En varias ED ordinarias de primer orden, existen aquellas en las que las variables xey pueden separarse en los lados derecho e izquierdo de la ecuación. Las variables ya pueden estar divididas, como se puede ver en la ecuación f (y) d y = g (x) d x. Es posible separar las variables en la EDO f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x realizando transformaciones. Muy a menudo, el método de introducir nuevas variables se utiliza para obtener ecuaciones con variables separables.

En este tema, veremos más de cerca el método para resolver ecuaciones con variables separadas. Considere ecuaciones con variables separables y DE, que se pueden reducir a ecuaciones con variables separables. En esta sección, hemos analizado una gran cantidad de tareas sobre el tema con un análisis detallado de la solución.

Para que le resulte más fácil dominar el tema, le recomendamos que se familiarice con la información que se encuentra publicada en la página "Definiciones y conceptos básicos de la teoría de ecuaciones diferenciales".

Ecuaciones diferenciales con variables separadas f (y) d y = g (x) d x

Definición 1

Las ecuaciones con variables separadas se denominan ecuaciones diferenciales de la forma f (y) d y = g (x) d x. Como sugiere el nombre, las variables incluidas en la expresión están a ambos lados del signo igual.

Acordemos que las funciones f (y) y g (x) lo consideraremos continuo.

Para ecuaciones con variables separadas, la integral general tendrá la forma ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x. Podemos obtener la solución general de la ecuación diferencial en la forma de una función implícitamente dada Ф (x, y) = 0 siempre que las integrales de la igualdad anterior se expresen en funciones elementales. En varios casos, es posible expresar la función y de forma explícita.

Ejemplo 1

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial separada y 2 3 d y = sin x d x.

Solución

Integramos ambos lados de la igualdad:

∫ y 2 3 d y = ∫ sen x d x

Ésta, de hecho, es la solución general de este DU. De hecho, hemos reducido el problema de encontrar la solución general de DE al problema de encontrar integrales indefinidas.

Ahora podemos usar la tabla de antiderivadas para tomar integrales que se expresan en funciones elementales:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2
donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias.

La función 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 está implícita. Es la solución general de la ecuación diferencial de variable separada original. Hemos recibido una respuesta y es posible que no procedamos con la solución. Sin embargo, en este ejemplo, la función deseada se puede expresar explícitamente mediante el argumento x.

Obtenemos:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, donde C = 5 3 (C 2 - C 1)

La solución general de esta DE es la función y = - 5 3 cos x + C 3 5

Respuesta:

Podemos escribir la respuesta de varias formas: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x o 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2, o y = - 5 3 cos x + C 3 5

Siempre vale la pena dejarle claro al profesor que, además de las habilidades para resolver ecuaciones diferenciales, también tienes la habilidad de transformar expresiones y tomar integrales. Esto es fácil de hacer. Basta con dar la respuesta final en forma de función explícita o función implícitamente dada Ф (x, y) = 0.

Ecuaciones diferenciales con variables separables f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y "= d y d x en los casos en que y es una función del argumento x.

En la DE f 1 (y) g 1 (x) dy = f 2 (y) g 2 (x) dx of 1 (y) g 1 (x) y "= f 2 (y) g 2 (x) dx podemos realizar transformaciones de tal manera que separemos las variables. Este tipo de DE se denomina DE con variables separables. El registro de la DE correspondiente con variables separadas será f 1 (y) f 2 (y) dy = g 2 (x) g 1 (x) dx.

Al separar variables, es necesario realizar todas las transformaciones con cuidado para evitar errores. Las ecuaciones resultante y original deben ser equivalentes entre sí. Como comprobación, puede utilizar la condición según la cual f 2 (y) y g 1 (x) no debe desaparecer en el intervalo de integración. Si no se cumple esta condición, existe la posibilidad de que perdamos algunas de las decisiones.

Ejemplo 2

Encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial y "= y · (x 2 + e x).

Solución

Podemos separar xey, por lo tanto, estamos tratando con una ED con variables separables.

y "= y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x p p y y ≠ 0

Para y = 0, la ecuación original se convierte en la identidad: 0 "= 0 · (x 2 + ex) ⇔ 0 ≡ 0. Esto nos permitirá afirmar que y = 0 es una solución de la ED. Esta solución podríamos No tener en cuenta a la hora de realizar las transformaciones.

Integremos la DE con variables separadas d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ dyy = ∫ (x 2 + ex) dx ∫ dyy = ln y + C 1 ∫ (x 2 + ex) dx = x 3 3 + ex + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + ex + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + ex + C

Mientras realizamos la transformación, realizamos el reemplazo C 2 - C 1 sobre el CON... La solución DE tiene la forma de una función definida implícitamente ln y = x 3 3 + e x + C. Podemos expresar esta función explícitamente. Para ello potenciaremos la igualdad resultante:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Respuesta: y = e x 3 3 + e x + C, y = 0

Ecuaciones diferenciales que se reducen a ecuaciones con variables separables y "= f (a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0

Para obtener una ED ordinaria de primer orden y "= f (a x + b y), a ≠ 0, b ≠ 0, a la ecuación con variables separables, es necesario introducir una nueva variable z = a x + b y, donde z es una función del argumento X.

Obtenemos:

z = una x + segundo y ⇔ y = 1 segundo (z - una x) ⇒ y "= 1 segundo (z" - una) f (una x + segundo y) = f (z)

Realizamos la sustitución y las transformaciones necesarias:

y "= f (ax + by) ⇔ 1 segundo (z" - a) = f (z) ⇔ z "= bf (z) + a ⇔ dzbf (z) + a = dx, bf (z) + a ≠ 0

Ejemplo 3

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y "= 1 ln (2 x + y) - 2 y una solución particular que satisfaga la condición inicial y (0) = e.

Solución

Introducimos la variable z = 2 x + y, obtenemos:

y = z - 2 x ⇒ y "= z" - 2 ln (2 x + y) = ln z

El resultado que obtuvimos se sustituye en la expresión original, la transformamos en un DU con variables separables:

y "= 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z" - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Integremos ambos lados de la ecuación después de separar las variables:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Apliquemos el método de integración por partes para encontrar la integral ubicada en el lado izquierdo de la ecuación. Veamos la integral del lado derecho en la tabla.

∫ ln zdz = u = ln z, dv = dzdu = dzz, v = z = z ln z - ∫ zdzz = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ dx = x + C 2

Podemos afirmar que z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2. Ahora si aceptamos eso C = C 2 - C 1 y realizar el reemplazo inverso z = 2 x + y, entonces obtenemos la solución general de la ecuación diferencial en forma de función implícitamente dada:

(2 x + y) (ln (2 x + y) - 1) = x + C

Ahora comencemos a encontrar una solución particular que debe satisfacer la condición inicial. y (0) = e... Hagamos la sustitución x = 0 e y (0) = e en la solución general de la DE y encuentre el valor de la constante C.

(2 0 + e) ​​(ln (2 0 + e) ​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Obtenemos una solución privada:

(2 x + y) (ln (2 x + y) - 1) = x

Dado que el enunciado del problema no especificó el intervalo en el que es necesario encontrar la solución general de la DE, buscamos una solución que sea adecuada para todos los valores del argumento x para los que la DE original tiene sentido.

En nuestro caso, la DE tiene sentido para ln (2 x + y) ≠ 0, 2 x + y> 0

Ecuaciones diferenciales que se reducen a ecuaciones con variables separables y "= f x yo y" = f y x

Podemos reducir ecuaciones diferenciales de la forma y "= f x yo y" = f y x a ecuaciones diferenciales con variables separables realizando la sustitución z = x yo z = y x, donde z Es la función del argumento x.

Si z = x y, entonces y = x z y según la regla de diferenciación de la fracción:

y "= x y" = x "z - x z" z 2 = z - x z "z 2

En este caso, las ecuaciones toman la forma z - x z "z 2 = f (z) o z - x z" z 2 = f 1 z

Si tomamos z = yx, entonces y = x ⋅ z y por la regla del producto derivado y "= (xz)" = x "z + xz" = z + xz ". En este caso, las ecuaciones se reducen a z + xz "= f 1 zo z + xz" = f (z).

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación diferencial y "= 1 e y x - y x + y x

Solución

Tomemos z = y x, luego y = x z ⇒ y "= z + x z". Sustituir en la ecuación original:

y "= 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z" = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Integraremos la ecuación con variables separadas, que obtuvimos al realizar las transformaciones:

∫ (mi z - z) re z = ∫ re x x mi z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C, C = C 2 - C 1

Realicemos el reemplazo inverso para obtener la solución general de la DE original en forma de función dada implícitamente:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

Y ahora detengámonos en el DE, que tiene la forma:

y "= una 0 y norte + una 1 y norte - 1 x + una 2 y norte - 2 x 2 + ... + una norte x norte segundo 0 y norte + segundo 1 y norte - 1 x + segundo 2 y norte - 2 x 2 + ... + segundo norte x norte

Dividir el numerador y el denominador de la fracción en el lado derecho del registro por s n o x n, podemos recordar la DE original y "= f x yo y" = f y x

Ejemplo 5

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y "= y 2 - x 2 2 x y

Solución

En esta ecuación, xey son diferentes de 0. Esto nos permite dividir el numerador y denominador de la fracción en el lado derecho del registro por x 2:

y "= y 2 - x 2 2 x y ⇒ y" = y 2 x 2-1 2 y x

Si introducimos una nueva variable z = y x, obtenemos y = x z ⇒ y "= z + x z".

Ahora necesitamos hacer una sustitución en la ecuación original:

y "= y 2 x 2 - 1 2 yx ⇔ z" x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z "x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z" x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ dzdxx = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 zdzz 2 + 1 = - dxx

Así llegamos a un DE con variables separadas. Encontremos su solución:

∫ 2 zdzz 2 + 1 = - ∫ dxx ∫ 2 zdzz 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ dxx = - ln x + C 2 ⇒ ln z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

Para esta ecuación, podemos obtener una solución explícita. Para hacer esto, tome - ln C = C 2 - C 1 y aplique las propiedades del logaritmo:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Ahora realizamos el cambio inverso y = x ⋅ z y escribimos la solución general de la DE original:

y = ± x 1 C x - 1

En este caso, la segunda solución también es correcta. Podemos usar el reemplazo z = x y Consideremos esta opción con más detalle.

Dividiremos el numerador y denominador de la fracción ubicada en el lado derecho de la ecuación por y 2:

y "= y 2 - x 2 2 x y ⇔ y" = 1 - x 2 y 2 2 x y

Sea z = x y

Entonces y "= 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z" x z 2 = 1 - z 2 2 z

Sustituyamos en la ecuación original para obtener una DE con variables separables:

y "= 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z" x z 2 = 1 - z 2 2 z

Separando las variables, obtenemos la igualdad d z z (z 2 + 1) = d x 2 x, que podemos integrar:

∫ re z z (z 2 + 1) = ∫ re x 2 x

Si expandimos el integrando de la integral ∫ d z z (z 2 + 1) en las fracciones más simples, obtenemos:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z

Integremos las fracciones más simples:

∫ 1 z - zz 2 + 1 dz = ∫ zdzz 2 + 1 = ∫ dtz - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln zz 2 + 1 + C 1

Ahora encontramos la integral ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

Como resultado, obtenemos ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 o ln z z 2 + 1 = ln C x, donde ln C = C 2 - C 1.

Realicemos el cambio inverso z = x y y las transformaciones necesarias, obtenemos:

y = ± x 1 C x - 1

La variante de la solución, en la que realizamos el cambio z = x y, resultó ser más laboriosa que en el caso del cambio z = y x. Esta conclusión será válida para un gran número de ecuaciones de la forma y "= f x yo y" = f y x. Si la opción elegida para resolver tales ecuaciones resulta laboriosa, puede introducir la variable z = y x en lugar de reemplazar z = x y. Esto no afectará el resultado de ninguna manera.

Ecuaciones diferenciales que se reducen a ecuaciones con variables separables y "= fa 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ R

Las ecuaciones diferenciales y "= fa 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 pueden reducirse a ecuaciones y" = fxy o y "= fyx, por lo tanto, a ecuaciones con variables separables. (X 0, y 0) - la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales homogéneas a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 y se introducen nuevas variables u = x - x 0 v = y - y 0. Después de este cambio, la ecuación toma la forma dvdu = a 1 u + b 1 va 2 u + b 2 v.

Ejemplo 6

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y "= x + 2 y - 3 x - 1.

Solución

Componemos y resolvemos un sistema de ecuaciones lineales:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Realizamos el cambio de variables:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Después de la sustitución en la ecuación original, obtenemos d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u. Después de dividir por tu el numerador y denominador del lado derecho, tenemos d v d u = 1 + 2 v u.

Introducimos una nueva variable z = v u ⇒ v = z y ⇒ d v d u = d z d u u + z, luego

dvdu = 1 + 2 vu ⇔ dzdu u + z = 1 + 2 z ⇔ dz 1 + z = duu ⇒ ∫ dz 1 + z = ∫ duu ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 2 ⇒ ln 1 + z = ln u + ln C, ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ vu = C u - 1 ⇔ v = u (C u - 1)

Volvemos a las variables originales, haciendo el cambio inverso u = x - 1 v = y - 1:
v = u (C u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Ésta es la solución general de la ecuación diferencial.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplos de soluciones.
Ecuaciones diferenciales separables

Ecuaciones diferenciales (DE). Estas dos palabras suelen aterrorizar al lego medio. Las ecuaciones diferenciales parecen algo extravagante y difícil de aprender para muchos estudiantes. Uuuuuuu ... ecuaciones diferenciales, ¡¿cómo puedo sobrevivir a todo esto ?!

Esta opinión y esta actitud son fundamentalmente erróneas, porque de hecho LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SON SIMPLES E INCLUSO DIVERTIDAS... ¿Qué necesitas saber y ser capaz de aprender a resolver ecuaciones diferenciales? Para estudiar con éxito diffura, debes ser bueno integrando y diferenciando. Cuanto mejor se estudien los temas Derivada de una función de una variable y Integral indefinida, más fácil será comprender las ecuaciones diferenciales. Diré más, si tienes habilidades de integración más o menos decentes, ¡entonces el tema está prácticamente dominado! Cuantas más integrales de varios tipos pueda resolver, mejor. ¿Por qué? Hay mucho que integrar. Y diferenciar. Mismo altamente recomendado aprender a encontrar.

En el 95% de los casos, se encuentran 3 tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden en los artículos de control: ecuaciones separables que veremos en esta lección; ecuaciones homogéneas y ecuaciones lineales no homogéneas... Para que los principiantes estudien difusión, le aconsejo que se familiarice con las lecciones de esta secuencia, y después de estudiar los dos primeros artículos, no estará de más consolidar sus habilidades en un taller adicional. ecuaciones reduciendo a homogéneas.

Hay incluso tipos más raros de ecuaciones diferenciales: ecuaciones en diferenciales totales, ecuaciones de Bernoulli y algunas otras. El más importante de los dos últimos tipos son las ecuaciones en diferenciales totales, ya que además de este DE estoy considerando un nuevo material: integración parcial.

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Entonces, los puntos de referencia están configurados, vamos:

Recordemos primero las ecuaciones algebraicas habituales. Contienen variables y números. El ejemplo más simple :. ¿Qué significa resolver una ecuación ordinaria? Significa encontrar muchos números que satisfacen esta ecuación. Es fácil ver que la ecuación de los niños tiene una sola raíz :. Para divertirnos, hagamos una verificación, sustituya la raíz encontrada en nuestra ecuación:

- se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución se encuentra correctamente.

¡Las diferencias son similares!

Ecuación diferencial primer orden en general contiene:
1) variable independiente;
2) variable dependiente (función);
3) la primera derivada de la función :.

En algunas ecuaciones de primer orden, puede que no haya "x" o (y) "juego", pero esto no es esencial: importante para que en DU fue la primera derivada, y no tenía derivados de órdenes superiores -, etc.

Que significa ? Resolver una ecuación diferencial significa encontrar muchas de todas las funciones que satisfacen esta ecuación. Tal conjunto de funciones a menudo tiene la forma (es una constante arbitraria), que se llama solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1

Resolver ecuación diferencial

Carga completa de municiones. Dónde empezar solución?

En primer lugar, debe volver a escribir la derivada en una forma ligeramente diferente. Recordamos la engorrosa designación, que probablemente a muchos de ustedes les pareció ridícula e innecesaria. ¡En diffura es lo que conduce!

En el segundo paso, veamos si es posible dividir las variables?¿Qué significa dividir variables? Mas o menos, En el lado izquierdo tenemos que irnos solo "jugadores", pero en el lado derecho organizar solo "x"... La separación de variables se realiza mediante manipulaciones "escolares": paréntesis, transferencia de términos de parte a parte con cambio de signo, transferencia de factores de parte a parte según la regla de proporción, etc.

