Kaip išvesti nupjautos piramidės tūrio formulę. Pilnos ir nupjautinės piramidės tūrio formulės. Cheopso piramidės tūris. Tinkamai piramidei formulės yra teisingos

12.01.2017

HA13118 yra AB klasės stiprintuvas, turi minimalų išorinių elementų skaičių ir turi didelę galią esant santykinai žemai maitinimo įtampai, o stiprintuvas taip pat turi didelį 55 dB stiprinimą, todėl nereikia išankstinio signalo stiprinimo. Pagrindinės techninės charakteristikos: Išėjimo galia 18 W (maksimali) esant 4 omų apkrovai 10 W ...

30.10.2014

Visos išvardytos mikroschemos yra pagamintos SIP1 pakete su 11 kontaktų ir yra dviejų kanalų stereo LF stiprintuvai ir turi tą patį išorinių elementų prijungimą. * TDA2005 yra specialiai sukurtas naudoti tilto grandinėje. Parametrai: TDA2004A (TDA2004S) Maitinimo įtampa 8 ... 18V Ramybės srovė 65mA Dažnių diapazonas 40 ... 20000Hz Rn -2 Ohm Išėjimo galia 10 W K ...

05.10.2014

Skaitmeniniu būdu valdomą reguliuojamą maitinimo grandinę sudaro teigiamas KM317 įtampos reguliatorius, CD4017 dešimtmečio skaitiklio KPOM, NE555 laikmatis ir neigiamas įtampos reguliatorius LM7912. Tinklo įtampa transformatoriumi sumažinama iki +/- 12V įtampos, esant 1A srovei antrinėje apvijoje, tada ji ištaisoma. C1-C5 talpinis pastovios įtampos filtras. LED1 LED signalai...

19.08.2018

Paveikslėlyje parodyta 8 kanalų laiko relės schema, laiko relė naudoja Arduino Nano, DS3231 realaus laiko laikrodį (modulį), septynių segmentų keturių skaitmenų indikatorių, pagrįstą TM1637 tvarkykle (TM1637 modulis) ir keturias valdymo mygtukai. Kiekviename kanale galite nustatyti relės įjungimo ir išjungimo laikus, visos relės įjungimo ir išjungimo laiko reikšmės saugomos ...

20.09.2014

Įprastos konstrukcijos trifazis asinchroninis variklis gali sukurti sukimo momentą nesiimant specialių priemonių, kai maitinamas iš vienfazio srovės tinklo. Tarkime, kad vieno iš veikiančio variklio, prijungto prie trifazio tinklo, laidų grandinė yra atvira (pavyzdžiui, dėl perdegusio saugiklio jungties). Mašina atsidūrė vienfaziame režime su nuosekliu arba nuosekliu lygiagrečiu statoriaus apvijų prijungimu ...

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidė yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis Piramidė vadinamas atstumu nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visos šoninės – lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš viršaus, vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, nepriklausančius vienam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė vadinama visų šoninių paviršių plotų suma. Visas paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į aplink pagrindą apibrėžto apskritimo centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į aplink pagrindą apibrėžto apskritimo centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga ši formulė:

kur V- tūris;

S pagrindinis- bazinis plotas;

H- piramidės aukštis.

Tinkamai piramidei formulės yra teisingos:

kur p- bazinis perimetras;

h a- apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S pagrindinis- bazinis plotas;

V- teisingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalimi, atitverta tarp pagrindo ir piramidės pagrindui lygiagrečios skentinės plokštumos (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir piramidės pagrindui lygiagrečios skentinės plokštumos.

Pamatai nupjautos piramidės – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai - trapecijos formos. Aukštis nupjauta piramidė yra atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė vadinama atkarpa, jungiančia jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis nupjautos piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einanti per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso vienam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

kur S 1 , S 2 - viršutinio ir apatinio pagrindo sritys;

S pilnas- bendras paviršiaus plotas;

S pusė- šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V- nupjautos piramidės tūris.

Teisingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

kur p 1 , p 2 - pagrindų perimetrai;

h a- taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, todėl prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir t.y. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas trikampyje ABC). Šoninio šonkaulio pasvirimo kampas (pvz SB) Ar kampas tarp pačios briaunos ir jos projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio SBšis kampas bus kampas SBD... Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP ir OB... Tegul segmento ilgis BD yra lygus 3 a... Taškas O skyrius BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės yra cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai 2 cm ir 8 cm Taigi pagrindų plotai ir Pakeitę visus formulės duomenis, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikti pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur rasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D- statmenai nuo A 1 ant AS. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Rasti DE darykime papildomą brėžinį, kuriame bus pavaizduotas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas O- viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai Ar įbrėžto apskritimo spindulys ir OM- įbrėžto apskritimo spindulys:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai a ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą su piramidės pagrindo plokštuma, lygiu j... Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir ploto sumai ABCD.

Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas O- viršūnių projekcija S piramidės papėdėje. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSD pagrindo plokštumoje. Pagal teoremą apie plokštumos figūros stačiakampės projekcijos plotą gauname:

Panašiai tai reiškia Taigi užduotis buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD... Nubrėžkite trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas O- į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, pagal Pitagoro teoremą Iš

Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių formų yra piramidė. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tiek pilnas, tiek sutrumpintas piramides.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramides, todėl puikiai supranta, kuri figūra bus aptariama. Nepaisant to, Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Nagrinėjamas geometrinis objektas bendruoju atveju yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su kokiu nors pagrindo plokštumai nepriklausančiu erdvės tašku. Šis apibrėžimas veda į figūrą, susidedančią iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n + 1 paviršių, 2 * n briaunų ir n + 1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygybei:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Daugiakampis prie pagrindo suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingais pagrindais parodytas žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame yra sujungti n figūros trikampiai, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuleistas nuo jo iki pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdoma, susidaro pasvirusi piramidė.

Tiesi figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (konformalus) n-kampis, vadinama taisyklingąja.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudosime integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą su pjovimo plokštumomis, lygiagrečiomis pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurioje plonas pjūvio sluoksnis pažymėtas keturkampiu.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A (z) = A 0 * (h-z) 2 / h 2.

Čia A 0 yra bazinis plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0.

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

Pakeitę priklausomybę A (z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norint rasti V reikšmę, pakanka padauginti figūros aukštį iš pagrindo ploto ir padalyti rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant savavališko tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Pirmiau pateiktoje pastraipoje gautą bendrąją tūrio formulę galima paaiškinti piramidės su taisyklingu pagrindu atveju. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Pi simbolis yra pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė sukuria tokią išraišką:

V 3 = 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * 2 * val.

Įprastos keturkampės piramidės tūrio formulė yra tokia:

V 4 = 4/12 * 2 * val. * ctg (45 o) = 1/3 * 2 * val.

Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrius, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.

Nupjauta piramidė

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjauname nuo jos šoninio paviršiaus dalį, kurioje yra viršūnė. Likusi forma vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada susidaro nupjauta piramidė su lygiagrečiais panašiais pagrindais. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kito ilgius iš kokio nors koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas. Matyti, kad jo viršutinį pagrindą, kaip ir apatinį, sudaro taisyklingas šešiakampis.

Formulė, kurią galima gauti naudojant panašų integralų skaičiavimą, yra:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės viduje esančio tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis kiekvienos iš keturių konstrukcijos pusių ilgis buvo 230,363 metro. Piramidės pagrindas yra kvadratinis su dideliu tikslumu.

Norėdami nustatyti šio akmens milžino tūrį, naudosime aukščiau pateiktus skaičius. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Pakeičiame skaičius, gauname:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris yra beveik 2,6 milijono m 3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, prireiks daugiau nei 1000 tokių baseinų!

ir pjovimo plokštuma, lygiagreti jos pagrindui.

Arba kitaip: nupjauta piramidė- tai toks daugiakampis, kurį sudaro piramidė ir jos atkarpa, lygiagreti pagrindui.

Atkarpa, lygiagreti piramidės pagrindui, padalija piramidę į 2 dalis. Piramidės dalis tarp jos pagrindo ir atkarpos yra nupjauta piramidė.

Ši nupjautos piramidės atkarpa, pasirodo, yra vienas iš šios piramidės pagrindų.

Atstumas tarp nupjautinės piramidės pagrindų yra nupjautinės piramidės aukštis.

Nukirsta piramidė bus teisinga kai piramidė, iš kurios ji buvo gauta, taip pat buvo teisinga.

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus trapecijos aukštis yra apotemas teisinga nupjauta piramidė.

Nupjautos piramidės savybės.

1. Kiekvienas taisyklingos nupjautinės piramidės šoninis paviršius yra vienodo dydžio lygiašonės trapecijos.

2. Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai.

3. Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninės briaunos yra vienodo dydžio ir viena pasvirusi piramidės pagrindo atžvilgiu.

4. Nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.

5. Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninių briaunų dvikampiai kampai yra vienodo dydžio.

6. Pagrindų plotų santykis: S 2 / S 1 = k 2.

Sutrumpintos piramidės formulės.

Savavališkai piramidei:

Nupjautos piramidės tūris lygus 1/3 aukščio sandaugos h (OS) viršutinio pagrindo plotų sumai S 1 (a B C D E), apatinis nupjautinės piramidės pagrindas S 2 (A B C D E) ir tarp jų proporcingą vidurkį.

Piramidės tūris:

kur S 1, S 2- bazių plotas,

h- nupjautinės piramidės aukštis.

Šoninio paviršiaus plotas lygi nupjautinės piramidės šoninių paviršių plotų sumai.

Norėdami gauti teisingą nupjautą piramidę:

Teisinga nupjauta piramidė- daugiakampis, kurį sudaro taisyklinga piramidė ir jos atkarpa, lygiagreti pagrindui.

Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas yra ½ jos pagrindų perimetrų ir apotemos sandaugos.

kur S 1, S 2- bazių plotas,

φ - dvikampis kampas prie piramidės pagrindo.

CH yra nupjautos piramidės aukštis, P 1 ir P 2- pagrindų perimetrai, S 1 ir S 2- bazių plotai, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S pilnas- bendras paviršiaus plotas:

Piramidės pjūvis su plokštuma, lygiagrečia pagrindui.

Piramidės pjūvis plokštuma, lygiagrečia jos pagrindui (statmena aukščiui), padalija piramidės aukštį ir šonines briaunas į proporcingas atkarpas.

Piramidės pjūvis plokštuma, kuri lygiagreti jos pagrindui (statmena aukščiui), yra daugiakampis, panašus į piramidės pagrindą, o šių daugiakampių panašumo koeficientas atitinka jų atstumų nuo piramidės viršūnė.

Atkarpų, kurios yra lygiagrečios piramidės pagrindui, plotai yra susiję kaip atstumų nuo piramidės viršūnės kvadratai.

Nupjauta piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio viršūnės yra pagrindo viršūnės ir jo pjūvio viršūnės, lygiagrečios pagrindui plokštuma.

Sutrumpintos piramidės savybės:

Nupjautos piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai.
Nupjautos piramidės šoniniai paviršiai yra trapecijos.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninės briaunos yra lygios ir vienodai pasvirusios piramidės pagrindo link.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trapecijos ir vienodai pasvirę link piramidės pagrindo.
Taisyklingos nupjautinės piramidės šoninių briaunų dvikampiai kampai yra lygūs.

Nupjautos piramidės paviršiaus plotas ir tūris

Tegul - nupjautinės piramidės aukštis ir - nupjautinės piramidės pagrindų perimetrai ir - nupjautinės piramidės pagrindų plotas, - nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus plotas, - bendras nupjautos piramidės paviršiaus plotas, - nupjautinės piramidės tūris. Tada galioja šie santykiai: