كيف تجد أصغر قيمة للدالة. تطبيق المشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة في فترة

سيأخذ الدرس حول موضوع "استخدام مشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة مستمرة في فترة ما" في الاعتبار مسائل بسيطة نسبيًا لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة خلال فترة زمنية معينة باستخدام المشتق .

الموضوع: مشتق

درس: استخدام المشتقة لإيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة متصلة في فترة

في هذا الدرس ، سننظر في مشكلة أبسط ، وهي تحديد فترة زمنية ، وسيتم تحديد وظيفة مستمرة في هذه الفترة. من الضروري معرفة أكبر وأصغر قيمة للمعطى وظيفةعلى معطى فاصلة.

رقم 32.1 (ب). معطى:،. لنرسم رسمًا بيانيًا للوظيفة (انظر الشكل 1).

أرز. 1. رسم بياني للدالة.

من المعروف أن هذه الوظيفة تزداد في الفترة الزمنية ، مما يعني أنها تزداد أيضًا في الفترة. لذلك ، إذا وجدت قيمة الوظيفة عند النقاط ، ثم حدود تغيير هذه الدالة ، أكبر وأصغر قيمة لها ، ستعرف.

عندما تزيد الوسيطة من 8 ، تزداد الدالة من إلى.

إجابه: ; .

№ 32.2 (أ) المعطى: أوجد أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية معينة.

لنقم ببناء رسم بياني لهذه الوظيفة (انظر الشكل 2).

إذا تغيرت الوسيطة في الفاصل الزمني ، فإن الوظيفة تزيد من -2 إلى 2. إذا زادت الوسيطة من ، فإن الوظيفة تنخفض من 2 إلى 0.

أرز. 2. وظيفة الرسم البياني.

لنجد المشتق.

, ... إذا ، فإن هذه القيمة تنتمي أيضًا إلى المقطع المحدد. اذا ثم. من السهل التحقق مما إذا كان يأخذ قيمًا أخرى ، فإن النقاط الثابتة المقابلة تتجاوز المقطع المحدد. دعونا نقارن قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند النقاط المحددة التي يكون فيها المشتق مساوياً للصفر. يجد

;

إجابه: ;.

لذلك ، تم استلام الجواب. يمكن استخدام المشتق في هذه الحالة ، ولا يمكنك استخدامه ، وتطبيق خصائص الوظيفة التي تمت دراستها مسبقًا. هذا ليس هو الحال دائمًا ، فأحيانًا يكون استخدام المشتق هو الطريقة الوحيدة التي تسمح لك بحل مثل هذه المشكلات.

معطى:،. أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في مقطع معين.

إذا كان من الممكن في الحالة السابقة الاستغناء عن المشتق - عرفنا كيف تتصرف الوظيفة ، في هذه الحالة تكون الوظيفة معقدة نوعًا ما. لذلك ، فإن التقنية التي ذكرناها في المهمة السابقة قابلة للتطبيق بشكل كامل.

1. أوجد المشتق. دعونا نجد النقاط الحرجة ، ومن هنا النقاط الحرجة. من بينها نختار تلك التي تنتمي إلى شريحة معينة :. دعونا نقارن قيمة الوظيفة عند النقاط ،. لهذا نجد

دعونا نوضح النتيجة في الشكل (انظر الشكل 3).

أرز. 3. حدود تغيير قيم الدالة

نرى أنه إذا تغيرت الوسيطة من 0 إلى 2 ، فإن الوظيفة تتغير من -3 إلى 4. لا تتغير الوظيفة بشكل رتيب: فهي إما تزيد أو تنقص.

إجابه: ;.

لذلك ، تم استخدام ثلاثة أمثلة لتوضيح تقنية عامة لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة في فترة زمنية ، في هذه الحالة ، على مقطع ما.

خوارزمية لحل مشكلة إيجاد أكبر وأصغر قيم دالة:

1. أوجد مشتق الدالة.

2. ابحث عن النقاط الحرجة للوظيفة وحدد تلك النقاط الموجودة في المقطع المحدد.

3. ابحث عن قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند النقاط المحددة.

4. قارن هذه القيم ، واختر الأكبر والأصغر.

لنأخذ مثالاً آخر.

ابحث عن أكبر وأصغر قيمة للدالة.

في السابق ، تم النظر في الرسم البياني لهذه الوظيفة (انظر الشكل 4).

أرز. 4. وظيفة الرسم البياني.

في الفاصل الزمني ، نطاق هذه الوظيفة هو ... النقطة هي الحد الأقصى. عند - تزداد الوظيفة ، عند - تقل الوظيفة. يمكن أن نرى من الرسم أن - غير موجود.

لذلك ، في الدرس ، أخذنا في الاعتبار مشكلة أكبر وأصغر قيمة للدالة ، عندما تكون الفترة الزمنية عبارة عن مقطع ؛ صاغ خوارزمية لحل مثل هذه المشاكل.

1. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. إيه جي مردكوفيتش. -M: Mnemosina ، 2009.

2. الجبر وبداية التحليل الصف العاشر (قسمين). كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) ، أد. إيه جي مردكوفيتش. -M: Mnemosina ، 2007.

3. Vilenkin N.Ya.، Ivashev-Musatov O.S.، Schwarzburd S.I. الجبر والتحليل الرياضي للصف العاشر (كتاب مدرسي لطلاب المدارس والصفوف ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات) .- م: التربية ، 1996.

4. Galitsky M.L.، Moshkovich M.M.، Shvartsburd S.I. دراسة معمقة للجبر والتحليل الرياضي. - م: التنوير ، 1997.

5. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين لمؤسسات التعليم العالي (تحت إشراف MI Skanavi) .- M: المدرسة العليا ، 1992.

6. Merzlyak A.G. ، Polonsky VB ، Yakir MS جهاز محاكاة جبري. -K: ASK ، 1997.

7. Zvavich L.I. ، Shlyapochnik L.Ya. ، Chinkina Algebra وبداية التحليل. الصفوف 8-11: دليل للمدارس والصفوف مع دراسة متقدمة للرياضيات (مواد تعليمية) .- م: بوستارد ، 2002.

8. Sahakyan S.M.، Goldman A.M.، Denisov D.V. مهام في الجبر ومبادئ التحليل (دليل لطلاب الصفوف 10-11 بمؤسسات التعليم العام) .- م: التربية ، 2003.

9. كارب أ. مجموعة مسائل الجبر ومبادئ التحليل: كتاب مدرسي. بدل للصفوف 10-11 مع التعميق دراسة الرياضيات. - م: التعليم ، 2006.

10. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. 9-10 صفوف (دليل للمعلمين) - م: التربية ، 1983

موارد ويب إضافية

2. بوابة العلوم الطبيعية ().

اصنع في المنزل

رقم 46.16 ، 46.17 (ج) (الجبر وبداية التحليل ، الصف 10 (في جزأين). كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) تحرير أ.

من وجهة نظر عملية ، الأكثر إثارة للاهتمام هو استخدام المشتق لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة. ما هو سبب ذلك؟ تعظيم الربح ، وتقليل التكلفة ، وتحديد الحمل الأمثل للمعدات ... بمعنى آخر ، في العديد من مجالات الحياة ، من الضروري حل مشكلة تحسين أي معلمات. وهذه هي مهام إيجاد أكبر وأصغر قيمة للدالة.

وتجدر الإشارة إلى أن أكبر وأصغر قيمة للدالة يتم البحث عنها عادةً في بعض الفترات X ، والتي تكون إما المجال الكامل للوظيفة أو جزء من المجال. يمكن أن يكون الفاصل الزمني X نفسه مقطعًا خطيًا ، وهو فاصل زمني مفتوح ، فاصل زمني لا نهاية له.

في هذه المقالة سوف نتحدث عن إيجاد أكبر وأصغر قيم لدالة معينة صراحة لمتغير واحد y = f (x).

التنقل في الصفحة.

أعلى وأدنى قيمة للوظيفة - التعريفات ، الرسوم التوضيحية.

دعونا نتحدث بإيجاز عن التعريفات الرئيسية.

أكبر قيمة للدالة هذا لأي عدم المساواة هو الصحيح.

أصغر قيمة للدالة y = f (x) في الفترة الزمنية X تسمى هذه القيمة هذا لأي عدم المساواة هو الصحيح.

هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة المدروسة في حدود الإحداثي.

نقاط ثابتةهي قيم الحجة التي يختفي عندها مشتق الوظيفة.

لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد أكبر وأصغر القيم؟ الإجابة على هذا السؤال مقدمة من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كان للدالة القابلة للتفاضل حد أقصى (الحد الأدنى المحلي أو الحد الأقصى المحلي) في مرحلة ما ، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي ، غالبًا ما تأخذ الوظيفة أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.

أيضًا ، يمكن أن تأخذ الوظيفة في كثير من الأحيان أكبر وأصغر قيمة عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الوظيفة ، ويتم تعريف الوظيفة نفسها.

دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد أكبر (أصغر) قيمة للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان ، تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الوظيفة ، أو أن الفاصل X غير محدود. وبعض الوظائف في اللانهاية وعلى حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيم صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات ، لا يمكن قول أي شيء عن أكبر وأصغر قيمة للدالة.

من أجل الوضوح ، سنقدم توضيحًا بيانيًا. انظر إلى الصور وسيتضح الكثير.

على الجزء

في الشكل الأول ، تأخذ الدالة أكبر قيم (max y) وأصغر (min y) عند نقاط ثابتة داخل المقطع [-6 ؛ 6].

تأمل الحالة الموضحة في الشكل الثاني. قم بتغيير المقطع إلى. في هذا المثال ، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة ، والأكبر - عند نقطة مع إحداثية تتطابق مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.

في الشكل 3 ، النقاط الحدودية للمقطع [-3 ؛ 2] هي حدود النقاط المقابلة للقيم الأكبر والأصغر للدالة.

في فترة زمنية مفتوحة

في الشكل الرابع ، تأخذ الدالة أكبر قيم (كحد أقصى y) وأصغر قيم (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفاصل الزمني المفتوح (-6 ؛ 6).

في الفاصل الزمني ، لا يمكن استخلاص استنتاجات حول القيمة الأكبر.

في اللانهاية

في المثال الموضح في الشكل السابع ، تأخذ الدالة أكبر قيمة (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي x = 1 ، ويتم الوصول إلى أصغر قيمة (min y) عند الحد الأيمن من الفترة الزمنية. عند سالب اللانهاية ، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y = 3.

في الفاصل الزمني ، لا تصل الوظيفة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. عندما تميل إلى x = 2 على اليمين ، تميل قيم الدالة إلى سالب ما لا نهاية (الخط المستقيم x = 2 هو الخط المقارب العمودي) ، وعندما تميل الإحداثيات إلى زائد اللانهاية ، فإن قيم الدالة اقترب من y = 3 بشكل مقارب. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل رقم 8.

خوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على قطعة.

دعنا نكتب خوارزمية تسمح لنا بإيجاد أكبر وأصغر قيمة لدالة في المقطع.

1. ابحث عن مجال الوظيفة وتحقق مما إذا كان يحتوي على المقطع بأكمله.
2. نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والمضمنة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في وظائف ذات وسيطة تحت علامة المقياس وفي دوال القدرة ذات الأس المنطقي الكسري). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط ، فانتقل إلى العنصر التالي.
3. حدد جميع النقاط الثابتة التي تقع في المقطع. للقيام بذلك ، نساويها بالصفر ، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع ، فانتقل إلى العنصر التالي.
4. نحسب قيم الوظيفة عند النقاط الثابتة المحددة (إن وجدت) ، عند النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الأول (إن وجد) ، وكذلك بالنسبة لـ x = a و x = b.
5. من القيم التي تم الحصول عليها للوظيفة ، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المرغوبة للوظيفة ، على التوالي.

دعنا نحلل الخوارزمية عند حل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة في مقطع ما.

مثال.

أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة

• في الجزء
• في المقطع [-4 ؛ -1].

المحلول.

مجال الوظيفة هو المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية ، باستثناء الصفر ، أي. كلا الجزأين يقعان ضمن منطقة التعريف.

أوجد مشتق الوظيفة بالنسبة إلى:

من الواضح أن مشتق الوظيفة موجود في جميع نقاط المقاطع و [-4 ؛ -1].

يتم تحديد النقاط الثابتة من المعادلة. الجذر الصالح الوحيد هو x = 2. تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.

بالنسبة للحالة الأولى ، نحسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع وعند نقطة ثابتة ، أي بالنسبة إلى x = 1 و x = 2 و x = 4:

لذلك ، أكبر قيمة للدالة يتم الحصول عليها عند x = 1 ، وأصغر قيمة - بالنسبة إلى x = 2.

بالنسبة للحالة الثانية ، نحسب قيم الوظيفة فقط في نهايات المقطع [-4 ؛ -1] (لأنها لا تحتوي على نقطة ثابتة واحدة):

تشبه عملية العثور على أصغر وأكبر قيمة لدالة ما في مقطع ما تحليقًا رائعًا لكائن (رسم بياني وظيفي) في طائرة هليكوبتر ، وإطلاق النار في نقاط معينة من مدفع بعيد المدى والاختيار من بين هذه النقاط الخاصة جدًا للتحكم طلقات. يتم اختيار النقاط بطريقة معينة ووفقًا لقواعد معينة. ما هي القواعد؟ سوف نتحدث عن هذا أكثر.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(x) مستمر على القطعة [ أ, ب] ، ثم تصل إلى هذا الجزء الأصغر و أعلى القيم ... يمكن أن يحدث هذا إما في النقاط القصوى، أو في نهايات المقطع. لذلك ، لتجد الأصغر و أقصى قيم للدالة مستمر على القطعة [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمها بالكامل نقاط حرجةوفي نهايات المقطع ، ثم اختر أصغرها وأكبرها.

دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب تحديد أكبر قيمة للوظيفة F(x) في المقطع [ أ, ب]. للقيام بذلك ، ابحث عن جميع نقاطه الحرجة التي تقع على [ أ, ب] .

النقطة الحرجة يسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما أن يكون صفرًا أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا ، يجب على المرء أن يقارن قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة وفي نهايات المقطع ( F(أ) و F(ب)). سيكون أكبر هذه الأرقام أكبر قيمة للدالة في المقطع [أ, ب] .

مشاكل البحث أصغر قيم دالة .

البحث عن القيم الأصغر والأكبر للدالة معًا

مثال 1. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 2] .

المحلول. أوجد مشتق هذه الدالة. دعونا نساوي المشتق بصفر () ونحصل على نقطتين حرجتين: و. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، يكفي حساب قيمها في نهايات المقطع وعند نقطة ما ، نظرًا لأن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1 ، 2]. هذه القيم هي كما يلي: ،. إنه يتبع هذا أصغر قيمة للدالة(في الرسم البياني أدناه تم تمييزه باللون الأحمر) ، يساوي -7 ، يتم الوصول إليه في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(أحمر أيضًا على الرسم البياني) ، يساوي 9 ، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت دالة ما متصلة في فاصل زمني معين ولم يكن هذا الفاصل عبارة عن مقطع (ولكنه ، على سبيل المثال ، فاصل زمني ؛ الفرق بين فاصل زمني ومقطع: لا يتم تضمين نقاط حدود الفاصل الزمني في الفاصل الزمني ، والحدود يتم تضمين نقاط المقطع في المقطع) ، ثم من بين قيم الوظيفة قد لا تكون الأصغر والأكبر. لذلك ، على سبيل المثال ، الوظيفة الموضحة في الشكل أدناه متصلة عند]-، + ∞ [وليس لها أكبر قيمة.

ومع ذلك ، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لانهائية) ، فإن الخاصية التالية للوظائف المستمرة صحيحة.

مثال 4. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء [-1, 3] .

المحلول. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق من حاصل القسمة:

.

نحن نساوي المشتقة بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة: إنه ينتمي إلى المقطع [-1 ، 3]. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نحن نقارن هذه القيم. الخلاصة: تساوي -5 / 13 عند النقطة و أعظم قيمةيساوي 1 عند هذه النقطة.

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للوظيفة معًا

هناك مدرسون ، فيما يتعلق بموضوع العثور على أصغر وأكبر قيم للدالة ، لا يقدمون للطلاب لحل أمثلة أكثر تعقيدًا من تلك التي تم النظر فيها للتو ، أي تلك التي تكون فيها الوظيفة كثيرة الحدود أو الكسر ، البسط والمقام من كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة ، حيث يوجد من بين المعلمين أولئك الذين يرغبون في جعل الطلاب يفكرون بالكامل (جدول المشتقات). لذلك ، سيتم استخدام اللوغاريتم والدالة المثلثية.

مثال 6. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

المحلول. أوجد مشتق هذه الدالة كـ العمل المشتق :

نحن نساوي المشتق بالصفر ، وهو ما يعطينا نقطة حرجة واحدة: إنه ينتمي إلى الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الدالة إلى أصغر قيمة لهايساوي 0 عند النقطة وعند النقطة و أعظم قيمةيساوي ه² ، عند هذه النقطة.

مثال 7. أوجد أصغر وأكبر قيم للدالة في الجزء .

المحلول. أوجد مشتق هذه الدالة:

معادلة المشتق بالصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى القطعة المستقيمة. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة في مقطع معين ، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

استنتاج: تصل الدالة إلى أصغر قيمة لهايساوي عند النقطة و أعظم قيمة، على قدم المساواة ، في هذه النقطة.

في المشكلات القصوى المطبقة ، يتم تقليل العثور على أصغر (أكبر) قيم للدالة ، كقاعدة عامة ، لإيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). ولكن الأهمية العملية الأكبر ليست هي الحدود الدنيا أو القصوى بحد ذاتها ، ولكن قيم الحجة التي يتم الوصول إليها من خلالها. عند حل المشكلات التطبيقية ، تنشأ صعوبة إضافية - تجميع الوظائف التي تصف الظاهرة أو العملية قيد الدراسة.

المثال 8.يجب أن يكون الخزان بسعة 4 ، والذي له شكل متوازي السطوح بقاعدة مربعة ومفتوح من الأعلى ، مصقولًا بالقصدير. ما حجم الخزان الذي يجب أن يغطي أقل كمية من المواد؟

المحلول. اسمحوا ان x- جانب القاعدة ، ح- ارتفاع الخزان ، س- مساحة سطحه بدون غطاء ، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة ، أي هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد ، سنستخدم ماذا ، من أين. استبدال التعبير الموجود حفي صيغة س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة لأقصى حد. يتم تعريفه وقابل للتفاضل في كل مكان في] 0 و + [و

.

مساواة المشتق بصفر () وإيجاد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك ، لأن المشتق غير موجود ، لكن هذه القيمة غير مدرجة في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة قصوى. إذن ، هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة. دعنا نتحقق من وجود حد أقصى باستخدام المعيار الكافي الثاني. لنجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من صفر (). ومن ثم ، في وظيفة تصل إلى الحد الأدنى ... منذ هذا الحد الأدنى هو الحد الأقصى الوحيد لهذه الوظيفة ، وهو أيضًا أصغر قيمة لها... لذلك ، يجب أن يكون جانب قاعدة الخزان 2 متر وارتفاعه.

المثال 9.من فقرة أتقع على خط السكة الحديد للإشارة مععلى مسافة منها ليجب نقل البضائع. تكلفة نقل وحدة وزن لكل وحدة مسافة بالسكك الحديدية متساوية ، وهي متساوية عن طريق البر. إلى أي نقطة ميجب رسم خط السكة الحديد بواسطة طريق سريع بحيث يتم نقل البضائع من لكنفي معكان الأكثر اقتصادا (قسم ABمن المفترض أن تكون السكة الحديد مستقيمة)؟

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري للأطراف؟

يسمى الحد الأقصى للدالة بالحد الأقصى والأدنى للدالة.

الشرط الضروري للحد الأقصى والأدنى (أقصى) للوظيفة هو كما يلي: إذا كانت الوظيفة f (x) لها حد أقصى عند النقطة x = a ، فعند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا ، أو لانهائيًا ، أو لا لا يوجد.

هذا الشرط ضروري ولكنه غير كافٍ. المشتق عند النقطة x = a يمكن أن يتلاشى إلى ما لا نهاية ، أو لا يوجد بدون الدالة ذات قيمة قصوى في هذه المرحلة.

ما هو الشرط الكافي للدالة القصوى (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كانت المشتقة f؟ (X) على مقربة كافية من النقطة x = a موجبة على يسار a وسالبة على يمين a ، فعند النقطة x = a تكون الدالة f (x) لها أقصى

إذا كانت المشتقة f؟ (X) على مقربة كافية من النقطة x = a تكون سالبة على يسار a وموجبة على يمين a ، فعند النقطة ذاتها x = a تكون الدالة f (x) لها الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f (x) متصلة هنا.

بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام الشرط الكافي الثاني للوظيفة القصوى:

دع عند النقطة x = a يتلاشى المشتق الأول f؟ (X) ؛ إذا كان المشتق الثاني f ؟؟ (a) في هذه الحالة سالبًا ، فإن الدالة f (x) لها حد أقصى عند النقطة x = a ، إذا كانت موجبة ، فعندئذ يكون الحد الأدنى.

ما هي نقطة التحول للدالة وكيف يمكنني العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الوظيفة التي عندها يكون للوظيفة حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه ، تحتاج أوجد المشتقالدالة f؟ (x) ومعادلتها بالصفر ، حل المعادلة f؟ (x) = 0. إن جذور هذه المعادلة ، بالإضافة إلى تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة ، هي نقاط حرجة ، أي قيم الوسيطة التي يمكن أن يكون فيها أقصى. يمكن التعرف عليها بسهولة من خلال النظر إليها مؤامرة مشتقة: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثيات (المحور Ox) وتلك التي ينكسر عندها الرسم البياني.

على سبيل المثال ، دعنا نجد الحد الأقصى من القطع المكافئ.

الدالة y (x) = 3x2 + 2x - 50.

مشتق الوظيفة: y؟ (X) = 6x + 2

حل المعادلة: y؟ (X) = 0

6 س + 2 = 0.6 س = -2 ، س = -2 / 6 = -1/3

في هذه الحالة ، النقطة الحرجة هي x0 = -1 / 3. لهذه القيمة للحجة أن الوظيفة لها أقصى... لجعله لايجاد، استبدل الرقم الذي تم العثور عليه في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة ، أي أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت علامة المشتق عند المرور عبر النقطة الحرجة x0 من "زائد" إلى "ناقص" ، فإن x0 تكون أقصى نقطة؛ إذا تغيرت إشارة المشتق من سالب إلى موجب ، فإن x0 تكون الحد الأدنى من النقاط؛ إذا لم تتغير العلامة ، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى أو أدنى.

للمثال المدروس:

نأخذ قيمة اعتباطية للحجة إلى يسار النقطة الحرجة: x = -1

عندما تكون س = -1 ، ستكون قيمة المشتق ص؟ (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي أن العلامة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة اعتباطية للحجة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عندما تكون x = 1 ، ستكون قيمة المشتق y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي أن العلامة هي "plus").

كما ترى ، غيّر المشتق إشارته من سالب إلى موجب عند المرور عبر النقطة الحرجة. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة دالة في الفترة الفاصلة(في المقطع) تم العثور عليها من خلال نفس الإجراء ، فقط مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أنه ، ربما ، لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من النظر. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط ضمن الفترة الزمنية ، فستحتوي إما على حد أقصى أو أدنى. في هذه الحالة ، لتحديد أكبر وأصغر قيم للدالة ، نأخذ أيضًا في الاعتبار قيم الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية.

على سبيل المثال ، لنجد أكبر وأصغر قيم للدالة

y (x) = 3sin (x) - 0.5x

على فترات:

إذن ، مشتق الدالة هو

y؟ (x) = 3cos (x) - 0.5

حل المعادلة 3cos (x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5 / 3 = 0.16667

س = ± arccos (0.16667) + 2πk.

إيجاد النقاط الحرجة في الفترة [-9 ؛ تسع]:

x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

س = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

س = arccos (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

س = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

س = arccos (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

س = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

س = arccos (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

نجد قيم الوظيفة عند القيم الحرجة للحجة:

ص (-7.687) = 3 كوز (-7.687) - 0.5 = 0.885

ص (-4.88) = 3 كوز (-4.88) - 0.5 = 5.398

ص (-1.403) = 3 كائنات (-1.403) - 0.5 = -2.256

ص (1.403) = 3 كوز (1.403) - 0.5 = 2.256

ص (4.88) = 3 كوز (4.88) - 0.5 = -5.398

ص (7.687) = 3 كوز (7.687) - 0.5 = -0.885

يتبين أن في الفترة [-9 ؛ 9] ، للدالة أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88 ، ص = 5.398 ،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88 ، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية:

ص (-6) = 3 كوز (-6) - 0.5 = 3.838

ص (-3) = 3 كوز (-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا أعلى قيمة للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية إيجاد نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد جانبي التحدب والتقعر؟

لإيجاد جميع نقاط انعطاف الخط y = f (x) ، تحتاج إلى إيجاد المشتق الثاني ، معادلته بصفر (حل المعادلة) واختبار كل قيم x التي يكون المشتق الثاني لها صفرًا ، لانهائي أو غير موجود. إذا ، عند المرور عبر إحدى هذه القيم ، فإن المشتق الثاني يغير علامة ، فإن الرسم البياني للوظيفة له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير ، فلا يوجد انعطاف.

جذور المعادلة و؟ (x) = 0 ، بالإضافة إلى نقاط الانقطاع المحتملة للوظيفة والمشتق الثاني ، قسّم مجال الوظيفة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتهم بعلامة المشتق الثاني. إذا كان المشتق الثاني عند نقطة ما في الفترة التي تم فحصها موجبًا ، فإن الخط y = f (x) مقعر لأعلى هنا ، وإذا كان سالبًا ، فسيكون لأسفل.

كيفية إيجاد القيمة القصوى لدالة متغيرين؟

للعثور على القيمة القصوى للدالة f (x ، y) ، القابلة للاشتقاق في منطقة تعيينها ، تحتاج إلى:

1) أوجد النقاط الحرجة ، ولهذا - حل نظام المعادلات

الفوركس؟ (x، y) = 0، fу؟ (س ، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة Р0 (أ ؛ ب) تحقق مما إذا كانت علامة الاختلاف

لجميع النقاط (س ؛ ص) قريبة بدرجة كافية من Po. إذا احتفظ الاختلاف بإشارة موجبة ، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى ، إذا كان سالبًا ، ثم حدًا أقصى. إذا كان الاختلاف لا يحافظ على العلامة ، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة P0.

يتم تحديد الحد الأقصى للدالة بطريقة مماثلة لعدد أكبر من الحجج.

دع الوظيفة ص =F(NS)مستمر على القطعة [ أ ، ب]. كما تعلم ، تصل هذه الوظيفة في هذا المقطع إلى أكبر وأصغر القيم. يمكن للوظيفة أن تأخذ هذه القيم إما عند النقطة الداخلية من المقطع [ أ ، ب] ، أو على حدود القطعة.

للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في المقطع [ أ ، ب] من الضروري:

1) أوجد النقاط الحرجة للوظيفة في الفترة الزمنية ( أ ، ب);

2) حساب قيم الوظيفة في النقاط الحرجة التي تم العثور عليها ؛

3) احسب قيم الوظيفة في نهايات المقطع ، أي لـ x=لكنو x = ب;

4) اختر الأكبر والأصغر من بين جميع القيم المحسوبة للدالة.

مثال.أوجد أكبر وأصغر قيم دالة

في الجزء.

ابحث عن النقاط الحرجة:

تقع هذه النقاط داخل القطعة المستقيمة ؛ ذ(1) = ‒ 3; ذ(2) = ‒ 4; ذ(0) = ‒ 8; ذ(3) = 1;

في هذه النقطة x= 3 وعند النقطة x= 0.

التحقيق في وظيفة التحدب ونقطة الانعطاف.

وظيفة ذ = F (x) اتصل محدبما بين أثنين (أ, ب) إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع تحت الظل المرسوم في أي نقطة من هذه الفترة ، ويسمى محدب لأسفل (مقعر)إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع فوق خط المماس.

النقطة ، عند المرور التي يتم من خلالها استبدال التحدب بالتقعر ، أو العكس ، تسمى نقطة الأنحراف.

خوارزمية الدراسة للتحدب ونقطة الانعطاف:

1. أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني صفرًا أو غير موجود.

2. ارسم النقاط الحرجة على خط الأعداد ، وقسمها إلى فترات. أوجد علامة المشتق الثاني في كل فترة ؛ إذا كانت الوظيفة محدبة لأعلى ؛ إذا كانت الوظيفة محدبة لأسفل.

3. إذا كانت علامة التغيير عند المرور عبر نقطة حرجة من النوع الثاني ، وعند هذه النقطة كان المشتق الثاني مساويًا للصفر ، فإن هذه النقطة هي حدود نقطة الانعطاف. ابحث عن منسقها.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. التحقيق في وظيفة الخطوط المقاربة.

تعريف.يسمى خط التقارب للرسم البياني لوظيفة ما على التوالي، والتي لها خاصية أن المسافة من أي نقطة على الرسم البياني إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر بمسافة غير محدودة من أصل نقطة الرسم البياني.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي وأفقي ومائل.

تعريف.يسمى الخط المستقيم الخط المقارب الرأسيوظيفة الرسومات ص = و (س)إذا كانت واحدة على الأقل من الحدود أحادية الجانب للوظيفة عند هذه النقطة تساوي اللانهاية ، فهذا يعني

أين هي نقطة انقطاع الوظيفة ، أي أنها لا تنتمي إلى مجال التعريف.

مثال.

د ( ذ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - نقطة الانهيار.

تعريف.على التوالي. مستقيم ص =أاتصل خط مقارب أفقيوظيفة الرسومات ص = و (س)في ، إذا

مثال.

x
ذ

تعريف.على التوالي. مستقيم ص =كx +ب (ك≠ 0) يسمى خط مقارب مائلوظيفة الرسومات ص = و (س)في وأين

المخطط العام لدراسة الوظائف والتخطيط.

خوارزمية البحث الوظيفيص = و (س) :

1. ابحث عن مجال الوظيفة د (ذ).

2. ابحث (إن أمكن) عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات (عند x= 0 ولأجل ذ = 0).

3. تحقق من تساوي وغرابة الدالة ( ذ (‒ x) = ذ (x) ‒ التكافؤ. ذ(‒ x) = ‒ ذ (x) ‒ غرابة).

4. ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة.

5. أوجد فترات رتابة الوظيفة.

6. أوجد القيمة القصوى للدالة.

7. أوجد فترات التحدب (التقعر) ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة.

8. بناءً على البحث الذي تم إجراؤه ، قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة.

مثال.استكشف الوظيفة وقم برسمها.

1) د (ذ) =

x= 4 - نقطة فاصل.

2) متى x = 0,

(0 ؛ - 5) - نقطة التقاطع مع أوي.

في ذ = 0,

3) ذ(‒ x)= الوظيفة العامة (ليست زوجية ولا فردية).

4) ابحث عن الخطوط المقاربة.

أ) عمودي

ب) أفقي

ج) البحث عن الخطوط المقاربة المائلة حيث

- معادلة خط مقارب مائل

5) في هذه المعادلة ، ليس مطلوبًا إيجاد فترات رتابة الوظيفة.

6)

تقسم هذه النقاط الحرجة المجال الكامل للوظيفة على الفاصل الزمني (˗∞ ؛ ˗2) ، (˗2 ؛ 4) ، (4 ؛ 10) و (10 ؛ +). من الملائم تقديم النتائج التي تم الحصول عليها في شكل الجدول التالي.