Son diferenciales y multiplicadores plenos y participantes activos en las hostilidades. En el ejemplo en consideración, las variables se separan fácilmente arrojando multiplicadores de acuerdo con la regla de la proporción:

Las variables están separadas. En el lado izquierdo solo hay "juegos", en el lado derecho, solo "X".

Siguiente etapa - integrando una ecuación diferencial... Es simple, colgamos integrales en ambos lados:

Por supuesto, se deben tomar las integrales. En este caso, son tabulares:

Como recordamos, se asigna una constante a cualquier antiderivada. Aquí hay dos integrales, pero es suficiente escribir la constante una vez (dado que constante + constante sigue siendo igual a otra constante)... En la mayoría de los casos, se coloca en el lado derecho.

Estrictamente hablando, una vez tomadas las integrales, la ecuación diferencial se considera resuelta. Lo único es que nuestro "juego" no se expresa mediante "x", es decir, se presenta la solución implícitamente formulario. La solución de la ecuación diferencial en forma implícita se llama integral general de una ecuación diferencial... Es decir, es una integral general.

La respuesta en este formulario es bastante aceptable, pero ¿no hay una mejor opción? Tratemos de conseguir decisión común.

Por favor, recuerda la primera técnica, es muy común y se usa a menudo en ejercicios prácticos: si el logaritmo aparece en el lado derecho después de la integración, entonces en muchos casos (¡pero no siempre!) es recomendable escribir la constante también debajo del logaritmo. Y anote INMEDIATAMENTE si obtiene algunos logaritmos (como en el ejemplo que estamos considerando).

Es decir, EN LUGAR DE las entradas suelen estar escritas .

¿Por qué es necesario? Y para que sea más fácil expresar "juego". Usando la propiedad de los logaritmos ... En este caso:

Ahora se pueden eliminar logaritmos y módulos:

La función se presenta explícitamente. Ésta es la solución general.

Respuesta: decisión común: .

Las respuestas a muchas ecuaciones diferenciales son bastante fáciles de verificar. En nuestro caso, esto se hace de manera bastante simple, tomamos la solución encontrada y la diferenciamos:

Luego sustituimos la derivada en la ecuación original:

- se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución general satisface la ecuación, que se requería verificar.

Al dar una constante de valores diferentes, puede obtener infinitos soluciones privadas ecuación diferencial. Está claro que cualquiera de las funciones, etc. satisface la ecuación diferencial.

La solución general a veces se denomina familia de funciones... En este ejemplo, la solución general es Es una familia de funciones lineales, o mejor dicho, una familia de proporciones directas.

Después de masticar el primer ejemplo a fondo, es apropiado responder algunas preguntas ingenuas sobre ecuaciones diferenciales:

1)En este ejemplo, logramos dividir las variables. ¿Se puede hacer esto siempre? No, no siempre. Y aún más a menudo, las variables no se pueden dividir. Por ejemplo, en ecuaciones homogéneas de primer orden, primero debe reemplazar. En otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, en una ecuación lineal de primer orden no homogénea, es necesario utilizar varias técnicas y métodos para encontrar una solución general. Las ecuaciones separables que consideramos en la primera lección son el tipo más simple de ecuaciones diferenciales.

2) ¿Es siempre posible integrar una ecuación diferencial? No, no siempre. Es muy fácil llegar a una ecuación "elegante" que no se puede integrar, además, hay integrales no triviales. Pero tales ED se pueden resolver aproximadamente utilizando métodos especiales. D'Alembert y Cauchy garantizan ... ... uf, acechar más. Para leer mucho, casi agregó "del otro mundo".

3) En este ejemplo, hemos obtenido una solución en forma de integral general ... ¿Es siempre posible encontrar una solución general a partir de una integral general, es decir, expresar el "juego" de forma explícita? No, no siempre. Por ejemplo: . Bueno, ¿cómo puedo expresar "juego"? En tales casos, la respuesta debe escribirse como una integral general. Además, a veces se puede encontrar una solución general, pero está escrito tan engorroso y torpe que es mejor dejar la respuesta en forma de integral general.

4) ... probablemente suficiente por ahora. En el primer ejemplo, conocimos un punto más importante, pero para no tapar a los "maniquíes" con una avalancha de nueva información, lo dejaré para la próxima lección.

No nos apresuremos. Otro mando a distancia sencillo y una solución más típica:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular de una ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial

Solución: por condición se requiere encontrar solución privada DE que satisface una condición inicial dada. Esta formulación de la pregunta también se llama el problema de Cauchy.

Primero, encontramos una solución general. No hay una variable "x" en la ecuación, pero esto no debe ser confuso, lo principal es que contiene la primera derivada.

Reescribimos la derivada en la forma requerida:

Obviamente, las variables se pueden dividir, los niños a la izquierda, las niñas a la derecha:

Integramos la ecuación:

Se obtiene la integral general. Aquí dibujé una constante con un asterisco en superíndice, lo cierto es que muy pronto se convertirá en otra constante.

Ahora estamos tratando de transformar la integral general en una solución general (exprese el "juego" explícitamente). Recordamos la vieja, buena, escuela: ... En este caso:

La constante en el indicador parece de alguna manera no kosher, por lo que generalmente se baja del cielo a la tierra. En detalle, sucede así. Usando la propiedad de la potencia, reescribimos la función de la siguiente manera:

Si es una constante, entonces también es una constante, la re-denotamos por una letra:
- en este caso, eliminamos el módulo, después de lo cual la constante "tse" podrá tomar valores tanto positivos como negativos

Recuerde que la "demolición" de la constante es segunda técnica, que se utiliza a menudo en el curso de la resolución de ecuaciones diferenciales. En una copia limpia, puede pasar inmediatamente de , pero siempre esté preparado para explicar esta transición.

Entonces la solución general es :. Una familia tan bonita de funciones exponenciales.

En la etapa final, es necesario encontrar una solución particular que satisfaga la condición inicial dada. También es fácil.

Cual es la tarea? Es necesario recoger tal el valor de la constante para que se cumpla la condición.

Puedes diseñar de diferentes formas, pero la más comprensible, quizás, será así. En la solución general, en lugar de la "x", sustituimos cero, y en lugar del "juego", dos:



Es decir,

Versión de diseño estándar:

Ahora sustituimos el valor constante encontrado en la solución general:
- esta es la solución particular que necesitamos.

Respuesta: solución privada:

Vamos a revisar. La verificación de una solución privada incluye dos etapas:

Primero, ¿es necesario verificar si la solución particular encontrada realmente satisface la condición inicial? En lugar de "x" sustituimos por cero y vemos qué sucede:
- sí, efectivamente, se obtiene un dos, lo que significa que se cumple la condición inicial.

La segunda etapa ya es familiar. Tomamos la solución particular resultante y encontramos la derivada:

Sustituir en la ecuación original:

- se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: se encontró correctamente una solución particular.

Pasando a ejemplos más significativos.

Ejemplo 3

Resolver ecuación diferencial

Solución: Reescribimos la derivada en la forma que necesitamos:

¿Evaluar si las variables se pueden dividir? Poder. Transferimos el segundo término al lado derecho con un cambio de signo:

Y tiramos los multiplicadores según la regla de proporción:

Las variables están separadas, integramos ambas partes:

Debo advertirles que se acerca el día del juicio. Si no has estudiado bien Integrales indefinidas, ha resuelto algunos ejemplos, entonces no hay ningún lugar adonde ir; tendrá que dominarlos ahora.

La integral del lado izquierdo es fácil de encontrar, podemos tratar la integral de la cotangente usando la técnica estándar que consideramos en la lección. Integración de funciones trigonométricas El año pasado:

Como resultado, obtuvimos solo logaritmos y, de acuerdo con mi primera recomendación técnica, también definimos la constante debajo del logaritmo.

Ahora estamos tratando de simplificar la integral general. Dado que tenemos los mismos logaritmos, es bastante posible (y necesario) deshacerse de ellos. Mediante propiedades conocidas Empaquetamos los logaritmos tanto como sea posible. Escribiré con gran detalle:

El embalaje está completo para ser despojado brutalmente:
, e inmediatamente, dar inmediatamente integral general a la mente, siempre que sea posible:

En general, esto no es necesario, pero siempre es beneficioso complacer al profesor ;-)

En principio, esta obra maestra se puede escribir en respuesta, pero aquí sigue siendo apropiado cuadrar ambas partes y cambiar el nombre de la constante:

Respuesta: integral general:

! Nota: la integral general a menudo se puede escribir de más de una forma. Por lo tanto, si su resultado no coincidió con la respuesta conocida anteriormente, esto no significa que haya resuelto la ecuación de manera incorrecta.

¿Puedes expresar "juego"? Poder. Expresemos una solución general:

Por supuesto, el resultado obtenido es adecuado para una respuesta, pero tenga en cuenta que la integral general parece más compacta y la solución resultó ser más corta.

Tercer consejo técnico:si es necesario realizar un número significativo de acciones para obtener una solución general, en la mayoría de los casos es mejor abstenerse de estas acciones y dejar la respuesta en forma de integral general. Lo mismo se aplica a las acciones "malas", cuando necesitas expresar una función inversa, elevar a una potencia, extraer una raíz, etc. El hecho es que la solución general parecerá pretenciosa y engorrosa, con raíces grandes, signos y otra basura matemática.

¿Cómo verifico? La comprobación se puede realizar de dos formas. Método uno: tome una solución general , encontramos la derivada y sustituirlos en la ecuación original. ¡Inténtalo tú mismo!

La segunda forma es diferenciar la integral general. Es bastante fácil, lo principal es poder encontrar derivada de función implícita:

dividimos cada término por:

y en:

Se obtiene exactamente la ecuación diferencial original, lo que significa que la integral general se encuentra correctamente.

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial. Cheque.

Este es un ejemplo de una solución "hágalo usted mismo".

Permítanme recordarles que el algoritmo consta de dos etapas:
1) encontrar una solución común;
2) encontrar la solución privada requerida.

La verificación también se lleva a cabo en dos pasos (vea el ejemplo en el Ejemplo No. 2), necesita:
1) asegúrese de que la solución particular encontrada satisfaga la condición inicial;
2) verifique que la solución particular satisfaga generalmente la ecuación diferencial.

Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Ejemplo 5

Encuentra una solución particular a una ecuación diferencial satisfaciendo la condición inicial. Cheque.

Solución: Primero, encontramos la solución general.Esta ecuación ya contiene diferenciales prefabricados y, por lo tanto, la solución está simplificada. Separación de variables:

Integramos la ecuación:

La integral de la izquierda es tabular, la integral de la derecha es por el método de llevar la función bajo el signo diferencial:

Se obtiene la integral general, ¿es posible expresar con éxito la solución general? Poder. Colgamos logaritmos en ambos lados. Dado que son positivos, los signos de módulo son superfluos:

(Espero que todos entiendan la transformación, esas cosas ya deberían saberse)

Entonces la solución general es:

Encontremos una solución particular que corresponda a la condición inicial dada.
En la solución general, en lugar de la "x", sustituimos cero, y en lugar del "juego", el logaritmo de dos:

Diseño más familiar:

Sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general.

Respuesta: solución privada:

Verificación: Primero, verifiquemos si se cumple la condición inicial:
- todo es bueno.

Ahora verifiquemos si la solución particular encontrada generalmente satisface la ecuación diferencial. Encuentra la derivada:

Observamos la ecuación original: - se presenta en diferenciales. Hay dos formas de comprobarlo. Es posible expresar el diferencial de la derivada encontrada:

Sustituimos la solución particular encontrada y el diferencial resultante en la ecuación original :

Usamos la identidad logarítmica básica:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución particular se encuentra correctamente.

La segunda forma de verificar es reflejada y más familiar: de la ecuación expresamos la derivada, para ello dividimos todas las piezas por:

Y en la DE transformada sustituimos la solución particular obtenida y el derivado derivado. Como resultado de las simplificaciones, también debe obtenerse la igualdad correcta.

Ejemplo 6

Encuentre la integral general de la ecuación, presente la respuesta en la forma.

Este es un ejemplo de hágalo usted mismo, una solución completa y una respuesta al final del tutorial.

¿Qué dificultades acechan a la hora de resolver ecuaciones diferenciales con variables separables?

1) No siempre es obvio (especialmente para la "tetera") que las variables se puedan compartir. Consideremos un ejemplo condicional :. Aquí debe realizar la factorización de los corchetes: y separar las raíces :. Está claro cómo proceder.

2) Dificultades en la propia integración. Las integrales a menudo no son muy simples, y si hay fallas en las habilidades para encontrar integral indefinida, entonces con muchos difusos será difícil. Además, entre los compiladores de colecciones y manuales, la lógica es popular "ya que la ecuación diferencial es simple, entonces deja que las integrales sean más complicadas".

3) Conversiones con constante. Como todos han notado, la constante en las ecuaciones diferenciales se puede manejar con bastante libertad y algunas transformaciones no siempre son claras para un principiante. Considere otro ejemplo condicional: ... En él, es recomendable multiplicar todos los términos por 2: ... La constante resultante también es algún tipo de constante, que se puede denotar por: ... Sí, y dado que solo tenemos logarfos, es recomendable reescribir la constante en forma de otra constante: .

El problema es que a menudo no se preocupan por los índices y usan la misma letra. Como resultado, el registro de decisiones toma la siguiente forma:

¡¿Que demonios?! ¡Hay errores! Estrictamente hablando, sí. Sin embargo, desde un punto de vista significativo, no hay errores, porque como resultado de la transformación de la constante variable se obtiene una constante variable equivalente.

U otro ejemplo, suponga que en el curso de la resolución de la ecuación se obtiene una integral general. Esta respuesta se ve fea, por lo que es recomendable cambiar el signo de cada término: ... Formalmente, nuevamente hay un error: a la derecha debe escribirse. Pero informalmente se quiere decir que "minus tse" sigue siendo una constante, que con el mismo éxito toma el mismo conjunto de valores y, por lo tanto, no tiene sentido poner "menos".

Intentaré evitar un enfoque descuidado y aún así asignar diferentes índices a las constantes al convertirlas. Que es lo que te aconsejo que hagas.

Ejemplo 7

Resuelve la ecuación diferencial. Cheque.

Solución: Esta ecuación permite la separación de variables. Separación de variables:

Integramos:

La constante aquí no tiene que definirse como el logaritmo, ya que nada bueno saldrá de ella.

Respuesta: integral general:

Y, por supuesto, aquí NO ES NECESARIO expresar explícitamente el "juego", porque resultará basura (recuerda el tercer consejo técnico).

Examen: Diferenciar la respuesta (función implícita):

Nos deshacemos de las fracciones, para ello multiplicamos ambos términos por:

Se obtiene la ecuación diferencial original, lo que significa que la integral general se encuentra correctamente.

Ejemplo 8

Encuentre una solución privada del control remoto.
,

La ecuación diferencial con variables separadas se escribe como: (1). En esta ecuación, un término depende solo de x y el otro de y. Al integrar esta ecuación término por término, obtenemos:
Es su integral general.

Ejemplo: encuentra la integral general de la ecuación:
.

Solución: Esta ecuación es una ecuación diferencial de variable separada. por lo tanto
o
Nosotros denotamos
... Luego
- integral general de la ecuación diferencial.

La ecuación separable tiene la forma (2). La ecuación (2) se puede reducir fácilmente a la ecuación (1) dividiéndola término por término por
... Obtenemos:

- integral general.

Ejemplo: Resuelve la ecuación .

Solución: transforme el lado izquierdo de la ecuación :. Dividimos ambos lados de la ecuación por


La solución es la expresión:
esos.

Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Una ecuación de la forma se llama homogéneo, Si
y
- funciones homogéneas del mismo orden (medidas). Función
se llama función homogénea de primer orden (medida) si se multiplica cada uno de sus argumentos por un factor arbitrario toda la función se multiplica por , es decir.
=
.

La ecuación homogénea se puede reducir a la forma
... Usando sustitución
(
) la ecuación homogénea se reduce a una ecuación con variables separables con respecto a la nueva función .

La ecuación diferencial de primer orden se llama lineal si se puede escribir como
.

Método de Bernoulli

Solución de ecuaciones
se busca en forma de producto de otras dos funciones, es decir usando sustitución
(
).

Ejemplo: integrar la ecuación
.

Creemos
... Entonces, es decir ... Primero, resolvemos la ecuación
=0:


.

Ahora resolvemos la ecuación
esos.


... Entonces, la solución general a esta ecuación es
esos.

Ecuación de J. Bernoulli

Una ecuación de la forma, donde
llamada Ecuación de Bernoulli. Esta ecuación se resuelve mediante el método de Bernoulli.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es una ecuación de la forma (1) , donde y constante.

Buscamos soluciones particulares de la ecuación (1) en la forma
, donde Para- algún número. Diferenciar esta función dos veces y sustituir expresiones por
en la ecuación (1), obtenemos, es decir, o
(2) (
).

La ecuación 2 se llama ecuación característica de la ecuación diferencial.

Al resolver la ecuación característica (2), son posibles tres casos.

Caso 1. Raíces y las ecuaciones (2) son reales y diferentes:

y

.

Caso 2. Raíces y las ecuaciones (2) son reales e iguales:
... En este caso, las soluciones particulares de la ecuación (1) son las funciones
y
... En consecuencia, la solución general de la ecuación (1) tiene la forma
.

Caso 3. Raíces y las ecuaciones (2) son complejas:
,
... En este caso, las soluciones particulares de la ecuación (1) son las funciones
y
... En consecuencia, la solución general de la ecuación (1) tiene la forma

Ejemplo. Resuelve la ecuación
.

Solución: Compongamos la ecuación característica:
... Luego
... La solución general a esta ecuación
.

Extremo de una función de varias variables. Extremo condicional.

Extremo de una función de varias variables

Definición.Punto M (x O , a O ) se llamapunto de máximo (mínimo) funciónz= F(X, y) si existe una vecindad del punto M tal que para todos los puntos (x, y) de esta vecindad la desigualdad
(
)

En la Fig. 1 punto PERO
- hay un punto mínimo y un punto EN
- punto máximo.

Necesariola condición de extremo es un análogo multidimensional del teorema de Fermat.

Teorema.Deja el punto
- es el punto extremo de la función diferenciablez= F(X, y). Entonces las derivadas parciales
y
eneste punto es igual a cero.

Los puntos en los que se satisfacen las condiciones necesarias para el extremo de la función. z= F(X, y), esos. Derivadas parciales z" X y z" y igual a cero, se llaman crítico o estacionario.

La igualdad de las derivadas parciales a cero expresa solo una condición necesaria pero insuficiente para el extremo de una función de varias variables.

En la Fig. representa el llamado punto de silla M (x O , a O ). Derivadas parciales
y
son iguales a cero, pero, obviamente, ningún extremo en el punto M (x O , a O ) No.

Estos puntos de silla son análogos bidimensionales de los puntos de inflexión de las funciones de una variable. El desafío es separarlos de los puntos extremos. En otras palabras, necesitas saber suficiente condición extrema.

Teorema (condición suficiente para el extremo de una función de dos variables).Deja que la funciónz= F(X, y): pero) definido en alguna vecindad del punto crítico (x O , a O ), en donde
= 0 y
=0 ;

B) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden en este punto
;

;
Entonces, si ∆ = AC- B 2 >0, luego en el punto (x O , a O ) funciónz= F(X, y) tiene un extremo, y si PERO<0 - máximo si A> 0 - mínimo. En el caso de ∆ = AC- B 2 <0, функция z= F(X, y) no tiene extremo. Si ∆ = AC- B 2 = 0, entonces la cuestión de la presencia de un extremo permanece abierta.

Investigación de una función de dos variables para un extremo se recomienda realizar lo siguiente esquema:

Encuentra derivadas parciales de una función z" X y z" y .

Resolver sistema de ecuaciones z" X =0, z" y =0 y encuentre los puntos críticos de la función.

Encuentre las derivadas parciales de segundo orden, calcule sus valores en cada punto crítico y, utilizando la condición suficiente, saque una conclusión sobre la presencia de extremos.

Encuentra los extremos (valores extremos) de la función.

Ejemplo. Encuentra extremos de una función

Solución. 1. Encuentra las derivadas parciales

2. Los puntos críticos de la función se encuentran a partir del sistema de ecuaciones:

que tiene cuatro soluciones (1; 1), (1; -1), (-1; 1) y (-1; -1).

3. Encuentra las derivadas parciales de segundo orden:

;
;
, calculamos sus valores en cada punto crítico y comprobamos el cumplimiento de la condición extrema suficiente en el mismo.

Por ejemplo, en el punto (1; 1) A= z"(1; 1) = -1; B = 0; C = -1. Como ∆ =AC-B 2 = (-1) 2-0 = 1> 0 y A = -1<0, entonces el punto (1; 1) es el punto máximo.

Asimismo, establecemos que (-1; -1) es el punto mínimo, y en los puntos (1; -1) y (-1; 1), en los que ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Encuentre los extremos de la función z max = z (l; 1) = 2, z min = z (-l; -1) = -2,

Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange.

Considérese un problema específico de funciones de varias variables, cuando su extremo no se busca en todo el dominio de definición, sino en un conjunto que satisface una determinada condición.

Sea la función z = F(X, y), argumentos NS y a que satisfacen la condición gramo(x, y)= CON, llamada la ecuación de restricción.

Definición.Punto
llamado un puntomáximo condicional (mínimo), si existe una vecindad de este punto tal que para todos los puntos (x, y) de esta vecindad se satisfaga la condicióngramo (X, y) = С, la desigualdad

(
).

En la Fig. se muestra el punto del máximo condicional
. Obviamente, no es un punto de extremo incondicional de la función z = F(X, y) (en la figura, este es el punto
).

La forma más sencilla de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables es reducir el problema a encontrar el extremo de una función de una variable. Suponga la ecuación de restricción gramo (X, y) = CON logró resolver en relación con una de las variables, por ejemplo, expresar a al otro lado de NS:
. Sustituyendo la expresión resultante en una función de dos variables, obtenemos z = F(X, y) =
, esos. función de una variable. Su extremo será el extremo condicional de la función z = F(X, y).

