ตารางสูตรพื้นฐานสำหรับอินทิกรัลแน่นอน แอนติเดริเวทีฟ

ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่จำกัด

ข้อเท็จจริง 1 การบูรณาการเป็นการกระทำที่ตรงกันข้ามกับการสร้างความแตกต่าง กล่าวคือ การคืนค่าฟังก์ชันจากอนุพันธ์ที่ทราบของฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชั่นจึงกู้คืน NS(NS) ถูกเรียก แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชั่น NS(NS).

คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชัน NS(NS NS(NS) เป็นระยะ NSถ้าสำหรับทุกค่า NSจากช่วงเวลานี้ ความเท่าเทียมกัน NS "(NS)=NS(NS) นั่นคือฟังก์ชันนี้ NS(NS) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ NS(NS). .

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน NS(NS) = บาป NS เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน NS(NS) = cos NS บนเส้นจำนวนเต็ม เนื่องจากสำหรับค่าใดๆ ของ x (บาป NS) "= (คอส NS) .

คำจำกัดความ 2 อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน NS(NS) เป็นเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของมัน... ในกรณีนี้จะใช้บันทึก

∫

NS(NS)dx

,

ป้ายไหน ∫ เรียกว่า เครื่องหมายปริพันธ์ ฟังก์ชัน NS(NS) เป็นอินทิกรัลและ NS(NS)dx - อินทิกรัล

ดังนั้นถ้า NS(NS) เป็นแอนติเดริเวทีฟบางชนิดสำหรับ NS(NS) , แล้ว

∫

NS(NS)dx = NS(NS) +ค

ที่ไหน ค - ค่าคงที่โดยพลการ (ค่าคงที่)

เพื่อให้เข้าใจความหมายของเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่เป็นอินทิกรัลไม่จำกัด การเปรียบเทียบต่อไปนี้จึงเหมาะสม ให้มีประตู (ประตูไม้แบบโบราณ) หน้าที่ของมันคือ "เป็นประตู" ประตูทำมาจากอะไร? ทำจากไม้. ซึ่งหมายความว่าเซตของแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัล "เป็นประตู" นั่นคือ อินทิกรัลไม่จำกัดของมันคือฟังก์ชัน "เป็นต้นไม้ + C" โดยที่ C เป็นค่าคงที่ ซึ่งในบริบทนี้อาจหมายถึง ยกตัวอย่างพันธุ์ไม้ เช่นเดียวกับประตูที่ทำจากไม้ด้วยเครื่องมือบางอย่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ "สร้าง" จากฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟโดยใช้ สูตรที่เราเรียนจากการศึกษาอนุพันธ์ .

ตารางแสดงฟังก์ชันของวัตถุทั่วไปและแอนติเดริเวทีฟที่สอดคล้องกัน ("เป็นประตู" - "เป็นต้นไม้", "เป็นช้อน" - "เป็นโลหะ" เป็นต้น) จะคล้ายกับตารางพื้นฐาน อินทิกรัลไม่ จำกัด ซึ่งจะได้รับด้านล่าง ตารางอินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดแสดงฟังก์ชันทั่วไปพร้อมบ่งชี้ของแอนติเดริเวทีฟซึ่งฟังก์ชันเหล่านี้ถูก "สร้าง" ในส่วนของปัญหาในการค้นหาอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนนั้น อินทิกรัลดังกล่าวถูกกำหนดให้สามารถรวมเข้าด้วยกันโดยตรงโดยไม่ต้องมีการพิจารณาพิเศษ นั่นคือ ตามตารางอินทิกรัลที่ไม่แน่นอน ในปัญหาที่ซับซ้อนกว่านั้น ก่อนอื่นต้องแปลงอินทิกรัลเพื่อให้สามารถใช้อินทิกรัลแบบตารางได้

ข้อเท็จจริงที่ 2 เมื่อคืนค่าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟ เราต้องคำนึงถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) คและเพื่อไม่ให้เขียนรายการแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ต่างๆ ตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์ คุณต้องเขียนชุดของแอนติเดริเวทีฟที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจ คตัวอย่างเช่นเช่นนี้: 5 NS³ + ซ. ดังนั้น ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (ค่าคงที่) จึงรวมอยู่ในการแสดงออกของแอนติเดริเวทีฟ เนื่องจากแอนติเดริเวทีฟสามารถเป็นฟังก์ชันได้ ตัวอย่างเช่น 5 NS³ + 4 หรือ 5 NS³ + 3 และดิฟเฟอเรนติเอชัน 4 หรือ 3 หรือค่าคงที่อื่นใดหายไป

ให้เราสร้างปัญหาการรวม: สำหรับฟังก์ชันนี้ NS(NS) หาฟังก์ชั่นดังกล่าว NS(NS), ซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับ NS(NS).

ตัวอย่างที่ 1หาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

วิธีการแก้. สำหรับฟังก์ชันนี้ แอนติเดริเวทีฟคือฟังก์ชัน

การทำงาน NS(NS) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน NS(NS) ถ้าอนุพันธ์ NS(NS) เท่ากับ NS(NS) หรือที่เหมือนกัน คือ ดิฟเฟอเรนเชียล NS(NS) เท่ากับ NS(NS) dx, เช่น.

(2)

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่แอนติเดริเวทีฟเพียงอย่างเดียวสำหรับ พวกเขายังทำหน้าที่เป็นฟังก์ชั่น

ที่ไหน กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างความแตกต่าง

ดังนั้น หากมีแอนติเดริเวทีฟหนึ่งตัวสำหรับฟังก์ชัน ก็จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนอนันต์ที่แตกต่างกันตามพจน์คงที่ แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันถูกเขียนในรูปแบบข้างต้น นี้ตามมาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (คำสั่งอย่างเป็นทางการของข้อเท็จจริง 2)ถ้า NS(NS) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน NS(NS) เป็นระยะ NSแล้วแอนติเดริเวทีฟใดๆ สำหรับ NS(NS) ในช่วงเวลาเดียวกันสามารถแสดงเป็น NS(NS) + ค, ที่ไหน กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ

ในตัวอย่างต่อไป เรากำลังอ้างอิงถึงตารางอินทิกรัล ซึ่งจะให้ไว้ในส่วนที่ 3 หลังจากคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัด เราทำสิ่งนี้ก่อนที่จะอ่านตารางทั้งหมดเพื่อให้สาระสำคัญของข้างต้นมีความชัดเจน และหลังจากตารางและคุณสมบัติ เราจะใช้พวกมันในการรวมเข้าด้วยกันอย่างครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาชุดของแอนติเดริเวทีฟ:

วิธีการแก้. เราพบชุดของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟซึ่งฟังก์ชันเหล่านี้ถูก "สร้าง" เมื่อพูดถึงสูตรจากตารางอินทิกรัล สำหรับตอนนี้ แค่ยอมรับว่ามีสูตรดังกล่าว และเราจะศึกษาตารางของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนต่อไปอีกเล็กน้อย

1) การใช้สูตร (7) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ NS= 3 เราได้

2) การใช้สูตร (10) จากตารางอินทิกรัลสำหรับ NS= 1/3 เรามี

3) ตั้งแต่

แล้วตามสูตร (7) ที่ NS= -1/4 ค้นหา

อินทิกรัลไม่ใช่ฟังก์ชันเอง NS, และผลิตภัณฑ์ของมันโดยดิฟเฟอเรนเชียล dx... สิ่งนี้ทำขึ้นเพื่อบ่งชี้ว่าตัวแปรใดกำลังค้นหาแอนติเดริเวทีฟ ตัวอย่างเช่น,

, ;

ในทั้งสองกรณีอินทิกรัลมีค่าเท่ากัน แต่อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนของมันในกรณีที่พิจารณากลับกลายเป็นแตกต่างกัน ในกรณีแรก ฟังก์ชันนี้ถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปร NSและในวินาที - เป็นหน้าที่ของ z .

กระบวนการในการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันเรียกว่าการรวมฟังก์ชันนี้

ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลไม่ จำกัด

ให้มันต้องหาเส้นโค้ง y = F (x)และเรารู้แล้วว่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ที่จุดแต่ละจุดนั้นเป็นฟังก์ชันที่กำหนด ฉ (x) abscissa ของจุดนี้

ตามความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนดของเส้นโค้ง y = F (x)เท่ากับมูลค่าของอนุพันธ์ ฉ "(x)... จึงต้องหาฟังก์ชันดังกล่าว เอฟ (x), ซึ่ง ฉ "(x) = ฉ (x)... ฟังก์ชั่นที่จำเป็นในงาน เอฟ (x)เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ฉ (x)... เงื่อนไขของปัญหาไม่ได้เกิดจากเส้นโค้งเดียว แต่เกิดจากตระกูลของเส้นโค้ง y = F (x)เป็นหนึ่งในเส้นโค้งเหล่านี้ และเส้นโค้งอื่นใดสามารถหาได้จากการแปลแบบขนานตามแนวแกน ออย.

ลองเรียกกราฟของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟของ ฉ (x)เส้นโค้งอินทิกรัล ถ้า ฉ "(x) = ฉ (x)จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน y = F (x)มีเส้นโค้งอินทิกรัล

ความจริง 3 อินทิกรัลไม่แน่นอนแสดงทางเรขาคณิตโดยตระกูลของเส้นโค้งอินทิกรัลทั้งหมด ดังภาพด้านล่าง ระยะห่างของเส้นโค้งแต่ละเส้นจากจุดกำเนิดถูกกำหนดโดยค่าคงที่ (ค่าคงที่) ของการรวมตัวตามอำเภอใจ ค.

คุณสมบัติอินทิกรัลไม่แน่นอน

ความจริงที่ 4 ทฤษฎีบท 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียลเท่ากับอินทิกรัล

ความจริง 5. ทฤษฎีบท 2. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน NS(NS) เท่ากับฟังก์ชัน NS(NS) จนถึงระยะคงที่ , เช่น.

(3)

ทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่าการสร้างความแตกต่างและการรวมเป็นการดำเนินการซึ่งกันและกัน

ความจริง 6. ทฤษฎีบท 3. ตัวประกอบคงที่ในอินทิกรัลสามารถนำออกจากเครื่องหมายปริพันธ์ไม่แน่นอนได้ , เช่น.

ในหน้านี้คุณจะพบ:

1. อันที่จริง ตารางของแอนติเดริเวทีฟ - สามารถดาวน์โหลดในรูปแบบ PDF และพิมพ์ได้

2. วิดีโอเกี่ยวกับวิธีการใช้ตารางนี้

3. ตัวอย่างการคำนวณแอนติเดริเวทีฟจากหนังสือเรียนและแบบทดสอบต่างๆ

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์งานหลายอย่างที่จำเป็นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ซึ่งมักจะค่อนข้างซับซ้อน แต่ที่สำคัญที่สุด พวกมันไม่ใช่กฎกำลัง ฟังก์ชันทั้งหมดที่สรุปไว้ในตารางข้างต้น คุณจำเป็นต้องรู้ด้วยใจ เช่น อนุพันธ์ หากไม่มีพวกมัน การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับปริพันธ์และการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติก็เป็นไปไม่ได้

วันนี้เรายังคงจัดการกับแอนติเดริเวทีฟต่อไปและไปยังหัวข้อที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย หากคราวที่แล้วเราพิจารณาแอนติเดริเวทีฟจากฟังก์ชันกำลังและโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเท่านั้น วันนี้เราจะวิเคราะห์ตรีโกณมิติและอีกมากมาย

อย่างที่ฉันได้พูดไปในบทเรียนที่แล้ว แอนติเดริเวทีฟ ตรงข้ามกับอนุพันธ์ ไม่เคยถูกแก้ "หัวขาด" โดยใช้กฎมาตรฐานใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ข่าวร้ายก็คือ แอนติเดริเวทีฟไม่เหมือนกับอนุพันธ์ แอนติเดริเวทีฟอาจไม่นับรวมเลย หากเราเขียนฟังก์ชันสุ่มทั้งหมดและพยายามหาอนุพันธ์ของมัน ด้วยความน่าจะเป็นที่สูงมาก เราจะประสบความสำเร็จ แต่แอนติเดริเวทีฟแทบจะไม่เคยถูกนับในกรณีนี้เลย แต่มีข่าวดี: มีคลาสของฟังก์ชันที่ค่อนข้างกว้างขวางที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งแอนติเดริเวทีฟนั้นคำนวณได้ง่ายมาก และโครงสร้างที่ซับซ้อนอื่นๆ ทั้งหมดที่มีให้ในการควบคุมทุกประเภท ทั้งแบบอิสระและแบบทดสอบ อันที่จริงแล้ว ประกอบขึ้นจากฟังก์ชันพื้นฐานเหล่านี้โดยการบวก การลบ และการดำเนินการง่ายๆ อื่นๆ แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดังกล่าวได้รับการคำนวณและสรุปไว้ในตารางพิเศษมานานแล้ว มันมีฟังก์ชั่นและตารางที่เราจะทำงานในวันนี้

แต่เราจะเริ่มด้วยการทำซ้ำเช่นเคย: จำไว้ว่าแอนติเดริเวทีฟคืออะไร เหตุใดจึงมีพวกมันมากมายอย่างไม่สิ้นสุด และวิธีกำหนดลักษณะทั่วไปของพวกมัน สำหรับสิ่งนี้ ฉันได้เลือกงานง่าย ๆ สองอย่าง

การแก้ตัวอย่างแสง

ตัวอย่างที่ 1

โปรดสังเกตทันทีว่า $ \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \ Text ()) (6) $ และโดยทั่วไป การมีอยู่ของ $ \ text () \! \! \ Pi \! \! \ text () $ บอกเป็นนัยทันทีว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่ต้องการนั้นสัมพันธ์กับตรีโกณมิติ ที่จริงแล้ว ถ้าเราดูที่ตาราง เราจะพบว่า $ \ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) $ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $ \ text (arctg) x $ ดังนั้นเราจึงเขียน:

ในการค้นหา คุณต้องจดสิ่งต่อไปนี้:

\ [\ frac (\ pi) (6) = \ ข้อความ (arctg) \ sqrt (3) + C \]

\ [\ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (3) + C \]

ตัวอย่างที่ 2

นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ถ้าเราดูตารางแล้วมันจะเป็นแบบนี้:

ในบรรดาชุดของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด เราต้องหาแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดที่ระบุ:

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ arcsin \ frac (1) (2) + C \]

\ [\ text () \! \! \ pi \! \! \ text () = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (6) + C \]

ลองเขียนให้ชัดเจน:

มันง่ายมาก ปัญหาเดียวคือเพื่อที่จะนับแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันง่าย ๆ คุณต้องเรียนรู้ตารางของแอนติเดริเวทีฟ อย่างไรก็ตาม หลังจากตรวจสอบตารางอนุพันธ์แล้ว ผมคิดว่าไม่น่าจะมีปัญหาอะไร

การแก้ปัญหาที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรต่อไปนี้:

\ [((e) ^ (x)) \ ถึง ((e) ^ (x)) \]

\ [((a) ^ (x)) \ ถึง \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) \]

เรามาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1

หากเราดูเนื้อหาของวงเล็บ เราจะสังเกตว่าไม่มีนิพจน์ดังกล่าวในตารางของแอนติเดริเวทีฟที่ $ ((e) ^ (x)) $ จะอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้จึงต้องถูกขยาย ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรคูณแบบย่อ:

มาหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับแต่ละเทอมกัน:

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (((e) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) \ ถึง \ frac (((\ left (((e)) ^ (2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (2))) = \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) \ ถึง \ frac (((\ left (((e) ) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x))) (\ ln ((e) ^ (- 2))) = \ frac (1) (- 2 ((e) ^ (2x))) \]

และตอนนี้ ให้รวบรวมเทอมทั้งหมดเป็นนิพจน์เดียวและรับแอนติเดริเวทีฟทั่วไป:

ตัวอย่างที่ 2

คราวนี้เลขชี้กำลังมีขนาดใหญ่กว่าอยู่แล้ว ดังนั้นสูตรสำหรับการคูณแบบย่อจะค่อนข้างซับซ้อน ลองขยายวงเล็บ:

ตอนนี้เราจะพยายามหาแอนติเดริเวทีฟของสูตรของเราจากโครงสร้างนี้:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนและเหนือธรรมชาติเกี่ยวกับพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทั้งหมดถูกนับในตาราง แต่นักเรียนที่เอาใจใส่อาจจะสังเกตเห็นว่าแอนติเดริเวทีฟ $ ((e) ^ (2x)) $ นั้นใกล้เพียง $ ((e) ^ (x)) $ มากกว่า $ ((a) ^ (x )) $. ดังนั้น อาจมีกฎพิเศษบางอย่างที่ช่วยให้ เมื่อรู้ว่าแอนติเดริเวทีฟ $ ((e) ^ (x)) $ หา $ ((e) ^ (2x)) $ ได้? ใช่มีกฎดังกล่าว นอกจากนี้ยังเป็นส่วนสำคัญของการทำงานกับตารางของแอนติเดริเวทีฟ ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์เดียวกันกับที่เราเพิ่งใช้

กฎการทำงานกับตารางของแอนติเดริเวทีฟ

มาเขียนฟังก์ชันของเราอีกครั้ง:

ในกรณีก่อนหน้านี้ เราใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อแก้ปัญหา:

\ [((a) ^ (x)) \ ถึง \ frac (((a) ^ (x))) (\ ตัวดำเนินการ (lna)) \]

แต่ตอนนี้ มาทำอะไรที่แตกต่างออกไป: จำไว้ว่า $ ((e) ^ (x)) \ to ((e) ^ (x)) $ อย่างที่ฉันพูดไปก่อนหน้านี้ เพราะอนุพันธ์ $ ((e) ^ (x)) $ ไม่มีอะไรมากไปกว่า $ ((e) ^ (x)) $ ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของมันจะเท่ากับ $ ((e) ^ (x)) $. แต่ปัญหาคือเรามี $ ((e) ^ (2x)) $ และ $ ((e) ^ (- 2x)) $ ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ $ ((e) ^ (2x)) $:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (2x)) \ cdot ((\ left (2x \ right)) ^ ( \ สำคัญ)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

มาเขียนการก่อสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

\ [((\ left (((e) ^ (2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot ((e) ^ (2x)) \]

\ [((e) ^ (2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (2x))) (2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราพบแอนติเดริเวทีฟ $ ((e) ^ (2x)) $ เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

\ [((e) ^ (2x)) \ ถึง \ frac (((e) ^ (2x))) (2) \]

อย่างที่คุณเห็น เราได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม แต่ไม่ได้ใช้สูตรเพื่อค้นหา $ ((a) ^ (x)) $ ตอนนี้อาจดูงี่เง่า: เหตุใดการคำนวณจึงซับซ้อนเมื่อมีสูตรมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม ในสำนวนที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณจะพบว่าเทคนิคนี้มีประสิทธิภาพมาก กล่าวคือ โดยใช้อนุพันธ์เพื่อหาแอนติเดริเวทีฟ

ในการวอร์มอัพ ให้หาแอนติเดริเวทีฟของ $ ((e) ^ (2x)) $ ในลักษณะเดียวกัน:

\ [((\ left (((e) ^ (- 2x)) \ right)) ^ (\ prime)) = ((e) ^ (- 2x)) \ cdot \ left (-2 \ right) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) = ((\ left (\ frac (((e) ^ (- 2x)))) (- 2) \ right)) ^ (\ prime)) \]

เมื่อคำนวณการก่อสร้างของเราจะเขียนดังนี้:

\ [((e) ^ (- 2x)) \ ถึง - \ frac (((e) ^ (- 2x))) (2) \]

\ [((e) ^ (- 2x)) \ ถึง - \ frac (1) (2 \ cdot ((e) ^ (2x))) \]

เราได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการ แต่ในขณะเดียวกันเราก็ใช้เส้นทางที่ต่างออกไป มันคือเส้นทางนี้ ซึ่งตอนนี้ดูเหมือนเราจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ในภายหลังจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ซับซ้อนมากขึ้นและการใช้ตาราง

บันทึก! นี่เป็นจุดสำคัญมาก: สามารถนับแอนติเดริเวทีฟ เช่น อนุพันธ์ได้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม หากการคำนวณและการคำนวณทั้งหมดเท่ากัน คำตอบก็จะเหมือนกัน เราเพิ่งเห็นสิ่งนี้ในตัวอย่างของ $ ((e) ^ (- 2x)) $ - ในอีกด้านหนึ่ง เรานับแอนติเดริเวทีฟนี้ "ตรงไปข้างหน้า" โดยใช้คำจำกัดความและคำนวณโดยใช้การแปลงในทางกลับกัน เราจำได้ว่า $ ((e) ^ (- 2x)) $ สามารถแสดงเป็น $ ((\ left (((e) ^ (- 2)) \ right)) ^ (x)) $ แล้วจึงใช้ แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $ ( (a) ^ (x)) $ อย่างไรก็ตาม หลังจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ผลลัพธ์ก็เหมือนกับที่คาดไว้

เมื่อเราได้เข้าใจทั้งหมดนี้แล้ว ก็ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่สิ่งที่สำคัญมากขึ้น ตอนนี้เราจะวิเคราะห์โครงสร้างอย่างง่ายสองแบบ แต่เทคนิคที่จะใช้ในการแก้ปัญหานั้นเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและมีประโยชน์มากกว่า "การทำงาน" แบบธรรมดาระหว่างแอนติเดริเวทีฟที่อยู่ติดกันจากตาราง

การแก้ปัญหา: ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

ลองแบ่งผลรวมในตัวเศษออกเป็นเศษส่วนสามส่วน:

นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเข้าใจได้ นักเรียนส่วนใหญ่ไม่มีปัญหากับการเปลี่ยนแปลงนี้ ลองเขียนนิพจน์ของเราใหม่ดังนี้:

ทีนี้มาจำสูตรนี้กัน:

ในกรณีของเรา เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

เพื่อกำจัดเศษส่วนสามชั้นเหล่านี้ทั้งหมด ฉันแนะนำให้ทำดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2

ตัวส่วนไม่ใช่ผลคูณแต่เป็นผลรวมต่างจากเศษส่วนก่อนหน้า ในกรณีนี้ เราไม่สามารถแบ่งเศษส่วนเป็นผลรวมของเศษส่วนธรรมดาหลายๆ ตัวได้อีกต่อไป แต่เราจำเป็นต้องพยายามตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเศษมีนิพจน์เดียวกันกับตัวส่วนโดยประมาณ ในกรณีนี้ ทำได้ค่อนข้างง่าย:

สัญกรณ์ดังกล่าวซึ่งในภาษาคณิตศาสตร์เรียกว่า "การบวกศูนย์" จะทำให้เราสามารถแบ่งเศษส่วนออกเป็นสองส่วนได้อีกครั้ง:

ตอนนี้เรามาหาสิ่งที่เรากำลังมองหา:

นั่นคือการคำนวณทั้งหมด แม้จะดูซับซ้อนกว่างานก่อนหน้านี้ แต่ปริมาณการคำนวณกลับกลายเป็นว่าน้อยกว่าด้วยซ้ำ

ความแตกต่างของโซลูชัน

และนี่คือปัญหาหลักของการทำงานกับแอนติเดริเวทีฟแบบตาราง ซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษในงานที่สอง ความจริงก็คือในการเลือกองค์ประกอบบางอย่างที่นับได้ง่าย ๆ ในตาราง เราจำเป็นต้องรู้ว่าเรากำลังมองหาอะไรกันแน่ และมันอยู่ในการค้นหาองค์ประกอบเหล่านี้ที่การคำนวณทั้งหมดของแอนติเดริเวทีฟประกอบด้วย

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แค่ท่องจำตารางของแอนติเดริเวทีฟเท่านั้นยังไม่พอ คุณต้องมองเห็นบางอย่างที่ยังไม่มี แต่สิ่งที่ผู้เขียนและผู้เรียบเรียงของปัญหานี้หมายถึง นั่นคือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ ครู และอาจารย์หลายคนโต้เถียงกันอยู่เสมอว่า: "อะไรคือการนำแอนติเดริเวทีฟหรืออินทิเกรตมาใช้ - มันเป็นเพียงเครื่องมือหรือเป็นศิลปะจริง ๆ" อันที่จริง ในความเห็นส่วนตัวของฉัน การบูรณาการไม่ใช่ศิลปะเลย - ไม่มีอะไรประเสริฐในนั้น มันเป็นแค่การฝึกฝนและฝึกฝนอีกครั้ง และเพื่อฝึกฝน เรามาแก้ตัวอย่างที่จริงจังอีกสามตัวอย่างกัน

เราฝึกบูรณาการในทางปฏิบัติ

ปัญหาหมายเลข 1

ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:

\ [((x) ^ (n)) \ ถึง \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

\ [\ frac (1) (x) \ ถึง \ ln x \]

\ [\ frac (1) (1 + ((x) ^ (2))) \ ถึง \ text (arctg) x \]

มาเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

มาเขียนใหม่ดังนี้

แอนติเดริเวทีฟทั้งหมดจะเท่ากับ:

ปัญหาหมายเลข 3

ความซับซ้อนของปัญหานี้คือ ไม่เหมือนกับฟังก์ชันก่อนหน้านี้ ไม่มีตัวแปร $ x $ จากด้านบนเลย นั่นคือ ไม่ชัดเจนสำหรับเราว่าต้องบวก ลบ เพื่อให้ได้สิ่งที่คล้ายกับด้านล่างเป็นอย่างน้อย อย่างไรก็ตาม อันที่จริง นิพจน์นี้ถือว่าง่ายกว่านิพจน์ใดๆ จากโครงสร้างก่อนหน้า เนื่องจากฟังก์ชันนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

บางทีคุณอาจกำลังถามว่า: ทำไมฟังก์ชันเหล่านี้ถึงเท่ากัน? มาตรวจสอบกัน:

เราจะเขียนใหม่ด้วย:

ลองเปลี่ยนการแสดงออกของเราเล็กน้อย:

และเมื่อฉันอธิบายทั้งหมดนี้ให้นักเรียนฟัง เกือบทุกครั้งจะเกิดปัญหาแบบเดียวกัน: ด้วยฟังก์ชันแรก ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย อย่างที่สองด้วย โชคหรือการฝึก คุณสามารถเข้าใจได้ แต่ประเภทใด จำเป็นต้องมีจิตสำนึกทางเลือกเพื่อแก้ตัวอย่างที่สามหรือไม่? อันที่จริงอย่าตื่นตระหนก เทคนิคที่เราใช้เมื่อคำนวณแอนติเดริเวทีฟสุดท้ายเรียกว่า "การสลายตัวของฟังก์ชันเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน" และนี่เป็นเทคนิคที่จริงจังมาก และจะมีวิดีโอสอนการใช้งานแยกต่างหาก

ในระหว่างนี้ ฉันเสนอให้กลับไปที่สิ่งที่เราเพิ่งศึกษา กล่าวคือ ไปที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และทำให้งานค่อนข้างซับซ้อนด้วยเนื้อหา

ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นในการแก้ปัญหาฟังก์ชันเลขชี้กำลังของแอนติเดริเวทีฟ

ปัญหาหมายเลข 1

สังเกตสิ่งต่อไปนี้:

\ [((2) ^ (x)) \ cdot ((5) ^ (x)) = ((\ left (2 \ cdot 5 \ right)) ^ (x)) = ((10) ^ (x) ) \]

ในการหาแอนติเดริเวทีฟของนิพจน์นี้ ให้ใช้สูตรมาตรฐาน - $ ((a) ^ (x)) \ to \ frac (((a) ^ (x))) (\ ln a) $

ในกรณีของเรา แอนติเดริเวทีฟจะเป็นดังนี้:

แน่นอนว่าเมื่อเทียบกับพื้นหลังของการออกแบบที่เราเพิ่งแก้ไข ภาพนี้ดูเรียบง่ายกว่า

ปัญหาหมายเลข 2

อีกครั้ง เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้สามารถแบ่งออกเป็นสองพจน์แยกกันได้ง่ายๆ - เศษส่วนสองส่วนแยกกัน มาเขียนใหม่:

มันยังคงต้องหาแอนติเดริเวทีฟของแต่ละเทอมเหล่านี้ตามสูตรข้างต้น:

แม้จะมีความซับซ้อนอย่างมากของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อเปรียบเทียบกับฟังก์ชันกำลัง แต่จำนวนรวมของการคำนวณและการคำนวณกลับกลายเป็นว่าง่ายกว่ามาก

แน่นอน สำหรับนักเรียนที่มีความรู้ สิ่งที่เราเพิ่งวิเคราะห์ (โดยเฉพาะกับภูมิหลังของสิ่งที่เราวิเคราะห์มาก่อน) อาจดูเหมือนเป็นสำนวนเบื้องต้น อย่างไรก็ตาม การเลือกปัญหาสองข้อนี้สำหรับวิดีโอสอนวันนี้ ฉันไม่ได้ตั้งเป้าหมายที่จะบอกเคล็ดลับที่ซับซ้อนและซับซ้อนให้คุณฟัง - ทั้งหมดที่ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นก็คือ คุณไม่ควรกลัวที่จะใช้ลูกเล่นพีชคณิตมาตรฐานเพื่อแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม .

ใช้เทคนิค "ความลับ"

โดยสรุป ฉันต้องการวิเคราะห์เทคนิคที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ซึ่งในอีกด้านหนึ่ง นอกเหนือไปจากสิ่งที่เราวิเคราะห์เป็นหลักในวันนี้ แต่ในทางกลับกัน อย่างแรกเลย มันไม่ซับซ้อนเลย กล่าวคือ แม้แต่นักเรียนสามเณรก็สามารถเชี่ยวชาญได้ และประการที่สอง มักพบในการควบคุมและการทำงานอิสระทุกประเภท เช่น การรู้ว่ามันจะมีประโยชน์มากนอกเหนือจากการรู้ตารางของแอนติเดริเวทีฟ

ปัญหาหมายเลข 1

เห็นได้ชัดว่าก่อนหน้าเรามีสิ่งที่คล้ายกันมากกับฟังก์ชันกำลัง เราควรทำอย่างไรในกรณีนี้? ลองคิดดู: $ x-5 $ ไม่แตกต่างจาก $ x $ มากนัก - เราเพิ่งเพิ่ม $ -5 $ ลองเขียนแบบนี้:

\ [((x) ^ (4)) \ ถึง \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((\ left (\ frac (((x) ^ (5))) (5) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5 \ cdot ((x) ^ (4))) (5) = ((x) ^ (4)) \]

ลองหาอนุพันธ์ของ $ ((\ left (x-5 \ right)) ^ (5)) $:

\ [((\ left (((\ left (x-5 \ right))) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = 5 \ cdot ((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) \]

นี่หมายความว่า:

\ [((\ left (x-5 \ right)) ^ (4)) = ((\ left (\ frac (((\ left (x-5 \ right))) ^ (5))) (5) \ ขวา)) ^ (\ ไพรม์)) \]

ไม่มีค่าดังกล่าวในตาราง ดังนั้นเราจึงได้สูตรนี้มาเอง โดยใช้สูตรแอนติเดริเวทีฟมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันกำลัง มาเขียนคำตอบแบบนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

สำหรับนักเรียนหลายคนที่ดูวิธีแก้ปัญหาแรก อาจดูเหมือนว่าทุกอย่างง่ายมาก แค่แทนที่ $ x $ ในฟังก์ชันกำลังด้วยนิพจน์เชิงเส้น แล้วทุกอย่างจะเข้าที่ น่าเสียดายที่ทุกอย่างไม่ง่ายนักและตอนนี้เราจะเชื่อมั่นในสิ่งนี้

โดยเปรียบเทียบกับนิพจน์แรก ให้เขียนดังนี้:

\ [((x) ^ (9)) \ ถึง \ frac (((x) ^ (10))) (10) \]

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right))) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = 10 \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) \ cdot ((\ left (4-3x \ right)) ^ (\ prime)) = \]

\ [= 10 \ cdot ((\ ซ้าย (4-3x \ ขวา)) ^ (9)) \ cdot \ ซ้าย (-3 \ ขวา) = - 30 \ cdot ((\ ซ้าย (4-3x \ ขวา)) ^ (9)) \]

กลับไปที่อนุพันธ์ของเรา เราสามารถเขียน:

\ [((\ left (((\ left (4-3x \ right))) ^ (10)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 30 \ cdot ((\ left (4-3x \ right) ) ^ (9)) \]

\ [((\ left (4-3x \ right)) ^ (9)) = ((\ left (\ frac (((\ left (4-3x \ right))) ^ (10))) (-30) \ right)) ^ (\ ไพรม์)) \]

จากนี้ไปทันที:

ความแตกต่างของโซลูชัน

โปรดทราบ: หากครั้งสุดท้ายไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงโดยพื้นฐานแล้ว ในกรณีที่สอง $ -30 $ ปรากฏขึ้นแทนที่จะเป็น $ -10 $ ความแตกต่างระหว่าง $ -10 $ และ $ -30 $ คืออะไร? แน่นอนโดยปัจจัยของ $ -3 $ คำถาม: มันมาจากไหน? เมื่อมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นว่ามันเป็นผลจากการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน - สัมประสิทธิ์ที่อยู่ที่ $ x $ ปรากฏในแอนติเดริเวทีฟที่ด้านล่าง นี่เป็นกฎที่สำคัญมาก ซึ่งตอนแรกฉันไม่ได้วางแผนที่จะวิเคราะห์เลยในวิดีโอสอนของวันนี้ แต่ถ้าไม่มี การนำเสนอของแอนติเดริเวทีฟแบบตารางจะไม่สมบูรณ์

เลยไปกันใหม่ ให้มีฟังก์ชั่นพลังงานหลักของเรา:

\ [((x) ^ (n)) \ ถึง \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

ตอนนี้ แทนที่จะเป็น $ x $ ให้แทนที่นิพจน์ $ kx + b $ แล้วจะเกิดอะไรขึ้น? เราต้องหาสิ่งต่อไปนี้:

\ [((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ ถึง \ frac (((\ left (kx + b \ right)) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ ขวา) \ cdot k) \]

เราระบุสิ่งนี้บนพื้นฐานอะไร? ง่ายมาก. มาหาอนุพันธ์ของโครงสร้างข้างต้นกัน:

\ [((\ left (\ frac (((\ left (kx + b \ right))) ^ (n + 1))) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ right)) ^ ( \ prime)) = \ frac (1) (\ left (n + 1 \ right) \ cdot k) \ cdot \ left (n + 1 \ right) \ cdot ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \ cdot k = ((\ left (kx + b \ right)) ^ (n)) \]

นี่เป็นนิพจน์เดียวกันกับที่เดิม ดังนั้น สูตรนี้จึงถูกต้องเช่นกัน และสามารถเสริมด้วยตารางของแอนติเดริเวทีฟ หรือควรจำทั้งตารางจะดีกว่า

บทสรุปจาก "ความลับ: เทคนิค:

• ฟังก์ชันทั้งสองที่เราเพิ่งพิจารณา สามารถลดทอนเป็นแอนติเดริเวทีฟที่ระบุในตารางโดยการขยายองศา แต่ถ้าเรายังคงรับมือกับดีกรีที่สี่ได้ไม่มากก็น้อย ฉันก็จะไม่รับมือกับดีกรีที่เก้าเลย ปริญญา กล้าที่จะเปิดเผย
• ถ้าเราเปิดเผยองศา เราก็จะได้ปริมาณการคำนวณที่งานง่าย ๆ จะพาเราใช้เวลามากไม่เพียงพอ
• นั่นคือเหตุผลที่ปัญหาดังกล่าว ซึ่งมีนิพจน์เชิงเส้นอยู่ภายใน ไม่จำเป็นต้องแก้ไข "ทันที" ทันทีที่คุณเจอแอนติเดริเวทีฟที่แตกต่างจากในตารางโดยการมีนิพจน์ $ kx + b $ อยู่ข้างใน ให้จำสูตรที่เขียนด้านบนนี้ทันที แทนที่มันลงในแอนติเดริเวทีฟตารางของคุณ แล้วทุกอย่างจะออกมามาก เร็วขึ้นและง่ายขึ้นสำหรับคุณ

โดยธรรมชาติเนื่องจากความซับซ้อนและความรุนแรงของเทคนิคนี้ เราจะกลับมาพิจารณาซ้ำในวิดีโอสอนครั้งต่อๆ ไป แต่สำหรับวันนี้ฉันมีทุกอย่าง หวังว่าบทช่วยสอนนี้จะช่วยนักเรียนที่ต้องการเข้าใจแอนติเดริเวทีฟและการบูรณาการ

เราแสดงรายการอินทิกรัลของฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าตาราง:

สูตรใดสูตรหนึ่งข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยหาอนุพันธ์ของด้านขวามือ

วิธีการบูรณาการ

ลองพิจารณาวิธีการรวมพื้นฐานบางอย่าง ซึ่งรวมถึง:

1. วิธีการสลายตัว(บูรณาการโดยตรง).

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้อินทิกรัลแบบตารางโดยตรง เช่นเดียวกับการประยุกต์ใช้คุณสมบัติ 4 และ 5 ของอินทิกรัลไม่จำกัด (กล่าวคือ โดยไม่รวมปัจจัยคงที่จากวงเล็บและ / หรือแทนอินทิกรัลเป็นผลรวมของฟังก์ชัน - การขยายอินทิกรัลเป็นเงื่อนไข)

ตัวอย่างที่ 1ตัวอย่างเช่น ในการค้นหา (dx / x 4) คุณสามารถใช้อินทิกรัลตารางสำหรับ x n dx ได้โดยตรง อันที่จริง  (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน

ตัวอย่างที่ 2ในการค้นหา เราใช้อินทิกรัลเดียวกัน:

ตัวอย่างที่ 3ในการค้นหาคุณต้องใช้

ตัวอย่างที่ 4ในการค้นหา เราเป็นตัวแทนของอินทิกรัลในรูปแบบ และใช้อินทิกรัลตารางสำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

พิจารณาใช้ตัวประกอบคงที่นอกวงเล็บเหลี่ยม

ตัวอย่างที่ 5ลองหาตัวอย่างเช่น ... เมื่อพิจารณาแล้วเราจะได้

ตัวอย่างที่ 6เราจะพบมัน เพราะว่า , เราใช้อินทิกรัลตาราง เราได้รับ

คุณยังสามารถใช้วงเล็บและอินทิกรัลตารางในสองตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 7

(ใช้และ );

ตัวอย่างที่ 8

(ใช้ และ ).

ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยใช้อินทิกรัลผลรวม

ตัวอย่างที่ 9ตัวอย่างเช่น ลองหา
... ในการใช้วิธีการขยายในตัวเศษ เราใช้สูตรสำหรับลูกบาศก์ของผลรวม  แล้วหารพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ด้วยตัวส่วน

=  ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx =  (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx =

ควรสังเกตว่าในตอนท้ายของการแก้ปัญหาหนึ่งค่าคงที่ทั่วไป C ถูกเขียนขึ้น (และไม่แยกจากกันเมื่อรวมแต่ละเทอม) ในอนาคต ยังเสนอให้ละเว้นค่าคงที่จากการรวมคำศัพท์แต่ละคำในกระบวนการแก้ปัญหา ตราบใดที่นิพจน์ประกอบด้วยอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนอย่างน้อยหนึ่งตัว (เราจะเขียนค่าคงที่หนึ่งค่าที่ส่วนท้ายของโซลูชัน)

ตัวอย่างที่ 10หา ... เพื่อแก้ปัญหานี้ เราแยกตัวเศษออก (หลังจากนั้นเราจะสามารถลดตัวส่วนได้)

ตัวอย่างที่ 11เราจะพบมัน ข้อมูลเฉพาะทางตรีโกณมิติสามารถใช้ได้ที่นี่

บางครั้ง ในการแยกนิพจน์ออกเป็นเงื่อนไข คุณต้องใช้เทคนิคที่ซับซ้อนกว่านี้

ตัวอย่างที่ 12หา ... ในจำนวนเต็ม ให้เลือกส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วน ... แล้ว

ตัวอย่างที่ 13หา

2. วิธีการเปลี่ยนตัวแปร (วิธีการทดแทน)

วิธีการนี้ใช้สูตรต่อไปนี้: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt โดยที่ x =  (t) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาที่พิจารณา

การพิสูจน์. ให้เราหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปร t ของด้านซ้ายและด้านขวาของสูตร

โปรดทราบว่าทางด้านซ้ายมือมีฟังก์ชันที่ซับซ้อน อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ x =  (t) ดังนั้น ในการแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ t ก่อนอื่น เราแยกความแตกต่างของอินทิกรัลเทียบกับ x แล้วหาอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ระดับกลางเทียบกับ t

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

มาจากด้านขวา:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

เนื่องจากอนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ตามทฤษฎีบทของลากรองจ์ ด้านซ้ายและด้านขวาของสูตรจึงได้รับการพิสูจน์ด้วยค่าคงที่บางค่าที่ต่างกัน เนื่องจากอินทิกรัลไม่แน่นอนถูกกำหนดถึงระยะคงที่ไม่แน่นอน ค่าคงที่ที่ระบุในสัญกรณ์สุดท้ายสามารถละเว้นได้ พิสูจน์แล้ว

การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่ประสบความสำเร็จทำให้สามารถลดความซับซ้อนของอินทิกรัลดั้งเดิม และในกรณีที่ง่ายที่สุด ให้ลดให้เป็นแบบตาราง ในการประยุกต์ใช้วิธีนี้ จะมีความแตกต่างระหว่างวิธีการแทนที่เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

ก) วิธีการแทนที่เชิงเส้นลองพิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1
... ให้ t = 1 - 2x แล้ว

dx = d (½ - ½t) = - ½dt

ควรสังเกตว่าตัวแปรใหม่ไม่จำเป็นต้องเขียนออกมาอย่างชัดเจน ในกรณีเช่นนี้ เราพูดถึงการแปลงฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์หรือการแนะนำค่าคงที่และตัวแปรภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ กล่าวคือ โอ การเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยนัย.

ตัวอย่างที่ 2ตัวอย่างเช่น ค้นหา cos (3x + 2) dx โดยคุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียล dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2) แล้ว cos (3x + 2) dx =  (1/3) cos (3x + 2 ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) บาป (3x + 2) + C.

ในทั้งสองตัวอย่างที่พิจารณา การแทนที่เชิงเส้น t = kx + b (k0) ถูกใช้เพื่อค้นหาอินทิกรัล

ในกรณีทั่วไป ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบทการแทนที่เชิงเส้น... ให้ F (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f (x) จากนั้น f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C โดยที่ k และ b เป็นค่าคงที่ k0

การพิสูจน์.

ตามคำจำกัดความของอินทิกรัล f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C ฮอด (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx นำปัจจัยคงที่ k ออกสำหรับเครื่องหมายปริพันธ์: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C ตอนนี้เราสามารถแบ่งด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันออกเป็น k และรับการยืนยันที่พิสูจน์ถึงสัญกรณ์ของเทอมคงที่

ทฤษฎีบทนี้ยืนยันว่าถ้านิพจน์ (kx + b) ถูกแทนที่ลงในคำจำกัดความของปริพันธ์ f (x) dx = F (x) + C แทนที่จะเป็นอาร์กิวเมนต์ x สิ่งนี้จะนำไปสู่การปรากฏตัวของปัจจัยเพิ่มเติม 1 / k หน้าแอนติเดริเวทีฟ

โดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เราจะแก้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3

หา ... ที่นี่ kx + b = 3 –x นั่นคือ k = -1, b = 3 จากนั้น

ตัวอย่างที่ 4

เราจะพบมัน ที่นี่ kx + b = 4x + 3 นั่นคือ k = 4, b = 3 จากนั้น

ตัวอย่างที่ 5

หา ... ที่นี่ kx + b = -2x + 7 นั่นคือ k = -2, b = 7 จากนั้น

.

ตัวอย่างที่ 6หา
... ที่นี่ kx + b = 2x + 0, เช่น k = 2, b = 0

.

ให้เราเปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับตัวอย่างที่ 8 ซึ่งแก้ไขโดยวิธีการสลายตัว แก้ปัญหาเดียวกันด้วยวิธีอื่น เราได้คำตอบ
... ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ: ดังนั้นนิพจน์เหล่านี้จึงแตกต่างกันด้วยพจน์คงที่ , เช่น. คำตอบที่ได้รับไม่ขัดแย้งกัน

ตัวอย่างที่ 7หา
... มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ในตัวส่วนกัน

ในบางกรณี การเปลี่ยนตัวแปรไม่ได้ทำให้อินทิกรัลลดลงไปเป็นตัวแปรแบบตารางโดยตรง แต่สามารถทำให้โซลูชันง่ายขึ้น ทำให้สามารถใช้วิธีการสลายตัวในขั้นตอนต่อไปได้

ตัวอย่างที่ 8ตัวอย่างเช่น ลองหา ... แทนที่ t = x + 2 จากนั้น dt = d (x + 2) = dx แล้ว

,

โดยที่ С = С 1 - 6 (เมื่อแทนที่นิพจน์ (x + 2) แทนที่จะเป็นสองเทอมแรก เราจะได้ ½x 2 -2x– 6)

ตัวอย่างที่ 9หา
... ให้ t = 2x + 1 จากนั้น dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2

แทนที่นิพจน์ (2x + 1) แทน t ขยายวงเล็บและให้วงเล็บที่คล้ายกัน

โปรดทราบว่าในกระบวนการแปลง เราเปลี่ยนไปใช้เทอมคงที่อื่น เนื่องจาก กลุ่มของเงื่อนไขคงที่ในกระบวนการแปลงสามารถละเว้นได้

b) วิธีการทดแทนแบบไม่เชิงเส้นลองพิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1
... ให้ t = -x 2 นอกจากนี้ เราสามารถแสดง x ถึง t จากนั้นค้นหานิพจน์สำหรับ dx และนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรไปใช้ในอินทิกรัลที่ต้องการ แต่ในกรณีนี้ มันง่ายกว่าที่จะทำอย่างอื่น ค้นหา dt = d (-x 2) = -2xdx โปรดทราบว่านิพจน์ xdx เป็นปัจจัยของอินทิกรัลของอินทิกรัลที่ต้องการ ให้เราแสดงมันจากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ xdx = - ½dt แล้ว

บูรณาการไม่ใช่เรื่องยากที่จะเรียนรู้ ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้กฎเกณฑ์บางอย่าง ค่อนข้างเล็ก และพัฒนาไหวพริบ แน่นอนว่าการเรียนรู้กฎและสูตรนั้นง่าย แต่เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าจะใช้กฎนี้หรือกฎการรวมหรือความแตกต่างนั้นที่ไหนและเมื่อใด อันที่จริงแล้ว นี่คือความสามารถในการบูรณาการ

1. แอนติเดริเวทีฟ อินทิกรัลไม่มีกำหนด

สันนิษฐานว่าเมื่ออ่านบทความนี้ ผู้อ่านมีทักษะในการสร้างความแตกต่างอยู่แล้ว (เช่น การหาอนุพันธ์)

คำจำกัดความ 1.1:ฟังก์ชันจะเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหากความเท่าเทียมกันถือ:

ความคิดเห็น:> ความเครียดในคำว่า “แอนติเดริเวทีฟ” สามารถใส่ได้สองวิธี: อย่างแรก โอหน้าด้านหรือก่อน แต่รู้.

คุณสมบัติ 1:ถ้าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชันนั้นก็เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันด้วย

การพิสูจน์:ให้เราพิสูจน์สิ่งนี้จากนิยามของแอนติเดริเวทีฟ มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน:

เทอมแรกใน คำจำกัดความ 1.1เท่ากับ และเทอมที่สองคืออนุพันธ์ของค่าคงที่ที่เท่ากับ 0

.

สรุป. ลองเขียนจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกัน:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงเท่ากับ ดังนั้นตามนิยามแล้ว จึงเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ 1.2:อินทิกรัลไม่แน่นอนของฟังก์ชันคือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งชุดของฟังก์ชันนี้ นี้ระบุไว้ดังนี้:

.

ลองพิจารณาชื่อของแต่ละส่วนของบันทึกโดยละเอียด:

- สัญกรณ์ทั่วไปสำหรับอินทิกรัล

- นิพจน์ integrand (integrand) ฟังก์ชัน integral

- ดิฟเฟอเรนเชียลและนิพจน์หลังตัวอักษร ในกรณีนี้ จะเรียกว่าตัวแปรของการรวม

ความคิดเห็น:คำสำคัญในคำจำกัดความนี้คือ "ทั้งชุด" เหล่านั้น. หากในอนาคต "บวก C" นี้ไม่ได้เขียนในคำตอบผู้ตรวจสอบมีสิทธิ์ที่จะไม่นับงานนี้เพราะ จำเป็นต้องหาชุดของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด และถ้าไม่มี C ก็จะพบเพียงชุดเดียวเท่านั้น

บทสรุป:เพื่อตรวจสอบว่าอินทิกรัลคำนวณถูกต้องหรือไม่ จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของผลลัพธ์ จะต้องตรงกับอินทิกรัล
ตัวอย่าง:
งาน:คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดแล้วตรวจสอบ

วิธีการแก้:

วิธีคำนวณอินทิกรัลนี้ไม่เกี่ยวข้องในกรณีนี้ สมมติว่านี่คือการเปิดเผยจากเบื้องบน หน้าที่ของเราคือแสดงให้เห็นว่าการเปิดเผยไม่ได้หลอกลวงเรา และสิ่งนี้สามารถทำได้ผ่านการตรวจสอบ

การตรวจสอบ:

เมื่อแยกความแตกต่างของผลลัพธ์ จะได้อินทิกรัล ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลถูกคำนวณอย่างถูกต้อง

2. จุดเริ่มต้น ตารางอินทิกรัล

สำหรับการบูรณาการ คุณไม่จำเป็นต้องจำทุกครั้งที่ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับอินทิกรัลที่ให้มา (เช่น ใช้คำจำกัดความของอินทิกรัลโดยตรง) ชุดปัญหาหรือตำราเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แต่ละชุดประกอบด้วยรายการคุณสมบัติของอินทิกรัลและตารางอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด

มาแสดงรายการคุณสมบัติกัน

คุณสมบัติ:
1.
อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลเท่ากับตัวแปรอินทิเกรต
2. ค่าคงที่อยู่ที่ไหน
ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกนอกเครื่องหมายปริพันธ์ได้

3.
อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของปริพันธ์ (ถ้าจำนวนเทอมมีจำกัด)
ตารางอินทิกรัล:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

ส่วนใหญ่ งานคือการลดอินทิกรัลภายใต้การศึกษาให้เป็นตารางโดยใช้คุณสมบัติและสูตร

ตัวอย่าง:

[เราจะใช้คุณสมบัติที่สามของอินทิกรัลและเขียนเป็นผลรวมของอินทิกรัลสามตัว]

[ลองใช้คุณสมบัติที่สองและย้ายค่าคงที่นอกเครื่องหมายการรวม]

[ในอินทิกรัลแรกเราใช้อินทิกรัลแบบตาราง # 1 (n = 2) ในอันที่สอง - สูตรเดียวกัน แต่ n = 1 และสำหรับอินทิกรัลที่สาม คุณสามารถใช้อินทิกรัลตารางเดียวกันได้ แต่ด้วย n = 0 หรือคุณสมบัติแรก ]
.
ตรวจสอบโดยแยกความแตกต่าง:

ได้อินทิกรัลดั้งเดิมมา ดังนั้นจึงทำการรวมเข้าด้วยกันโดยไม่มีข้อผิดพลาด

ปริพันธ์แบบตารางจะต้องเรียนรู้ด้วยใจด้วยเหตุผลง่ายๆ ประการหนึ่ง - เพื่อที่จะรู้ว่าจะต้องต่อสู้เพื่ออะไร นั่นคือ ทราบจุดประสงค์ของการแปลงนิพจน์ที่กำหนด

นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน:
1)
2)
3)

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

แบบฝึกหัดที่ 1คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด :

+ แสดง / ซ่อนคำใบ้ # 1

1) ใช้คุณสมบัติที่สามและแสดงอินทิกรัลนี้เป็นผลรวมของสามอินทิกรัล

+ แสดง / ซ่อนคำใบ้ # 2

+ แสดง / ซ่อนคำใบ้ # 3

3) ใช้อินทิกรัลตารางแรกสำหรับสองเทอมแรก และอินทิกรัลตารางที่สองสำหรับเทอมที่สาม

+ แสดง / ซ่อนคำตอบและคำตอบ

4) วิธีแก้ปัญหา:

ตอบ:

ในบทความก่อนหน้านี้ ได้มีการพิจารณาปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์และแสดงการใช้งานที่หลากหลาย: การคำนวณความชันของแทนเจนต์กับกราฟ การแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่สุด การศึกษาฟังก์ชันสำหรับความซ้ำซากจำเจและ extrema $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arcctg)) \ nolimits) $

รูปที่ 1

ปัญหาในการค้นหาความเร็วทันที $ v (t) $ โดยใช้อนุพันธ์ตามเส้นทางการเคลื่อนที่ที่รู้จักก่อนหน้านี้ ซึ่งแสดงโดยฟังก์ชัน $ s (t) $ ก็ถูกพิจารณาเช่นกัน

รูปที่ 2

ปัญหาผกผันมักพบบ่อยมาก เมื่อจำเป็นต้องค้นหาเส้นทาง $ s (t) $ ที่ผ่านโดยจุดในเวลา $ t $ โดยรู้ความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุด $ v (t) $ หากเราจำได้ จะพบความเร็วทันที $ v (t) $ เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเส้นทาง $ s (t) $: $ v (t) = s ’(t) $ ซึ่งหมายความว่าเพื่อแก้ปัญหาผกผัน นั่นคือ ในการคำนวณเส้นทาง คุณต้องหาฟังก์ชันที่อนุพันธ์จะเท่ากับฟังก์ชันความเร็ว แต่เรารู้ว่าอนุพันธ์ของเส้นทางคือความเร็ว นั่นคือ: $ s ’(t) = v (t) $ ความเร็วเท่ากับผลคูณของความเร่งและเวลา: $ v = ที่ $ ง่ายต่อการตรวจสอบว่าฟังก์ชันเส้นทางที่ต้องการจะมีรูปแบบ: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) $ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำตอบที่สมบูรณ์จะมีรูปแบบ: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $ โดยที่ $ C $ เป็นค่าคงที่ เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ ต่อไปจะกล่าวถึง ตอนนี้ ให้ตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาที่พบ: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = ที่ = วี ( เสื้อ) $.

เป็นที่น่าสังเกตว่าการค้นหาเส้นทางด้วยความเร็วเป็นความหมายทางกายภาพของแอนติเดริเวทีฟ

ฟังก์ชันผลลัพธ์ $ s (t) $ เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $ v (t) $ ค่อนข้างเป็นชื่อที่น่าสนใจและไม่ธรรมดาเลยใช่ไหม มันมีความหมายมากมายซึ่งอธิบายสาระสำคัญของแนวคิดนี้และนำไปสู่ความเข้าใจ คุณจะเห็นว่ามีคำสองคำคือ "แรก" และ "รูปภาพ" พวกเขาพูดเพื่อตัวเอง นั่นคือ นี่คือฟังก์ชันที่เป็นค่าเริ่มต้นสำหรับอนุพันธ์ที่เรามี และเรากำลังมองหาอนุพันธ์นี้สำหรับฟังก์ชันที่อยู่ในช่วงเริ่มต้น คือ "อันแรก" "รูปแรก" นั่นคือ แอนติเดริเวทีฟ บางครั้งเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันดั้งเดิมหรือแอนติเดริเวทีฟ

อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้ว กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน และกระบวนการค้นหาแอนติเดริเวทีฟเรียกว่าอินทิเกรต การดำเนินการบูรณาการเป็นการย้อนกลับของการดำเนินการสร้างความแตกต่าง การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

คำนิยาม.แอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $ f (x) $ ในช่วงเวลาหนึ่งคือฟังก์ชัน $ F (x) $ ซึ่งอนุพันธ์นั้นเท่ากับฟังก์ชันนี้ $ f (x) $ สำหรับทุก $ x $ จากช่วงที่ระบุ: $ F '( x) = ฉ (x) $

บางคนอาจมีคำถาม: $ F (x) $ และ $ f (x) $ มาจากไหนในคำจำกัดความ ถ้าในตอนแรกมันเกี่ยวกับ $ s (t) $ และ $ v (t) $ ความจริงก็คือว่า $ s (t) $ และ $ v (t) $ เป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ของฟังก์ชันที่มีความหมายเฉพาะในกรณีนี้ นั่นคือ เป็นฟังก์ชันของเวลาและฟังก์ชันของความเร็วตามลำดับ มันเหมือนกันกับตัวแปร $ t $ ซึ่งหมายถึงเวลา และ $ f $ และ $ x $ เป็นเวอร์ชันดั้งเดิมของสัญกรณ์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันและตัวแปร ตามลำดับ ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับสัญกรณ์ของแอนติเดริเวทีฟ $ F (x) $ ขั้นแรก $ F $ เป็นตัวพิมพ์ใหญ่ แอนติเดริเวทีฟแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ประการที่สอง ตัวอักษรตรงกัน: $ F $ และ $ f $ นั่นคือ สำหรับฟังก์ชัน $ g (x) $ แอนติเดริเวทีฟจะแสดงด้วย $ G (x) $ สำหรับ $ z (x) $ - $ Z (x) $ กฎสำหรับการค้นหาฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟจะเหมือนกันเสมอโดยไม่คำนึงถึงสัญกรณ์

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $ f (x) = \ cos5x $

ในการพิสูจน์ เราใช้คำจำกัดความหรือข้อเท็จจริงที่ว่า $ F '(x) = f (x) $ และหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5 ) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $ ดังนั้น $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ เป็นแอนติเดริเวทีฟของ $ f (x) = \ cos5x $ คิวอีดี

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาฟังก์ชันที่สอดคล้องกับแอนติเดริเวทีฟต่อไปนี้: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (ล.) = \ บาป ล. $.

ในการหาฟังก์ชันที่ต้องการ ให้คำนวณอนุพันธ์ของพวกมัน:
ก) $ F ’(z) = (\ tg z)’ = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) ’= \ cos l $.

ตัวอย่างที่ 3แอนติเดริเวทีฟสำหรับ $ f (x) = 0 $ คืออะไร?
มาใช้คำจำกัดความกัน ลองคิดดูว่าฟังก์ชันใดสามารถมีอนุพันธ์ได้เท่ากับ $ 0 $ เมื่อนึกถึงตารางอนุพันธ์ เราพบว่าค่าคงที่ใดๆ จะมีอนุพันธ์ดังกล่าว เราได้แอนติเดริเวทีฟที่เรากำลังมองหา: $ F (x) = C $

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถอธิบายได้ทั้งทางเรขาคณิตและทางกายภาพ ในเชิงเรขาคณิต มันหมายความว่าเส้นสัมผัสของกราฟ $ y = F (x) $ เป็นแนวนอนที่แต่ละจุดของกราฟนี้ และดังนั้นจึงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน $ Ox $ ทางกายภาพ อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดที่มีความเร็วเท่ากับศูนย์ยังคงอยู่ในสถานที่นั้น กล่าวคือ เส้นทางที่ผ่านไปนั้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลง จากสิ่งนี้ เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบท. (เครื่องหมายของความคงตัวของฟังก์ชัน). หากในช่วงเวลาหนึ่ง $ F '(x) = 0 $ ดังนั้นฟังก์ชัน $ F (x) $ จะคงที่ในช่วงเวลานี้

ตัวอย่างที่ 4พิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นแอนติเดริเวทีฟ a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $ โดยที่ $ a $ เป็นตัวเลข
โดยใช้คำจำกัดความของแอนติเดริเวทีฟ เราสรุปได้ว่าเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ของข้อมูลแอนติเดริเวทีฟสำหรับเรา เมื่อทำการคำนวณ จำไว้ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ นั่นคือ จำนวนใดๆ ที่เป็นศูนย์
ก) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) ’= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $

เราเห็นอะไร? ฟังก์ชันที่แตกต่างกันหลายอย่างเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันใดๆ มีแอนติเดริเวทีฟมากมายไม่จำกัด และมีรูปแบบ $ F (x) + C $ โดยที่ $ C $ เป็นค่าคงที่โดยพลการ นั่นคือ การดำเนินการของการรวมเป็นหลายค่า ตรงกันข้ามกับการดำเนินการของความแตกต่าง บนพื้นฐานนี้ ให้เราสร้างทฤษฎีบทที่อธิบายคุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ

ทฤษฎีบท. (คุณสมบัติหลักของแอนติเดริเวทีฟ). ให้ฟังก์ชัน $ F_1 $ และ $ F_2 $ เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน $ f (x) $ ในช่วงเวลาหนึ่ง จากนั้น สำหรับค่าทั้งหมดจากช่วงเวลานี้ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: $ F_2 = F_1 + C $ โดยที่ $ C $ เป็นค่าคงที่บางค่า

ความจริงที่ว่ามีแอนติเดริเวทีฟจำนวนนับไม่ถ้วนสามารถตีความในเชิงเรขาคณิตได้ การใช้การแปลแบบขนานตามแกน $ Oy $ คุณจะได้กราฟของแอนติเดริเวทีฟสองตัวใดๆ จากกันเป็น $ f (x) $ นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของแอนติเดริเวทีฟ

มันสำคัญมากที่จะต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าโดยการเลือกค่าคงที่ $ C $ เป็นไปได้ที่จะบรรลุเนื้อเรื่องของกราฟแอนติเดริเวทีฟผ่านจุดใดจุดหนึ่ง

รูปที่ 3

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $ ซึ่งกราฟผ่านจุด $ (3; 1) $
อันดับแรก ค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับ $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $
ต่อไป เราจะพบตัวเลข C ซึ่งกราฟ $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ จะผ่านจุด $ (3; 1) $ ในการทำเช่นนี้ เราแทนที่พิกัดของจุดลงในสมการของกราฟแล้วแก้ด้วยค่าเท่ากับ $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $
เราได้กราฟ $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $ ซึ่งสอดคล้องกับแอนติเดริเวทีฟ $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $

ตารางแอนติเดริเวทีฟ

ตารางสูตรการหาแอนติเดริเวทีฟสามารถรวบรวมได้โดยใช้สูตรอนุพันธ์

ตารางหลัก

ฟังก์ชั่น	แอนติเดริเวทีฟ
$0$	$ C $
$1$	$ x + C $
$ a \ ใน R $	$ ขวาน + C $
$ x ^ n, n \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (x) $	$ \ ln | x | + C $
$ \ บาป x $	$ - \ cos x + C $
$ \ cos x $	$ \ บาป x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $	$ - \ ctg x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $	$ \ tg x + C $
$ e ^ x $	$ e^ x + C $
$ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $	$ \ displaystyle \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arcsin x + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $	$ \ arccos x + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arctg x + C $
$ \ displaystyle - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $	$ \ arcctg x + C $

คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของตารางได้ดังนี้: สำหรับแอนติเดริเวทีฟแต่ละชุดที่อยู่ในคอลัมน์ด้านขวา ให้ค้นหาอนุพันธ์ อันเป็นผลมาจากฟังก์ชันที่สอดคล้องกันในคอลัมน์ด้านซ้าย

กฎบางประการในการหาแอนติเดริเวทีฟ

ดังที่คุณทราบ ฟังก์ชันหลายอย่างมีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าที่ระบุในตารางของแอนติเดริเวทีฟ และอาจเป็นผลรวมของผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันใดๆ จากตารางนี้ก็ได้ แล้วคำถามก็เกิดขึ้นเกี่ยวกับวิธีการคำนวณแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างเช่น จากตาราง เรารู้วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟ $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ และ $ 10 $ และตัวอย่าง วิธีคำนวณแอนติเดริเวทีฟ $ x ^ 3-10 \ sin x $? เมื่อมองไปข้างหน้า เป็นที่น่าสังเกตว่ามันจะเท่ากับ $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $
1. ถ้า $ F (x) $ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $ f (x) $, $ G (x) $ คือสำหรับ $ g (x) $ ดังนั้นสำหรับ $ f (x) + g (x) $ แอนติเดริเวทีฟ จะเท่ากับ $ F (x) + G (x) $
2. ถ้า $ F (x) $ เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $ f (x) $ และ $ a $ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น $ aF (x) $ จะเป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ $ af (x) $
3. ถ้าสำหรับ $ f (x) $ แอนติเดริเวทีฟคือ $ F (x) $, $ a $ และ $ b $ เป็นค่าคงที่ ดังนั้น $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ คือแอนติเดริเวทีฟ สำหรับ $ f (ขวาน + b) $
โดยใช้กฎที่ได้รับ เราสามารถขยายตารางของแอนติเดริเวทีฟ

ฟังก์ชั่น	แอนติเดริเวทีฟ
$ (ขวาน + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac ((ขวาน + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $
$ \ displaystyle \ frac (1) (ขวาน + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ ln | ax + b | + C $
$ e ^ (ขวาน + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) e ^ (ขวาน + b) + C $
$ \ sin (ขวาน + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle - \ frac (1) (a) \ cos (ขวาน + b) + C $
$ \ cos (ขวาน + b), a \ ne0 $	$ \ displaystyle \ frac (1) (a) \ sin (ขวาน + b) + C $

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับ:

ก) $ \ displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;

b) $ \ displaystyle \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;

c) $ \ displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;

d) $ \ displaystyle \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $

a) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) (4) x ^ 8 + C $;

b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;

c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;

d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $