.

Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku.

1) V pravokotnem trikotniku višina, potegnjena iz pravega kota, tvori tri podobne trikotnike: ABC, ACH in HCB (slika 14a). V skladu s tem so koti, ki jih tvori višina, enaki kotoma A in B.

sl.14a

Enakokraki trikotnik.

Enakokraki trikotnik je trikotnik z enakimi stranicama (slika 13).

Te enake strani se imenujejo stranske strani in tretji je osnova trikotnik.

V enakokrakem trikotniku so koti na osnovi enaki. (V našem trikotniku je kot A enak kotu C).

V enakokrakem trikotniku je mediana, narisana na osnovo, tako simetrala kot višina trikotnika.

Enakostranični trikotnik.

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake (slika 14).

Lastnosti enakostraničnega trikotnika:

Čudovite lastnosti trikotnikov.

Trikotniki imajo izvirne lastnosti, ki vam bodo pomagale uspešno rešiti težave s temi oblikami. Nekatere od teh lastnosti so opisane zgoraj. Vendar jih ponovimo še enkrat in jim dodamo še nekaj drugih odličnih lastnosti:

1) V pravokotnem trikotniku s koti 90º, 30º in 60º b, ki leži nasproti kota 30º, je enako polovica hipotenuze. In nogaa več nogb√3-krat (slika 15 a). Na primer, če je krak b 5, potem je hipotenuza c nujno enako 10, in noga a je enako 5√3.

2) V pravokotnem enakokrakem trikotniku s koti 90º, 45º in 45º je hipotenuza √2-krat večja od kraka (slika 15 b). Na primer, če so noge 5, potem je hipotenuza 5√2.

3) Srednja črta trikotnika je enaka polovici vzporedne stranice (slika 15 Z). Na primer, če je stranica trikotnika 10, je vzporedna srednja črta 5.

4) V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena proti hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze (slika 9c): m c= s / 2.

5) Mediane trikotnika, ki se sekajo v eni točki, so deljene s to točko v razmerju 2:1. To pomeni, da je odsek od oglišča do točke presečišča median dvakrat večji od segmenta od točke presečišča median do stranice trikotnika (slika 9c)

6) V pravokotnem trikotniku je sredina hipotenuze središče opisanega kroga (sl. 15 d).

Preizkusi enakosti za trikotnike.

Prvi znak enakosti: če sta dve strani in kot med njima enega trikotnika enaka dvema stranicama in kotu med njima drugega trikotnika, potem sta takšna trikotnika enaka.

Drugi znak enakosti: če sta stranica in sosednji koti enega trikotnika enaki stranici in koti, ki ji mejijo drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

Tretji znak enakosti: če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

Neenakost trikotnika.

V katerem koli trikotniku je vsaka stranica manjša od vsote drugih dveh stranic.

Pitagorejev izrek.

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katete:

c 2 = a 2 + b 2 .

Območje trikotnika.

1) Površina trikotnika je enaka polovici produkta njegove strani z višino, potegnjeno na to stran:

ah
S = ——
2

2) Površina trikotnika je enaka polovici produkta katerega koli dveh njegovih stranic s sinusom kota med njima:

1
S = — AB AC · greh A
2

Trikotnik, opisan okrog kroga.

Krog imenujemo vpisan v trikotnik, če se dotika vseh njegovih stranic (slika 16.). a).

Trikotnik, vpisan v krog.

Trikotnik imenujemo vpisan v krog, če se ga dotika z vsemi svojimi oglišči (slika 17 a).

Sinus, kosinus, tangent, kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika (slika 18).

Sinus ostri kot x nasprotuje nogo na hipotenuzo.
Označeno je takole: grehx.

kosinus ostri kot x pravokotni trikotnik je razmerje sosednji nogo na hipotenuzo.
Označena je takole: cos x.

Tangenta ostri kot x je razmerje med nasprotno nogo in sosednjo nogo.
Označena je takole: tgx.

Kotangens ostri kot x- To je razmerje med sosednjo nogo in nasprotno.
Označena je takole: ctgx.

Pravila:

Noga nasproti vogalu x, je enak zmnožku hipotenuze in greha x:

b = c Greh x

Noga ob vogalu x, je enak zmnožku hipotenuze in cos x:

a = c Cos x

Noga nasproti vogalu x, je enak zmnožku drugega kraka in tg x:

b = a Tg x

Noga ob vogalu x, je enako zmnožku drugega kraka in ctg x:

a = b Ctg x.

Za vsak oster kot x:

greh (90 ° - x) = cos x

cos (90 ° - x) = greh x

Trikotnik) ali pa gremo izven trikotnika pri topokotnem trikotniku.

Kolegij YouTube

1 / 5

✪ VIŠINA MEDIANNE BISEKTRIKE trikotnika, ocena 7

✪ simetrala, mediana, višina trikotnika. Geometrija 7

✪ 7. razred, 17. lekcija, Mediane, simetrale in višine trikotnika

✪ Mediana, simetrala, višina trikotnika | Geometrija

✪ Kako najti dolžino simetrale, mediano in višine? | Botai z mano # 031 | Boris Trushin

Podnapisi

Lastnosti presečišča treh višin trikotnika (ortocenter)

EA → ⋅ BC → + EB → ⋅ CA → + EC → ⋅ AB → = 0 (\ displaystyle (\ overrightarrow (EA)) \ cdot (\ overrightarrow (BC)) + (\ overrightarrow (EB)) \ cdot (\ overrightarrow (CA)) + (\ overrightarrow (EC)) \ cdot (\ overrightarrow (AB)) = 0)

(Za dokaz identitete je treba uporabiti formule

AB → = EB → - EA →, BC → = EC → - EB →, CA → = EA → - EC → (\ displaystyle (\ overrightarrow (AB)) = (\ overrightarrow (EB)) - (\ overrightarrow (EA) )), \, (\ overrightarrow (BC)) = (\ overrightarrow (EC)) - (\ overrightarrow (EB)), \, (\ overrightarrow (CA)) = (\ overrightarrow (EA)) - (\ overrightarrow (ES)))

Za točko E bi morali vzeti presečišče dveh višin trikotnika.)

Ortocenter izogonalno konjugirana s središčem opisan krog .
Ortocenter leži na eni ravni črti s središčem, središčem opisan krog in središče kroga devetih točk (glej Eulerjevo črto).
Ortocenter ostrokotni trikotnik je središče kroga, vpisanega v njegov pravokotnik.
Središče trikotnika, ki ga obkroža ortocenter z oglišči na središčih stranic tega trikotnika. Zadnji trikotnik se imenuje komplementarni trikotnik glede na prvi trikotnik.
Zadnjo lastnost lahko formuliramo na naslednji način: Središče kroga, opisanega okoli trikotnika, služi ortocenter dodatni trikotnik.
Točke so simetrične ortocenter trikotnika glede na njegove stranice ležijo na opisanem krogu.
Točke so simetrične ortocenter trikotnika glede na središča stranic, prav tako ležijo na opisanem krogu in sovpadajo s točkami, diametralno nasprotnimi od ustreznih oglišč.
Če je O središče opisanega kroga ΔABC, potem O H → = O A → + O B → + O C → (\ displaystyle (\ overrightarrow (OH)) = (\ overrightarrow (OA)) + (\ overrightarrow (OB)) + (\ overrightarrow (OC))) ,
Razdalja od vrha trikotnika do ortocentra je dvakratna razdalja od središča opisanega kroga do nasprotne strani.
Kateri koli segment, narisan iz ortocenter preden prečka opisani krog, ga vedno prepolovi Eulerjev krog. Ortocenter je središče homotetije teh dveh krogov.
Hamiltonov izrek... Trije odseki, ki povezujejo ortocenter z oglišči ostrokotnega trikotnika, ga delijo na tri trikotnike, ki imajo enako Eulerjev krog (krog z devetimi točkami) kot prvotni ostrokotni trikotnik.
Posledice Hamiltonovega izreka:
- Trije odseki črte, ki povezujejo ortocenter z oglišči ostrokotnega trikotnika, ga delijo na tri Hamiltonov trikotnik ki imajo enake polmere opisanih krogov.
- Polmeri opisanih krogov treh Hamiltonovi trikotniki so enaki polmeru kroga, opisanega okoli prvotnega ostrokotnega trikotnika.
V ostrokotnem trikotniku leži ortocenter znotraj trikotnika; v tupi - zunaj trikotnika; v pravokotnem - na vrhu pravega kota.

Lastnosti višine enakokrakega trikotnika

Če sta dve višini v trikotniku enaki, je trikotnik enakokraki (Steinerjev - Lemusov izrek), tretja višina pa je hkrati mediana in simetrala kota, iz katerega izhaja.
Velja tudi obratno: v enakokrakem trikotniku sta dve višini enaki, tretja višina pa je tako mediana kot simetrala.
V enakostraničnem trikotniku so vse tri višine enake.

Lastnosti višine osnove trikotnika

Temelji višine tvorijo tako imenovani ortotrikotnik, ki ima svoje lastnosti.
Krog, opisan okoli pravokotnika, je Eulerjev krog. Ta krog vsebuje tudi tri središča stranic trikotnika in tri središča treh segmentov, ki povezujejo ortocenter z oglišči trikotnika.
Druga formulacija zadnje lastnosti:
- Eulerjev izrek za krog devetih točk. Temelji trije višine poljuben trikotnik, sredina njegovih treh stranic ( temelje njenega notranjega mediane) in središča treh segmentov, ki povezujejo svoja oglišča z ortocentrom, vsi ležijo na istem krogu (na krog devetih točk).
Izrek... V katerem koli trikotniku je segment, ki povezuje temelje dve višine trikotnik, odreže takšen trikotnik.
Izrek... V trikotniku je segment, ki povezuje temelje dve višine trikotniki, ki ležijo na dveh straneh, antiparalelno tretja oseba, s katero nima skupnih točk. Skozi njegova dva konca, pa tudi skozi dve točki tretje omenjene strani, lahko vedno narišete krog.

Druge lastnosti višine trikotnika

Če je trikotnik vsestranski (scalene), potem je notranji simetrala, vlečena iz katerega koli oglišča, leži med notranji mediana in višina, potegnjena iz istega vrha.
Višina trikotnika je izogonalno konjugirana s premerom (polmerom) opisan krog narisano iz istega vrha.
V ostrokotnem trikotniku sta dva višine od njega odrežite takšne trikotnike.
V pravokotnem trikotniku višina potegnjen iz vrha pravega kota, ga razdeli na dva trikotnika, podobna prvotnemu.

Lastnosti najmanjše višine trikotnika

Najmanjša višina trikotnika ima številne ekstremne lastnosti. Na primer:

Najmanjša pravokotna projekcija trikotnika na ravne črte, ki ležijo v ravnini trikotnika, ima dolžino, ki je enaka najmanjši od njegovih višin.
Najmanjši ravni odsek v ravnini, skozi katerega je mogoče potegniti neupogibno trikotno ploščo, mora imeti dolžino, ki je enaka najmanjši od višin te plošče.
Pri neprekinjenem premikanju dveh točk vzdolž oboda trikotnika drug proti drugemu največja razdalja med njima med premikom od prvega srečanja do drugega ne sme biti manjša od dolžine najmanjše od višin trikotnika.
Najmanjša višina v trikotniku je vedno znotraj tega trikotnika.

Osnovni odnosi

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β, (\ displaystyle h_ (a) = b (\ cdot) \ sin \ gamma = c (\ cdot) \ sin \ beta,)
h a = 2 ⋅ S a, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (2 (\ cdot) S) (a)),) kje S (\ displaystyle S)- površina trikotnika, a (\ slog prikaza a)- dolžina stranice trikotnika, na katero je spuščena višina.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R, (\ displaystyle h_ (a) = (\ frac (b (\ cdot) c) (2 (\ cdot) R)),) kje b ⋅ c (\ displaystyle b (\ cdot) c)- produkt stranic, R - (\ displaystyle R-) polmer opisanega kroga
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c): (a ⋅ c): (a ⋅ b). (\ slog prikaza h_ (a): h_ (b): h_ (c) = (\ frac (1) (a)): (\ frac (1) (b)): (\ frac (1) (c)) = (b (\ cdot) c) :( a (\ cdot) c) :( a (\ cdot) b).)
1 ha + 1 hb + 1 hc = 1 r (\ displaystyle (\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) = (\ frac (1) (r))), kje r (\ displaystyle r) je polmer vpisanega kroga.
S = 1 (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle S = (\ frac (1) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c )))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c))) ) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))), kje S (\ displaystyle S)- površina trikotnika.
a = 2 ha ⋅ (1 ha + 1 hb + 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hb - 1 hc) ⋅ (1 ha + 1 hc - 1 hb) ⋅ (1 hb + 1 hc - 1 ha) (\ displaystyle a = (\ frac (2) (h_ (a) (\ cdot) (\ sqrt (((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (b))) - (\ frac (1) (h_ (c)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (a))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) ) (h_ (b)))) (\ cdot) ((\ frac (1) (h_ (b))) + (\ frac (1) (h_ (c))) - (\ frac (1) (h_ (a))))))))), a (\ slog prikaza a)- stran trikotnika, na katero pade višina h a (\ displaystyle h_ (a)).
Višina enakokrakega trikotnika, spuščenega na osnovo: hc = 1 2 ⋅ 4 a 2 - c 2, (\ displaystyle h_ (c) = (\ frac (1) (2)) (\ cdot) (\ sqrt (4a ^ (2) -c ^ (2)) ))

kje c (\ slog prikaza c)- osnova, a (\ slog prikaza a)- stranski.

Višinski izrek za pravokoten trikotnik

Če je višina v pravokotnem trikotniku ABC z dolžino h (\ displaystyle h) potegnjena iz vrha pravega kota deli hipotenuzo z dolžino c (\ slog prikaza c) za segmente m (\ displaystyle m) in n (\ displaystyle n) ki ustreza nogam b (\ slog prikaza b) in a (\ slog prikaza a), potem veljajo naslednje enakosti.