Ejemplo. NS 2 + y 2 en condicion 3x + 2y = 11.

Solución. Expresemos de la ecuación 3x + 2y = 11 la variable y en términos de la variable x y sustituyamos la resultante
en la función z. Obtenemos z= X 2 +2
o z =
. Esta función tiene un mínimo único en = 3. Valor de función correspondiente
Por lo tanto, (3; 1) es un punto extremo (mínimo) condicional.

En el ejemplo considerado, la ecuación de restricción gramo(X, y) = C resultó ser lineal, por lo que se resolvió fácilmente con respecto a una de las variables. Sin embargo, en casos más complejos, esto no se puede hacer.

Para encontrar un extremo condicional, en el caso general, se usa Método del multiplicador de Lagrange.

Considere una función de tres variables

Esta característica se llama la función de Lagrange, pero - Multiplicador de Lagrange. El siguiente teorema es cierto.

Teorema.Si el punto
es el punto del extremo condicional de la funciónz = F(X, y) en condiciongramo (X, y) = С, entonces hay un valor tal que el punto
es el punto extremo de la funciónL{ X, y, ).

Por lo tanto, para encontrar el extremo condicional de la función z = F(x, y) en condicion gramo(X, y) = C necesitas encontrar una solución al sistema

En la Fig. se muestra el significado geométrico de las condiciones de Lagrange. Línea gramo(x, y)= C discontinua, línea de nivel gramo(X, y) = Q función z = F(X, y) sólido.

Higo. sigue que en el punto del extremo condicional, la línea de nivel de la función z = F(X, y) toca la líneagramo(X, y) = C.

Ejemplo. Encuentre los puntos máximo y mínimo de la función z = NS 2 + y 2 en condicion 3x + 2y = 11 utilizando el método del multiplicador de Lagrange.

Solución. Componemos la función de Lagrange L= x 2 + 2 años 2 +

Igualando sus derivadas parciales a cero, obtenemos el sistema de ecuaciones

Su única solución (x = 3, y = 1, =-2). Por lo tanto, solo el punto (3; 1) puede ser un punto extremo condicional. Es fácil verificar que en este punto la función z= F(X, y) tiene un mínimo condicional.

Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales con variables separables.

1) Integre la ecuación diferencial: (1 + x²) dy-2xydx = 0.

Esta ecuación es una ecuación separable escrita en la forma

Dejamos el término con dy en el lado izquierdo de la ecuación, con dx - lo transferimos al lado derecho:

(1 + x²) dy = 2xydx

Separamos las variables, es decir, en el lado izquierdo dejamos solo dy y todo lo que contiene y en el lado derecho dx y x. Para hacer esto, dividimos ambos lados de la ecuación por (1 + x²) y por y. Obtenemos

Integramos ambos lados de la ecuación:

A la izquierda hay una integral tabular. La integral del lado derecho se puede encontrar, por ejemplo, haciendo la sustitución t = 1 + x², luego

dt = (1 + x²) ’dx = 2xdx.

En los ejemplos en los que es posible realizar una potenciación, es decir, eliminar los logaritmos, conviene tomar no C, sino lnC. Esto es exactamente lo que haremos: ln│y│ = ln│t│ + ln│C│. Dado que la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, entonces ln│y│ = ln│Сt│, de donde y = Ct. Hacemos el cambio inverso y obtenemos la solución general: y = C (1 + x²).

Dividimos por 1 + x² y por y, siempre que no sean iguales a cero. Pero 1 + x² no es cero para cualquier x. E y = 0 en C = 0, por lo que no hubo pérdida de raíz.

Respuesta: y = C (1 + x²).

2) Encuentra la integral general de la ecuación

Las variables se pueden dividir.

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por dx y dividimos por

Obtenemos:

Ahora integramos

A la izquierda hay una integral tabular. A la derecha, hacemos el reemplazo 4-x² = t, luego dt = (4-x²) ’dx = -2xdx. Obtenemos

Si en lugar de C tomamos 1/2 ln│C│, podemos escribir la respuesta de manera más compacta:

Multiplica ambos lados por 2 y aplica la propiedad del logaritmo:

Nos dividimos en

No son iguales a cero: y² + 1 - ya que la suma de los números no negativos no es igual a cero, y la expresión radical no es igual a cero en el sentido de la condición. Esto significa que no se han perdido raíces.

3) a) Encuentre la integral general de la ecuación (xy² + y²) dx + (x²-x²y) dy = 0.

b) Encuentre la integral parcial de esta ecuación que satisfaga la condición inicial y (e) = 1.

a) Transformamos el lado izquierdo de la ecuación: y² (x + 1) dx + x² (1-y) dy = 0, entonces

y² (x + 1) dx = -x² (1-y) dy. Divida ambos lados por x²y² siempre que ni x ni y sean cero. Obtenemos:

Integramos la ecuación:

Dado que la diferencia entre los logaritmos es igual al logaritmo del cociente, tenemos:

Esta es la integral general de la ecuación. En el proceso de resolución, establecemos la condición de que el producto x²y² no es igual a cero, lo que implica que xey no deben ser iguales a cero. Sustituyendo x = 0 e y = 0 en la condición: (0.0² + 0²) dx + (0²-0²0) dy = 0 obtenemos la igualdad correcta 0 = 0. Por tanto, x = 0 e y = 0 también son soluciones de esta ecuación. Pero no están incluidos en la integral general para cualquier C (los ceros no pueden estar bajo el signo del logaritmo y en el denominador de la fracción), por lo que estas soluciones deben escribirse además de la integral general.

b) Como y (e) = 1, sustituimos x = e, y = 1 en la solución resultante y encontramos C:

Ejemplos de autocomprobación: